Calculus Purcell
p > 0: 1 lim = n p lim 7n2 2n 2 +1 = Apakah {(ln n)/e n } konvergen? Buktikan bahwa lim sin5 n 2n = 0. Buktikan bahwa lim r n = 0 untuk 1 < r < 1.
Barisan tak Hingga: f i = a i, i N, a i R Notasi: a 1, a 2, a 3, a n n=1 a n
pola suku-suku awal 1, 4, 7, 10, formula eksplisit a n = 3n 2, n 1 formula rekursi a 1 = 1, a n = a n 1 + 3, n 2
Untuk n 1: a n = 1 1 n b n = 1 + 1 n 1 n c n = 1 n + 1 n d n = 0.999
Jika Maka ε > 0, 0 < N ε < : n N a n L < ε lim a n = L ( barisan a n konvergen ke L). Otherwise, a n divergen.
Misal {a n } dan b n barisan yang konvergen, dan k kontanta. Maka berlaku: a) lim k = k b) lim ka n = k lim a n c) lim a n ± b n d) lim a n b n a e) lim n a n = lim b n lim b n = lim a n ± lim b n = lim a n lim b n, jika lim b n 0
lim f x x = L lim f n = L Contoh: ln n lim e n? Karena lim ln x/e x 1/x = lim x x e x = 0, maka lim ln n = 0. en
Misal barisan {a n } dan c n konvergen ke L, dan a n b n c n untuk n K, K N. Maka b n juga konvergen ke L. lim a n = lim c n = L a n b n c n, n K, K N lim b n = L
lim a n = 0 lim a n = 0 Contoh: lim lim a n Maka, menurut teorema C lim 2n n 1 n 2 + 1 = lim 1 n 2n 2n n 2 + 1 = 0 n 2 + 1 = 0
Jika U batas atas dari barisan tak turun a n, maka barisan tsb konvergen ke limit A U. Jika L batas bawah dari barisan tak naik b n, maka barisan tsb konvergen ke limit B L.
Infinite Series (Deret tak Hingga): a k k=1 = a 1 + a 2 + a 3 + nth Partial Sum: S n = a 1 + a 2 + a 3 + + a n = n k=1 a k
lim S n = S k=1 a k ( S n konvergen ) = S, (konvergen) {S n } divergen deretnya ( k=1 a k ) divergen
k=1 ar k 1 = a + ar + ar 2 + ar 3 +, a 0 nth partial sum: S n rs n = a + ar + + ar n 1 ar + ar 2 + + ar n = a ar n Maka a arn S n = 1 r = a 1 r a 1 r rn
Jika r < 1 Maka lim r n = 0, sehingga lim S n = Jadi deret geometri konvergen. a 1 r = S Jika r > 1 atau r = 1 Maka deretnya divergen karena barisan {r n } divergen. Jika r = 1 Maka S n = na, sehingga deretnya divergen karena lim S n =.
n=1 a n konvergen lim a n = 0 lim a n 0 atau tidak ada a n n=1 divergen Proof: Karena deret konvergen maka: S = lim S n. Fakta bahwa a n = S n S n 1. Maka lim a n = lim S n lim S n 1 = S S = 0
Apakah 2n 4 n=1 konvergen? 4n 4 +n 2 Karena lim a 2n 4 n = lim 4n 4 + n 2 = lim 2 4 + 1/n 2 = 1 2 maka, dengan uji suku ke-n, deretnya divergen.
n=1 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + + 1 n + lim a n = lim 1 n = 0 Apakah lim S n = S (deretnya konvergen)? S n = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + + 1 8 + + 1 n > 1 + 1 2 + 2 4 + 4 8 + + 1 n Jadi S n divergen, sehingga deret harmonik divergen.
Please read it by yourself. See 9.2 example 7 page 458. Contoh: k=`1 1 (k + 2)(k + 3) = k=1 1 (k + 2) 1 (k + 3) S n = 1 3 1 4 + 1 4 1 5 + 1 5 1 6 + 1 n + 2 1 n + 3 = 1 3 1 n + 3 lim S 1 n = lim 3 1 n + 3 = 1 3
Jika k=1 a k dan k=1 b k keduanya konvergen, dan c adalah suatu konstanta, maka k=1 ca k dan k=1 a k + b k konvergen. k=1 ca k = c k=1 a k k=1 a k + b k = k=1 a k + k=1 b k
k=1 a k divergen k=1 ca k divergen dan c 0 Contoh: k=1 1 3k = k=1 1 3 1 k
Suku-suku dari sebuah deret yang konvergen dapat dikelompokan secara bebas. Deret yang baru akan konvergen ke nilai yang sama.
a 1, a 2, a 3, ; a n = f n ; a n = f(a n 1 ) a n konvergen ke L jika lim a n = L lim f x x = L lim f n = L Teorema Apit: L = lim a n b n lim c n = L lim a n = 0 lim a n = 0 Jika U batas atas dari barisan tak turun a n, maka barisan tsb konvergen ke limit A U.
k=1 a k = a 1 + a 2 + a 3 + ; (deret) S 1, S 2, S 3, ; (barisan) lim S n = S k=1 a k = S, (konvergen) k=1 ar k 1 = a + ar + ar 2 +, a 0 (deret geometri) lim a n 0 atau tidak ada n=1 a n divergen 1 n=1 = 1 + 1 + 1 + + 1 n 2 3 n (Uji suku ke-n) +, (Deret Harmonik)
a k 0 dan S n U k=1 a k = S U Buktinya silahkan baca sendiri di buku. Bertanyalah kalau ada yg tidak dipahami.
Misal, pada interval [1, ), f suatu fungsi yang kontinu, positif, tidak naik dan a k = f(k), utk setiap bilangan bulat k. Maka f(x) dx konvergen a k konvergen 1 k=1
k=1 1 k p = 1 + 1 2 p + 1 +, p R 3p Jika p > 1, maka deret-p konvergen Jika p 1, maka deret-p divergen Buktikan!
E n = S S n = a n+1 + a n+2 + Jika, pada interval [1, ), f suatu fungsi yang kontinu, positif, tidak naik dan a k = f(k), utk setiap bilangan bulat k. Maka E n = a n+1 + a n+2 + = a k k=n+1 < f(x) dx n
Deret Geometri r n konvergen jika 1 < r < 1 n=1 Deret-p n=1 1 n p konvergen jika p > 1
n=1 n 5n 2 4 konvergen atau divergen? n=1 n 2 n (n + 1) konvergen atau divergen?
Misal 0 a n b n untuk n N. b n konvergen a n konvergen a n divergen b n divergen Proof? Please refer to the book of Purcell..
Misal a n 0, b n > 0, dan lim a n b n = L. 0 < L < a n dan b n konvergen/divergen L = 0 & b n konvergen a n konvergen
Misal a n suatu deret positif, dan a n+1 lim a n = ρ. ρ < 1 deretnya konvergen ρ > 1 atau deretnya divergen ρ = 1 tidak ada kesimpulan
Untuk menguji kekonvergenan suatu deret positif perhatikan suku a n nya. a n, maka 1. Jika lim a n 0, maka deret divergen. (Uji Suku ke-n) 2. Jika a n mengandung bentuk n!, r n, n n, coba uji rasio. 3. Jika a n hanya melibatkan pangkat konstan n, coba Uji Banding Limit. Khususnya jika a n berupa ekspresi rasional dalam n, gunakan uji ini dengan b n sbg rasio suku2 awal dr pembilang&penyebut. 4. Jika uji2 diatas tidak berhasil, coba Uji Banding Biasa, Uji Integral, atau Uji Jumlah Terbatas. 5. Beberapa deret memerlukan manipulasi cerdik untuk menentukan konvergensi atau divergensinya.
Deret ganti tanda a 1 a 2 + a 3 a 4 + Deret harmonik ganti tanda 1 1 2 + 1 3 1 4 + 1 5
Misal sebuah deret ganti tanda a 1 a 2 + a 3 a 4 + Dengan kondisi a n > a n+1 > 0. lim a n = 0 deret ganti tanda konvergen Error = S S n a n+1
Misal kita punya suatu deret u n. u n konvergen u n konvergen Deret u n disebut konvergen mutlak jika u n konvergen. Dengan demikian: u n konvergen mutlak u n konvergen
Deret u n disebut konvergen bersyarat jika u n konvergen tetapi u n divergen. Jadi u n konvergen mutlak u n konvergen
Misal u n dengan u n 0, dan u n+1 lim u n = ρ ρ < 1 ρ > 1 ρ = 1 deretnya konvergen mutlak deretnya divergen tidak ada kesimpulan
Suku-suku dari suatu deret konvergen mutlak dapat disusun ulang tanpa mempengaruhi kekonvergenan dan jumlah deretnya.
Ingat! Anda harus bisa membedakan apa yang ditulis dibuku pada subbab ini: n=1 u n = 1 n n=1 a n = a 1 a 2 + a 3 a 4 + Yakni u n = 1 n a n. Bedakan dengan di subbab sebelumnya yang selalu ditulis yang selalu positif. a n n=1 atau n=1 b n
Langkah mengecek kekonvergenan untuk suatu deret ganti tanda n=1 u n. 1. Cek dengan Uji Rasio Mutlak (teorema C 9.5) a. Jika ρ 1, jelas n=1 u n divergen (ρ > 1) atau konvergen mutlak (ρ < 1). b. Jika ρ = 1, lihat langkah 2. 2. Ubah n=1 u n ke deret positif u n n=1. a. Kemudian cek dengan semua uji yang kita punya untuk deret positif (subbab 9.2-9.4, lihat rangkuman di 9.4). Termasuk uji rasio (mutlak), teorema C di 9.5. b. Jika konvergen ( n=1 u n konvergen), maka deret n=1 u n konvergen mutlak menurut teorema B di 9.5. c. Jika divergen ( n=1 u n divergen), maka harus dicek deret n=1 u n (lihat langkah 3). 3. Cek deret ganti tanda n=1 u n. a. Gunakan satu2nya uji kekonvergenan deret ganti tanda yaitu Uji Deret Ganti Tanda, teorema A 9.5, jika kondisinya dipenuhi. Jika tidak, b. Gunakan Uji Suku ke-n di 9.2 untuk menunjukkan deret tsb divergen. Jika tidak, c. Gunakan definisi di 9.2: lim S n = S konvergen. Jika tidak, maka divergen.