Catatan Kuliah MA4283 Teori Risiko dan Kredibilitas Forecasting Risk: Precise and Prospective Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2018 1
Tentang MA4283 Teori Risiko dan Kredibilitas Jadwal kuliah: Rabu, 9- (R. 9531); Kamis, 9- (R. StudyHall) Penilaian: Ujian (31/01/18, 28/02/18, 29/03/18, 26/04/18, @ 25%) Kuis (20%) Buku teks: Yiu-Kuen Tse, 2009, Nonlife Actuarial Models: Theory, Methods and Evaluation Stuart Klugman, Harry Panjer, Gordon Willmot, 2012, Loss Models: From Data to Decisions 4th ed. Materi Perkuliahan: M1 (15/1): Pengantar; kuis selamat datang; model risiko diskrit/kontinu; penaksiran parameter M2 (22/1): Kredibilitas model risiko; bias dan mse; Cre-VaR M3 (29/1): Ujian 1 (Rabu, 31/1/18) M3 (29/1): Konstruksi model empirik; penaksir yang baik M4 (5/2): Kuis Ujian 1 (Rabu, 7/2/18) M4 (5/2): Himpunan risiko; data lengkap dan tak lengkap M5 (12/2): Tugas 1; sampel acak mean; penaksir momen dan persentil M6 (19/2): - M7 (26/2): Latihan soal, Ujian 2 (Rabu, 28/1/18) M7 (26/2): Penaksir likelihood maksimum M8 (5/3): Penaksir likelihood maksimum (lanjutan) M9 (12/3): M10 (19/3): M11 (26/3): Ujian 3 (Kamis, 29/3/18) 2
Pengantar: Risiko Stokastik dan Kredibilitas Model Risiko Risiko stokastik adalah kuantifikasi risiko (atau kerugian) melalui peubah acak. Risiko akan bermakna jika diukur atau diprediksi dan ditentukan keakuratannya. Data risiko (stokastik) dapat dirangkum melalui model atau distribusi. Kajian utama dalam proses ini akan mengkonstruksi atau membangun model. Perhatikan peubah acak yang menyatakan risiko. Peubah acak tersebut dapat berupa L (yang menyatakan kerugian), R (imbal hasil atau return) dan/atau X (yang menyatakan keuntungan atau berpotensi kerugian). Peubah acak yang pertama dapat dimodelkan dengan distribusi diskrit atau kontinu. Peubah acak imbal hasil dapat direpresentasikan melalui model heteroskedastik (ARCH/GARCH). Sementara itu, peubah acak X seringkali dipandang sebagai proses Gerak Brown. Misalkan L menyatakan banyak kerugian atau besar/nilai kerugian. Peubah acak tersebut dapat dimodelkan melalui distribusi diskrit seperti Poisson, binomial, geometrik dan binomial negatif. Sebagai model kontinu, peubah acak tersebut dapat dimodelkan melalui distribusi eksponensial, lognormal, Weibull dan Pareto. Pandang harga aset pada waktu t, S t. Definisikan imbal hasil atau return R t = log S t S t 1. Imbal hasil ini memiliki sifat empirik antara lain tidak berautokorelasi (ada, namun kecil) dan berdistribusi ekor tebal (lihat Cont (2001) dan Engle dan Patton (2001) untuk melihat sifat-sifat empirik yang lain). Model-model yang dikenal untuk imbal hasil adalah ARCH dan GARCH serta variannya. Misalkan harga aset S t dimodelkan melalui S t = S 0 e X t yang dikenal sebagai Gerak Brown geometrik; proses {X t } adalah proses Gerak Brown (cek kembali sifat kenaikan bebas dan kenaikan stasioner). Kita dapat menuliskan X t dengan mem- 3
perhatikan sifat logaritma dan mengaitkannya dengan peubah acak imbal hasil R t, X t = ln S t S 0 = ln S t S t 1 S t 1 S t 2 S1 S 0 = ln S t S t 1 + ln S t 1 S t 2 + + ln S 1 S 0 = R t + R t 1 + + R 1 Diskusi: Dapatkah kita menghubungan proses Gerak Brown dengan agregat model ARCH atau GARCH? Apakah peran sifat kenaikan bebas dan kenaikan stasioner? Latihan: (a) Misalkan imbal hasil majemuk R t mengikuti proses GB standar. Pandang kuadrat imbal hasil. Hitung kovariansi kedua peubah acak imbal hasil tersebut (b) Misalkan imbal hasil majemuk R t bernilai -1,0,1. Pandang kuadrat imbal hasil. Hitung korelasi kedua peubah acak imbal hasil tersebut, apakah keduanya saling bebas? 4
Model Frekuensi Klaim Misalkan N kerugian acak yang menyatakan frekuensi kerugian klaim (yang masuk atau diajukan) pada suatu periode waktu. Distribusi untuk N adalah Poisson dengan parameter λ. Ciri khas distribusi ini adalah nilai mean dan variansi yang sama yaitu λ, atau E(N) = V ar(n) = λ. Distribusi lain yang dapat digunakan untuk memodelkan frekuensi kerugian klaim adalah distribusi geometrik. Pertanyaannya, definisi peubah acak apakah yang tepat untuk menggambarkan distribusi ini? hanya dimiliki distribusi geometrik? Namun yang menarik untuk dikaji adalah apakah sifat khusus yang Distribusi-distribusi diskrit yang sudah dikenalkan sebelumnya (binomial, geometrik, binomial negatif, Poisson) dapat dikelompokkan menjadi sebuah Kelas Distribusi (a, b, 0) dengan fungsi peluang memenuhi sifat rekursif: f(n) = ( a + b ) f(n 1), n = 1, 2,..., n dengan a, b konstanta dan f(0) diberikan. Catatan: Kelas distribusi (a, b, 1) dapat pula dibentuk dengan analogi. Dalam aplikasi teori peluang, seringkali kita dihadapkan pada fenomena dimana peluang terjadinya 0 telah ditentukan, misalnya P (N = 0) = 0.3, atau bahkan mungkin tidak ada, P (N = 0) = 0. Untuk itu, perlu adanya modifikasi fungsi peluang diatas. Distribusi yang dihasilkan dikatakan sebagai distribusi modifikasi nol (zero-modified distribution) dan distribusi bernilai nol (zero-truncated distribution). Latihan: 1. Diketahui N berdistribusi geometrik dengan mean 2. Tentukan mean dari distribusi modifikasi nol-nya dengan f mod (0) = 1/6. 2. Perusahaan asuransi mengkategorikan pengendara menjadi dua: pengendara baik dan buruk. Banyak klaim yang diajukan oleh pengendara baik adalah peubah acak Poisson dengan mean 0.2; pengendara buruk mengajukan klaim mengikuti distribusi Poisson dengan parameter Λ. Diketahui Λ U(1, 2). Portofolio perusahaan terdiri atas 75% pengendara baik dan sisanya pengendara buruk. Seorang pengendara dipilih secara acak dan diketahui mengajukan nol klaim tahun lalu. Tentukan peluang bahwa pengendara ini juga mengajukan nol klaim tahun ini. 5
Solusi-1: Fungsi peluang: f(n) = P (N = n) = (1 p) n p, n = 0, 1, 2,... dengan E(N) = (1 p)/p = 2. Diperoleh p = 1/3. Diketahui f mod (0) = 1/6. Diperoleh, c = 1 1/3 1 1/6 = 5/4. Jadi, E(N mod ) = c E(N) = (5/4)(2) = 5/2 Solusi-2: Diketahui N G P OI(0.2); N B P (Λ); Λ U(1, 2). Diketahui juga P (G) = 3/4, P (B) = 1/4. Kita akan menenentukan P (N 2 = 0 N 1 = 0). Diperoleh P (N 1 = 0) = P (N 1 = 0 G)P (G) + P (N 1 = 0 B)P (B) = e 2 (3/4) + 2 1 e λ 1 dλ (1/4) Dengan cara yang sama diperoleh P (N 2 = 0, N 1 = 0) = P (N 2 = 0, N 1 = 0 G)P (G) + P (N 2 = 0, N 1 = 0 B)P (B) = P (N 2 = 0 G)P (N 1 = 0 G)P (G) + P (N 2 = 0 B)P (N 1 = 0 B)P (B) = e 2 e 2 (3/4) + 2 1 e 2λ 1 dλ (1/4) Model Severitas Klaim Nilai atau severitas klaim atau claim severity menyatakan besar kerugian suatu klaim asuransi. Umumnya, severitas klaim dimodelkan dengan distribusi kontinu nonnegatif. Secara khusus, akan dibahas distribusi eksponensial dan Pareto serta sifat-sifat yang menyertainya seperti kuantil dan sifat ekor (CTE dan indeks ekor). Salah satu motivasi yang dapat digunakan dalam mempelajari sifat-sifat khusus peubah acak seperti kuantil dan sifat ekor (CTE dan indeks ekor) adalah manfaat atau aplikasi dalam bidang profesional seperti asuransi. Dalam hal ini, kajian aplikasi akan ditekankan pada pembayaran 6
klaim oleh perusahaan asuransi (insurer), khususnya pada kasus adanya modifikasi cakupan polis (policy coverage). Pandang situasi seseorang mengasuransikan kendaraan yang dimilikinya. Tidak jarang pengendara bersikap ceroboh terhadap kendaraannya karena keyakinan akan dijamin oleh asuransi. Untuk mengurangi risiko dan mengendalikan masalah-masalah perilaku pemegang polis (moral hazard), perusahaan asuransi melakukan modifikasi cakupan polis seperti deductibles, policy limits dan coinsurance. Suatu polis asuransi dengan per-loss deductible d tidak akan menbayar pada pemegang polis (the insured) jika kerugian X kurang dari atau sama dengan d; akan membayar pemegang polis sebesar X d jika kerugian X lebih dari d. Jadi, besar uang yang dibayar dalam suatu kejadian kerugian, X L, adalah X L = X d, untuk X > d, dan X L = 0 untuk X d. Distribusi peluang untuk X L adalah... Latihan: 1. Misalkan kerugian agregat L hanya bernilai integer positif. Diketahui E((L 2) + ) = 1/5, E((L 3) + ) = 0 dan f L (1) = 1/2. Hitung E(L). 2. Suatu kerugian L diasuransikan parsial. Polis asuransi memberlakukan deductible 100. Asuransi membayar setengah dari kerugian, yang lebih dari (in excess of) 100, atas kerugian bernilai hingga 1000. Untuk kerugian bernilai lebih dari 1000, asuransi membayar X 550. Diketahui: E(X) = 2000, E(X 100) = 98, E(X 450) = 400, E(X 550) = 480, E(X 900) = 725, E(X 1000) = 790. Hitung nilai uang (yang diharapkan) yang dibayar oleh asuransi ketika kerugian terjadi. 3. Pandang distribusi klaim Poisson majemuk S dengan parameter λ = 2; distribusi severitas X adalah P (X = 1) = 0.4, P (X = 2) = 0.2, P (X = 3) = 0.4. 7
Aturan deductible 1 diaplikasikan setiap klaim individu X. Pembayaran agregatnya (setelah deductible) adalah S. Tentukan deductible d sehingga pembayaran yang diharapkan sama dengan E(S ). 4. Suatu polis atas kerugian L memiliki aturan deductible 40. Polis juga mengatur hal-hal berikut. Jika 40 < L 60, polis membayar nilai kerugian yang lebih dari 40. Jika 60 < L 80, asuransi membayar 20 ditambah 75% kerugian yang lebih dari 60. Jika L > 80, asuransi membayar 35. (a) Jika L berdistribusi Uniform pada selang (0, 100), tentukan nilai kerugian yang diharapkan (expected cost per loss) (b) Formulasikan nilai kerugian sebagai kombinasi L dan L a Solusi-1: E(L 2) + = E(L 3) + = (l 2) f L (l) = l=2 (l 3) f L (l) = l=3 l f L (l) 2 f L (l) = 1/5, ( ) l=2 l=2 l f L (l) 3 f L (l) = 0. ( ) l=3 l=3 Dari (*) dan (**) diperoleh: 1/5 = 2 f L (2) + = 2 f L (2) + 3 ( = 2 f L (2) + 3 f L (2) + = lf(l) 2 f L (l) f L (l) f L (2) = l=2 Jadi, l f L (l) = 3/5. l=3 Kita ketahui 3 3 l=2 f(l) 2 f L (l) 3 l=2 ) f(l) f L (2) 2 f L (l) f L (l). l=3 l=2 f L (1) + f L (l) = 1/2 + l=2 f L (l) = 1. l=2 Jadi, f L (l) = 1/2; f L (2) = 3/10. l=2 8
Ekspektasi dari kerugian L adalah E(L) = f L (1) + 2 f L (2) + l f L (l) = 1/2 + 6/10 + 3/5 = 17/10. l=3 Solusi-2: Pembayaran untuk polis dengan deductible a dan cakupan maksimum b adalah (X b) (X a). ( ) Untuk a = 100, b = 1000, asuransi membayar 1 2 (X 1000) (X 100) untuk kerugian hingga 1000. Untuk kerugian 1000, asuransi membayar 1 (1000 100) = 450. 2 Untuk kerugian lebih dari 1000, asuransi membayar 1 ( ) (X 1000) (X 100) + (X 550 450)+ = X 1 2 2 (X 100) 1 ( (X 1000). 2 Jadi, ekspektasinya 1556. Solusi-4: Misalkan Y peubah acak yang menyatakan nilai kerugian, Y = 0, L 40; Y = L 40, 40 < L 60; Y = 20 + 0.75(L 60), 60 < L 80; Y = 35, L > 80. Jadi, E(Y ) = 60 + = 14.5 40 100 80 (l 40)(0.01) dl + (35)(0.01) dl 80 60 (20 + 0.75(l 60))(0.01) dl Nilai yang kerugian yang diharapkan adalah (L 40) + 0.25(L 60) + 0.75(L 80) + = L (L 40) 0.25 (L (L 60)) 0.75 (L (L 80)) = 0.75 (L 80) + 0.25 (L 60) (L 40) 9
Pengantar: Risiko Stokastik, Model dan Ukuran Risiko Risiko stokastik adalah kuantifikasi risiko (atau kerugian) melalui peubah acak. Risiko akan bermakna jika diukur atau diprediksi dan ditentukan keakuratannya. Data risiko (stokastik) dapat dirangkum melalui model atau distribusi. Kajian utama dalam proses ini akan mengkonstruksi atau membangun model. Kajian atau masalah yang akan dibahas dalam perkuliahan terbagi menjadi dua: Teori Risiko dan Kredibilitas. Kajian pertama antara lain Estimasi (Parameter) Model-1 Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak berukuran n dari distribusi dengan mean µ dan variansi σ 2. Tunjukkan bahwa X dan S 2, berturut-turut, adalah penaksir tak bias untuk µ dan σ 2. Estimasi (Parameter) Model-2 Misalkan ˆθ 1 adalah penaksir untuk parameter θ; ˆθ 1 (a, b). Definisikan penaksir (lain) untuk θ yaitu ˆθ 2. Diketahui: ˆθ 2 = ˆθ 1, ˆθ 1 (a, b); ˆθ 2 = a, ˆθ 1 a; ˆθ 2 = b, ˆθ 1 b. Tunjukkan bahwa MSE(ˆθ 2 ) = MSE(ˆθ 1 ). Jika ˆθ 1 penaksir tak bias, tunjukkan Var(ˆθ 2 ) Var(ˆθ 1 ). Sementara itu, kajian kredibilitas akan meliputi: Kredibilitas-1 Asumsikan severitas/nilai klaim memiliki mean 256 dan deviasi standar 532. Observasi dilakukan pada 456 klaim. Tentukan peluang bahwa mean sampel berada dalam (within) 10% nilai mean yang sebenarnya. Hitung CV dari (i) distribusi severitas klaim (ii) mean sampel severitas klaim. Kredibilitas-2 Misalkan kerugian agregat mengikuti model distribusi majemuk (compound); frekuensi klaim berdistribusi Poisson dengan mean 569, distribusi severitas klaim memiliki mean 120 dan variansi 78 2. Hitung mean dan variansi agregat kerugian. Hitung peluang bahwa suatu kerugian agregat yang terobservasi berada dalam 5% mean kerugian agregat. Kredibilitas Bühlmann-1 Diketahui N menyatakan frekuensi klaim dengan N B(10, θ). Severitas klaim, X, merupakan peubah acak eksponensial dengan mean cθ. Diberikan θ, frekuensi dan severitas klaim saling bebas. Tentukan k, rasio antara expected value of the process variansi dan variance of the hypotethical mean. Apakah k bergantung pada c? 10
Kredibilitas Bühlmann-2 Diketahui N menyatakan frekuensi klaim dengan N B(10, θ). Severitas klaim, X, merupakan peubah acak eksponensial dengan mean cθ. Diberikan θ, frekuensi dan severitas klaim saling bebas. Hitung Cov(X, N), kovariansi tak bersyarat N dengan X. Kredibilitas Bühlmann-3 Diketahui N menyatakan frekuensi klaim dengan N B(10, θ). Severitas klaim, X, merupakan peubah acak eksponensial dengan mean cθ. Diberikan θ, frekuensi dan severitas klaim saling bebas. Tentukan parameter (model) kredibilitas Bühlmann untuk N dan X. 11
Bab 1: Konstruksi Model Empirik Model (risiko) akan memberikan manfaat jika diaplikasikan pada data dengan terlebih dahulu menaksir parameter yang membangun model tersebut. Penaksir yang dihasilkan harus memiliki sifat-sifat penaksir yang baik. Konstruksi Model: Penaksiran Parameter Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak kerugian X yang memiliki distribusi dengan fungsi peluang f(x). Langkah pertama dalam mengkonstruksi model adalah penaksiran parameter. Misalkan θ parameter yang membangun distribusi peluang atau model. Parameter tersebut dapat ditaksir dengan metode likelihood maksimum. Misalkan ˆθ penaksir untuk parameter θ. Fungsi peluang f(x; θ) memiliki penaksir parametik fungsi peluang f(x; ˆθ). Jika f(x; θ) ditaksir langsung dari semua nilai x tanpa asumsi distribusi maka penaksiran tersebut dikatakan nonparametrik. Misalkan θ memiliki penaksir ˆθ ML. Misalkan ˆθ U = f(x 1, X 2,..., X n ) dan ˆθ L = g(x 1, X 2,..., X n ). Selang (ˆθ L, ˆθ U ) dikatakan 100(1 α)% selang kepercayaan 100(1 α)% untuk θ jika P (ˆθL θ ˆθ U ) = 1 α. Contoh: Misalkan ˆθ berdistribusi normal dengan mean θ dan variansi σ 2ˆθ, maka selang kepercayaan untuk θ adalah... Sifat Penaksir Parameter Suatu penaksir ˆθ dikatakan tak bias (asimtotik) jika dan hanya jika E(ˆθ) = θ (untuk ukuran sampel n yang besar). Misalkan ˆθ dan θ penaksir-penaksir tak bias untuk θ. Penaksir ˆθ dikatakan efisien jika memiliki variansi yang lebih kecil daripada variansi penaksir θ atau V ar(ˆθ) V ar( θ). Bagaimana kita dapat menguji penaksir yang bersifat konsisten? Perlukah kita menghitung MSE penaksir? 12
Soal 1: Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak berukuran n dari distribusi dengan mean µ dan variansi σ 2. Tunjukkan bahwa X dan S 2, berturut-turut, adalah penaksir tak bias untuk µ dan σ 2. Soal 2: Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak berdistribusi U(0, θ). Misalkan Y = maks(x 1, X 2,..., X n ) penaksir untuk θ. Hitung mean, variansi, bias dan MSE penaksir tersebut. Soal 3: Suatu kerugian acak X berdistribusi U(0, θ). Sampel diambil dari n pembayaran dari polis dengan batas 100. Delapan nilai sampel bernilai 100. Penaksir likelihood maksimum untuk parameter θ adalah ˆθ. Sampel lain dari n pembayaran diambil dari polis dengan batas 150. Tiga nilai sampel bernilai 150. Penaksir untuk θ adalah 4 ˆθ. Tentukan n. 3 Soal 4: Sampel acak berukuran 12 dari suatu distribusi populasi adalah 7, 15, 15, 19, 26, 27, 29, 29, 30, 33, 38, 53. Misalkan variansi distribusi adalah 100. Tentukan bias dari variansi sampel (sebagai penaksir variansi distribusi). Soal 5: Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak dari X yang berdistribusi Uniform pada selang (2 θ, 3 θ), dengan θ > 0. Tentukan bias dari penaksir likelihood maksimum untuk θ. Soal 6: Tentukan penaksir untuk θ pada distribusi Poisson bernilai nol (zero-truncated Poisson distribution). Fungsi peluang: P (N = 1) = λ λ ; P (N = k) = e λ 1 Mean dan variansinya adalah E(N) = λ λeλ = 1 e λ e λ 1. V ar(n) = λ + λ2 1 e λ λ 2 (1 e λ ) 2. k k!(e λ 1) 13
Konstruksi Model: Data Lengkap Dalam praktik pemodelan risiko, seringkali diperoleh data yang menyatakan (i) durasi waktu (length-of-time) dan/atau (ii) kerugian. Contoh data durasi adalah lama seseorang menggangur, dirawat di RS ataupun bertahan hidup. Sementara itu, nilai atau besar kerugian klaim dan kompensasi adalah contoh data kerugian. Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak yang menyatakan waktu kegagalan. Representasi atau datanya adalah x 1,..., x n. Kita dapat menentukan m n data yang memiliki nilai observasi berbeda, sebut y 1,..., y m. Banyaknya observasi y j adalah w j dengan m j=1 w j = n. Perhatikan bahwa kita dapat menentukan risk set yaitu himpunan banyak observasi dalam sampel yang memiliki risiko atas kejadian pada saat y j ; r j = m i=j w i. Ilustrasi-1. Data yang menyatakan waktu kegagalan (setelah diurutkan) adalah: 2, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 8, 8, 12, 14, 18, 18, 24, 24. Perhatikan: y 1 = 2, w 1 = 1, r 1 = 16, y 2 = 3, w 2 = 1, r 2 = 15. Konstruksi data dalam representasi lain adalah j y j w j r j 1 2 1 16 2 3 1 15 3 5 3 14 4 6 2 11 5 8 3 9 6 12 1 6 7 14 1 5 8 18 2 4 9 24 2 2 14
Ilustrasi-2. Misalkan data klaim medis adalah: 15, 16, 16, 16, 20, 21, 24, 24, 24, 28, 28, 34, 35, 36, 36, 36, 40, 40, 48, 50 Konstruksi data dalam representasi lain adalah j y j w j r j 1 15 1 20 2 16 3 19 3 20 1 16 4 21 1 15 5 24 3 14 6 28 2 11 7 34 1 9 8 35 1 8 9 36 3 7 10 40 2 4 11 48 1 2 12 50 1 1 Konstruksi Model: Data Tidak Lengkap Dalam praktiknya, seringkali kita tidak memiliki informasi lengkap tentang individu atau responden yang menjadi obyek penelitian. Misalnya, studi terhadap lama waktu pasien bertahan hidup setelah mengalami operasi. Kita dapat memperoleh data banyak pasien yang mengalam operasi (i) sebelum atau (ii) setelah studi dilakukan. Dalam kasus pertama, pasien mungkin masih bertahan saat studi dilakukan; namun mungkin juga pasien telah meninggal (left truncated). Jika pasien masih bertahan hidup namun studi telah berakhir, data pasien hingga meninggal tidak dapat diperoleh (right censored). Definisikan d i yang menyatakan status left-truncation (l-f) untuk pasien (i); d i = 0 tidak ada l-f (operasi dilakukan saat studi); d i > 0 ada l-f (operasi dilakukan selama d i sebelum studi). 15
Definisikan x i menyatakan waktu kesintasan (waktu hingga meninggal setelah operasi); jika pasien bertahan hingga akhir studi maka x i tidak terobservasi dan waktu kesintasannya adalah u i. Ilustrasi-1. Misalkan sampel berukuran 10 menyatakan waktu kesintasan pasien setelah operasi; t 1 waktu saat pasien pertama kali diobservasi (t 1 = 0 pasien sudah dioperasi), t 2 lama waktu sejak operasi, t a waktu saat studi terhadap pasien dihentikan (karena meninggal M; studi berakhir A). i t 1 t 2 t a status 1 0 2 7 M 2 0 4 4 M 3 2 0 9 M 4 4 0 10 M 5 5 0 12 A 6 7 0 12 A 7 0 2 12 A 8 0 6 12 A 9 8 0 12 A 10 9 0 11 M Perhatikan: d 1 = 2, x 1 = 9, u 1 = ; d 3 = 0, x 3 = 7, u 3 =. Nilai-nilai d i, x i, u i adalah... i d i x i u i 1 2 9-2 4 8-3 0 7-4 0 6-5 0-7 6 0-5 7 2-14 8 6-18 9 0-4 10 0 2-16
Seperti pada data lengkap, kita definisikan y j, w j, r j, dengan r j = r j 1 w j 1 + banyak observasi y j 1 d i < y j banyak observasi y j 1 u i < y j (10.8) atau r j = banyak observasi d i < y j banyak observasi x i < y j banyak observasi u i < y j, (10.9) Perhatikan: y 1 = 2, w 1 = 1, r 1 = 6 = 6 0 0; y 2 = 6, w 2 = 1, r 2 = 6 = 6 1 + 3 2 = 9 1 2. Kita peroleh... j y j w j r j (10.8) (10.9) 1 2 1 6-6-0-0 2 6 1 6 6-1+3-2 9-1-2 3 7 1 6 6-1+1-0 10-2-2 4 8 1 4 6-1+0-1 10-3-3 5 9 1 3 4-1+0-0 10-4-3 Ilustrasi-2. Untuk data klaim medis, diperoleh data berikut.. i d i x i u i u i i d i x i u i u i 1 0 12 15-11 3 14 15-2 0 10 15-12 3-15 15 3 0 8 12-13 3 12 18-4 0-12 12 14 4 15 18-5 0-15 15 15 4-18 18 6 2 13 15-16 4 8 18-7 2 10 12-17 4-15 15 8 2 9 15-18 5-20 20 9 2-18 18 19 5 18 20-10 3 6 12-20 5 8 20-17
Selanjutnya, dengan menggunakan formula (10.8) dan (10.9), diperoleh risk set berikut... j y j w j r j 10.8 10.9 1 6 1 20-20-0-0 2 8 3 19 20-1+0-0 20-1-0 3 9 1 16 19-3+0-0 20-4-0 4 10 2 15 16-1+0-0 20-5-0 5 12 2 13 15-2+0-0 20-7-0 6 13 1 10 13-2+0-1 20-9-1 7 14 1 9 10-1+0-0 20-10-1 8 15 1 8 9-1+0-0 20-11-1 9 18 1 4 8-1+0-3 20-12-4 Latihan Soal-1 Para pelamar pekerjaan diberi tugas untuk menunjukkan kualifikasinya. Catatan waktu saat mulai dan berakhirnya tugas adalah sebagai berikut: i B i E i i B i E i 1 2 7 10 9 21 2 4 6 11 10 21 3 4 9 12 11 23 4 5 12 13 11 20 5 6 14 14 12 19 6 7 17 15 15 18 7 8 14 16 18 24 8 8 13 17 18 25 9 8 20 18 20 24 Latihan Soal-2 Nilai kerugian klaim adalah: 5, 7, 8, 10, 10, 16, 17, 17, 17, 19, 20, 20+, 20+, 20+, 20+. Diketahui: deductible 4 dan cakupan maksimum 20. Tentukan risk set r j. 18
Bab 2: Penaksiran Parameter Model (Parametrik) Model (risiko) akan memberikan manfaat jika diaplikasikan pada data dengan terlebih dahulu menaksir parameter yang membangun model tersebut. Penaksiran parameter dapat dilakukan dengan metode parametrik atau non parametrik. Metode (Kecocokan) Momen dan Persentil Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak dari X yang memiliki distribusi dengan fungsi peluang f( ; θ). Parameter θ = (θ 1,..., θ k ) dapat ditaksir dengan metode momen melalui momen sampel ke-k, µ r = Xr 1 + + Xn r, n untuk r = 1,..., k. Contoh 1: Diketahui sampel acak dari distribusi dengan fungsi peluang P (N = n) = θ(1 θ) n, n = 0, 1, 2,... Penaksir θ adalah solusi θ dari persamaan E(N) = 1 θ θ Diperoleh: θ = 1 1+ N. = N 1 + + N n n = N. Contoh 2a: Tentukan penaksir θ untuk sampel acak yang diambil dari distribusi U(0, θ). Contoh 2a (lanjutan): Sampel acak berukuran 15 dari kerugian X (dengan aturan policy limit 15) adalah sebagai berikut: 2, 3, 4, 5, 8, 8, 9, 10, 11, 11, 12, 12, 15, 15, 15. Jika X U(0, θ), tentukan penaksir untuk θ. 19
Solusi: Momen pertama untuk kerugian X dengan policy limit u adalah E(X u) = u 0 S X (x) dx = u u2 2θ. Untuk u = 15 dan mean sampel X = 28/3, diperoleh θ = Contoh 2b: Untuk sampel acak X 1,..., X n dari distribusi U(α, β), penaksiran parameter (α, β) dengan metode momen dilakukan melalui dan E(X) = α + β 2 E(X 2 ) = (β α)2 12 + (E(X)) 2. Diperoleh: α = ; β =. Perhatikan min(x 1,..., X n ) dan maks(x 1,..., X n ). Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak dari X yang memiliki distribusi dengan fungsi distribusi F ( ; θ). Parameter θ = (θ 1,..., θ k ) dapat ditaksir dengan metode persentil atau kuantil sebagai berikut. Perhatikan 0 < δ 1,, δ k < 1. Misalkan δ i = F (x δi ; θ) atau x δi = F 1 (δ i ; θ). Nilai x δi (θ) dikatakan sebagai persentil ke-δ 1 (100) atau kuantil-δ i dari distribusi X dengan parameter θ. Jadi, penaksir metode persentil adalah x δi ( θ) = X δi, untuk i = 1,..., k, dengan X δi menyatakan persentil-δ i sampel. Contoh-1: Misalkan sampel acak X 1,..., X n dari X yang memiliki fungsi distribusi F (x; α, λ) = 1 e ( x λ) α. 20
Kuantil δ 1, δ 2, yang bersesuaian dengan parameter θ = (θ 1, θ 2 ), adalah ( xδi λ ) α = log(1 δi ), i = 1, 2. Diperoleh: α = ; λ = Contoh-2: Pada sampel acak Pareto dengan parameter (α, γ), kita punyai δ i = 1 ( Diperoleh: α log ( ) α γ, i = 1, 2. x δi + γ γ x δi +γ Dapatkah kita menentukan γ? Latihan-1 ) = log(1 δ i ). Sampel acak berukuran 10 diambil dari distribusi dengan fungsi peluang f(x) = 1 2 ( 1 θ e x/θ + 1 ) σ e x/σ, x > 0, θ > σ. Diketahui: x i = 150, x 2 i = 5000. Tentukan penaksir untuk θ dengan metode momen. Solusi: Momen pertama dan kedua populasi adalah E(X) = θ + σ ; E(X 2 ) = θ 2 + σ 2. 2 Dengan menyelaikan persamaan θ + σ = 30 dan θ 2 + σ 2 = 500 diperoleh θ = 20. Latihan-2 Sampel acak yang menyatakan waktu klaim hangus adalah 3, 4, 4, 6, 7, 8, 8, 9, 11, 12. Diketahui waktu kesintasannya S(t) = 1 θt+1. 21
Tentukan penaksir untuk θ menggunakan metode (i) momen, (ii) persentil (berdasarkan persentil ke-50). Solusi: Metode momen tidak dapat digunakan karena mean waktu klaim hangus adalah tak hingga. Metode persentil ke-50 atau median memberikan nilai θ = 2/15. Catatan: Median diperoleh melalui S(m d ) = 1 θm d +1 = 1/2 atau m d = 1/θ Latihan-3 Kerugian acak X memiliki fungsi distribusi: F (x) = (x/θ)γ 1 + (x/θ) γ. Sampel acak yang diperoleh adalah 10, 35, 80, 86, 90, 120, 158, 180, 200, 210, 1500. Taksir θ dengan persentil ke-40 dan ke-80. Solusi: Persentil ke-40 dan ke-80 sampel adalah (86-90)() dan (200-210)(206). Diperoleh: θ = Latihan-4 Misalkan peubah acak X memiliki fungsi distribusi: F (x) = 0, x < 0; F (x) = 1 p, x = 0; F (x) = 1 pe θx, x > 0. Parameter θ ditaksir dengan menggunakan metode momen dan persentil. Sampel yang diambil memberikan informasi berikut: - mean sampel 2.8; momen kedua sampel 29 - persentil ke-60 sampel 2.3; persentil ke-80 sampel 5.2 Diketahui: p 0.5. 22
Solusi: Momen pertama dan kedua adalah E(X) = p/θ dan E(X 2 ) = 2p/θ 2. Diperoleh: θ = (2)(2.8) 20 = 1.93() (dan p = 0.54(0.69)) Latihan-5 Diberikan sampel acak berikut: 7, 12, 15, 19, 26, 27, 29, 29, 30, 33, 38, 53. Taksir P (X > 30) menggunakan metode persentil ke-25 dan ke-75 jika sampel acak tersebut diambil dari distribusi dengan F (x) = 1 1 1+(x/θ) α. Solusi: Persentil ke-25 dan ke-75 adalah 16 dan 32.25. Diperoleh α = 3.135 dan θ = 22.715. 1 Jadi, penaksir P (X > 30) adalah 1 F (30) = = 0.295. 1+(x/ θ) α Latihan-6 Diketahui persentil ke-25 dan ke-75 dari sampel acak kerugian, berturut-turut, adalah 6 dan 15. Tentukan VaR 0.99 (asumsikan distribusi kerugian adalah Weibull dan Lognormal). Solusi: (a) 30.1924, (b) 46.0658 Latihan-7 Diketahui X N(Λ, 1) dan Λ N(1, 1). Tentukan persentil ke-95 dari X. Solusi: Diketahui: E(X Λ) = Λ, V ar(x Λ) = 1 dan E(Λ) = V ar(λ) = 1. Diperoleh: E(X) = E(E(X Λ)) = E(Λ) = 1 dan V ar(x) = V ar(e(x Λ)) + E(V ar(x Λ)) = V ar(λ) + E(1) = 1 + 1 = 2. Persentil ke-95 dari X adalah x 0.95 sehingga P (X x 0.95 ) = P ( X 1 x ) ( ) 0.95 1 x0.95 1 = Φ = 0.95. 2 2 2 Diperoleh: x 0.95 = 10/3. 23
Metode Likelihood Maksimum Metode likelihood maksimum untuk penaksiran parameter memerlukan fungsi likelihood. Fungsi ini dibangun melalui perkalian fungsi peluang setiap sampel acaknya, L(θ; x) = f(x 1 ; θ) f(x 2 ; θ) f(x n ; θ), yang dipandang sebagai fungsi dari parameter θ. Penaksir θ ditentukan dengan memaksimumkan fungsi log-likelihood. Contoh: Untuk sampel acak berdistribusi normal dengan parameter (µ, σ 2 ), fungsi likelihoodnya adalah L(θ; x) = (σ 2 ) n/2 exp Fungsi log-likelihoodnya: ( 1 2σ 2 ) n (X i µ) 2. i=1 l(θ; x) = log L(θ; x) = n 2 log(σ2 ) 1 2σ 2 n (X i µ) 2. i=1 Perhatikan turunan pertama dan kedua fungsi log-likelihood terhadap parameter µ: l(θ; x) µ = 1 n (X σ 2 i µ); 2 l(θ; x) = n µ 2 σ 2 i=1 dan terhadap parameter σ 2 : l(θ; x) σ 2 = n 2σ 2 + 1 2(σ 2 ) 2 n (X i µ) 2 i=1 dan 2 l(θ; x) (σ 2 ) 2 = n 2(σ 2 ) 2 1 (σ 2 ) 3 n (X i µ) 2. i=1 Apa yang dapat kita katakan tentang E ( ) 2 l(θ; X)? θ 2 24
Latihan-1 Misalkan X 1, X 2, X 3 peubah acak-peubah acak Poisson yang saling bebas namun tidak berdistribusi identik; parameter: θ, 2θ, 3θ. Tentukan penaksir likelihood maksimum untuk θ. Solusi: Fungsi likelihood: L(θ; x) = f(x 1 ) f(x 2 ) f(x 3 ) = e 6θ θ x 1+x 2 +x 3 2 x 2 3 x 3 k sedangkan fungsi log-likelihood: l(θ; x) = 6θ + (x 1 + x 2 + x 3 ) log(θ) + k. Diproleh: θ = X 1+X 2 +X 3 6. Latihan-2 Banyak klaim yang masuk berdistribusi binomial negatif dengan parameter p (tidak diketahui) dan r (diketahui). Tentukan penaksir untuk p dengan menggunakan sampel acak berukuran n. Solusi: Fungsi peluang: C k+r 1 k p k (1 p) r, k = 0, 1, 2,.... Penaksir p = Latihan-3 Tentukan penaksir likelihood maksimum θ dengan memanfaatkan sampel acak: 1,3,4,4,5,7 dari distribusi dengan fungsi peluang f(x; θ) = 1 2 x2 θ 3 e θx. Latihan-4 Diketahui fungsi peluang f(x; θ) = 2x/θ 2 untuk 0 x θ dengan θ > 6. Jika diketahui: x 1 = 2, x 2 = 2, x 3 = 5, x 4 > 6, tentukan penaksir θ ML. 25
Latihan-5 Diberikan informasi sebagai berikut: - sampel acak eksponensial dengan mean λ, - penaksir λ ditaksir dengan sampel acak berukuran n yang cukup besar, - P (X > 1) ditaksir oleh e 1/ λ. Jika λ = X, tentukan variansi penaksir untuk P (X > 1). Latihan-6 Diketahui kerugian pembayaran berdistribusi gamma dengan mean tidak diketahui; namun diketahui α = 2. Sampel acak yang diambil untuk menaksir θ adalah 100,200,400,800,1400,3100. Tentukan variansi (asimtotik) untuk θ. 26