INTEGRAL RIEMANN-LEBESGUE

INTEGRAL RIEMANN-LEBESGUE Ikram Hamid Program Studi Pendidikan Matematika Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam FKIP Universitas Khairun ABSTRACT In this paper, we discuss a Riemann-type integrals, we called RL-integral. Then, we will construct the RL-integral on [, ] by studying some basic properties of RL-integrable functions, the characteristics of RL-primitive, the relation between the RL-integral and the Henstock Integral, and some convergence theorems for RL-Integral. Key words: Henstock Integral, RL-Integral, RL-Primitive, Convergence Theorems. PENDAHULUAN Dalam definisi integral, integral Riemann menggunakan suatu konstanta positif, sedangkan integral Henstock menggunakan suatu fungsi positif. Namun ke dua jenis integral tersebut dalam masalah numerik, yang lebih dipilih konstanta positif. Hal ini memberikan motivasi untuk memperkenalkan suatu jenis integral yang menggunakan peran konstanta positif, namun tetap mempertahankan sifat dari integral Henstock. Jenis integral yang dimaksud adalah integral Riemann-Lebesgue atau disebut dengan integral-rl. Definisi integral-rl telah diperkenalkan oleh (Lee, 1989) dengan beberapa sifat yang kajiannya belum mendalam. Oleh karena itu, dalam paper ini akan diselediki lebih mendalam sifat-sifat integral-rl, antara lain sifat-sifat dasar integral-rl, Karakteristik primitif-rl, hubungan antara integral-rl dengan integral Henstock, dan beberapa teorema kekonvergenan pada integral-rl. METODE Metode penelitian yang digunakan adalah studi literatur, yaitu mengumpulkan materi-materi penelitian yang dimbil dari beberapa buku analisis yang memuat tentang integral Riemann-Lebesgue. Selanjutnya mempelajari dan membahas materi tersebut. PEMBAHASAN 1. Partisi dan Integral Henstock Dalam kajian berikut ini, akan dibicarakan beberapa konsep awal yang diperlukan untuk mengkonstruksi sifat-sifat yang berlaku pada integral-rl. 19

1.1 Partisi Konsep partisi memberikan kontribusi penting dalam membangun teori integral. Berikut ini akan diperkenalkan pengertian partisi Lebesgue dan partisi Peon δ fine. Definisi 1.1.1 (Pfeffer, 1993) Diberikan [uu 1, vv 1 ], [uu 2, vv 2 ],, [uu, vv ] interval-interval yang tidak saling tumpang-tindih di dalam interval [, ] R dan xx 1, xx 2,, xx di dalam [, ] R. a) Koleksi pasangan interval-titik PP = {([uu, vv], xx)} = {([uu ii, vv ii ], xx ii ); ii = 1,2,, } disebut (i) partisi Lebesgue pada [, ] jika ii=1 [uu ii, vv ii ] = [, ] (ii) partisi parsial Lebesgue di dalam [, ] jika ii=1[uu ii, vv ii ] b) Diberikan fungsi δδ: [, ] R. Koleksi pasangan interval-titik PP = {([uu, vv], xx)} = {([uu ii, vv ii ], xx ii ); ii = 1,2,, } disebut (i) (ii) Partisi Peon δδ ffffffff pada [, ] jika xx ii [uu ii, vv ii ] xx ii δδ(xx ii ), xx ii + δδ(xx ii ) dan ii=1 [uu ii, vv ii ] partisi parsial Peon δδ ffffffff di dalam [, ] jika xx ii [uu ii, vv ii ] xx ii δδ(xx ii ), xx ii + δδ(xx ii ) dan ii=1[uu ii, vv ii ] [, ]. = [, ] [, ]. Partisi yang digunakan pada pembahasan integral Riemann-Lebesgue adalah partisi Lebesgue. Selanjutnya, eksistensi partisi Peron δδ-fine pada interval [, ] R yang selanjutnya disebut partisi δδ-fine pada interval [, ], dijamin oleh Teorema 1.1.2. Teorema 1.1.2 (Lemma Cousin) (Pfeffer, 1993) Untuk setiap fungsi positif δδ pada selang [, ] terdapat parisi δδ-fine pada [, ]. Bukti: Dibuktikan dengan kontradiksi. Andaikan terdapat fungsi positif δδ pada [, ] sehingga tidak terdapat partisi δδ-fine pada E. Diambil selang EE = [, ], xx jj EE dengan xx jj = jj + jj, jj = 1,2,, nn. Hal ini mengakibatkan selang E terbagi menjadi 2 2 bagian dengan panjang sama. Karena dalam selang E tidak terdapat partisi δδ-fine maka paling sedikit salah satu selang bagian tersebut tidak mempunyai partisi δδ-fine. Namakan salah satu selang bagian yang dimaksud dengan EE 1 = [ 1, 1 ]. Diambil xx jj EE dengan xx jj = jj 1 1 + jj, jj = 1,2,, nn, diperoleh 2 bagian di dalam selang EE 1 yang 2 salah satu selang bagiannya tidak mempunya partisi δδ-fine. Namakan salah satu 20

interval bagian yang dimaksud dengan EE 2 = [ 2, 2 ]. Proses ini dilanjutkan terusmenerus sehingga diperoleh barisan selang tertutup {EE nn } untuk nn = 1,2, yang tidak mempunyai partisi δδ-fine dengan sifat (1) EE EE 1 EE 2 (2) lim nn EE nn = 0, dengan EE nn menyatakan panjang selang EE nn. Jadi {EE nn } merupakan barisan selang susut yang memenuhi syarat-syarat teorema selang susut (nested interval ). Oleh karena itu terdapat tepat satu xx EE nn, untuk setiap n. Karena lim nn EE nn = 0 dan xx EE nn untuk setiap n, maka terdapat EE kk sehingga EE kk BB xx, δδ(xx). Jelas bahwa (EE kk, xx) merupakan partisi δδ-fine pada selang EE kk. Hal ini merupakan suatu kontradiksi. Jadi pengandaian salah. 1.2 Integral Henstock Selanjutnya, diberikan pengertian integral Henstock dan beberapa sifat Integral Henstock yang akan digunakan pada pembahasan-pembahasan selanjutnya. Definisi 1.2.1 (Lee, 1999) Fungsi ff [, ] R dikatakan terintegral Henstock pada [, ], dituliskan ff HH[, ], jika terdapat bilangan real A dengan sifat untuk setiap εε > 0 terdapat fungsi positif δδ pada [, ] sehingga untuk setiap partisi δδfinedd = {([uu, vv]; xx)} = {([uu ii, vv ii ], xx ii ); ii = 1,2,3, pp} pada [, ] berlaku (DD) ff(xx)(vv uu) AA < εε. Selanjutnya, bilangan A di dalam Definisi 2.2.1 disebut nilai integral Henstock fungsi f pada [, ], dan dituliskan AA = (HH) ff = (HH) ff(xx) dddd. Diberikan fungsi f terintegral Henstock pada [, ] dan fungsi FF: [, ] R, dengan rumus xx FF(xx) = (HH) ff(xx)dddd, untuk setiap xx [, ]. Selanjutnya F disebut fungsi primitif dari fungsi yang terintegral Henstock pada [, ] atau F disebut primitif-h fungsi f pada [, ]. Berdasarkan pembentukan fungsi F di atas akan diberikan beberapa sifat integral Henstock pada [, ] yang berhubungan dengan primitif-h fungsi f pada [, ]. 21

Teorema 1.2.2 (Lemma Henstock) (Lee dan Vyy bornyy, 1999) Jika fungsi f terintegral Henstock pada [, ], yaitu untuk setiap εε > 0 terdapat fungsi positif δδ pada [, ] dengan sifat untuk setiap DD partisi δδ-fine pada [. ] berlaku (DD) {ff(xx)(vv uu) FF(uu, vv)} < εε maka untuk sebarang DD 1 DD partisi parsial δδ-fine di dalam [, ] berlaku (DD 1 ) {ff(xx)(vv uu) FF(uu, vv)} < 2εε dengan F menyatakan primitif-h fungsi f pada [, ]. Diketahui fungsi ff [, ] R. Untuk setiap N, dibentuk ff NN fungsi pada [, ] sebagai berikut ff(xx), ff NN (xx) = NN, NN, ff(xx) NN ff(xx) > NN ff(xx) < NN, untuk setiap xx [, ]. Selanjutnya, ff NN disebut fungsi terpancung (truncated function) pada [, ]. Berdasarkan pendefinisian fungsi terpancung di atas dapat dibangun Lemma 2.2.3. Lemma 1.2.3 (Lee, 1989) Jika fungsi f terintegral Henstock mutlak pada [, ] maka ff NN terintegral Henstock pada [, ] dan primitif dari ff NN kontinu mutlak pada [, ]. Teorema kekonvergenan di dalam integral Henstock memberikan syarat cukup agar limit nilai integral Henstock barisan fungsi terintegral Henstock sama dengan nilai integral fungsi terintegral. Hal tersebut dapat dilihat pada Teorema 2.2.4. Teorema 1.2.4 (Teorema Kekonvergenan Monoton) (Lee, 1989) Jika barisan fungsi {ff nn }, ff nn : [, ] R untuk nn = 1,2, memenuhi (i) (ii) ff nn konvergen ke ff hampir di mana-mana pada E untuk nn dan ff nn terintegral Henstock pada [, ], untuk setiap n, ff 1 ff 2 hampir di mana-mana pada [, ], (iii) (HH) ff nn konvergen ke A, maka f terintegral Henstock pada [, ] dan lim (HH) ff nn nn = (HH) ff. 22

2. Integral Riemann-Lebesgue Integral Henstock dalam definisinnya menggunakan fungsi δδ, sedangkan integral Riemann-Lebesgue menggunakan konstanta δδ. Dalam kajian berikut ini, akan dikonstruksi sifat-sifat integral Rieman-Lebesgue sehingga bisa memiliki hubungan dengan integral Henstock. Definisi 2.1 (Lee, 1989) Diketahui ff [, ] R fungsi non-negatif pada [, ], dan R. f dikatakan terintegral-rl pada [, ] dituliskan ff RRRR[, ], jika terdapat bilangan real A, dengan sifat untuk setiap εε > 0 dan ηη > 0, terdapat konstanta δδ > 0 dan himpunan terbuka G, dengan GG < ηη dan untuk setiap partisi DD = {([uu, vv]; xx)} = {([uu ii, vv ii ]; xx ii ), ii = 1,2,, pp }, dengan 0 < vv uu < δδ dan xx [uu, vv] GG berlaku (DD) ff(xx)(vv uu) AA < εε. Selanjutnya bilangan A di dalam Definisi 3.1.1 disebut nilai integral-rl fungsi f pada [, ], dituliskan AA = (RRRR) ff = (RRRR) ff(xx) dddd. Teorema 2.2 Diberikan ff dan gg fungsi non-negatif pada [, ]. Jika fungsi f dan gg terintegral-rl pada [, ], maka berlaku (i) cf terintegral-rl pada [, ] untuk setiap skalar cc 0, dengan (RRRR) cccc = cc(rrrr) ff. (ii) ff + gg terintegral-rl pada [, ], dengan (RRRR) (ff + gg) = (RRRR) ff + (RRRR) gg. (iii) Jika ff gg hampir di mana-mana pada [, ], maka (RRRR) ff (RRRR) gg. (iv) Jika fungsi ff = 0 hampir di mana-mana pada [, ] maka f terintegral-rl pada [, ] dan (RRRR) ff = 0. (v) Jika fungsi f terintegral-rl pada [, ] dan ff = gg hampir di mana-mana pada [, ] maka gg terintegral pada [, ]. Di dalam Definisi 3.1, bilangan real A digunakan untuk menentukan fungsi f terintegral-rl pada [, ], dimana bilangan real A merupakan nilai integral-rl pada 23

[, ] yang dapat dihampiri oleh jumlahan berhingga ff(xx)(vv uu) atas partisi Lebesgue pada [, ]. Di sisi lain, dapat ditemukan kriteria untuk menentukan fungsi f terintegral-rl pada [, ], dengan menggunakan selisih dua buah jumlahan 1 dan 2 atas sebarang dua partisi Lebesgue yang berbeda pada [, ]. Kriteria yang dimaksud adalah kriteria Cauchy seperti dinyatakan pada Teorema 3.3. Teorema 2.3 (Kriteria Cauchy) Fungsi ff EE R non-negatif pada [, ] dan terintegral-rl pada [, ] jika dan hanya jika untuk setiap εε > 0 dan ηη > 0 terdapat konstanta δδ > 0 dan himpunan terbuka G, dengan GG < ηη dan untuk setiap partisi DD 1 = {([uu, vv]; xx)} = {([uu ii, vv ii ]; xx ii ), ii = 1,2,, pp }, DD 2 = {([uu, vv]; xx)} = {([uu ii, vv ii ]; xx ii ), ii = 1,2,, qq }, dengan 0 < vv uu < δδ dan xx [uu, vv] GG berlaku dan (DD 1 ) ff(xx)(vv uu) (DD 2 ) ff(xx)(vv uu) < εε. Berdasarkan Kriteria Cauchy pada Teorema 3.3, dapat diberikan Teorema 3.4. Teorema 2.4 Jika f fungsi non-negatif dan terintegral-rl pada [, ] dan [cc, dd] [, ] maka f terintegral-rl pada [cc, dd]. Bukti: Diberikan εε > 0 dan ηη > 0 sebarang. Karena f terintegral-rl pada [, ], berarti terdapat konstanta δδ > 0 dan himpunan terbuka G, dengan GG < ηη dan untuk setiap partisi DD = {([uu, vv]; xx)} = {([uu ii, vv ii ]; xx ii ), ii = 1,2,, pp }, dan DD = {([uu, vv]; xx)} = {([uu ii, vv ii ]; xx ii ), ii = 1,2,, qq }, dengan 0 < vv uu < δδ dan xx [uu, vv] GG berlaku (DD ) ff(xx)(vv uu) (DD ) ff(xx)(vv uu) < εε. Namakan DD, DD cc, dan DD dd berturut-turut merupakan partisi pada [cc, dd], pada [, cc], dan pada [dd, ]. Kemudian DD partisi lainnya pada [cc, dd]. Diperhatikan bahwa, PP = DD DD c DD dd dan PP = DD DD c DD dd merupakan partisi pada [, ]. Dengan demikian maka diperoleh (DD ) ff(xx)(vv uu) (DD ) ff(xx)(vv uu) = (PP) ff(xx)(vv uu) (PP ) ff(xx)(vv uu) < εε. Berdasarkan Kreteria Cauchy, f terintegral-rl pada [cc, dd]. 24

Teorema 2.5 Diberikan f fungsi non-negatif pada[, ]. Jika f terintegral-rl pada [, cc] dan f terintegral-rl pada [cc, ] maka f terintegral-rl pada [, ]. Lebih lanjut (RRRR) ff = (RRRR) ff + (RRRR) ff. cc Berdasarkan Teorema 3.4, dapat didefinisikan primitif-rl atas fungsi terintegral-rl pada [, ] sebagai berikut. Definisi 2.6 Diberikan f fungsi non-negatif pada [, ] dan f terintegral-rl pada [, ]. Fungsi FF: [. ] R disebut fungsi primitif dari fungsi yang terintegral-rl pada [. ], jika f terintegral pada [, xx], dengan xx dan dituliskan xx FF(xx) = (RRRR) ff (xx)dddd, untuk setiap xx [. ]. Selanjutnya, F disebut primitif-rl fungsi f pada [, ]. Setelah didefinisikan primitif-rl atas fungsi terintegral-rl pada [, ], integral-rl dapat didefinisikan sebagai berikut. cc SIMPULAN Dalam penelitian ini telah berhasil mengkonstruksi sifat-sifat integral-rl pada [a, b] dengan tetap mempertahankan sifat-siafat integral Henstock pada selang yang sama, dengan demikian integral-rl memiliki ekuivalensi dengan integral Henstock. DAFTAR PUSTAKA Lee, P. Y., 1989. Lanzhou Leactures on Henstock Integration, World Scientific, Singapore Lee, P. Y, dan Vy borny, R., 1999. Integral: An Easy Approach after Kurzweil and Henstock, Cambridge University Press, New York, USA Pfeffer, W. F., 1993. The Riemann Approach to Integration, Cambridge University Press, New York, USA 25