BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Proses Poisson Periodik Definisi 1 (Proses Stokastik) Proses stokastik, adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state S. Jadi, untuk setiap t pada himpunan indeks, adalah suatu peubah acak. Setiap t pada himpunan indeks juga sering diinterpretasikan sebagai waktu, dan sebagai state (keadaan) dari proses pada waktu t. Suatu proses stokastik disebut proses stokastik dengan waktu diskret jika himpunan indeks adalah himpunan tercacah, sedangkan disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika adalah suatu interval. Definisi 2 ( Inkremen Bebas) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu, disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua, peubah acak,,, adalah bebas. Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas. Definisi 3 (Inkremen Stasioner) Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu, disebut memiliki inkremen stasioner jika memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t. Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu disebut memiliki inkremen stasioner jika sebaran (distribusi) dari perubahan nilai antara
4 sembarang dua titik hanya tergantung pada jarak antara kedua titik tersebut, dan tidak tergantung dari lokasi titik-titik tersebut. Definisi 4 (Proses Pencacahan) Suatu proses stokastik, 0 disebut proses pencacahan jika menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t. Suatu proses pencacahan harus memenuhi syarat-syarat berikut: (i) 0 untuk semua 0,. (ii) Nilai adalah integer. (iii) Jika maka,, 0,. (iv) Untuk maka, sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang,. Definisi 5 (Proses Poisson) Suatu proses pencacahan, 0 disebut proses Poisson dengan laju, 0, jika dipenuhi tiga syarat berikut: (i) 0 0. (ii) Proses tersebut memiliki inkremen bebas. (iii) Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran (distribusi) Poisson dengan nilai harapan. Jadi untuk semua, 0,, 0,1,2,! Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen stasioner. Proses Poisson dengan laju yang merupakan konstanta untuk semua waktu t disebut proses Poisson homogen. Jika laju bukan konstanta, tetapi merupakan fungsi dari waktu,, maka disebut proses Poisson tak homogen. Untuk kasus ini, disebut fungsi intensitas dari proses tersebut.
5 Definisi 6 (Fungsi Periodik) Suatu fungsi disebut periodik jika untuk semua dan. Konstanta terkecil yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi tersebut. (Browder 1996) Definisi 7 (Proses Poisson Periodik) Proses Poisson periodik adalah proses Poisson tak homogen yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik. (Mangku 2001) 2.2 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik Fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik merupakan laju dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas dibagi menjadi dua, yaitu fungsi intensitas lokal dan fungsi intensitas global. Fungsi intensitas lokal merupakan laju dari proses Poisson di titik tertentu, sedangkan fungsi intensitas global merupakan rata-rata laju dari proses Poisson pada interval dengan panjang menuju tak hingga. Pendekatan yang digunakan pada pendugaan fungsi intensitas lokal dari suatu proses Poisson di titik s adalah dengan menaksir nilai rata-rata dari banyaknya kejadian di sekitar titik s. Secara matematis, misalkan 0, dan 0, menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada 0,, maka fungsi intensitas lokal di titik s dapat didekati dengan,. Sedangkan pendekatan yang digunakan pada pendugaan fungsi intensitas global dari suatu proses Poisson adalah dengan menaksir nilai rata-rata dari banyaknya kejadian dalam selang 0,. Secara matematis penduga bagi fungsi intensitas global dapat dinyatakan dengan 0,. Pada proses Poisson periodik, terdapat beberapa metode nonparametrik untuk menduga fungsi intensitas pada suatu titik yang diberikan, di antaranya adalah metode penduga tipe kernel dan metode penduga titik terdekat (nearest neighbor estimation). Dua metode tersebut telah digunakan untuk menduga secara
6 konsisten fungsi intensitas lokal dengan periode (diketahui) (Helmers dan Mangku 2000). Selain itu, pendugaan fungsi intensitas lokal menggunakan metode titik terdekat serta pembuktian kekonsistenan lemah dan kuat dari penduga yang diperoleh telah dikaji pada Mangku (1999). Ada metode lain yaitu dengan meniru bentuk umum metode maximum likelihood untuk menduga laju proses Poisson homogen yang dapat diterapkan untuk menduga fungsi intensitas global pada Poisson periodik (Helmers dan Mangku 2000). Fungsi intensitas proses Poisson telah digunakan pada pemodelan laju tumpahan minyak di Laut Utara Belanda (Helmers 1995). Secara komputasi, telah dirumuskan suatu algoritma untuk menduga fungsi intensitas suatu proses Poisson dengan tren eksponensial kuadratik dan periodik (Helmers dan Zitikis 1999). Pendugaan fungsi intensitas ini dapat dibedakan berdasarkan periodenya, yaitu jika periodenya tidak diketahui dan jika periodenya diketahui. Untuk periode yang tidak diketahui, pendugaan fungsi intensitas lebih rumit dibandingkan proses dengan periodenya diketahui. Meskipun demikian kekonsistenan penduga tipe kernel dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik untuk kasus periode tidak diketahui telah dikaji pada Helmers et al. (2003). Untuk periode yang diketahui telah dilakukan kajian perumusan penduga tipe kernel serta pembuktian dari kekonvergenan lemah dan kuat dari penduga yang diperoleh (Mangku 2006a) dan pembuktian kenormalan asimtotik dari penduga yang diperoleh (Mangku 2006b). Pemodelan suatu fenomena dengan proses Poisson periodik berkembang dengan menyertakan suatu komponen tren linear (Helmers dan Mangku 2009), maupun menggunakan periodik ganda dalam fungsi intensitasnya (Helmers et al. 2007). Adapun pendugaan untuk fungsi intensitas globalnya telah dilakukan pada Mangku (2005). Selain itu, pendugaan fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik yang menyertakan suatu komponen tren berbentuk fungsi pangkat telah dilakukan kajiannya. Tentang kekonsistenan dari penduga yang diperoleh dengan menggunakan fungsi kernel seragam telah dikaji pada Rahayu (2008), sifat-sifat statistik penduga yang diperoleh dengan menggunakan fungsi kernel seragam telah dikaji pada Rachmawati (2008), serta pendugaan fungsi intensitas global
7 dari komponen periodiknya telah dikaji pada Yuliawati (2008), dan sifat-sifat statistik penduga yang diperoleh dengan menggunakan fungsi kernel umum telah dikaji pada Farida (2008).