TATAP MUKA IV UKURAN PENYIMPANGAN SKEWNESS DAN KURTOSIS. Fitri Yulianti, SP. MSi.

Transkripsi

1 TATAP MUKA IV UKURAN PENYIMPANGAN SKEWNESS DAN KURTOSIS Fitri Yulianti, SP. MSi.

2 UKURAN PENYIMPANGAN Pengukuran penyimpangan adalah suatu ukuran yang menunjukkan tinggi rendahnya perbedaan data yang diperoleh dari rata-ratanya. Ukuran penyimpangan digunakan untuk mengetahui luas penyimpangan data atau homogenitas data. Dua variabel data yang memiliki mean sama belum tentu memiliki kualitas yang sama, tergantung dari besar atau kecil ukuran penyebaran datanya. Ada bebarapa macam ukuran penyebaran data, namun yang umum digunakan adalah standar deviasi.

3 UKURAN PENYIMPANGAN Macam-macam ukuran penyimpangan data adalah : 1. Jangkauan (range) 2. Simpangan rata-rata (mean deviation) 3. Simpangan baku (standard deviation) 4. Varians (variance) 5. Koefisien variasi (Coefficient of variation)

4 1. Jangkauan (Range) Range adalah salah satu ukuran statistik yang menunjukan jarak penyebaran data antara nilai terendah (Xmin) dengan nilai tertinggi (Xmax). R = Xmax Xmin Range = nilai maksimum nilai minimum

5 Contoh Jangkauan (Range) Berikut ini nilai ujian semester dari 3 mahasiswa A = B = C = Dari data diatas dapat diketahui bahwa A = memiliki Xmax=80, Xmin= 40, R = 40, meanya 60 B = memiliki Xmax=70, Xmin= 50, R = 20, meanya 60 C = memiliki Xmax=60, Xmin= 60, R = 0, meanya 60 Dari contoh di atas dapat disimpulkan bahwa : a. Semakin kecil rangenya maka semakin homogen distribusinya b. Semakin besar rangenya maka semakin heterogen distribusinya c. Semakin kecil rangenya, maka meannya merupakan wakil yang representatif d. Semakin besar rangenya maka meannya semakin kurang representatif

6 2. Simpangan rata-rata (mean deviation) Simpangan rata-rata merupakan penyimpangan nilai-nilai individu dari nilai rata-ratanya. Rata-rata bisa berupa mean atau median. Untuk data mentah simpangan rata-rata dari median cukup kecil sehingga simpangan ini dianggap paling sesuai untuk data mentah. Namun pada umumnya, simpangan rata-rata yang dihitung dari mean yang sering digunakan untuk nilai simpangan rata-rata.

7 2. Simpangan rata-rata (mean deviation) Data tunggal dengan seluruh skornya berfrekuensi satu

8 2. Simpangan rata-rata (mean deviation) Data kelompok ( dalam distribusi frekuensi)

9 Contoh Simpangan rata-rata (mean deviation)

10 3. Simpangan baku (standard deviation) Standar deviasi merupakan ukuran penyebaran yang paling banyak digunakan. Semua gugus data dipertimbangkan sehingga lebih stabil dibandingkan dengan ukuran lainnya. Namun, apabila dalam gugus data tersebut terdapat nilai ekstrem, standar deviasi menjadi tidak sensitif lagi, sama halnya seperti mean. Standar Deviasi memiliki beberapa karakteristik khusus lainnya : 1. Standar Deviasi tidak berubah apabila setiap unsur pada gugus datanya di tambahkan atau dikurangkan dengan nilai konstan tertentu. 2. Standar Deviasi berubah apabila setiap unsur pada gugus datanya dikali/dibagi dengan nilai konstan tertentu. Bila dikalikan dengan nilai konstan, standar deviasi yang dihasilkan akan setara dengan hasilkali dari nilai standar deviasi aktual dengan konstan.

11 3. Simpangan baku (standard deviation) Rumus Simpangan Baku untuk Data Tunggal untuk data sample menggunakan rumus untuk data populasi menggunkan rumus

12 Contoh Simpangan baku (standard deviation) Selama 10 kali ulangan semester ini sobat mendapat nilai 91, 79, 86, 80, 75, 100, 87, 93, 90,dan 88. Berapa simpangan baku dari nilai ulangan sobat? Jawab Soal di atas menanyakan simpangan baku dari data populasi jadi menggunakan rumus simpangan baku untuk populasi. rata-rata = ( )/10 = 869/10 = 85,9

13 3. Simpangan baku (standard deviation) Rumus Simpangan Baku untuk Data Kelompok untuk data sample menggunakan rumus untuk data populasi menggunkan rumus

14 Contoh Simpangan baku (standard deviation) Diketahui data tinggi badan 50 siswa samapta kelas c adalah sebagai berikut hitunglah berapa simpangan bakunya

15 Contoh Simpangan baku (standard deviation)

16 Contoh Simpangan baku (standard deviation)

17 4. Varians (variance) Varians adalah salah satu ukuran dispersi atau ukuran variasi. Varians dapat menggambarkan bagaimana berpencarnya suatu data kuantitatif. Varians diberi simbol σ 2 (baca: sigma kuadrat) untuk populasi dan untuk s 2 sampel. Selanjutnya kita akan menggunakan simbol s 2 untuk varians karena umumnya kita hampir selalu berkutat dengan sampel dan jarang sekali berkecimpung dengan populasi.

18 4. Varians (variance) Rumus varian atau ragam data tunggal untuk populasi Rumus varian atau ragam data tunggal untuk sampel

19 4. Varians (variance) Rumus varian atau ragam data kelompok untuk sampel Rumus varian atau ragam data kelompok untuk populasi

20 Keterangan: σ 2 = varians atau ragam untuk populasi S 2 = varians atau ragam untuk sampel f i = Frekuensi x i = Titik tengah x = Rata-rata (mean) sampel dan μ = rata-rata populasi n = Jumlah data

21 Contoh Varians (variance)

22 Contoh Varians (variance)

23 5. Koefisien variasi (Coefficient of variation) Koefisien variasi merupakan suatu ukuran variansi yang dapat digunakan untuk membandingkan suatu distribusi data yang mempunyai satuan yang berbeda. Kalau kita membandingkan berbagai variansi atau dua variabel yang mempunyai satuan yang berbeda maka tidak dapat dilakukan dengan menghitung ukuran penyebaran yang sifatnya absolut. Koefisien variasi adalah suatu perbandingan antara simpangan baku dengan nilai rata-rata dan dinyatakan dengan persentase. Besarnya koefisien variasi akan berpengaruh terhadap kualitas sebaran data. Jadi jika koefisien variasi semakin kecil maka datanya semakin homogen dan jika koefisien korelasi semakin besar maka datanya semakin heterogen.

24 Contoh Koefisien variasi (Coefficient of variation)

25 Skewness and Kurtosis Sebelum data diolah dan dianalisis maka harus dipenuhi persyaratan analisis terlebih dahulu. Dengan asumsi bahwa : a. Data yang dihubungkan berdistribusi normal. b. Data yang dibandingkan bersifat homogen.

26 Skewness Kecondongan suatu kurva dapat dilihat dari perbedaan letak mean, median dan modusnya. Jika ketiga ukuran pemusatan data tersebut berada pada titik yang sama, maka dikatakan simetris atau data berdistribusi normal. Sedangkan jika tidak berarti data tidak simetris atau tidak berdistribusi normal.

27 Skewness Ukuran kecondongan data terbagi atas tiga bagian, yaitu : Kecondongan data ke arah kiri (ekornya condong kiri/negatif) di mana nilai modus lebih dari nilai mean (modus > mean). Kecondongan data simetris (distribusi normal) di mana nilai mean dan modus adalah sama (mean = modus). Kecondongan data ke arah kanan (ekornya condong kanan/positif) di mana nilai mean lebih dari nilai modus (mean > modus).

28 Skewness Pada distribusi data yang simetris, mean, median dan modus bernilai sama.

29 Skewness

30 Skewness Nilainya dapat diukur menggunakan : Koefisien kecondongan Pearson dan Koefisien kecondongan Momen Untuk contoh kali ini digunakan Koefisien kecondongan Pearson

31 Skewness Koefisien Kemencengan Pearson merupakan nilai selisih rata-rata dengan modus dibagi simpangan baku. Koefisien Kemencengan Pearson dirumuskan sebagai berikut: Sk μ Mo σ atau Sk 3(μ Md) σ Dimana : Sk : koefisien kecondongan µ : nilai rata-rata hitung Mo : nilai modus Md : nilai median σ : standar deviasi *) Untuk data dikelompokan rumus tetap sama dan di kalikan dengan (fi) Sk = [µ - Mo ].fi / atau = 3.[µ - Md].fi /

32 Skewness Jika nilai Sk dihubungkan dengan keadaan kurva maka : Sk = 0 kurva memiliki bentuk simetris; Sk > 0 nilai-nilai mean terletak di sebelah kanan Mo, kurva memiliki ekor memanjang ke kanan, kurva menceng ke kanan/positif; Sk < 0 nilai-nilai mean terletak di sebelah kiri Mo, kurva memiliki ekor memanjang ke kiri, kurva menceng ke kiri/negatif.

33 Contoh Skewness

34 Skewness Menghitung skewness dengan excel Cara penulisan rumus skewness di excel : Skew (number1, number2,...) Dimana : Number1, number2... berupa argumen yang ingin dihitung skewnessnya. Juga dapat menggunakan array tunggal atau referensi ke array, bukan argumen yang dipisahkan oleh koma.

35 Skewness Sebagai contoh, buat tabel seperti di bawah ini : 1. Ketik Data Post pada sell A2 hingga A11 2. Untuk menghitung nilai skewness, di sel C2 ketik formula =SKEW(A2:A11)

36 Skewness Terlihat nilai skewnessnya lebih kecil dari 1, berarti jika grafik kurva distribusinya dibuat akan tampak seperti pada gambar Negative Skew.

37 Skewness Ukuran kemiringan yang lain adalah koefisien β 1 (baca 'beta-satu'): Dimana Interpretasi Distribusi dikatakan simetris apabila nilai b 1 = 0. Skewness positif atau negatif tergantung pada nilai b 1 apakah bernilai positif atau negatif.

38 Skewness Ukuran Skewness yang sering digunakan: Skewness Populasi: Skewness Sampel: atau formula berikut (MS Excel): NB: kedua formula di atas menghasilkan nilai skewness yang sama Interpretasi: Distribusi dikatakan simetris apabila nilai g 1 = 0. Skewness positif atau negatif tergantung pada nilai g 1 apakah bernilai positif atau negatif.

39 Skewness Menurut Bulmer, M. G., Principles of Statistics (Dover, 1979): highly skewed: jika skewness kurang dari 1 atau lebih dari +1 moderately skewed: jika skewness antara 1 dan ½ atau antara +½ dan +1. approximately symmetric: jika skewness is berada di antara ½ dan +½.

40 Kurtosis Kurtosis atau keruncingan adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi yang biasanya diambil secara relatif terhadap suatu distribusi normal. Berdasarkan keruncingannya, kurva distribusi dapat dibedakan atas tiga macam, yaitu : 1) Leptokurtik, merupakan distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi (nilai keruncingan > 3) 2) Platikurtik, merupakan distribusi yang memiliki puncak hampir mendatar (nilai keruncingan <3) 3) Mesokurtik, merupakan distribusi yang memiliki puncak sedang dan tidak mendatar (Normal (nilai keruncingan = 3)

41 Kurtosis Untuk mengetahui keruncingan suatu distribusi, ukuran yang sering digunakan adalah koefisien kurtosis persentil. Koefisien keruncingan atau koefisien kurtosis dilambangkan dengan α4 (alpha 4).

42 Kurtosis Menghitung Kurtosis dengan excel Cara penulisan rumus kurtosis di excel : Kurt (number1, number2,...) Dimana : Number1, number2... berupa argumen yang ingin dihitung kurtosisnya. Juga dapat menggunakan array tunggal atau referensi ke array, bukan argumen yang dipisahkan oleh koma.

43 Kurtosis Sebagai contoh, buat tabel seperti di bawah ini : 1. Ketik Data Pre pada sell A2 hingga A11 2. Untuk menghitung nilai kurtosis, di sel C2 ketik formula =Kurt(A2:A11) Hasil krtosis =

44 Kurtosis Kurtosis dihitung dengan menggunakan koefisien Pearson, β 2 (baca 'beta - dua'). dimana:

45 Kurtosis Ukuran Kurtosis yang sering digunakan: Kurtosis Populasi: Kurtosis: Excess Kurtosis: Kurtosis Sampel: atau formula berikut (MS Excel): s = standar deviasi NB: Excel menggunakan nilai Excess Kurtosis. Hasil perhitungan dari kedua formula di atas, menghasilkan nilai yang sama

46 Kurtosis Interpretasi: Distribusi dikatakan: Mesokurtik (Normal) jika b 2 = 3 Leptokurtik jika b 2 > 3 platikurtik jika b 2 < 3