MODEL MATEMATIKA MANIPULATOR FLEKSIBEL

Bab 3 MODEL MATEMATIKA MANIPULATOR FLEKSIBEL Pada Bab ini akan dibahas mengenai model matematika dari manipulator fleksibel. Model matematika yang akan diturunkan akan menggunakan teori balok Timoshenko yang akan dibahas pada Subbab 3.1. Karena kita ini ingin mengamati perilaku dari vibrasi pada sistem maka keluaran dari sistem haruslah berupa defleksi atau pergeseran dari manipulator yang akan dibahas pada Subbab 3. dan 3.3. Sedangkan pada Subbab 3.4 akan dibahas mengenai energi-energi yang terkandung pada manipulator fleksibel dan pada Subbab terakhir akan dibahas mengenai persamaan ruang keadaan dari manipulator fleksibel. 3.1 Teori Balok Timoshenko Lengan robot fleksibel satu link dapat dianggap sebagai sebuah balok. Teori yang cukup terkenal dan klasik dalam menurunkan model matematika untuk sebuah balok adalah Teori Euler-Bernoulli. Akan tetapi, Rayleigh memperbaiki model Euler- Bernoulli ini dengan menambahkan efek inersia rotasional yang disebabkan oleh gerak rotasi dari cross-section balok selama getaran melentur flexural vibration. Akhirnya, Timoshenko 5] memperbaiki teori Rayleigh dengan menambahkan efek

BAB 3. MODEL MATEMATIKA MANIPULATOR FLEKSIBEL 3 dari gaya geser shear dalam cross-section balok dan menunjukkan bahwa efek ini lebih signifikan dibandingkan dengan efek inersia rotasional. Sehingga model balok Timoshenko mempertimbangkan baik efek rotasional maupun efek gaya geser. Dalam bab ini akan diturunkan model matematika untuk lengan robot fleksibel satu link menggunakan teori balok Timoshenko yang dilengkapi dengan dua buah mekanisme redaman yaitu external viscous air damping dan internal structural viscoelasticity effect Kelvin-Voigt. Untuk menyederhanakan masalah maka efek dari gravitasi dan perubahan bentuk dari luar akan diabaikan. Vibrasi transversal tranverse vibration yang terjadi pada balok tergantung pada bentuk geometri, sifat-sifat bahan balok, dan torsi dari luar. Secara geometri sifatsifat dari balok yang utama adalah panjangnya L, ukurandanbentukcross-section seperti luasnya A, momen inersia I terhadap sumbu pusat dari lekukan bending, dan koefisien geser Timoshenko k yaitu faktor koreksi k <1 untuk menghitung distribusi shear stress sehingga luas geser efektif sama dengan ka 6], 16]. Sifat-sifat bahan dari balok dikarakteristikan dengan kerapatan ρ dalam masa per satuan volume, modulus Young atau modulus elastisitas E dan modulus geser atau modulus kekakuan G. Skema dari gerak rotasi lengan robot fleksibel satu link dapat ditunjukkan dalam Gambar 3.1 6]. Kerangka koordinat X Y adalah kerangka acuan diam sedangkan kerangka koordinat X Y adalah kerangka acuan yang berotasi dengan seluruh struktur dari link dengan sumbu-x menyinggung balok terdefleksi di titik pusat hub. Defleksi dari link fleksibel dihitung dari sumbu-x dan disimbolkan dengan wx, t. Selanjutnya kita asumsikan bahwa defleksi yang terjadihanya dalambidang datar. Seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.1, lengan robot fleksibel satu link pada dasarnya terdiri dari pusat apitan yang kaku rigid clamping hub, sebuah link fleksibel, dan beban pada bagian ujung bebas link. Ketiga bagian ini mempunyai karak-

BAB 3. MODEL MATEMATIKA MANIPULATOR FLEKSIBEL 4 Y Y link terdefleksi M P, J P elemen balok beban y N l, E, I, y hub t w x, t x X J h x X Gambar 3.1: Link fleksibel teristik fisik yang berbeda-beda. Posisi suatu titik N pada link fleksibel dapat direpresentasikan y x, t =x sinθt + wx, tcosθt 3.1 dan untuk θt yang cukup kecil y x, t dapat dihampiri oleh y x, t =xθt+wx, t. 3. 3. Defleksi Terhadap Koordinat X Y Sekarang kita akan menurunkan persamaan defleksi untuk balok, wx, t, terhadap acuan koordinat X Y. Perhatikan sebuah segmen dengan lebar dx pada posisi x dari link terdefleksi seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.. Karena pengaruh dari gaya geser, segmen yang sebelumnya berbentuk bujur sangkar akan berubah menjadi suatu bentuk seperti jajaran genjang. Pada posisi x, gaya geser yang terjadi kita lambangkan dengan V x, t momen dilambangkan dengan M x,t. Pada bagian lain dari segmen yaitu pada posisi x+dx,

BAB 3. MODEL MATEMATIKA MANIPULATOR FLEKSIBEL 5 Y Idx x, t t M M dx x σ = sudut shear M V w x, t x dx V V x dx w x, t Adx t sejajar dengan sumbu netral tegak lurus ke muka elemen balok sejajar dengan sumb-x X Gambar 3.: Sebuah elemen dari link fleksibel gaya geser V + dv dan momen M + dm dapat dihitung menggunakan hampiran Taylor orde 1, yaitu V x, t V x + dx, t =V x, t+, 3.3 Mx, t Mx + dx, t =Mx, t+. 3.4 Teori Timosheonko memperhitungkan efek inersia rotasi maupun perubahan bentuk shear. Gambar 3. memperlihatkan diagram bebas dari suatu elemen balok 6]. Jika perubahan bentuk akibat gaya geser tidak terjadi, maka garis pusat dari elemen balok akan serupa dengan garis yang tegak lurus ke muka dari cross section. Jika perubahan bentuk akibat gaya geser terjadi, maka elemen balok yang tadinya berbentuk persegi panjang akan cenderung berubah bentuk menjadi bentuk seperti belah ketupat tetapi bukan hasil rotasi. Misalkan β melambangkan kemiringan dari garis pusat yang disebabkan oleh bending ketika gaya geser diabaikan dan σ adalah sudut geser di sumbu netral dalam cross section yang sama lihat gambar 3.. Maka kemiringan total yang terbentuk

BAB 3. MODEL MATEMATIKA MANIPULATOR FLEKSIBEL 6 adalah 3] wx, t = βx, t+σx, t. 3.5 Gaya geser V x, t diberikan oleh 3] wx, t V x, t = kagσx, t = kag βx, t, 3.6 dengan k adalah faktor koreksi geser yang tergantung pada bentuk dari cross section, A adalah luas cross section, dan G adalah modulus geser. Sedangkan untuk momen dari balok diberikan oleh 13] βx, t Mx, t =EI dengan E adalah modulus elastisitas Young, I K V + K V I βx, t, 3.7 t adalah momen inersia dari link, dan adalah koefisien redaman Kelvin-Voight. Selanjutnya terdapat dua persamaan dinamik sebagai berikut 3]-5]: momen :ρi βx, t t = gaya :ρa wx, t t Mx, t V x, t, 3.8 V x, t wx, t = γ, 3.9 t dengan suku-suku ρi βx,t t, ρa wx,t, dan γ wx,t t t berturut-turut merepresentasikan distribusi inersia rotasional, distribusi gaya transversal, dan gaya tahanan udara. Substitusikan persamaan 3.6 dan persamaan 3.7 ke dalam persamaan 3.8, selanjutnya persamaan 3.6 ke persamaan 3.9 maka akan menghasilkan dua buah persamaan gerak balok Timoshenko dengan redaman: K V I 3 βx, t +EI βx, t t wx, t kag wx, t +kag βx, t ρa wx, t wx, t γ t t βx, t ρi βx, t =, 3.1 t =. 3.11

BAB 3. MODEL MATEMATIKA MANIPULATOR FLEKSIBEL 7 Model untuk luas cross-section dan densitas balok kita anggap seragam, kemudian dengan menggabungkan persamaan 3.1 dan 3.11 akan diperoleh: K V I 5 wx, t K V Iρ 4 t kg ρi 1+ E kg + K V γ 4 wx, t ρkag t 5 wx, t + EI 4 wx, t t 3 4 ρiγ 3 wx, t + ρa wx, t wx, t + γ kag t 3 t t + EIγ 3 wx, t + kag t = 3.1 Persamaan defleksi balok wx,t yang kita inginkan diperlihatkan dalam persamaan 3.1 yang merupakan persamaan diferensial parsial PDP linear homogen orde lima dengan efek redaman internal dan eksternal. Berkaitan dengan PDP pada persamaan 3.1 kita akan gunakan syarat awal dan syarat batas sebagai berikut 6]: Syarat awal : Syarat batas : wx, = w, wx, t t = w. 3.13 t= 1. ujung link yang tidak dapat bergerak bebas : wx, t w,t= = 3.14 x=. ujung link yang memiliki beban dan dapat bergerak bebas : ] M wx,t P Mx,t = t ] x=l J 3 wx,t P + Mx, t = t x=l 3.15 dengan M P adalah masa beban dan J P adalah inersia beban. Persamaan diferensial parsial pada persamaan 3.1 adalah masalah yang sangat

BAB 3. MODEL MATEMATIKA MANIPULATOR FLEKSIBEL 8 rumit untuk dipecahkan. Akan tetapi, dari sedikit metode yang digunakan untuk memecahkan masalah tersebut ada dua buah metode untuk mendekati solusi PDP ini. Metode tersebut adalah metode transformasi Laplace yang akan menghasilkan solusi dalam bentuk integral, dan metode ekspansi fungsi eigen. Pada kesempatan ini akan digunakan metode ekspansi fungsi-eigen untuk mendekati solusi PDP pada persamaan 3.1. Misalkan solusi dari PDP tersebut berbentuk 6] ] n 1 πx wx, t = W n xδ n t = 1 cos δ n t 3.16 n=1 n=1 yaitu hasil kali dari fungsi yang memuat x saja dan fungsi yang memuat t saja. Dengan mensubstitusikan persamaan 3.16 kedalam persamaan 3.1 kita akan memperoleh persamaan diferensial biasa PDB sebagai berikut : c 1 d 4 δ n t dt 4 + c n 1 + c 3 d 3 δ n t dt 3 c6 n 1 4 + c 7 n 1 + c 8 dδ n t dt + c 4 n 1 + c 5 d δ n t dt + + c 9 n 1 4 δ n t =, 3.17 dengan c 1 = ρ I kg,c = K V Iρπ,c kgl 3 = ρiγ kag,c 4 = ρiπ 1+ E l kg + K V γ, ρkag c 5 = ρa, c 6 = K V Iπ 4 l 4,c 7 = EIγπ kagl,c 8 = γ,c 9 = EIπ4 l 4. 3.18 Berdasarkan data numerik pada Lampiran A ternyata koefisien dari d4 δ nt dt 4 dan d3 δ nt dt 3 sangat kecil dibandingkan dengan suku-suku PDB yang mempunyai orde lebih kecil. Oleh karena itu, persamaan 3.17 dapat kita reduksi menjadi PDB orde dua : dengan cf 1.. δ n t+cf. δ n t+cf 3 δ n t =, 3.19 cf 1 = c 4 n 1 + c 5 ; cf = c 6 n 1 4 + c 7 n 1 + c 8 ; cf 3 = c 9 n 1 4.

BAB 3. MODEL MATEMATIKA MANIPULATOR FLEKSIBEL 9 Persamaan 3.19 merupakan bentuk umum PDB orde dua dari sistem linear pegas dengan redaman. Dengan menggunakan syarat awal, δ n dan. δ n, solusi dari PDB ini adalah δ n t =C n e ξωnt cos ω d t ψ n δ n t =C n e ξωnt cos ω d t ψ n, 3. dengan ω n = cf 3 cf 1 = c 9 n 1 4 c 4 n 1 +c 5, ζ n = cf cf 1 ω n = c 6n 1 4 +c 7 n 1 +c 8 c 4 n 1 +c 5ω n,ω d = ω n 1 ζ n, C n =. δ n+δ nζ nω n ω d ] +δn ],. ψ n = arctan n =1,, 3... δ n+δ nζ nω n ω d δ n ], Defleksi dari manipulator fleksibel satu link yang diperoleh dari persamaan Timoshenko dengan redaman persamaan 3.1, akhirnya diformulasikan sebagai berikut: wx, t = n=1 C n e ξωnt cos ω d t ψ n 1 cos n 1 πx ]. 3.1 3.3 Defleksi Terhadap Koordinat X Y Sekarang kita anggap acuan dari gerakan balok adalah koordinat X Y. Sehingga defleksi balok yang terjadi adalah y x, t =xθt+wx, t. Persamaan defleksi dalam koordinat X Y sebenarnya hampir sama dengan dengan persamaan defleksi balok pada koordinat X Y hanyasajadefleksiwx, t sekarang menjadi y x, t. Oleh karena itu, persamaan diferensial pada persamaan

BAB 3. MODEL MATEMATIKA MANIPULATOR FLEKSIBEL 3 3.1 dan 3.11 menjadi berbentuk K V I 3 βx, t +EI βx, t t y x, t kag y x, t +kag βx, t ρa y x, t γ y x, t t t βx, t ρi βx, t =, 3. t =. 3.3 Perhatikan persamaan 3.3 diatas dapat dituliskan sebagai: βx, t = y x, t ρ y x, t γ kg t kag y x, t. 3.4 t Koefisien-koefisien ρ/kg dan γ/kag sangatlah kecil jika dibandingkan dengan koefisien lainnya yaitu ρ/kg =, 716 1 6 dan γ/kag =11, 3778 1 6 lihat Lampiran A. Oleh karena itu, koefisien-koefisien tersebut akan kita abaikan. persamaan 3.4 menjadi βx, t Jadi, = y x, t. 3.5 Untuk memperoleh ekspresi βx, t dalam wx, t, substitusikan y x, t =xθt + wx, t ke dalam persamaan 3.3, kemudian integralkan, diperoleh x ws, t βx, t = ds + gt. 3.6 s Karena di titik pusat balok tidak mengalami perubahan bentuk maka sudut lekukan di titik pusat adalah nol β,t =. Jadi, x ws, t βx, t = ds. 3.7 s Persamaan 3.16 merupakan solusi dari PDP pada persamaan 3.1. Khususnya untuk n=1 persamaan 3.16 berbentuk wx, t = 1 cos πx δt. 3.8 Persamaan 3.8 juga merupakan solusi dari PDP persamaan 3.1. Oleh karena itu, untuk menyederhanakan permasalahan vibrasi transversal wx, t berbentuk seperti ditunjukkan pada persamaan 3.8.

BAB 3. MODEL MATEMATIKA MANIPULATOR FLEKSIBEL 31 Sekarang substitusikan persamaan 3.8 pada persamaan 3.7 kemudian selesaikan integral tersebut, diperoleh βx, t = π sin δt. 3.9 Jadi, defleksi yang terjadi pada koordinat X Y adalah y x, t =xθt+ 1 cos πx δt. 3.3 Untuk sudut geser σx, t pada koordinat X Y menjadi berbentuk σx, t = y t βx, t =θt. 3.31 Apabila kita tidak mengabaikan koefisien-koefisien yang cukup kecil pada persamaan 3.4 maka kita tidak akan memperoleh sudut shear σx, t tepat sama dengan θt. 3.4 Energi Kinetik dan Energi Potensial Balok Energi kinetik dan energi potensial dari sebuah link fleksibel yang disebabkan oleh internal bending moment dan gaya geser adalah 6] T = 1 + 1 J P ] y x, t ρa dx + 1 t θt+ wx, t t ] βx, t ρi dx + 1 ] t J h θt ] + 1 ] x=l M y x, t P t, x=l 3.3 U = 1 ] βx, t EI dx + 1 kag σx, t] dx. 3.33 Sedangkan energi disipasi dissipated energy yang disebabkan oleh efek redaman dapat dituliskan sebagai 6] D = 1 y x, t γ dx + 1 K V I t 3 y x, t t dx. 3.34

BAB 3. MODEL MATEMATIKA MANIPULATOR FLEKSIBEL 3 Substitusikan persamaan 3.8, 3.9 dan 3.3 ke dalam ekspresi energi pada persamaan 3.3, 3.33 dan 3.34, diperoleh ekspresi energi sebagai berikut: U = 1 T = 1 + 1 + 1 J P ρa x θt+ ] 1 cos δ t dx ρi π 4 EI cos D = 1 + 1 π ] sin 1 ] δ t dx + J h θt π θt+ δ ] 1 t + M P l θt+ δ t], 3.35 γ δ t dx + 1 kag θt] dx, 3.36 x θt+ ] 1 cos δ t dx K V I π ] cos δ t. 3.37 3.5 Persamaan Ruang Keadaan Gerak Balok Kita akan menggunakan persamaan gerak Lagrange untuk menurunkan persamaan dinamik dari link fleksibel, ] d L dt q i L q i + D q i = F i,i=, 1,,... 3.38 dengan L = T U disebut Lagrangian dan F i adalah gaya luar yang berkaitan dengan koordinat diperumum q i. Kita misalkan q = θt yaitu pergeseran rotasional dari link dan q 1 = δt yaitu pergeseran transversal pada ujung link x =l. Misalkan τ adalah torsi yang bekerja pada koordinat pertama F 1 = τ, sedangkan pada koordinat kedua tidak ada gaya luar yang bekerja F =. Selanjutnya kita

BAB 3. MODEL MATEMATIKA MANIPULATOR FLEKSIBEL 33 cari suku-suku untuk d L dt q i, L q i,dan D q i lihat Lampiran B, maka berdasarkan persamaan gerak Lagrange diperoleh persamaan dinamik untuk link fleksibel sebagai berikut: ρax x θ + 1 cos +kaglθ + ρa 1 cos δ] π dx + J h θ + JP θ + δ + M P l l θ + δ γx x θ + 1 cos δ] dx = τ, 3.39 π + ρi sin π 4 + EI cos + γ 1 cos π 4 + K V I cos x θ + 1 cos δ] dx δ] π dx + J P θ + δ π + M P l θ + δ δdx x θ + 1 cos δ] dx δdx =. 3.4 Dua persamaan dinamik di atas dapat disederhanakan menjadi berbentuk: M θ + Q θ + H θ = τ, 3.41 δ δ δ dengan M R disebut matriks massa, Q R disebut matriks redaman, dan H R disebut matriks kekakuan stiffness. Elemen-elemen dari matriks M, Q, dan H dapat dilihat pada Lampiran B. Persamaan ruang keadaan dari link fleksibel dapat dengan mudah dibentuk dari persamaan dinamik di atas. Kita misalkan x 1 t =θt, x t =δt, x 3 t = θt, dan x 4 t = δt maka persamaan 3.41 menjadi berbentuk: M ẋ3t + Q x 3t + H x 1t = τ ẋ 4 t x 4 t x t. 3.4

BAB 3. MODEL MATEMATIKA MANIPULATOR FLEKSIBEL 34 Persamaan terakhir ini dapat dituliskan sebagai ẋ3 ẋ 4 = M 1 H x 1 M 1 Q x 3 x x 4 + M 1 τ, 3.43 dengan syarat bahwa det M. Tulis ulang persamaan 3.48 dalam bentuk: ẋ = Ax + Bu, ] T dengan x = x 1 x x 3 x 4, u = τ dan A = I, M 1 H M 1 Q B = M 1 1. Perilaku dari sistem dapat diamati dari keluarannya output. Untuk sistem link fleksibel ini keluaran yang diinginkan adalah sudut rotasional, defleksi dan posisi dari ujung link. Oleh karena itu, kita misalkan keluaran dari sistem berbentuk y = C x 1 x x 3 x 4, dengan C = 1 1 1 1. Asumsikan bahwa x =, maka kita peroleh persamaan ruang keadaan untuk manipulator fleksibel sebagai berikut:

BAB 3. MODEL MATEMATIKA MANIPULATOR FLEKSIBEL 35 ẋ = Ax + Bu,x =, 3.44 y = Cx. 3.45 Setelah persamaan ruang keadaan untuk manipulator fleksibel terbentuk maka langkah selanjutnya adalah merancang sistem kontrol. Sistem kontrol ini terdiri dari plant yaitu objek yang akan dikontrol dan pengontrol untuk plant tersebut. Pengontrol untuk sistem kontrol ini dicari dengan menggunakan kontrol suboptimal H. Eksistensi dari pengontrol suboptimal ini telah ditunjukkan pada Teorema.1.