FUNGSI SMTS 0 / SKS LOGIK MTEMTIK Disusun Oleh : Dr. Noerynti, M.Si 6
DFTR ISI Cover pokok hsn... 6 Dftr isi... 6 Judul Pokok hsn... 64 6.. Pengntr... 64 6.. Kompetensi... 64 6.. Urin Mteri... 64 6.. Definisi Fungsi... 64 6.. Fungsi Stun dn Fungsi konstn... 66 6... Kesmn Fungsi... 68 6..4 Fungsi Injektif, Surjektif dn ijektif... 69 6..5 Penjumlhn Fungsi... 7 6..6 Pergndn Fungsi... 7 Ringksn... 80 Sol dn Penyelesin... 8 Sol-sol Ltihn... 0 6
Dr. Noerynti, M.Si F U N G S I 6.. Pengntr. Mteri pokok ini merupkn ksus khusus dri sutu Relsi. Topik yng dierikn merupkn konsep dsr yng memerikn gmrn mengeni sutu fungsi, fungsi invers, fungsi ijektif, penjumlhn fungsi dn pergndn fungsi. 6.. Kompetensi: Setelh mempeljri mteri pokok hsn ini, mhsisw dihrpkn:. Mmpu menggunkn konsep-konsep dsr sutu fungsi ser enr.. Mmpu melkukn hitungn-hitungn dlm opersi-opersi penjumlhn dn pergndn sutu fungsi.. Termpil dlm mengerjkn sol-sol kuis / ltihn. 6.. Urin Mteri nyk pendektn yng ditempuh untuk mendefinisikn sutu fungsi. Dlm pokok hsn disini, sutu fungsi kn didefinisikn lngsung erdsrkn du himpunn dn, dn jug didefinisikn erdsrkn pergndn krtesius. Dlm hl ini sutu fungsi merupkn kedn khusus dri sutu relsi. Mislkn setip unsur sutu himpunn dikitkn dengn tept stu unsur dri himpunn, r pengkitn seperti ini diseut fungsi tu pemetn dri ke dinytkn segi: f : tu f 6... Definisi Fungsi: Sutu fungsi f dri himpunn ke himpunn dlh sutu turn yng menghuungkn setip unsur dengn stu dn hny stu unsur. Dinytkn segi: 64
f : jik dn hny jik ( )(! ) f ( ) = Unsur tunggl di yng dikitkn dengn oleh f dieri notsi f() diseut pet dri oleh f. Himpunn ini diseut domin f dn diseut kodomin dri f. Derh hsil dri fungsi f dieri notsi f[] yitu himpunn petpet, dinytkn segi f[ ] = { f ( ) / }. f[] ini jug diseut himpunn semu yngn-yngn (imge) dri unsur-unsur. Contoh (6.): Mislkn f mengkitkn setip ilngn rel dengn kudrtny. Sehingg, pil x ilngn riil, mk f(x) = x. Misl: x f(x) = x Pet dri dlh 9, dn ditulis f(-) = 9 tu f : - 9 Contoh (6.): Mislkn = {,,, d} dn = {,, }. Cr mengkitkn,, dn d merupkn fungsi dri ke. Disini f() =, f() =, f() = dn f(d) =. Derh hsil f dlh {, }, dn ditulis f[] = {, } d Contoh (6.): Mislkn R himpunn ilngn riil, dn f : R R mengitkn setip ilngn rsionl dengn dn setip ilngn tidk rsionl dengn. Jdi 65
Dr. Noerynti, M.Si f(x) =, jik xrsionl,jikxtidk rsionl ; f erkisr ntr dn : f[r] = {, -}. Contoh (6.4): Mislkn = {,,, d} dn = {x, y, z}. Fungsi f : didefinisikn dengn digrm erikut. Tmpk hw: x f() = y, f() = x, f() = z dn f(d) = y. Selin itu f[] =, yng errti y derh hsil dn ko-dominny z identik ( sm ). d Contoh (6.5): Mislkn dn didefinisikn dengn digrm erikut : f[] = {f( ), f( ), f( ), f( 4 )} = {,,, } = {,, } 4 4 Cttn: Contoh-ontoh dits, memperlihtkn hw setip unsur pd domin dri f (yitu ) mempunyi kwn tunggl di, tetpi tidk selikny. 6... Fungsi Stun dn Fungsi Konstn mil semrng himpunn. 66
Dientuk fungsi f : yng didefinisikn oleh rumus f(x) = x, mk f diseut fungsi stun pd, ditulis tu. Jug diktkn segi sutu fungsi terhdp diriny sendiri. Contoh (6.6): = {,, } = { f() = / } Sutu fungsi f dri ke diseut fungsi konstn, jik elemen yng sm, ditetpkn untuk setip elemen dlm. Dengn kt lin, f : diktkn fungsi konstn jik jngkun (rnge) dri f hny terdiri dri stu elemen. Contoh (6.7): Fungsi f didefinisikn oleh digrm seelh kiri, mk f ukn sutu fungsi konstn, se ko-domin dri f terdiri dri dn Contoh (6.8): Fungsi f didefinisikn oleh digrm seelh kiri, mk f dlh fungsi konstn, kren ditetpkn untuk setip elemen. 67
Dr. Noerynti, M.Si 6... Kesmn Du Fungsi Mislkn du fungsi f dn g didefinisikn pd domin D yng sm yitu f : dn g: C. Jik f() = g() untuk setip D, mk fungsi-fungsi f dn g diktkn sm, ditulis f = g, didefinisikn segi : f = g jik dn hny jik( ) f()=g() Selikny : f g jik dn hny jik ( ) f() g() Contoh (6.9): Jik fungsi f didefinisikn oleh rumus f(x)=x, dimn x dlh ilngn riil dn g didefinisikn oleh rumus g(x) = x, dimn x dlh ilngn kompleks, mk fungsi f tidklh sm dengn g kren merek memiliki domin yng ered. Domin dri f : himpunn semu ilngn riel. x f(x)=x x gx)=x Domin dri g: himpunn semu ilngn kompleks jdi f g, kren Dominny ered Contoh (6.0): 4 Sutu fungsi f didefinisikn oleh digrm seelh kiri. Mislkn seuh fungsi g didefinisikn oleh rumus g(x) = x dimn domin g dlh {, }. Mk f = g, se keduny memiliki domin yng sm dn untuk f dn g menetpkn yngn yng sm untuk tip-tip elemen dlm dominny 68
6..4. Fungsi Injektif, Surjektif dn ijektif Mislkn f sutu fungsi dri ke dlm. Mk f diseut fungsi injektif (stu-stu) jik setip unsur-unsur dlm ditetpkn dengn tunggl unsur-unsur dlm, rtiny tk d du uh elemen dlm yng mempunyi yngn yng sm. Ditulis: f : diseut injektif (stu-stu) jik xy, f(x) = f(y) mk x = y tu xy, x y mk f(x) f(y) Contoh (6.): Mislkn fungsi f : R # R # didefinisikn oleh rumus f(x) = x. Mk f ukn fungsi stu-stu kren f() = f(-) = 4, yitu yngn dri du ilngn riil yng ered ykni dn, dlh ilngn yng sm, yitu 4. Keterngn: x f(x)=x - f()= f(-)=4 f ukn fungsi injektif Contoh (6.): Mislkn fungsi f : R # R # didefinisikn oleh rumus f(x) = x. Mk f dlh fungsi stu-stu kren pngkt tig dri du ilngn riil yng ered jug ered. Keterngn: f()=8 x f(x)=x - f(-)=-8 f merupkn fungsi injektif 69
Dr. Noerynti, M.Si Mislkn f sutu fungsi dri ke. Mk f() dri f dlh suset (himpunn gin) dri, tu f(). Jik f() =, rtiny jik setip unsur munul segi yngn dri sekurngkurngny stu unsur dlm, mk diktkn f sutu fungsi surjektif dri ke. Fungsi f ini jug diseut fungsi pd (onto funtion). f : diseut surjektif jik f() = Contoh (6.): Mislkn fungsi f : R # R # didefinisikn oleh rumus f(x) = x (liht ontoh 6.). Mk f ukn sutu fungsi surjektif, kren ilngn-ilngn negtif tk munul dlm dri f, yitu tidk d ilngn negtif yng merupkn kudrt seuh ilngn riil....... 0 -............ 0 -...... Keterngn: Mislny f : f[] = {x/ x 0} f[] jdi fungsi f tidk surjektif Contoh (6.4): Mislkn f : dlh sutu fungsi dri = {,,, d} ke {,, } d. f() = ; f() = ; dn f(d) =. diperoleh f() = {, }. Kren = {,, }, mk jngkun dri f tidk sm dengn koodominny, jdi f tidk surjektif 70
Contoh (6.5): Mislkn dlh himpunn ilngn riel dn himpunn ilngn riel non negtif. Dientuk perkwnn f dri ke didefinisikn segi f(x) = (x ) x f(x) = (x ) Keterngn: f : 0-9 ½ 0-5 -½ 4 dn liny f merupkn fungsi surjektif Jik sutu fungsi f dri ke ersift injektif (stu-stu) dn sekligus surjektif (pd), mk fungsi f diseut ijektif. Contoh (6.6): Mislkn S dlh himpunn ilngn-ilngn positif dn T dlh himpunn ilngn-ilngn riel. Dientuk perkwnn : f = S T dengn rumus ukti : f s = log s. kn ditunjukkn hw f ijektif. S = { x / x 0 } dn T = { x / x = ilngn riil } S... 000 00 0 0 T f f : S T...... 0. 0 log 0 = 0 0 log 0 = 00 log 00 =.... dst dst f ersift injektif jug surjektif. mk f dlh ijektif 7
Dr. Noerynti, M.Si 6..5. Penjulhn Sutu Fungsi Mislkn fungsi f dri ke dn g dri ke, mk penjumlhn fungsi f dn g didefinisikn segi : (f + g) x = f(x) + g(x), untuk setip x. Contoh (6.7): Jik fungsi f :, dengn rumusn f(x) = x + dn g :, dengn rumusn g(x) = x Mk : (f + g) x = f(x) + g(x) = x + + x = x + x 6..6. Pergndn Sutu Fungsi Mislkn fungsi f dri ke dn fungsi g dri ke C. Dimn merupkn ko-domin dri f tetpi jug merupkn dominy dri g. dpt disjik seperti digrm erikut ini : f g C f() = g() = g (f()) Du fungsi f dn g dpt digndkn ditulis g o f tu g f sj, jik dn hny jik ko-domin dri f sm dengn domin dri g. 7
Jdi jik f : dn g : C, mk go f: C dengn (go f)() = g(f()) untuk setip. f g C go f Contoh (6.8) : () Mislny f : dn g : C yng didefinisikn seperti digrm di wh ini C f g x r y z s t Mk: (g o f) () = g (f()) = g (y) = t (g o f) () = g (f()) = g (z) = r (g o f) () = g (f()) = g (y) = t (). Dimil, dn C himpunn-himpunn ilngn riil. Jik fungsi f dn g didefinisikn segi f(x) = x dn g(x) = x + Mk : (g o f) x = g (f(x)) = g (x ) = x + (f o g) x = f (g(x)) = f (x + ) = (x + ) = x + 6x + 9 Jdi g o f f o g isny pergndn fungsi tidk ersift komultif, tetpi ersift ssositif. Seperti diilustrsikn erikut ini : mil semrng fungsi-fungsi f : ; g : C dn h : C D 7
Dr. Noerynti, M.Si Dientuk pergndn fungsi-fungsi s: () f g C h D g o f h o (g o f) g o f : C dn kemudin fungsi ho (g o f) : D...() () f g C h D (h o g) o f h o g h o g : D dn kemudin fungsi (h o g) o f : D... () Hsil dri () dn () diperoleh fungsi-fungsi () h o (g o f) : D dn () (h o g) o f : D Sehingg h o (g o f) = (h o g) o f. Disingkt h o g o f : D. (tnp tnd kurung) 6..7. Fungsi Invers Mislkn f sutu fungsi dri ke dlm, dn mislkn. Mk invers dri, dinytkn oleh f ( ), yng terdiri dri elemen-elemen yng dipetkn pd, yitu elemen-elemen dlm yng memiliki segi yngnny. 74
Jik fungsi f : mk fungsi inversny f ( ) = {x x, f(x) = } Perhtikn hw f ( ) dlh seuh himpunn gin dri, dn f di segi f invers tu invers dri fungsi f. Contoh (6.9): Mislkn fungsi f : didefinisikn oleh digrm erikut ini: f x y z Mk f ( x) = {, }, kren ik mupun keduny memiliki x segi titik yngn merek. Jug f ( y) = {}, kren hny yng dipetkn kepd y. Invers dri z, f ( z) dlh himpunn kosong,, kren tidk d elemen dlm yng dipetkn ke z. Contoh (6.0): Mislkn f : R # R #, dri ilngn-ilngn riel yng didefinisikn oleh entuk f(x) = x. Mk f (4) = {, -}, kren 4 dlh yngn dri mupun dn tidk d ilngn riel lin yng kudrtny dlh 4. Perhtikn hw f ( ) =, kren tk d unsur dlm R # yng kudrtny dlh. Contoh (6.): 75
Dr. Noerynti, M.Si Mislkn f sutu fungsi dri ilngn-ilngn kompleks ke dlm ilngn-ilngn kompleks, dimn f didefinisikn oleh entuk f(x) = x. Mk f ( ) = {. i.i}, kren kudrt dri tip-tip ilngn ini dlh. Perlusn definisi invers dri fungsi. Mislkn f : dn mislkn D sutu himpunn gin dri, yitu D. Mk invers dri D di wh pet f yng dinytkn oleh f ( D), terdiri dri elemen-elemen dlm yng dipetkn pd eerp elemen dlm D. Ditulis segi: f (D) = {x x, f(x) D} Contoh (6.): Mislkn fungsi f = didefinisikn oleh digrm x r y s z t Mk f ({r, s}) = {y}, kren hny y yng dipetkn kepd r tu s. Jug f ({r, t}) = {x, y, z} =, kren tip-tip elemen dlm memiliki r tu t segi inversny. Contoh (6.): Mislkn f = R # R # didefinisikn oleh f(x) = x, dn D = [4, 9] = {x 4 x 9} Mk f (D) = { x - x - tu x } 76
Contoh (6.4): Mislkn f : dlh serng fungsi. Mk f () =, kren setip elemen dlm memiliki yngnny dlm. Jik f () menytkn jngkun dri fungsi f, mk f (f()) = Selnjutny, jik, mk f ()= f ({}). Disini f mempunyi du rti, yitu segi invers dri seuh elemen dn segi invers dri himpunn gin. Mislkn f sutu fungsi dri ke dlm. Pd umumny, f () dpt terdiri dri leih dri stu elemen tu mungkin himpunn kosong, Jik f : dlh sutu fungsi injektif dn fungsi surjektif,mk untuk tip-tip, invers f () kn terdiri dri seuh elemen tunggl dlm. Dengn demikin, sutu turn yng menetpkn untuk tip-tip, sehingg elemen tunggl f (). Oleh se itu f dlh sutu fungsi dri ke dn ditulis segi: f : fi. Dlm kedn ini, il f : dlh injektif (stu-stu) dn surjektif (pd), diktkn f fungsi ijektif dn mempunyi invers, mk invers dri f. f diseut fungsi Contoh (6.5): Mislkn fungsi f : didefinisikn oleh digrm erikut: f x y z 77
Dr. Noerynti, M.Si Perhtikn hw f dlh fungsi stu-stu dn pd. Sehingg f merupkn fungsi invers dri f, dn dpt digmrkn f : dengn digrm. f - x y z Perhtikn hw jik dirhkn nk pnh dlm rh yng terlik dri digrm f mk diperoleh digrm dri f. Contoh (6.6): Mislkn fungsi f : didefinisikn oleh digrm f x y z Kren f() = y dn f() = y, mk fungsi f tidk stu-stu. Dengn demikin fungsi invers f tidk d. Jik f (y) = {, }, mk tidk dpt menetpkn dn kedu-duny untuk elemen y. Contoh (6.7): Mislkn f : R # R #, ilngn-ilngn riil yng didefinisikn oleh f(x) = x. Perhtikn hw f dlh stu-stu dn pd. Oleh kren itu f = R # R # 78
d. Pd kenytnny dipunyi sutu entuk yng dpt mendefinisikn fungsi invers ini, yitu f () x = x Mislkn sutu fungsi f : mempunyi fungsi invers f =. Mk dpt diliht dri digrm erikut : f f f o f hw kit dpt mementuk hsilkli fungsi ( ke dlm, dn tmpk dri digrm erikut : f o f ) yng memetkn f -- f f o f - ke dlm. hw kit dpt mementuk hsilkli fungsi (f o f ) yng memetkn Mislkn sutu fungsi f : dlh stu-stu dn pd yng errti fungsi invers f : d. Mk hsilkli fungsi ( f o f) : ; dlh fungsi stun pd, dn hsilkli fungsi (f o pd. f ) : ; dlh fungsi stun Jik f : dn g :, mk g dlh fungsi invers dri f yng errti hw g = f. Hsilkli fungsi (g o f) : dlh fungsi stun pd, dn (f o g) : dlh fungsi stun pd. 79
Dr. Noerynti, M.Si Contoh (6.8): Mislkn = {x, y} dn = {,, }. Didefinisikn sutu fungsi f : dengn digrm () di wh ini. Sekrng definisikn sutu fungsi g : dengn digrm () di ts. x y () () x y Dihitung fungsi (go f) : (g o f) (x) = g (f(x)) = g () = x (g o f) (y) = g (f(y)) = g () = y Dengn demikin hsilkli fungsi (go f) dlh fungsi stun pd. Tetpi g ukn fungsi invers dri f kren hsilkli fungsi (fo g) ukn fungsi stun pd, jdi f ukn fungsi surjektif (pd). Rngkumn.. Sutu fungsi f dri himpunn ke himpunn dlh sutu turn yng menghuungkn setip unsur dengn stu dn hny stu unsur. Dinytkn segi: f : jik dn hny jik ( )(! ) f ( ) =. Jik sutu fungsi f : mk setip unsur, f() diseut pet dri. diseut domin f dn diseut ko-domin dri f. f[] dlh derh hsil dri fungsi f yitu himpunn pet-pet, yitu f[ ] = { f ( ) / }. f[] ini jug diseut himpunn semu yngnyngn (imge) dri unsur-unsur. 80
. Fungsi f : yng didefinisikn oleh rumus f(x) = x, diseut fungsi stun pd, ditulis tu. mislny: = {,, } = { f() = / } 4. Sutu fungsi f dri ke diseut fungsi konstn, jik elemen yng sm, ditetpkn untuk setip elemen dlm. tu f : diktkn fungsi konstn jik jngkun (rnge) dri f hny terdiri dri stu elemen. 5. Jik du fungsi f dn g didefinisikn segi f : dn g: C. dengn domin D yng sm. Jik f() = g() untuk setip D, mk fungsi-fungsi f dn g diktkn sm, ditulis f = g jik dn hny jik.( ) f()=g(). Selikny f g jik dn hny jik ( ) f() g() 6. Sutu fungsi f : diseut injektif (stu-stu) jik xy, f(x) = f(y) mk x = y tu xy, x y mk f(x) f(y) 7. Sutu fungsi f : diseut surjektif jik f() = 8. Jik sutu fungsi f dri ke ersift injektif (stu-stu) dn sekligus surjektif (pd), mk fungsi f diseut ijektif. 9. Mislkn fungsi f dri ke dn g dri ke, mk penjumlhn fungsi f dn g didefinisikn segi :(f + g) x = f(x) + g(x), untuk setip x. 0. Mislkn fungsi f dri ke dn fungsi g dri ke C. Dimn merupkn ko-domin dri f tetpi jug merupkn dominy dri g. dpt disjik seperti digrm erikut ini : f g C f() = g() = g (f()) 8
Dr. Noerynti, M.Si. Du fungsi f dn g dpt digndkn ditulis g o f, jik dn hny jik ko-domin dri f sm dengn domin dri g. Jdi jik f : dn g : C, mk go f: C dengn (go f)() = g(f()) untuk setip. g C f go f Pergndn fungsi tidk ersift komultif yitu f og g o f Pergndn fungsi ersift sositif Mislny fungsi f : ; g : C dn h : C D f g C h D g o f h o(g o f) g o f : C dn kemudin fungsi ho (g o f) : D...() f g C h D (h og) of h o g 8
h o g : D dn kemudin fungsi (h o g) o f : D... () () dn () diperoleh fungsi-fungsi () h o (g o f) : D dn () (h o g) o f : D Sehingg h o (g o f) = (h o g) o f. Disingkt h o g o f : D. (tnp tnd kurung). Mislkn f sutu fungsi dri ke dlm, dn mislkn. Mk invers dri, dinytkn oleh f ( ), yng terdiri dri elemen-elemen yng dipetkn pd, yitu elemen-elemen dlm yng memiliki segi yngnny. Jik fungsi f : mk fungsi inversny f ( ) = {x x, f(x) = }. Perlusn invers dri fungsi. Misl dikethui f : dn D. Mk invers dri D di wh pet f yng dinytkn oleh f ( D), terdiri dri elemenelemen dlm yng dipetkn pd eerp elemen dlm D. Ditulis segi: f (D) = {x x, f(x) D}. Sol-sol dn Penyelesin. Nytkn pkh tip-tip digrm erikut ini mendefinisikn sutu fungsi dri = {,, } ke dlm = {x, y, z} tu tidk. x x x y y y z z z () () () () Tidk. Tidk d yng ditetpkn untuk elemen. () Tidk. Du elemen x dn z, ditetpkn untuk elemen. Dlm sutu fungsi hnylh stu elemen yng ditetpkn gi elemen dlm domin. 8
Dr. Noerynti, M.Si () Y. dlh mungkin dlm fungsi dimn elemen yng sm dlm kodomin ditetpkn gi leih dri stu elemen dlm domin.. Pergunkn sutu rumus untuk mendefinisikn kemli fungsi-fungsi erikut ini : () Untuk setip ilngn riil, f menetpkn pngkt tigny. () Untuk tip-tip ilngn riil, f menetpkn ilngn 5. () Untuk tip-tip ilngn positif, f menetpkn kudrtny dn untuk ilngn-ilngn riil linny, f menetpkn ilngn 4. () Fungsi f dlh pemetn dri R # ke dlm R # dpt didefinisikn oleh f(x) = x () Kren f menetpkn 5 untuk setip ilngn kit dpt mendefinisikn f dengn f( )= 5. () Kren d du turn yng ered yng digunkn dlm mendefinisikn f, mk kit mendefinisikn f segi erikut : > x jik; x 0 f (x) = 4 jik; x 0. Yng mn dri pernytn-pernytn erikut ini ered dri yng linny dn mengp? () f sutu fungsi dri ke dlm (4). f () f : (5). f pemetn dri ke dlm. () f : x f(x) ered dri yng linny. Kren tidk dikethui domin dn ko-dominny dlm (), mengingt untuk yng linny dikethui hw dlh domin dn ko-domin. 84
4. Mislkn f(x) = x mendefisikn sutu fungsi pd selng tertutup x 8. Crilh (). f(4); (). f(-); (). f(t ). () f(4) = 4 = 6 () f(-) tidk mempunyi rti, yng errti tk terdefinisikn kren tidk erd dlm domin dri fungsi. () f(t -) = (t - ) = t - 6t + 9. Tetpi rumus ini hnylh enr jik t erd dlm dominny, yitu t 8. Dengn kt lin, t hrus memenuhi t. 5. Mislkn fungsi f : R # R # didefinisikn oleh : jik x rsionl f(x) = jik x irsionl () Nytkn f dlm kt-kt. () Crilh ( ) f, f( π ), f(....), dn f( ). () Fungsi f menetpkn ilngn untuk tip-tip ilngn rsionl dn ilngn untuk tip-tipilngn irsionl. () Kren dlh ilngn rsionl mk ( ) =. f Kren π dlh ilngn irsionl mk f( π ) =. Kren, dlh desiml erulng yng menytkn sutu ilngn rsionl mk f(,..) =. Kren dlh irsionl mk f( ) =. 6. Mislkn fungsi f : R # R # didefinisikn oleh x jik x > f(x) = x jik x x + jik x < Crilh : () f(), () f(4), () f(-), (d) f(-) 85
Dr. Noerynti, M.Si () Kren erd dlm selng tertutup [-, ], mk digunkn rumus f(x) = x -. Oleh kren itu f() = = 4 =. () Kren 4 termsuk selng (, ) mk dipergunkn rumus f(x) = x -. Jdi f(4) = (4) = =. () Kren erd dlm selng [-, ], mk kit pergunkn rumus f(x) = x -. Diperoleh f(-) = (-) - = =. (d) Kren leih keil dripd, yng errti termsuk selng teruk (-, -) mk digunkn rumus f(x) = x+. Jdi f(-) = -6 +=-. Perhtikn hw hny terdpt stu fungsi yng didefinisikn meskipun d tig rumus yng digunkn untuk mendefinisikn f. 7. Mislkn = {,, } dn = {, 0}. erp nyk fungsi-fungsi yng ered yng dpt dientuk dri ke, dn p sj? ut dftr semu fungsi dri ke dengn digrm-digrm. Dlm tip-tip fungsi ditetpkn tu 0, tetpi tidk kedu-keduny, untuk tip-tip elemen dlm. f f 5 0 0 f f 6 0 0 f 0 86 f 7 0
f 4 0 f 8 0 Perhtikn hw d terdpt delpn uh fungsi. 8. Mislkn = {,,, 4, 5}. Definisikn fungsi f : dengn digrm 4 4 5 5 Tentukn jngkun dri fungsi f? Jngkun (rnge) terdiri dri semu titik yngn. Oleh kren itu hny ilngn-ilngn, dn 5 yng munul segi titik-titik yngn, mk jngkun dri f[]dlh himpunn {,, 5}. 9. Mislkn W = {,,, d}. Dientuk fungsi f dri W ke W didefinisikn segi f() =, f() =, f() =, f(d) =. Crilh jngkun dri fungsi f : W W Jngkun dri f terdiri dri elemen-elemen yng munul segi titik-titik yngn. Sehingg dn yng munul segi titik-titik yngn dri elemen-elemen W. Oleh se itu, jngkun dri f dlh {, }. 0. Mislkn V = {-, -, 0,, }. Dientuk fungsi g : V R # didefinisikn oleh rumus: g(x) = x + Crilh jngkun dri g. 87
Dr. Noerynti, M.Si Dihitung yngn dri tip-tip elemen dlm V, yitu: g(-) = (-) + = 4 + = 5 g() = () + = + = g(-) = (-) + = + = g() = () + = 4 + = 5 g(0) = (0) + = 0 + = Jdi jngkun dri g dlh himpunn dri titik-titik yngn {5,,,, 5} = himpunn {5,,}. Tip-tip rumus erikut mendefinisikn sutu fungsi dri R # ke R #. Crilh jngkun dri tip-tip fungsi. (). f(x) = x (). g(x) = sin x, (). h(x) = x + () Setip ilngn riil memiliki sutu kr pngkt tig yng riil ; oleh kren itu ( ) ( ) f = = Jdi, jngkun dri f dlh himpunn dri semu ilngn-ilngn riil. () Sinus dri serng ilngn riil terletk dlm selng tertutup [-, ]. Dn, semu ilngn-ilngn dlm selng ini dlh sinus dri serng ilngn riil. Mk jngkun dri g dlh selng [-, ]. () Jik ditmhkn pd tip-tip ilngn riil, kit peroleh himpunn ilngn-ilngn yng leih esr dripd tu sm dengn. Dengn perktn lin, jngkun dri h dlh selng tk erhingg [, ].. Mislkn fungsi-fungsi f, f, f, f 4 dri R # kedlm R # didefinmisikn oleh. () f(x) = x (). f(z) = z () f(y) = y (d). f 4 menetpkn kudrt tip-tip ilngn riil. Tentukn fungsi-fungsi yng sm. Merek semuny sm. Tip-tip fungsi menetpkn ilngn yng sm untuk setip ilngn riil. 88
. Mislkn fungsi-fungsi f, g dn h didefinisikn oleh : () () () f(x) = x dimn 0 x g(y) = y dimn y 8 h(z) = z dimn z ε R # Tentukn yng mn dri fungsi-fungsi ini yng sm? Tk d stu fungsipun yng sm. Meskipun turn-turn korespondensi sm, derh definisiny ered. Jdi fungsi-fungsiny ered. 4. Mislkn = {x,y} dn = {,,, d}. Fungsi terliht seperti pd digrm erikut pkh ersift injektif tukh surjektif? x y d f merupkn fungsi injektif (stu-stu) 5. Mislkn = {,,, d, e}, dn himpunn dri huruf-huruf dlm jd. Dientuk fungsi-fungsi f, g dn h dri ke didefinisikn oleh : () f() = r, f() =, f() = s, f(d) = r, f(e) = e () g() =, g() =, g() = e, g(d) = r, g(e) = s () h() = z, h() = y, h() = x, h(d) = y, h(e) = z Nytkn pkh tip-tip fungsi ini injektif (stu-stu) tu tidk. Perhtikn hw gr sutu fungsi dlh stu-stu, i hrus menetpkn yngn-yngn yng ered untuk elemen-elemen yng ered dlm domin. 89
Dr. Noerynti, M.Si () f uklh fungsi stu-stu kren f menetpkn r untuk dn d, keduduny, yitu f()=f(d) = r. () g dlh fungsi stu-stu. () h uknlh fungsi stu-stu kren h() = h(e). 6. Nytknlh pkh tip-tip fungsi erikut stu-stu tu tidk. () Untuk tip-tip penduduk umi, tetpkn ilngn yng erkitn dengn usiny. () Untuk tip-tip negr di duni, tetpkn jumlh penduduk negr-negr itu. () Untuk tip-tip uku yng ditulis oleh seorng pengrng, tetpkn pengrngny. (4) Untuk tip-tip negr di duni yng mempunyi perdn menteri, tetpkn perdn menteriny. () nyk orng di duni yng mempunyi usi sm; oleh kren itu fungsi ini tidk stu-stu. () Meskipun du uh negr mungkin mempunyi jumlh penduduk yng sm, sttistik memperlihtkn hw dews ini tidklh demikin; oleh kren itu fungsi ini stu-stu. () dlh mungkin untuk du uh uku yng ered mempunyi pengrng yng sm; oleh kren itu fungsi ini tidk stu-stu. (4) Tidk d du negr yng ered di duni ini mempunyi perdn menteri yng sm; oleh kren itu fungsi ini stu-stu. 7. Mislkn = [-, ] = {x - x }, = [, ] dn C = [-, -]. Mislkn fungsi-fungsi f : R #, f : R # dn f : C R # didefinisikn oleh turn : Untuk tip-tip ilngn, tetpkn kudrtny. Yng mn dri fungsi-fungsi ini stu-stu? 90
Fungsi f : R # tidklh stu-stu kren f ( ) f( ) =, yitu kren du ilngn yng ered dlm derh definisi ditetpkn yngn yng sm. Fungsi f : R # dlh stu-stu kren kudrt dri ilngn-ilngn positif yng ered dlh ered. Jug, f : C R # dlh stu-stu kren kudrt dri ilngn-ilngn negtif yng ered dlh ered. Perhtikn, sekli lgi, hw sutu rumus sendiri tidklh mendefinisikn sutu fungsi. Kenytnny, hw rumus yng sm memerikn fungsifungsi yng ered yng memiliki sift-sift yng sm. 8. Crilh selng teresr D dimn rumus f(x) = x mendefinisikn sutu fungsi stu-stu. Selm selng D memut ilngn-ilngn positif tu negtif, tetpi tidk kedu-duny mk fungsiny dlh stu-stu. Jdi D dptlh erup selng-selng teruk [0, ] tu (-, 0]. d terdpt selng-selng tk terhingg linny dimn f dlh stu-stu, tetpi merek kn erup suhimpunn-suhimpunn dri slh stu dri kedu ini. 9. Dlm sol 7 didftr semu fungsi-fungsi yng mungkin dri = {,, } ke = {,0}. Yng mnkh dri fungsi-fungsi ini dlh stu-stu? Tk stupun dri fungsi-fungsi itu stu-stu. Dlm tip-tip fungsi, sekurngkurngny du elemen mempunyi yngn yng sm. 0. Mislkn f :. Crilh f(), yitu jngkun dri f, jik f dlh fungsi pd 9
Dr. Noerynti, M.Si Jik f dlh fungsi pd mk setip elemen dlm psngn domin (kodomin) f dlh dlm jngkun, oleh kren itu f() =.. pkh fungsi f : dlm Sol 8 surjektif (pd)? ilngn-ilngn dn 4 dlm ko-domin uknlh yngn-yngn dri serng elemen dlm domin; oleh kren itu f tidklh fungsi pd. Dengn kt lin, f() = {,, 5} dlh seuh suhimpunn sejti dri.. milkn = [-, ]. Mislkn fungsi-fungsi f, g dn h dri ke dlm didefinisikn oleh : () f(x) = x, (). g(x) = x, () h(x) = sinx Fungsi yng mn, dlh pd? () Tk d ilngn-ilngn negtif yng munul dlm derh nili f; oleh kren itu f uknlh fungsi pd. () Fungsi g dlh pd, yitu g() =. () Fungsi h uknlh pd. Kren tidk d ilngn x dlm sehingg sinx=.. Dptkh fungsi konstn menjdi sutu fungsi surjektif (pd)? Jik ko-domin dri fungsi f terdiri dri elemen tunggl, mk f sellu sutu fungsi konsn dn dlh pd. 4. Pd himpunn-himpunn yng mn, fungsi stun : kn surjektif (pd)? Fungsi stun sellu pd; oleh kren itu dpt erup himpunn p pun. 9
5. Dlm sol 7 didftrkn semu fungsi-fungsi yng mungkin dri = {,, } ke dlm = {, 0}. Yng mn dri fungsi-fungsi ini dlh fungsi pd? Semu fungsi-fungsi itu dlh pd keuli f dn f 8 6. Mislkn fungsi-fungsi f : dn g : C didefiniskn oleh digrm f x g C r y s z t () Crilh hsilkli fungsi (g o f) : C () Crilh jngkun dri f, g dn g o f. () Digunkn definisi hsilkli fungsi dn menghitung : (g o f)() g(f()) = g(y) = t (g o f)() g(f()) = g(x) = s (g o f)() g(f()) = g(y) = t Perhtikn hw didptkn jwn yng sm jik kit mengikuti tnd pnh : y t x s y t () Menurut digrm, jngkun dri f dlh {x, y}, dn jngkun dri g dlh {r, s, t}. Menurut (), jngkun dri g o f dlh {s, t}. Perhtikn hw jngkun dri g dn g o f ered. 7. Mislkn = {,,, 4, 5} dn fungsi-fungsi f : didefinisikn oleh : f() =, f() = 5, f() =, f(4) =, f(5) = 5 g() = 4, g() =, g() =, g(4) =, g(5) = 9
Dr. Noerynti, M.Si Crilh fungsi-fungsi komposisi f o g dn g o f. Dengn menggunkn definisi hsilkli fungsi dn dihitung : (f o g)() f(g()) = f(4) = (f o g)() f(g()) = f() = (f o g)() f(g()) = f() = (f o g)(4) f(g(4)) = f() = 5 Jug, (f o g)(5) f(g(5)) = f() = (g o f)() g(f()) = g() = (g o f)() g(f()) = g(5) = (g o f)() g(f()) = g() = (g o f)(4) g(f(4)) = g() = 4 (g o f)(5) g(f(5)) = g() = Perhtikn hw fungsi-fungsi fo g dn go f tidk sm. 8. Mislkn fungsi-fungsi f : R # R # dn g : R # R # didefinisikn oleh f(x) = x +, g(x) = x - Crilh rumus-rumus yng mendefinisikn hsilkli fungsi go f dn fog. Pertm dihitung go f : R # R #. Pd dsrny disustitusikn rumus untuk f di dlm rumus g. Digunkn definisi hsilkli fungsi segi erikut : (g o f)(x) g(f(x)) = g(x + ) = (x + ) = 4x + 4x - Mungkin jik fungsi-fungsi didefinisikn segi y = f(z) = x +, z = g(y) = y - Kemudin y dieliminsikn dri kedu rumus : z = y = (x ) = 4x + 4x - Sekrng menghitung fo g : R # R # : 94
(f o g)(x) f(g(x)) = f(x ) = (x ) + = x 9. Mislkn fungsi-fungsi f dn g pd ilngn-ilngn riil R # didefinisikn oleh f(x) = x + x, g(x) = x - 4 () Crilh rumus-rumus yng mendefinisikn go f dn fog. () Perikslh rumus-rumus itu dengn memperlihtkn (go f)() = g(f()) dn (f o g)() = f(g()). () (go f)(x) g(f(x)) = g(x + x ) = (x + x ) 4 = x + 6x (f o g)(x) f(g(x)) = f(x 4) = (x 4) + (x 4) = 9x 8x + 5 () (go f)() = () + 6() = + = g(f()) = g( + () ) = g(5) = (5) 4 = (f o g)() = 9() 8() + 5 = 6 6 + 5 = 5 f(g()) = f(() 4) = f() = + () = 5 0. uktikn : Jik f : dlh pd dn g : C dlh pd mk fungsi hsilkli (go f) : C dlh pd. Mislkn serng elemen dlm C. Kren g dlh pd, mk terdpt sutu elemen sehingg g() =. Jug, kren f dlh pd mk terdpt sutu elemen sehingg f() =. Sekrng (go f)() g(f()) = g() =. Jdi untuk serng C, terdpt sekurng-kurngny stu elemen sehingg (go f)() =. Dengn demikin go f dlh fungsi surjektif (pd).. uktikn hw jik f :, g : C dn h : C D; mk (h o g) o f = h o (g o f) Kedu fungsi dlh sm jik merek menetpkn yngn yng sm dlm domin, yitu, jik ((ho g)o f)(x) = (h o (g o f))(x) 95
Dr. Noerynti, M.Si untuk setip x ε. Dengn menghitung, ((h o g)o f) (x) (h o g)(f(x)) h(g(f(x))) dn (h o(go f))(x) h((g o f)(x)) h(g(f(x))) Oleh kren itu (h o g) o f = h o (g o f). milkn = {,,, 4, 5}. Mislkn fungsi f : didefinisikn oleh digrm 4 5 4 5 Crilh () f (), () f (), () f (4), (4) f {,}, (5) f {,,4} () f () terdiri dri elemen-elemen yng yngnny dlh. Hny 4 yng mempunyi yngn ; oleh kren itu f () = {4}. () () f f () = kren uknlh yngn dri elemen ppun. (4) = {,,5} kren f() = 4, f() = 4, f(5) = 4 dn kren 4 uknlh yngn elemen yng linny. (4) f {,} terdiri dri elemen-elemen yng yngnny tu ; oleh kren itu f {,} = {, 4}. (5) f {,,4} = {4,,,5} kren tip-tip ilngn ini, dn tidk yng linny, memiliki, tu 4 segi titik yngn. 96
. Mislkn fungsi f : R # R # didefinisikn oleh f(x) = x. Crilh : () () f (5), (). 5)] f (-9), (4). f ([-, )], (5). f ([-, 0)] f ([4, () f (5) = {5, -5} kren f(5) = 5 dn f(-5) = 5 dn kren tidk d ilngn lin yng kudrtny dlh 5. () f (5) = kren tidk d ilngn riil yng kudrtny dlh 9, yitu persmn x = -9 tidk mempunyi kr riil. () f ([-,]) = [-, ] kren jik x mk errti x yitu jik x termsuk [-, ] mk f(x) = x jug termsuk [-, ]. (4) f ((-, 0]) = {0} kren 0 = 0 ε (-, 0] dn kren tidk d ilngn linny yng kudrtny termsuk (-, 0] (5) f ([4, 4]) terdiri dri ilngn-ilngn yng kudrtny termsuk [4, 5], yitu ilngn-ilngn x sehingg 4 x 5. Oleh kren itu. f ([4, 5]) = {x x 5 tu 5 x -} 4. Mislkn f :. Crilh f (f()), yitu, rilh invers dri jngkun f. Kren yngn dri setip elemen erd dlm jngkun f, mk f (f()) = untuk semu kedn. 5. Mislkn f :, dn f mempunyi fungsi infers f :. Seutkn du sift dri fungsi f. Fungsi f hruslh injektif (stu-stu) dn surjektif (pd). 97
Dr. Noerynti, M.Si 6. Mislkn W = {,,, 4, 5}, dn fungsi-fungsi f : W W, g : W W dn h : W W didefinisikn oleh digrm-digrm diwh. 4 5 f 4 5 4 5 g 4 5 4 5 h 4 5 Dri fungsi-fungsi di ts mn yng memiliki fungsi invers? gr sutu fungsi memiliki invers, mk fungsi itu hruslh stu-stu dn pd. Hnylh h yng stu-stu dn pd; oleh kren itu hnylh h yng memiliki fungsi invers. 7. mil = [-, ]. Mislkn fungsi f, f, f, dn f 4 dri ke dlm didefinisikn oleh () f (x) = x, () f (x) = x, () f (x) = sin x, (4) 4() sin f x = π x Nytkn pkh tip-tip fungsi ini memiliki invers tu tidk. () f tidklh stu-stu tu pd; oleh kren itu f tidk memiliki invers. () f dlh stu-stu kren jik x y mk 5 5 x y. Jug, f dlh surjektif (pd). Oleh kren itu f memiliki fungsi invers. () f dlh fungsi stu-stu tetpi tidk pd; oleh kren itu f tidk memiliki invers. (4) f 4 memiliki invers kren tidk i dlh stu-stu dn pd. 98
8. uktikn : Mislkn f : dn g : C memiliki fungsi-fungsi invers f : dn g : C. Mk fungsi-komposisi g o f : C memiliki fungsi invers f o g : C. Perhtikn hw: ( f o g ) o (g of ) = dn (g o f )o ( f o g ) = Dihitung ( f o g )o (g o f ) = f o ( g o (g o f )) = f o (( g o g) o f) = f o (of ) = f o f = Menggunkn sift hw g o g dlh fungsi stun dn hsilkli, yitu fungsi fungsi stun dn f dlh f. Dengn r yng sm, (g o f ) o ( g o (o f o g ) = g o g ) = g o ( f o ( g = f o g )) = g o (( f o f ) o f) 9. Mislkn f : R # R # didefinisikn oleh f(x) = x -. Dengn mengmil f dlh stu-stu dn pd, sehingg f memiliki fungsi infers f : R # R #. Crilh rumus yng mendefinisikn fungsi invers f. Mislkn y dlh yngn x di wh fungsi f. Mk y=f(x) = x - kitny, x kn merupkn yngn y di wh fungsi invers f, yitu : x = f (y) Dengn memehkn untuk x dlm y dri persmn di ts. x = (y + )/ Mk f (y) = (y + )/ ini dlh rumus yng mendefinisikn fungsi invers. oleh kren itu f (x) = (x + )/ jug mendefinisikn fungsi invers. 99
Dr. Noerynti, M.Si Lgi pul, pernytn terkhir ini leih ik kren x isny digunkn untuk mendefinisikn fungsi. 40. Mislkn f : R # R # didefiniskn oleh f(x) = x + 5. Perhtikn hw f dlh stu-stu dn pd, sehingg f memiliki fungsi invers. Crilh rumus yng mendefinisikn f Pehkn x dlm y : y = x + 5, y 5 = x, dn x = y 5 Mk fungsi invers dlh f ( x) = x 5. R # = himpunn ilngn riil. 4. milkn = R # - {} dn = R # - {}. Mislkn fungsi f : didefinisikn oleh : x f ( x) = x Mk f dlh stu-stu dn pd. Crilh rumus yng mendefinisikn f. Pehkn x y = untuk x dlm y, mk kit peroleh x x Oleh kren itu, fungsi inversny dlh f (x) = - x y x = y 4. Mislkn fungsi f : R # R # didefinisikn oleh f(x) = x - x + Crilh : () f(-) (i) f(x ) () f() f(-4) (j) f(x ) + f(x + ) () f(y) (k) f(x x + ) (d) f ( ) (l) f(f(x)) (e) f(x ) (m) f(f(x + )) (f) f(y z) (n) f(x + h) f(x) (g) f(x + h) (o) [f(x + h) f (x)]/h 00
(h) f(x + ) Fungsi ini menetpkn untuk serng elemen kudrt dri elemen itu dikurngi kli elemen itu ditmh. () f(-) = (-) (-) + = 9 + 9 + = 0 () f() = () () + = 0, f(-4) = (-4) (-4) + = 0. Mk f() f(-4) = 0 0 = -0 () f(y) = (y) (y) + = y y + (d) f( ) = ( ) ( ) + = 4 + (e) f(x ) = (x ) (x ) + = x 4 x + (f) f (y z) = (y z) (y z) + = y yz + z y + z + (g) f(x + h) = (x + h) (x + h) + = x + xh + h x h + (h) f(x + ) = (x + ) (x + ) + = (x + 6x + 9) x 9 + = x + x + (i) f(x ) = (x ) (x )+ = 4x x + 9 6x + 9 + = 4x 8x + 0 (j) Dengn menggunkn (h) dn (i), kit peroleh : f(x ) + f(x + ) = (4x 8x + 0) + (x + x + ) = 5x 5x + (k) f(x x + ) = (x x + ) (x x + ) + = x 4 6x + 0x x (l) f(f(x + )) = f(x x + ) x 4 6x + 0x x (m) f(f(x + )) = f ([(x + ) (x + ) + ]) = f([x + x + x + ]) f(x x) = (x x) (x x) + = x 4 x x +x + (n) Menurut (g), f(x + h) = x + xh + h x h +. Oleh kren itu f(x + h) f(x) = (x + xh + h x h + ) (x x + ) = xh + h h. (o) Dengn menggunkn (n), kit peroleh: [f(x + h) f(x)]/h = (xh + h h)/h = x + h 0
Dr. Noerynti, M.Si 4. Mislkn fungsi-fungsi f : R # R # dn g : R # R # didefinisikn oleh f(x) = x dn g(x) x + 5. Crilh () f(5), () g(-), () g(f()), (d) f(g()), (e) g ( ), (f) f(g ( )), (g) g(f(x)), (h) f(g(x + )), (i) g(g(x)). () f(5) = (5) = 0 = 7 () g(-) = (-) + 5 = 9 + 5 = 4 () g(f()) = g([() ]) = g([4 ]) = g() = () + 5 = 6 (d) f(g()) = f([ + 5]) = f([9 + 5]) = f(4) = (4) = 5 (e) g( ) = ( ) + 5 = + + 5 = + 6 (f) Dengn mempergunkn (e), kit peroleh f(g( )) = f( + 6) = ( + 6) = 4 + 9 (g) g(f(x)) = g(x ) = (x ) + 5 = 4x x + 4 (h) f(g(x + )) = f([(x + ) + 5]) = f([x + x + + 5]) = f(x + x + 6) = (x + x + 6) = x + 4x + 9 (i) g(g(x)) = g(x + 5) = (x + 5) + 5 = x 0x + 0 SOL LTIHN. Nytkn pkh tip-tip digrm ini mendefinisikn sutu fungsi dri {,, } ke dlm {4, 5, 6}, tukh tidk. 4 4 4 5 5 5 6 6 6 () () (). Definisikn kemli fungsi-fungsi erikut dengn menggunkn rumus : () Untuk tip-tip ilngn riil, f menetpkn kudrtny ditmh 0
() Untuk tip-tip ilngn riil, g menetpkn ilngn terseut ditmh hrg mutlkny. () Untuk tip-tip ilngn leih esr dripd tu sm dengn, h menetpkn pngkt tig dri ilngn terseut dn untuk tip-tip ilngn leih keil dripd, h menetpkn ilngn 4.. Mislkn fungsi f : R # R # didefinisikn oleh f(4), () f(-), () f(y z), (4) f(x ). f(x) = x - 4x +. Crilh : () 4. Mislkn fungsi g : R # R # didefinisikn oleh x x jik x g ( x) = x + jik x < Crilh: () g(5), () g(0), () g(-) 5. Mislkn T = [-, 5] dn fungsi f : T R # didefinisikn oleh f(x) = x - 7 Crilh : () f(), () f(6), () f (t ) x + 5 jik x > 9 6. Mislkn fungsi h : R # R # didefinisikn oleh : h(x) = x x jik x [ 99, ] x 4 jik x < 9 Crilh : () h(), () h(), () h(-5), (d) h(h(5)) yitu h (5) 7. Mislkn X = {,} dn Y = {,, 5}. d erp fungsi yng ered dri X ke dlm Y? 8. Digrm-digrm erikut mendefinisikn fungsi-fungsi f, g dn h yng menetpkn himpunn {,,,4} ke dlm diriny sendiri. 4 f 4 4 g 4 4 h 4 Crilh () jngkun f, () jngkun g, () jngkun h. 0
Dr. Noerynti, M.Si 9. milkn W = {-, 0,, 5, }. Mislkn fungsi f : W R # didefinisikn f(x) = x x. Crilh jngkun f. 0. Pndng keenm fungsi erikut : f : [-, ] R # f 4 : (-, -5) R# f : [0, ] R # f 5 : [-, 4) R# f : [-, 0] R # 6 f : [-5, ) R# (). Jik tip-tip fungsi didefinisikn oleh rumus yng sm f(x) = x, yitu jik untuk tip-tip ilngn x, tip-tip fungsi menetpkn x, mk rilh jngkun dri () f, () f, () f, (4) f 4, (5) f 5, (6) f 6 (). Jik tip-tip fungsi didefinisikn oleh rumus f(x) = x yitu jik untuk tiptip ilngn x, tip-tip fungsi menetpkn x, mk rilh jngkun dri () f, () f, () f, (4) f 4, (5) f 5, (6) f 6 (). Jik tip-tip fungsi didefinisikn oleh rumus f(x) = x Crilh jngkun dri () f, () f, () f, (4) f 4, (5) f 5 (6) f 6 (d). Jik tip-tip fungsi didefinisikn oleh rumus: f(x) = x + 4, Crilh jngkun dri () f, () f, () f, (4) f 4, (5) f 5, (6) f 6. ndikn f :. Yng mnkh dri yng erikut ini sellu enr : () f(), () f() =, () f(). Mislkn f : X Y. Nytknlh pkh msing-msing sift erikut mendefinisikn sutu fungsi stu-stu tu tidk? () jik f() = f() mk = () jik f() f() mk () jik = mk f() = f() (4) jik mk f() f() 04
. Nytknlh pkh tip-tip fungsi dlm sol 0 dlh injektif (stu-stu) tu tidk. 4. uktikn: Jik f : dlh stu-stu dn jik g : C dlh injektif (stu-stu) mk fungsi perklin go f : C dlh injektif (stu-stu). 5. Fungsi-fungsi f :, g :, h : C, F : C dn G : C digmrkn dlm digrm di wh ini. g G h C f F Nytknlh pkh msing-msing yng erikut ini mendefinisikn sutu hsilkli fungsi tukh tidk dn il d yng mendefinisikn hsilkli fungsi mk tentukn rnh dn ko-dominny : () g o f, () h o f, () F o f, (4) G o f, (5) go h, (6) F o h, (7) ho G o g, (8) h o G. 6. Pndng fungsi-fungsi f, g dn h dlm sol 8. Crilh hsilkli fungsi dri () fo g, () ho f () go g, yitu g. 7. Mislkn fungsi-fungsi f : R # R # dn g : R # R # didefinisikn oleh f(x) = x + x +, dn g(x) = x -. Crilh rumus-rumus yng mendefinisikn hsilkli fungsi dri () f o g, () g o f, () go g, (4) f o f. 05
Dr. Noerynti, M.Si 8. Mislkn fungsi-fungsi f : R # R # dn g : R # R # didefinisikn oleh f(x) = x - x, dn g(x) = x +. Crilh () (gof)(), () (fog)(-), () (g of )(-4), (d) (f og)(5) 9. Mislkn f : R # R # didefinisikn oleh f(x) = x + Crilh () f - (5), () f - (0), () f - (0), (4) f - (-5), (5) f - ([0, 6]), (6) f - ([0, 5]), (7) f - ([-5, ]), (8) f - ([-5, 5]) 0. Mislkn g : R # R # didefinisikn oleh g(x) = sin x. Crilh () g - (0), () g - ), () g - (), (4) g - ([-, ]).. Mislkn f : R # R # didefinisikn oleh f(x) = x + 4. Mk f dlh injektif (stu-stu) dn surjektif (pd). erikn stu rumus yng mendefinisikn g -.. milkn = R # - {-/} dn = R # - {/}. Mislkn f : didefinisikn oleh f(x) = (x - )/(x + ) Mk f dlh stu-stu dn pd. Crilh seuh rumus yng mendefinisikn fungsi f -.. milkn W = [0, ). Mislkn fungsi-fungsi f: W fi W, g: W fi W dn h: W fi W didefinisikn oleh : f(x) = x, g(x) = x +, dn h(x) = x+ Dri fungsi-fungsi ini yng mnkh yng surjektif (pd). 4. Mislkn fungsi f : R # R # didefinisikn oleh f(x) = x + x - Crilh () f(); () f(-) f(); (g). f(x + h) f(x) (h) f(f(x)) () f(x ); (d) f (f(-)); (i) (j). f - (0) f - (4) 06
(e) f(y) ; (f) f(x + h); (k). f - (-5) 5. Mislkn f: fi ; g: fi dn g o f =, fungsi stun pd. Nytkn pkh msing-msing yng erikut ini enr tu slh? () g = f -. (4) g fungsi surjektif (pd) () f fungsi surjektif (pd). (5) g dlh fungsi injektif (stu-stu). () f dlh fungsi injektif (stu-stu). 07
Dr. Noerynti, M.Si Referensi Djuhri, M..,99, Pengntr mtemtik modern Kruni jkrt Liu C. L., 987, Elements of Disrete Mthemtis, Edisi kedu, MGrw-Hill, In. Setidji & Sitjin, 995, Pengntr Struktur ljr, FMIP Universits Gjh Md Seymour L, 98, Finite Mthemtis, MGrw-Hill, In. Seymour L, 984, Set Theory, MGrw-Hill, In. Soehkso, Himpunn, Relsi dn Fungsi, FMIP Universits Gjh Md. Theresi M. H. T. S, 99, Pengntr Dsr Mthemtik Logik dn Teori himpunn, Erlngg, Jkrt. 08