MA4181 MODEL RISIKO Enjoy the Risks

Catatan Kuliah MA4181 MODEL RISIKO Enjoy the Risks disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011

Tentang MA4181 Model Risiko A. Jadwal kuliah: Selasa; 11.00-12.30; R.StudyHall Kamis; 11.00-12.30; R.StudyHall B. Silabus: Ukuran Risiko (3 minggu) Teori Kebangkrutan (2 minggu) C. Buku teks: Yiu-Kuen Tse, 2009, Nonlife Actuarial Models: Theory, Methods and Evaluation. D. Penilaian: 1. Ujian, 17/18 November 2011 (30%). 2. Tugas dan Presentasi (20%) E. Matriks kegiatan perkuliahan: Table 1: Materi kuliah MA4181 Model Risiko. Minggu- Materi Keterangan 9-11 Ukuran Risiko Penjelasan kuliah 12-13 Teori Kebangkrutan 13 Ujian 17/18 November 2011 14-15 Presentasi MA2082 BioStat. i K. Syuhada, PhD.

Daftar Isi 1 Ukuran Risiko 1 1.1 Pendahuluan........................... 1 1.2 Ukuran Risiko.......................... 2 1.3 Aksioma.............................. 2 1.4 Value-at-Risk (VaR)...................... 3 1.5 Conditional Tail Expectation (CTE)........... 4 1.6 Transformasi PH........................ 6 1.7 Transformasi Esscher...................... 7 1.8 Metode Distortion-Function................. 8 1.9 Transformasi Wang....................... 10 2 Teori Kebangkrutan 1 2.1 Pendahuluan........................... 1 2.2 Bangkrut dan Peluang Bangkrut.............. 2 2.3 Teori Kebangkrutan (Waktu Diskrit)........... 3 2.4 Kebangkrutan Waktu Hingga................ 4 2.5 Fungsi Surplus Waktu Kontinu............... 5 ii

BAB 1 Ukuran Risiko Silabus: Ukuran risiko (premium-based, capital-based), Aksioma risiko, VaR dan ES, transformasi. Tujuan: 1. Mempelajari ukura-ukuran risiko (premium-based, capital-based) 2. Menghitung VaR dari distribusi kerugian kontinu dan diskrit 3. Mempelajari/menurunkan transformasi pada ukuran risiko 1.1 Pendahuluan Jenis-jenis risiko: 1. Risiko pasar (kerugian akibatan perubahan pada harga dan kondisi pasar) 2. Risiko kredit (risiko dari nasabah) 3. Risiko operasional (risiko bisnis yang bukan risiko pasar atau risiko kredit) Kegunaan ukuran risiko: 1. Menentukan modal 2. Menentukan premi 3. Manajemen risiko internal 4. Melaporkan kebijakan eksternal 1

1.2 Ukuran Risiko Definisi: Suatu ukuran risiko dari kerugian acak X, notasi ϱ(x), adalah fungsi bernilai riil ϱ : X R, dimana R adalah himpunan bilangan riil. Peubah acak X tak negatif. Misalkan mean dan variansi kerugian acak X adalah µ X dan σx 2. Ukuran risiko expected-value principle premium didefinisikan sebagai ϱ(x) = (1 + θ) µ X = µ X + θ µ X, dimana θ 0 adalah premium loading factor. pure premium saat θ = 0. Ukuran risiko dikatakan Ukuran risiko variance principle premium didefinisikan sebagai: ϱ(x) = µ X + α σ 2 X, dimana α 0 adalah loading factor. 1.3 Aksioma Beberapa aksioma dalam ukuran risiko, yang apabila dipenuhi maka ukuran risiko tersebut dikatakan coherent (koheren). Aksioma-aksioma tersebut adalah: 1. (T) Untuk setiap X dan konstanta tak negatif a, ϱ(x + a) = ϱ(x) + a 2. (S) Untuk setiap X dan Y, ϱ(x + Y ) ϱ(x) + ϱ(y ) 3. (PH) Untuk setiap X dan konstanta tak negatif a, ϱ(a X) = a ϱ(x) 4. (M) Untuk setiap X dan Y sdh X Y, ϱ(x) ϱ(y ) MA2082 BioStat. 2 K. Syuhada, PhD.

X VaR Contoh/Latihan: Figure 1.1: Value-at-Risk pada Distribusi Normal. 1. Tunjukkan, dengan aksioma PH, bahwa ϱ(0) = 0. Dengan hasil itu, buktikan bahwa jika aksioma PH dan M dipenuhi maka ϱ(x) 0 untuk X 0. 2. no unjustified loading? 3. no ripoff? 4. Tunjukkan bahwa ukuran risiko expected-value principle premium memenuhi aksioma S, PH dan M namun tidak memenuhi aksioma T. Bagaiman dengan ukuran risiko variance/standard deviation principle premium? 1.4 Value-at-Risk (VaR) Value at Risk (VaR) dari suatu peubah/variabel kerugian adalah nilai minimum suatu distribusi sdh peluang untuk mendapatkan kerugian lebih besar dari nilai tersebut tidak akan melebihi peluang yang diberikan. Definisi: Misalkan X adalah peubah acak kerugian dengan fungsi distribusi F X (.) dan δ adalah peluang, makab VaR pada tingkat peluang δ adalah δ-kuantil dari X: V ar δ (X) = F 1 X (δ) = x δ Jika F X (.) fungsi tangga (X tidak kontinu), didefiniskan V ar δ (X) = inf {x [0, ) : F X (x) δ} MA2082 BioStat. 3 K. Syuhada, PhD.

Contoh/Latihan: 1. Hitung V ar δ untuk distribusi kerugian X: E(λ), N (µ, σ 2 ), P(α, γ). 2. Hitung V ar δ untuk δ = 0.94, 0.97 dari distribusi kerugian berikut: X = 100, dgn peluang 0.03; 90, dgn peluang 0.01; 80, dgn peluang 0.04; 50, dgn peluang 0.12; 0, dgn peluang 0.8 3. Tunjukkan bahwa V ar δ memenuhi aksioma T, PH dan M, namun tidak memenuhi aksioma S. 1.5 Conditional Tail Expectation (CTE) CTE memperhatikan informasi pada distribusi ekor diluar VaR. CTE pada level peluang δ, notasi CT E δ (X), didefinisikan sebagai atau CT E δ (X) = E(X X > x δ ) CT E δ (X) = E [ X X > V ar δ (X) ], untuk X kontinu. Ekspektasi diatas yang berpusat pada nilai V ar δ (X): E [ X V ar δ (X) X > V ar δ (X) ], disebut conditional VaR dan dinotasikan CV ar δ (X). Perhatikan bahwa CV ar δ (X) = E [ X V ar δ (X) X > V ar δ (X) ] = CT E δ (X) V ar δ (X) Jika V ar δ digunakan sebagai modal, maka shortfall dari modal adalah (X V ar δ ) +. MA2082 BioStat. 4 K. Syuhada, PhD.

Ketika X kontinu, V ar δ = x δ dan mean shortfall nya adalah E [ (X x δ ) + ] = E [ X xδ X > x δ ] P (X > xδ ) = (1 δ) CV ar δ 1 (1 δ) E[ ] (X x δ ) + = CV arδ = CT E δ (X) x δ Untuk mengevaluasi CT E δ, perhatikan bahwa 1 CT E δ = E(X X > x δ ) = (1 δ) 1 = (1 δ) = 1 (1 δ) x δ x δ 1 δ x f X (x) dx x df X (x) x ξ dξ, untuk ξ = F X (x). CT E δ dengan demikian dapat diinterpretasikan sebagai rata-rata kuantil yang melampaui x δ. Analog, 1 (1 δ) 1 δ V ar ξ dξ yang disebut dengan tail VaR atau T V ar δ (X). Contoh/Latihan: 1. Tentukan CT E δ dan CV AR δ pada distribusi kerugian X: E(λ), N (µ, σ 2 ), P(α, γ). 2. Hitung CT E δ untuk δ = 0.95 (juga TVaR yang berkorespondensi dengan nilai δ)dari distribusi kerugian berikut: X = 100, dgn peluang 0.03; 90, dgn peluang 0.01; 80, dgn peluang 0.04; 50, dgn peluang 0.12; 0, dgn peluang 0.8 3. Tunjukkan bahwa CTE memenuhi aksioma T, S, PH dan M. MA2082 BioStat. 5 K. Syuhada, PhD.

1.6 Transformasi PH Misalkan X adalah kerugian acak kontinu tak negatif. Kerugian yang diharapkan (expected loss) dituliskan sebagai µ X = 0 ( 1 FX (x) ) dx = 0 S X (x) dx Misalkan X terdistribusi dengan S X(x) = ( S X (x)) 1/ρ, ρ 1, maka E( X) = µ X = 0 S X(x) dx = 0 ( S X (x)) 1/ρ dx, dimana parameter ρ disebut risk-aversion index. Distribusi dari X disebut PH (proportional hazard) transform atau transformasi PH dari distribusi X dengan parameter ρ. Misalkan h X (x) dan h X(x) sebagai fungsi hazard (hf) dari X dan X, maka h X(x) = 1 ( ) d S X(x) S X(x) dx ( (1/ρ) 1 = 1 S X (x)) S (x) X ( ) ρ 1/ρ S X (x) = 1 ( ) S X (x) ρ S X (x) = 1 ρ h X(x) Dapat disimpulkan bahwa hf dari X proporsional terhadap hf dari X. Jika ρ 1, maka hf dari X lebih kecil dari hf dari X, sehingga X memiliki ekor yang lebih tebal dari X. Contoh/Latihan: 1. Misalkan X beridistribusi Eksponensial dengan parameter λ. Maka sf dari transformasi PH dari X adalah S X = ( e λx) 1/ρ, MA2082 BioStat. 6 K. Syuhada, PhD.

yang berakibat X E(λ/ρ) Jadi, E( X) = ρ/λ λ = E(X) 2. Apakah ukuran risiko µ X memenuhi aksioma T, S, PH, dan M? 1.7 Transformasi Esscher Metode lain untuk memindahkan bobot ke kerugian yang lebih besar adalah dengan mentransformasi pdf. Jika X memiliki pdf f X (x), definisikan distribusi kerugian X dengan pdf f X(x), f X(x) = w(x) f X (x), dengan syarat w (x) > 0 agar lebih banyak bobot di ekor bagian kanan dari distribusi kerugian. Pdf f X(x) juga harus terdefinisi dengan baik. Fungsi bobot yang dapat digunakan adalah w(x) = eρx M X (ρ) = e ρx 0 e ρx f X (x) dx, ρ > 0, where M X (ρ) adalah fungsi pembangkit momen dari X. Dapat ditunjukkan bahwa dan w (x) > 0 0 f X(x) dx = 1 (pdf yang terdefinisi dengan baik) Distribusi dari X f X(x) = eρx f X (x) M X (ρ), ρ > 0 disebut Esscher transform atau transformasi Esscher dari X dengan param- MA2082 BioStat. 7 K. Syuhada, PhD.

eter ρ. Fungsi pembangkit momen dari X adalah M X(t) = M X(ρ + t) M X (ρ) Ukuran risiko dapat dikonstruksi sebagai nilai harapan dari transformasi Esscher dari X, ϱ(x) = E( X) = E(X eρx ) E(e ρx ), dimana dϱ(x)/dρ 0 sehingga ρ dapat diinterpretasikan sebagai risk-aversion index. Contoh/Latihan: 1. X berdistribusi Eksponensial dengan parameter λ. Hitung transformasi Esscher dari X dan risk-adjusted premium 2. Lakukan transformasi Esscher pada distribusi kerugian yang lain. 1.8 Metode Distortion-Function Definisi: Fungsi distorsi adalah fungsi tidak turun g(.) yang memenuhi g(1) = 1 dan g(0) = 0. Misalkan X peubah acak kerugian dengan sf S X (x). Fungsi distorsi g(.) tidak turun dan S X (.) tidak naik, sehingga g(s X (x)) adalah fungsi tidak naik dari x atau dg(s X (x)) dx 0 Peubah acak X dengan sf g(s X (x)) diinterpretasikan sebagai p.a. risk-adjusted loss dan g(s X (x)) sebagai risk-adjusted sf. Diasumsikan g(.) terbuka ke bawah, sehingga pdf dari X adalah dimana f X(x) = dg(s X(x)) dx dg (S X (x)) dx 0 = g (S X (x)) f X (x) MA2082 BioStat. 8 K. Syuhada, PhD.

sehingga g (S X (x)) fungsi tidak turun. Misalkan X peubah acak kerugian tak negatif. Ukuran risko distorsi berdasarkan fungsi distorsi g(.) didefinisikan ϱ(x) = 0 g(s X (x)) dx, yang merupakan mean dari risk-adjusted loss X. Ukuran risiko distorsi antara lain Pure premium : g(u) = u PH risk-adjusted premium : g(u) = u 1/ρ VaR g(s X (x)) = 1, 1 δ S X (x) 1 atau CTE g(s X (x)) = 1, 0 x V ar δ g(s X (x)) = S X(x) 1 δ, x > x δ = 1, 0 x x δ TEOREMA: Misalkan g(.) adalah fungsi distorsi terbuka ke bawah. kerugian X, Ukuran risiko dari ϱ(x) = 0 g(s X (x)) dx, memenuhi aksioma T, S, PH dan M. Dengan kata lain, ukuran risiko diatas adalah koheren. MA2082 BioStat. 9 K. Syuhada, PhD.

1.9 Transformasi Wang Pandang fungsi distorsi ( ) g(u) = Φ Φ 1 (u) + ρ, dimana Φ(.) adalah fungsi distribusi normal standar dan ρ parameter risiko, ρ > 0. Fungsi diatas dikenal dengan nama Wang transform atau transformasi Wang. Misalkan X adalah peubah acak kerugian dan X peubah acak hasil transformasi Wang dari X. Ukuran risiko hasil transformasi adalah ϱ(x) = E( X) = 0 ( ) Φ Φ 1 (S X (x)) + ρ dx Latihan: 1. Tentukan nilai g(0) dan g(1) 2. Tunjukkan bahwa transformasi Wang adalah fungsi naik dan terbuka ke bawah 3. Tunjukkan bahwa de( X)/dρ > 0 4. Jika X berdistribusi normal dengan mean µ dan variansi σ 2, tentukan distribusi kerugian berdasarkan transformasi Wang dan tentukan pula risk-adjusted premium MA2082 BioStat. 10 K. Syuhada, PhD.

BAB 2 Teori Kebangkrutan Silabus: Fungsi surplus, peluang ultimate ruin, peluang bangkrut sebelum waktu hingga, teori kebangkrutan (waktu diskrit), proses Poisson. Tujuan: 1. Mempelajari konsep surplus 2. Menghitung peluang ultimate ruin dan peluang bangkrut sebelum waktu hingga 3. Memahami dan memodelkan teori kebangkrutan (waktu diskrit) 4. Memahami proses Poisson dalam klaim dan kebangkrutan 2.1 Pendahuluan Konsep surplus: 1. Perusahaan asuransi memiliki modal awal atau initial surplus 2. Perusahaan menerima premi dan membayarkan klaim 3. Premi bersifat konstan sedangkan klaim/kerugian bersifat acak dan tidak pasti 4. Net surplus adalah modal awal + premi - klaim 5. Jika net surplus kurang dari atau sama dengan nol = Bangkrut atau Ruin 1

Fungsi surplus Misalkan perusahaan asuransi memiliki modal u saat waktu t = 0. Modal ini disebut initial surplus. Perusahaan menerima premi setiap waktu (secara reguler). Klaim kerugian sebesar X i dibayarkan setiap akhir periode i, i = 1, 2,.... Asumsikan {X i } saling bebas dan berdistribusi identik. Model yang merepresentasikan surplus pada waktu n dengan modal awal u adalah U(n; u) = u + n untuk n = 1, 2,.... n X i, i=1 2.2 Bangkrut dan Peluang Bangkrut Definisi Kebangkrutan akan terjadi pada waktu n jika U(n; u) 0 untuk pertama kali pada waktu n, n 1. Definisi Peubah acak T (u) yang menyatakan waktu bangkrut atau time of ruin adalah T (u) = min{n 1 : U(n; u) 0} Definisi Diberikan suatu initial surplu u, peluang ultimate ruin adalah ψ(u) = P (T (u) < ) Definisi Diberikan suatu initial surplus u, peluang bangkrut pada waktu t adalah ψ(t; u) = P (T (u) < t) untuk t = 1, 2,... MA2082 BioStat. 2 K. Syuhada, PhD.

2.3 Teori Kebangkrutan (Waktu Diskrit) Pandang kasus ψ(0) atau peluang bangkrut saat initial surplus u = 0: P (bangkrut saatu = 0) = ψ(0) = P (bangkrut saat u = 0 tidak ada klaim saat t = 1)P (tidak ada klaim saat t = 1) + P (bangkrut saat u = 0 ada 1 klaim saat t = 1)P (ada 1 klaim saat t = 1) + P (bangkrut saat u = 0 ada 2 klaim saat t = 1)P (ada 2 klaim saat t = 1) + = ψ(1) f X (0) + 1 f X (1) + 1 f X (2) + = ψ(1) f X (0) + S X (0) Untuk u = 1, ψ(1) = ψ(2) f X (0) + ψ(1) f X (1) + S X (1). Untuk u 1, modelnya adalah u ψ(u) = f X (0) ψ(u + 1) + f X (j) ψ(u + 1 j) + S X (u) j=1 atau ψ(u + 1) = 1 f X (0) ( ψ(u) ) u f X (j) ψ(u + 1 j) S X (u). j=1 Teorema Untuk fungsi surplus waktu diskrit, peluang ultimate ruin memenuhi ketaksamaan Lundberg: ψ(u) exp( r u), dimana r adalah adjustment coefficient, yaitu nilai r > 0 yang memenuhi persamaan E(e r(x 1) ) = 1. Diskusi: Dapatkah anda menunjukkan bahwa log M X (r) = r? MA2082 BioStat. 3 K. Syuhada, PhD.

Contoh. Misalkan klaim X setiap saat mengikuti distribusi Bernoulli dengan parameter θ. Peluang ultimate ruin saat u = 0, ψ(0) = ψ(1) f X (0) + S X (0) = ψ(1) (1 θ) + θ = θ = E(X), Sedangkan ψ(1) dapat dihitung dengan mudah dari persamaan diatas yaitu ψ(1) = 0. Dapatkah kita menghitung ψ(2)? Contoh/Latihan: 1. Tunjukkan bahwa untuk model surplus diskrit, ψ(0) = E(X) 2. Diketahui p.a klaim X memiliki fungsi peluang: f X (0) = 0.5; f X (1) = f X (2) = 0.2; f X (3) = 0.1 Hitung peluang ψ(u) untuk u 0. 2.4 Kebangkrutan Waktu Hingga Diberikan initial surplus u = 0. Pada saat t = 1, kebangkrutan akan terjadi dengan peluang ψ(1; 0) = P (T (0) 1) = P (X 1 = 1) + P (X 1 = 2) + = S X (0) dimana X 1 menyatakan banyaknya klaim pada waktu t = 1. Misalkan u = 1. Kebangkrutan pada saat t = 1 terjadi dengan peluang ψ(1; 1) = P (T (1) 1) = P (X 1 = 2) + P (X 1 = 3) + = S X (1) Kita pandang kasus kebangkrutan saat t = 2, diberikan initial surplus u = 0. Kebangkrutan pada saat atau sebelum (at or before time) t = 2 akan terjadi karena MA2082 BioStat. 4 K. Syuhada, PhD.

Bangkrut saat t = 1 Rugi sebesar j saat t = 1 untuk j = 0, 1,..., u yang kemudian diikuti oleh kebangkrutan pada saat/periode t 1 sesudahnya Kebangkrutan saat t, diberikan initial surplus u: u ψ(t; u) = ψ(1; u) + f X (j) ψ(t 1; u + 1 j) j=0 Contoh/Latihan: 1. Misalkan p.a X yang menyatakan klaim memiliki fungsi peluang f X (0) = 0.5; f X (1) = f X (2) = 0.2; f X (3) = 0.1. Hitung peluang kebangkrutan saat atau sebelum waktu t = 1, 2, diberikan u = 0, 1. 2. Claim severity setiap periode berdistribusi geometrik dengan parameter 0.6. Hitung peluang bangkrut saat atau sebelum t = 2, diberikan initial surplus u = 2. 2.5 Fungsi Surplus Waktu Kontinu Pandang model yang merepresentasikan surplus pada waktu t dengan modal awal u adalah U(t; u) = u + c t S(t), dimana S(t) = X 1 +X 2 + +X N(t) atau dengan kata lain total kerugian atau aggregate loss. Jika N(t) = 0 maka S(t) = 0. Kita akan memandang khusus saat N(t) adalah proses Poisson. Definisi N(t) adalah suatu proses Poisson dengan parameter λ, yaitu laju terjadinya events setiap unit waktu, jika (a) N(t 2 ) N(t 1 ) P OI(λ (t 2 t 1 )) (b) N(t) memenuhi independent increments MA2082 BioStat. 5 K. Syuhada, PhD.

Diskusi: S(t) merupakan compound Poisson process U(t; u) merupakan compound Poisson surplus process E(S(1)) = E(N(1))E(X) = λ µ X c = (1 + θ)e(s(1)), dimana θ > 0 adalah loading factor Contoh/Latihan: 1. Misalkan p.a X yang menyatakan klaim memiliki fungsi peluang f X (0) = 0.5; f X (1) = f X (2) = 0.2; f X (3) = 0.1. Hitung r. Hitung ketaksamaan Lundberg untuk u = 0, 1. 2. Dapatkah anda menentukan ketaksamaan Lundberg untuk kasus waktu kontinu? MA2082 BioStat. 6 K. Syuhada, PhD.