T DAR INTEGRAL TAK MUTLAK

Transkripsi

1 INTEGRAL TAK MUTLAK

2 T DAR INTEGRAL TAK MUTLAK

3 A B S T R A K Setiap teori integral selalu memuat masalah sebagai berikut. Jika untuk setiap n berlaku fungsi f» terintegral dan barisan fungsi {f n } kpnvergen ke f hampir di mana-mana pada selang [a,b], maka syarat cukup apakah yang diperlukan agar fungsi f juga terintegral pada selang yang sama dan Untuk integral Lebesgue syarat cukup yang dimaksud telah terumuskan menjadi beberapa bentuk, antara lain jika {f n } merupakan barisan-terdominasi atau jika fungsi asal Lebesgue f n kontinu mutlak seragam pada [a,b]. Untuk integral Henstock syarat cukup yang dimaksud telah terumuskan dalam beberapa bentuk, antara lain jika {f n } merupakan barisan konvergen terkendali ke f pada [a,b] atau {f n } merupakan barisan terdominasi. Sekarang masalah tersebut di atas akan diteliti untuk integral tumpat Bullen. Integral tumpat Bullen dibangun berdasarkan atas pengertian partisi liput penuh tumpat. Liput penuh tumpat merupakan pengitlaktumpatan liput penuh. Jadi integral tumpat Bullen merupakan pengitlaktumpatan integral Henstock. Oleh karena itu, setelah menelusuri pengertian dasar pengitlaktumpatan, jikalau mungkin disusun lebih dahulu bentuk itlak tumpat setiap pengertian yang berkaitan dengan integral Henstock. Sebagai contoh pengertian limit diltlaktum-

4 2 patkan meniadi pengertian limit tumpat, pengertian turunan diitlaktumpatkan menjadi pengertian turunan tumpat, pengertian kekontinuan diitlaktumpatkan meniadi pengertian kekontinuan tumpat, dan seterusnya. Pengertian-pengertian dalam bentuk tumpat seperti itu banyak yang telah dirumuskan. Dengan cara yang sama pengertian barisan fungsi konvergen seragam dapat diitlaktumpatkan meniadi pengertian bentuk tumpatnya yaitu pengertian barisan fungsi konvergen tumpat lokal. Dengan cara seperti itu penelitian masalah tersebut di atas dikerjakan. Tiga pasang syarat cukup yang dimaksud ternyata ekuivalen dan masing-masing sebagai berikut : a. (i) {Fn} konvergen tumpat lokal ke F pada [a,b] dengan F n sebagai fungsi asal-r ap fungsi f n, dan * (ii) F n E ACG ap [a,b) seragam. b. (i) dan (iii) Ada barisan himpunan tutup {X.} dengan [a,b] = U X. dan untuk setiap c > 0 dan i ada bilangan asli n t sehingga untuk setiap X e (0,1) dan

5 Selain tiga pasang syarat cukup di atas iuga dapat disusun syarat-syarat cukup yang lain, tetapi masing-masing dapat dipandang sebagai akibat salab satu syarat cukup di atas. Di bawah ini ditulis syarat-syarat cukup yang dimaksud.

6 4 ke f pada [a,b], yaitu {O» } konvergen ke f hampir di manamana pada [a,bl dan memenuhi kondisi (a). Dengan menggunakan pengertian itu definisi tips Riesz untuk integral tumpat Bullen dapat dirumuskan sebagai berikut :

7 A B S T R A C T For every n let the function f n be integrable in some sense on [a,b] and the sequence {f n } convergent to f almost everywhere on [a,b]. A common but interesting problem is to find sufficient conditions in order that f will be integrable on [a,b] and $ b f(t)dt = 1 i m ab f n (t)dt. In the n + 0 case of Lebesque's integral, several such sets of conditions have been established, for instance that all the functions f are dominated by one integraible function or, that all n the primitives of f n are uniformly absolutely continuous on [a,b]. In the case of Henstock's integral, it is sufficient that the sequence {f n } converges in the controlled sense or, that all the functions are dominated by some integral function. This dissertation is concerned with seeking solutions for the above problem in case of the approximately continuous integral of Bullen. This integral is based on the concept of an approximately full cover, which is an approximate generalization of a full cover. Therefore Bu11en's approximate continuous integral is the approximate generalization of Henstock's integral. It is therefore logical that the search for those sufficient conditions starts with formulating approximate generalizations for concepts and notions assosiated with the Henstock's integral and convergence of functions. The new concepts include : limits, derivatives, primitives,

8 continuity, absolute continuity, local convergence and controlled convergence of functions. Let R ap [a,b] denote the class of all approximately continuously integrable functions on [a,b] and for / E R ap [a,b] let CRa p )a b f(t)dt be its Bullen integral over [a,b]. The main result of this dissertation can be formulated as follows. Suppose the sequence of functions {f n } in R * [a,b] converges almost everywhere on [a,b] to the function f and for each n let F n be its Bullen R ap -primitive. Then, the three following conditions are equivalent and are sufficient to insure that f e R * [a,b] and

9 Based on the above main results, we may construct a type Riesz definition of the approximately continuous integral of Bullen as follows. A function f is said to be RDa p -integrable on[a,b] if there exists a sequence of simple functions {O n } which is approximately controlled convergent

10 to f on [a,b], i.e., { n } converges to f almost everywhere on [a,b] and satisfies the condition (a). Using RD * -integral, the Riesz type definition of the approximately continuous integral of Bullen can be formalated as follows. A function f is approximately continuous integrable of Bullen on [a,b] if and only if f is RD * -integrable on [a,b] and

11

12

13

14

15

16

17