MODUL E-LEARNING E-LEARNING MATEMATIKA Oleh : NURYADIN EKO RAHARJO, M.PD. NIP. Penulisn Modul e Lening ini diiyi oleh dn DIPA BLU UNY TA Sesui dengn Sut Pejnjin Pelksnn e Lening Nomo./H./PL/ Tnggl Juli JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA TAHUN
BAB VI MATRIKS A. PENGERTIAN Mtiks dlh sutu deetn elemen yng mementuk empt pesegi pnjng, tedii di m is dn n kolom. Elemen teseut dpt eentuk koefisien, ilngn tu simul. Mtiks yng mempunyi m is dn n kolom diseut mtiks edimensi m n. Mislkn sutu mtiks A dengn elemen ij dpt ditulis segi eikut : A ( ij ) untuk i,,,..., m : is j,,,..., n : kolom cttn : dlm menulis elemen, seutlh isny dulu, u diikuti kolom. Contoh : mksudny dlh elemn is kolom A mksudny dlh elemen is kolom Mtiks yng mempunyi jumlh is sm dengn jumlh kolomny diseut mtiks uju sngk (sque mti). contoh : A dn B B. DETERMINAN MATRIKS Mislkn sutu mtiks A mk deteminn mtiks teseut diei simul dengn (A). Demikin jug simul untuk deteminn mtiks B dlh (B). Ekspnsi deteminn teseut dlh : (A)..
(B) - + (.. ) (.. ) + (.. ) Opesi ini diseut ekspnsi diteminn mtiks A dn mtiks B. Deteminn mtiks hny d pd mtiks uju sngk sj. Pedomn untuk menentukn tnd + tu dlh segi eikut : + - + - +... - + - + -... + - + - +........... C. JENIS-JENIS MATRIKS. Mtiks Tnspose Mtiks A T diseut tnspose mtiks A jik kolom-kolom mtiks A meupkn isis mtiks A T. Simul untuk menytkn tspose di mtik A dlh A T, A* tu A ~. Kit kn menggunkn A T segi simul tspose mtik A. Jik : A mk A T Jik : B mk B T
. Mtiks Simeti Mtiks uju sngk A diseut mtiks simeti jik elemen ij ji untuk semu i dn j. Contoh mtiks simeti tehdp digonl utmny dlh segi eikut : A A. Mtiks Digonl Mtiks uju sngk A diseut mtiks digonl jik semu elemen dilu elemen digonlny sm dengn. Mtiks identits dlh mtiks digonl yng semu elemenny sm dengn. Mtiks digonl dn mtiks identits dlh segi eikut : A I Mtiks digonl Mtiks identits. Mtiks Segitig Ats dn Segitig Bwh Mtiks uju sngk A diseut mtiks segitig ts jik semu elemen di wh elemen digonl utmny sm dengn. Sedngkn mtiks uju sngk A diseut mtiks segitig wh jik semu elemen di ts elemen digonl utmny sm dengn. Mtiks segitig ts dn wh dlh segi eikut : A A Mtiks segitig ts Mtiks segitig wh ( ij untuk i > j ) ( ij untuk i < j ). Mtiks Kolom dn Mtiks Bis Mtiks A diseut mtiks kolom jik elemenny hny tedii di kolom tunggl. Mtiks A diseut mtiks is jik elemenny hny tedii di is tunggl.
A A Mtiks kolom A edimensi Mtiks is A edimensi. Mtiks Nol Mtiks nol (odo eppun) yng semu elemenny dlh nol. D. OPERASI MATRIKS Opesi mtiks dlh opesi itmtik tehdp elemen-elemenny. Pd sutu mtiks dpt dilkukn opesi penmhn, pengungn dn peklin. Opesi penmhn, pengungn dn peklin teseut mellui elemen-elemenny.. Kesmn Du Mtiks Du mtiks A dn B dlh sm jik elemen yng esesuin sm. Oleh se itu A B jik ij ij untuk semu i dn j. Contoh du mtiks A dn B yng sm mislny : A dn B Mtiks A sm dengn mtiks B ken ; ; dn.. Penjumlhn Mtiks Jumlh du mtiks A dn B dlh mtiks C yng elemenny meupkn penmhn elemen mtiks A dn mtiks B yng esesuin. Mislkn du mtiks A dn mtiks B segi eikut : A B Jik mtiks C meupkn penjumlhn mtiks A dn B mk elemen mtiks C dlh :
C + + C + + C + + C + + Sehingg dipeoleh mtiks C segi eikut : C. Pengungn Mtiks Pengungn du mtiks A dn B dlh mtiks C mtiks yng elemen-elemenny meupkn pengungn elemen mtiks A dn mtiks B yng esesuin. A B Mislkn mtiks A dn B sepeti di ts mk jik CA-B mk elemen mtiks C : C C - C - C - Sehingg mtiks C dlh : C. Peklin Du Mtiks Peklin mtiks A edimensi m n dengn mtiks B edimensi n p dlh mtiks C edimensi m p yng elemenny meupkn peklin di elemen is pd mtiks A dengn elemen kolom pd mtiks B. Misl mtiks C mtiks A mtiks B, mk elemen mtiks C dlh : A kli B sm dengn C C C C C C. +. + (is kolom ) C. +. 8 + (is kolom ) C. +. + (is kolom ) C. +. + (is kolom )
Sehingg mtiks C dlh : C. Peklin Mtiks dengn Skl Peklin mtiks A edimensi m n dengn skl ( sutu ilngn ) dlh mtiks D edimensi m n yng setip elemenny meupkn peklin setip elemen mtiks A dengn skl itu. Jik A mk A sehingg mtiks D dlh : D. Peklin Mtiks Odo Tig Peklin du mtiks A. B dn B. A edimensi wh ini menunjukkn hw tidk setip peklin du mtiks elku komultif. Mislkn mtiks A dn B segi eikut : A B Mislkn mtiks C A. B mk elemen-elemen mtiks C dlh : C. +. +.. +. +. ++ C. +. +.. - +. +. ++ - C. +. +.. +. +. - ++ C. +. +.. +. +. + + 8 C. +. +.. - +. +. + + C. +. +.. +. +. - + - C. +. +.. +. +. + + C. +. +.. - +. +. - + 8 + C. +. +.. +. +. - + +
Bedskn pehitungnteseut mtiks A. B C dlh : A. B C. Mislkn B. A D mk elemen-elemen mtiks D dlh : d. +. +.. + -. +. + d. +. +.. + -. +. + - d. +. +.. + -. +. + - d. +. +.. +. +. + + 8 d. +. +.. +. +. + + d. +. +.. +. +. + + d. +. +.. +. + -. + d. +. +.. +. + -. + d. +. +.. +. + -. + Bedskn pehitungn teseut mk mtiks B. A D dlh : B. A D. 8 Di hsil A. B C dn B. A D tenyt elemen c ij tidk sm dengn elemen d ij. Dengn demikin tidk sellu A. B B. A.. Mtiks yng Dikudtkn Mislkn A E mk mtiks E A. A sehingg elemen e ij dlh : e. +. +.. +. +. + + e. +. +.. +. +. + + 8 e. +. +.. +. +. + + e. +. +.. +. +. + + e. +. +.. +. +. + + 8
e. +. +.. +. +. + + 8 8 e. +. +.. +. +. + 8 + e. +. +.. +. +. + + e. +. +.. +. +. + + Bedskn pehitungn teseut mtiks A A. A E dlh : A. A E. 8 8. Kofkto Mtiks Bujusngk Jik mtiks A Mk Mino-mino di mtiks A dlh : M M M M M M M M M M.. - M.. M.. 8 M..
M.. M.. M.. M.. 8 8 M.. Mislkn A ij dlh kofkto-kofkto elemen mtiks A mk esny setip elemen mtiks A dlh dlh nili (tnd) setip elemenny diklikn minony. Pedomn untuk menentukn tnd dlh segi eikut : + - + - +... - + - + -... + - + - +........... Selin itu kofkto jug dpt dihitung dengn c menglikn minony dengn ngk (-) pngkt jumlh di nomo elemenny. Contoh: A ( - ) +. M ( - ). -. - - A ( - ) +. M ( - ). -. A ( - ) +. M ( - )..
A ( - ) +. M ( - ). -. - A ( - ) +. M ( - ).. A ( - ) +. M ( - ). -. - A ( - ) +. M ( - ).. A ( - ) +. M ( - ). -. 8-8 A ( -) +. M ( - ).. Susunn elemen A ij pd mtiks kofkto A dlh : A A A A A A A A A 8 8. Adjoint Mtiks Bujusngk Adjoint (dj) mtiks A dlh tnspose di mtik kofktony. Mislny di mtiks A telh dihitung kofktony yitu C mk djoint mtiks A C T 8 C T 8
. Inves Mtiks Bujusngk Untuk mempeoleh inves mtiks ujusngk dlh dengn memgi djoint mtiks teseut dengn deteminn mtiksny dengn cttn deteminnny. Contoh : A mk djoint A C T 8 (A). (-) (-) + (8-) - Sehingg inves mtiks A tu A - -/ 8 / / / / / 8 / / / / Mk invesi mtiks A dlh A - / / / / / / / / Untuk memeiks pkh invesi mtiks A itu etul mk dpt dilkukn dengn menglikn dengn mtiks A dn hsilny dlh mtiks identits. Oleh se itu A -. A I. / / / / /. / / / Ken hsil kli mtiks A dn invesiny dlh mtiks identits I dpt disimpulkn hw invesi mtiks A dengn elemen-elemen teseut sudh etul.
Kesimpuln : Lngkh untuk menci inves mtiks dlh s:. Hitung deteminn. Ci kofktony (mtiks C). Ci tnspose mtiks (C T ) untuk mempeoleh djoint mtiksny.. Menghitung inves mtiks dengn c memgi djointny dengn deteminn. Mengecek keenn dengn mtiks identits (il dipelukn).. Penggunn Inves Mtiks Penggunn invesi sutu mtiks dintny dlh untuk menyelesikn pesmn linie simultn. Dlm pesmn linie simultn kn dici hg-hg unkown yng elum dikethui. Jik dlm pesmn linie simultn mempunyi hg deteminn yng tidk sm dengn nol mk penyelesin pesmnny kn mempunyi hg yng unik ( unkwon mempunyi hg ). Mislkn pesmn linie simultn mempunyi pesmn segi eikut :. +. +. c. +. +. c. +. +. c kn dici hg-hg, dn yng memenuhi pesmn teseut dengn inves mtiks. Lngkh petm dlh mementuk pesmn linie simultn menjdi entuk peklin mtiks segi eikut : A C. c c c Dengn opesi mtiks mk mtiks dlh : A -. C sehingg elemen pd mtiks dpt ditentukn. Beikut ini d penggunn inve mtiks pd penyelesin pesmn linie simultn.
Contoh sol: Tentukn hg-hg. dn dlm pesmn linie simultn :. +. +. +. +. +. Penyelesin : Pesmn linie simultn dlm entuk mtiks : A. C. Telh dihitung mellui djoint mtiks dn deteminn untuk mempeoleh inves mtiks A yitu A -. Sehingg entuk peklin mtiks pd pesmn linie simultn menjdi : A -. C / / / / /. / / / Dengn peklin mtiks dpt dipeoleh hg-hg. dn segi eikut : /. + /. + -/. + / /. + -/. + /. / + / / -/. + /. + -/. - + / / Untuk mengecek pkh hg-hg teseut etul mk disustitusikn kemli kedlm pesmn linie simultn di ts.. +. + + ( etul ). +. +.. +. +. + + ( etul ) +. +. +. +. + + (etul)
BAB VII TRIGONOMETRI A. Pengetin Tigonometi meupkn pengethun yng mengkji tentng sudut dn fungsiny. Dpt ditikn jug segi pengukun segitig tu ilmu uku segitig. Huungn nt sudut dengn fungsi-fungsi tigonometi di sudut. Sutu sudut didefinifikn segi hsil pemutn gis yng eentuk nk pnh tehdp titik pngklny. - Sudut positif: pemutn elwnn dengn h jum jm - Sudut negtif: seh jum jm B. Stun Sudut. Dejt Yitu sudut pd lingkn yng esny di keliling lingknny. Cttn: dejt menit tu menit detik tu Jdi. Rdin Yitu es sudut dlm lingkn yng mempunyi usu pnjng ji-ji lingkn.
Misl: d Ji-ji Keliling lingkn K Mk: K. Jdi stu keliling lingkn kn mempunyi k din. din din Dimn: d d 8 jdi d 8 8,,. Gde Yitu sudut pd lingkn yng esny di keliling lingknny Jdi: gde gde,gde C. Fungsi-Fungsi Tigonometi Y sin y ; cosec y cos ; sec y tn y ; cot y X syt: sudut lncip <
Identits Tigonometi y y tu sin cos ec tu cos cos ec y y tu tn cos ec y y tu sin cos tn sehingg: cosec sin dn sin. cosec sec cos dn cos. sec cot tn dn tn. cot set: cot cos sin
Atun sine dn cosine Atun sine sin sin c sin c Atun cosine: + c..c cos sudut + c..c cos dimil c +.. cos depn sisi Lus segitig dits dpt dici dengn umus: L L L.. sin.. c sin sudut dimil yng dipit.. c sin oleh du sisi yng dikethui. Jik yng dikethui hny pnjng sisi-sisiny (elum dikethui es sudut): L s ( s )( s )( s c) dimn s ½(++c) Contoh Tentukn lus segitig dn es sudut yng d jik pnjng sisi - sisi segitig teseut dlh, dn Jw: S ½(++c) ½ (++), L,( s )( s )( s c) 8
,.,..,8., Jdi lus segitig teseut dlh, Selnjutny dengn tun cosine didpt: cos + c +,.c.. 8, cos + c +,.c.. 8,8 cos + c +,,... Contoh Dlm segitig ABC dikethui sudut dn sudut set pnjng sisi C,m Tentukn sisi-sisi segitig dn sudut yng elum dikethui?