LEMBAR KERJA SISWA (LKS) Nama : 1. 2. 3. Nama kelompok : Materi : vektor Kd: 3.4 Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan Indikator: masalah. 3.4.2 Menentukan hasil operasi aljabar vektor. TUJUAN Pembelajaran: 1. Siswa dapat menentukan hasil operasi aljabar vektor. PETUNJUK: 1. Berdoalah sebelum dimulai. 2. Berdiskusilah dengan kelompokmu.
OPERASI ALJABAR VEKTOR A. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN VEKTOR Diketahui titik-titik A(a 1,a 2 ), B(b 1,b 2 ), C(c 1,c 2 ). Gambarkan pada bidang koordinat Cartesius. y O x Gambar 1. Titik A(a 1,a 2 ), dan B(b 1,b 2 ), dan C(c 1,c 2 ) Pada koordinat Cartesius Lengkapi gambar 1 dengan: Lalu hubungkan titik A dengan dua titik lainnya, dimana titik A sebagai pangkalnya. Lalu hubungkan titik B dan C dengan pangkal di titik B. Dimisalkan: a = vektor AB b = vektor BC c = vektor AC
perhatikan gambar diatas, verktor a, b, dan c dapat ditulis sebagai berikut: a = (b 1 - a 1, b 2 a 2 ) Dapat pula ditulis, a = b b a a 1 1 2 2 b = (c 1 - b 1, ) Dapat pula ditulis, b = ( ) c =(, ) Dapat pula ditulis, c = ( ) Jumlahkan vektor a dan b. Karena vektor merupakan matriks kolom, maka dapat menjumlahkan vektor a dan b dengan menggunakan aturan penjumlahan matriks, maka diperoleh a + b = b b a + ( ) = ( ) = ( ) a 1 1 2 2 perhatikan bahwa c c a =c. a 1 1 2 2 Uraian tersebut menunjukkan bahwa a + b = c
Secara geometris, penjumlahan antara dua vektor a dan b dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu: a. Cara Segitiga Buatlah dua vektor a dan b, dimana vektor a vektor b. Gambarlah kedua vektor tersebut dengan titik pangkal vektor b berimpit ruas dengan titik ujung vektor a. Lalu tarik ruas garis dari titik pangkal vektor a ke titik ujung vektor b. Ruas garis ini dimisalkan c, yang merupakan hasil jumlahan vektor a dan vektor b. Jadi, jumlah vektor a dan b didapat dengan menarik ruas garis dari titik pangkal vektor a ke titik ujung vektor b. Akibatnya a + b = c.
b. Cara Jajargenjang Gambarlah: 1. Vektor a yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik B 2. Vektor b mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal C ke titik pangakal D Dalam jajargenjang, titik pangkal vektor a berimpit dengan titik pangkal vektor b, yaitu A = C. Dengan membuat jajargenjang ABCD, akan diperoleh: AB AD AB BE ( oleh karena AD = BE ) AE (Gunakan cara segitiga) Oleh karena AB =a, AD = b dan AE =c, maka a + b = c. APA YANG TERJADI? Jika vektor a dijumlahkan dengan invers vektor b, maka didapatkan a + (-b) sebagai berikut:
a + (-b) dapat dituliskan juga a b. Secara geometris, dapat dengan mengurangkan a dengan b sebagai berikut: Dengan menggunakan aturan penjumlahan dan pengurangan matriks kolom, kalian dapat menyatakan aturan penjumlahan dan pengurangan vektor sebagai berikut. Untuk a dan b vektor-vektor di R 2, berlaku a + b = a b = a1 b1 a1 b1 a b a b 2 2 2 2 a1 b1 a1 b1 a b a b 2 2 2 2 Dengan menggunakan pasangan terurut, dapat dituliskan a b ( a, a ) ( b, b ) ( a b, a b ) 1 2 1 2 1 1 2 2 a b ( a, a ) ( b, b ) ( a b, a b ) 1 2 1 2 1 1 2 2
Untuk a dan b vektor-vektor di R 3, berlaku a1 b1 a1 b1 a b a b a b 2 2 2 2 a 3 b 3 a3 b 3 a1 b1 a1 b1 a b a b a b 2 2 2 2 a 3 b 3 a3 b 3 Dengan menggunakan pasangan terurut, dapat dituliskan a b ( a, a, a ) ( b, b, b ) ( a b, a b, a b ) 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 a b ( a, a, a ) ( b, b, b ) ( a b, a b, a b ) 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 Perhatikan gambar berikut! Dari gambar di atas, kalian dapat menyatakan: b + = a + e = c b + + e = a
B. PERKALIAN SKALAR DENGAN VEKTOR Diketahui : Vektor u = (u 1, u 2, u 3 ) dan k adalah skalar tak nol. Apa yang terjadi jika vektor-vektor yang dijumlahkan adalah k vektor yang sama? Jawab : Jumlahan dari vektor u (sebanyak k vaktor) = u + u + u +... + u... = k x... = ku = k (u 1, u 2, u 3 ) = (ku 1, ku 2, ku 3 ) Jadi, jika k skalar tak nol dan vektor u = (u 1, u 2, u 3 ), maka ku = (ku 1, ku 2, ku 3 ) Apa yang terjadi jika k > 0 dan k < 0? Diberikan : u u u u... k vektor u a. Perkalian skalar dengan vektor u, dimana k > 0. Gambarlah pada kotak yang disediakan, dengan vektor u sesuai pada gambar diatas.
ku k > 0 b. Perkalian skalar dengan vektor u, dimana k > 0. Gambarlah pada kotak yang disediakan, dengan vektor u sesuai pada gambar diatas. ku k < 0
Jadi, dalam perkalian skalar dengan vektor: Jika k > 0, maka vektor ku searah dengan vektor u. Jika k < 0, maka vektor ku berlawanan arah dengan vektor u. C. SIFAT-SIFAT OPERASI HITUNG PADA VEKTOR Jika a, b, dan c vektor-vektor di R 2 atau di R 3 dan k serta l skalar tak nol maka berlaku hubungan berikut. 1. a b b a 2. ( a b) c a ( b c) 3. a 0 0 a a 4. a ( a) 0 5. k( la) ( kl) a 6. k( a b) ka kb 7. ( k l) a ka la 8. Ia a Pembuktian : Pembuktian sifat 1 Ambil sebarang vektor a = (a 1, a 2, a 3 ) dan b = (b 1, b 2, b 3 ), maka : a + b = (a 1, a 2, a 3 ) + = (a 1 + b 1, a 2 + b 2, ) = (, b 2 + a 2, ) = + (a 1, a 2, a 3 ) = b +
Jadi, a + b = b + a. Pembuktian sifat 2 Ambil sebarang vektor a = (a 1, a 2, a 3 ), b = (b 1, b 2, b 3 ), dan c = (c 1, c 2, c 3 ), maka: (a + b) + c = ((a 1, a 2, a 3 ) + (b 1, b 2, b 3 )) + (c 1, c 2, c 3 ) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2, a 3 + b 3 ) + (c 1, c 2, c 3 ) = (a 1 + b 1 + c 1,, a 3 + b 3 + c 3 ) = (( + ( b 1 + c 1 ), a 2 + (b 2 + c 2 ), a 3 + )) = ( ) + (b 1 + c 1, b 2 + c 2, b 3 + c 3 ) = (a 1, a 2, a 3 )+ (( + (c 1, c 2, c 3 )) = a + ( + ) Jadi, (a + b) + c = a + (b + c). Pembuktian sifat 4 Ambil sebarang vektor a = (a 1, a 2, a 3 ) maka : a + (-a) = (a 1, a 2, a 3 )+ (,, ) = (a 1 - a 1,, ) = (0, 0, 0) = o Jadi a + (-a) = o. Pembuktian sifat 7 Ambil sebarang skalar k dan l serta vektor a =(a 1, a 2, a 3 ), maka : (k + l)a = (k + l)(a 1, a 2, a 3 ) = ((k + l)a 1, (k + l), (k + l) ) = (ka 1 +, ka 2 +, ka 3 + la 3 ) = (ka 1, ka 2, ka 3 ) +
= k + l = ka + la Jadi, (k + l)a = ka + la.