Metode Matriks Balikan

Metode Matriks Balikan MisalkanA -1 adalahmatriksbalikandaria. Sistempersamaan lanjar Ax = b dapat diselesaikan sebagai berikut: Ax= b A -1 Ax= A -1 b I x= A -1 b (A -1 A = I ) x= A -1 b Cara penyelesaiandenganmengalikanmatriksa -1 denganb itudinamakanmetodematriksbalikan. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 39

Contoh: Selesaikan sistem persamaan lanjar x 1 -x 2 + 2x 3 = 5 3x 1 + x 3 = 10 x 1 + 2x 3 = 5 dengan metode matriks balikan. Penyelesaian: 1-1 2 1 0 0 R 2-3R 1 1-1 2 1 0 0 3 0 1 0 1 0 ~ 0 3-5 -3 1 0 1 0 2 0 0 1 R 3 - R 1 0 1 0-1 0 1 1 0 0 0 0.4-0.2 ~ ~ 0 1 0-1 0 1 0 0 1 0-0.2 0.6 A -1 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 40

Solusinya adalah x = A -1 b. x 1 0 0.4-0.2 5 0 + 4-1 3 x 2 = -1 0 1 10 = -5 + 0 + 5 = 0 x 3 0-0.2 0.6 5 0-2 + 3 1 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 41

Metode Dekomposisi LU Jika matriks A non-singular maka ia dapat difaktorkan (diuraikan atau di-dekomposisi) menjadi matriks segitiga bawah L(lower) dan matriks segitiga atas U(upper): A= LU a 11 a 12 a 13 a 1n 1 0 0 0 u 11 u 12 u 13 u 1n a 21 a 22 a 23 a 2n l 21 1 0 0 0 u 22 u 23 u 2n a 31 a 32 a 33 a 3n = l 31 l 32 1 0 0 0 u 33 u 3n : : : : : : : a n1 a n2 a n3 a nn l n1 l n2 l n3 1 0 0 0 u nn Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 42

Sebagai contoh, matriks 3 3 di bawah ini difaktorkan menjadi : 1 3 6 2 4 0 1 1 2 = 1 0 3 0 1 0 0 0 1 4 0 0 2 4 0 1 1 2 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 43 Sekali A difaktorkan menjadi L dan U, kedua matriks tersebut dapatdigunakanuntukmenyelesaikanax= b. Metode penyelesaian SPL dengan cara ini dikenal dengan nama metodedekomposisilu. Metode ini dinamakan juga metode pemfaktoran segitiga (triangular factorization).

Tinjau sistem persamaan lanjar Ax= b Faktorkan A menjadi L dan U sedemikian sehingga A= LU Jadi, Misalkan maka Ax = b LU x= b Ux= y Ly= b Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 44

Untuk memperoleh y 1, y 2,, y n, kita menggunakan teknik penyulihan maju (forward substitution) : Ly = b 1 0 0... 0 y 1 b 1 l 21 1 0... 0 y 2 = b 2...... l n1 l n2 l n3 1 y n b n diperoleh y 1, y 2,, y n dengan teknik penyulihan maju Dan untuk memperoleh solusi SPL, x 1, x 2,, x n, kita menggunakan teknik penyulihan mundur (backward substitution): Ux = y u 11 u 12 u 13 u 1n x 1 y 1 diperoleh 0 u 22 u 23 u 2n x 2 = y 2 x 1, x 2,, x n...... : : dengan teknik 0 0 0 u nn x n y n penyulihan mundur Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 45

Jadi, langkah-langkah menghitung solusi SPL dengan metode dekomposi LU dapat diringkas sebagai berikut: 1. BentuklahmatriksLdanUdariA 2. PecahkanLy= b, laluhitungy denganteknikpenyulihan maju 3. PecahkanUx= y, laluhitungxdenganteknikpenyulihan mundur Terdapat dua metode untuk memfaktorkan A atas L dan U: 1. Metode LU Gauss. 2. Metode reduksi Crout. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 46

Pemfaktoran dengan Metode LU Gauss Misalkan matriks A berukuran 4 4 difaktorkan atas L dan U, A = LU a 11 a 12 a 13 a 14 1 0 0 0 u 11 u 12 u 13 u 14 a 21 a 22 a 23 a 24 m 21 1 0 0 0 u 22 u 23 u 24 a 31 a 32 a 33 a 34 = m 31 m 32 1 0 0 0 u 33 u 34 a 41 a 42 a 43 a 44 m 41 m 42 m 43 1 0 0 0 u 44 Di sini kita menggunakan simbol m ij ketimbang l ij, karena nilai l ij berasal dari faktor pengali (m ij ) pada proses eliminasi Gauss. Langkah-langkah pembentukan L dan U dari matriks A adalah sebagai berikut: Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 47

1. Nyatakan A sebagai A = IA a 11 a 12 a 13 a 1n 1 0 0 0 a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n 0 1 0 0 a 21 a 22 a 23 a 2n a 31 a 32 a 33 a 3n = 0 0 1 0 a 31 a 32 a 33 a 3n : : : : : a n1 a n2 a n3 a nn 0 0 0 1 a n1 a n2 a n3 a nn 2. Eliminasikan matriks A di ruas kanan menjadi matriks segitiga atas U. Tempatkan faktor pengali m ij pada posisi l ij di matriks I. 3. Setelah seluruh proses eliminasi Gauss selesai, matriks I menjadi matriks L, dan matriks A di ruas kanan menjadi matriks U. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 48

a 11 a 12 a 13 a 1n b 1 1 0 0 0 b 1 ' a 21 a 22 a 23 a 2n b 2 0 1 0 0 b 2 ' a 31 a 32 a 33 a 3n b 3 0 0 1 0 b 3 ' : : : : a n1 a n2 a n3 a nn b n 0 0 0 1 b n ' Solusinya: x 1 = b 1 ' x 2 = b 2 '...... x n = b n ' Seperti halnya metode eliminasi Gauss, tatancang pivoting dan penskalaan juga dapat diterapkan pada metoda ini untuk memperkecil galat pembulatan. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 49

Contoh: 10 (LU Gauss naif) 4 3-1 1 0 0 4 3-1 A = -2-4 5 = 0 1 0-2 - 4 5 1 2 6 0 0 1 1 2 6 Eliminasikan matriks A di ruas kanan menjadi matriks segitiga atas U, dan tempatkan faktor pengali m ij pada posisi l ij di matriks I. 4 3-1 R 2 - ( -2 / 4 )R 1 4 3-1 -2-4 5 ~ 0-2.5 4.5 1 2 6 R 3 -( 1 / 4 )R 1 0 1.25 6.25 Tempatkan m 21 = -2/4 = 0.5 dan m 31 = 1/4 = 0.25 ke dalam matriks L: 1 0 0 L = -0.5 1 0 0 m 32 1 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 50

Teruskan proses eliminasi Gauss pada matriks A, 4 3-1 R 3 - ( 1.25 / -2.5 )R 2 4 3-1 0-2.5 4.5 ~ 0-2.5 4.5 = U 0 1.25 6.25 0 0 8.5 Tempatkan m 32 = 1.25/-2.5 = -0.5 ke dalam matriks L: 1 0 0 L = -0.5 1 0 0.25-0.5 1 Jadi, 4 3-1 1 0 0 4 3-1 A = -2-4 5 = -0.5 1 0 0-2.5 4.5 1 2 6 0.25-0.5 1 0 0 8.5 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 51

Contoh: (LU Gauss dengan tata-ancang pivoting) Faktorkan matriks A berikut 1 1-1 1 A = 2 2 1 b = 5-1 1 1 1 lalu pecahkan sistem Ax = b. Penyelesaian: Eliminasikan matriks A di ruas kanan menjadi matriks segitiga atas U, dan tempatkan faktor pengali m ij pada posisi l ij di matriks I. 1 1-1 R 2 - (2)R 1 1 1-1 2 2 1 ~ 0 0 3-1 1 1 R 3 -( 1 / 1 )R 1 0 2 0 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 52

Tempatkan m 21 = 2 dan m 31 = 1/1 = 1 ke dalam matriks L: 1 0 0 L = 2 1 0-1 m 32 1 Teruskan proses eliminasi Gauss pada matriks A. Dalam hal ini ada pivoting karena calon pivot bernilai 0, sehingga baris kedua dipertukarkan dengan baris ketiga: 1 1-1 1 1-1 0 0 3 R 2 R 3 0 2 0 0 2 0 0 0 3 Jangan lupa mempertukarkan juga R 2 R 3 pada matriks L, kecuali elemen diagonalnya 1 0 0 1 0 0 L = 2 1 0 R 2 R 3-1 1 0-1 m 32 1 2 m 32 1 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 53

Jangan lupa mempertukarkan juga R 2 R 3 pada vektor b, 1 1 b = 5 R 2 R 3 1 1 5 Teruskan proses eliminasi Gauss pada matriks A: 1 1-1 R 0 3 - ( / 2 )R 2 0 2 0 = U 0 0 3 Tempatkan m 32 = 0/2 = 0 ke dalam matriks L: 1 0 0 L = -1 1 0 2 0 1 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 54

Jadi, 1 1-1 1 0 0 1 1-1 A = -1 1 1 = -1 1 0 0 2 0 2 2 1 2 0 1 0 0 3 Berturut-turut dihitung y dan x sebagai berikut: 1 0 0 y 1 1 Ly = b -1 1 0 y 2 = 1 2 0 1 y 3 5 y 1, y 2, dan y 3 dihitung dengan teknik penyulihan maju: y 1 = 1 -y 1 + y 2 = 1 y 2 = 1 + y 1 = 1 + 1 = 2 2y 1 + 0y 2 + y 3 = 5 y 3 = 5-2y 1 = 3 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 55

1 1-1 x 1 1 Ux = y 0 2 0 x 2 = 2 0 0 3 x 3 3 x 1, x 2, dan x 3 dihitung dengan teknik penyulihan mundur: 3x 3 = 3 x 3 = 1 2x 2 + 0x 3 = 2 x 2 = 1 x 1 + x 2 - x 3 = 1 x 1 = 1 Jadi, solusi sistem persamaan lanjar di atas adalah x = (1, 1, 1) T. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 56

Pertukaran baris untuk matriks yang berukuran besar diperlihatkan oleh matriks di bawah ini: a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 0 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 0 b 2 b 3 b 4 b 5 b 6 0 0 c 3 c 4 c 5 c 6 R 5 R 4 0 0 c 3 c 4 c 5 c 6 0 0 0 0 d 5 d 6 (*) 0 0 0 e 4 e 5 e 6 0 0 0 e 4 e 5 e 6 0 0 0 0 d 5 d 6 0 0 0 f 4 f 5 f 6 0 0 0 f 4 f 5 f 6 Maka, baris ke-5 dan baris ke-4 pada matriks L juga harus dipertukarkan: 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 m 21 1 0 0 0 0 m 21 0 0 0 0 0 m 31 m 32 1 0 0 0 R 5 R 4 m 31 m 32 1 0 0 0 m 41 m 42 m 43 1 0 0 (*) m 51 m 52 m 53 1 0 0 m 51 m 52 m 53 x 1 0 m 41 m 42 m 43 x 1 0 m 61 m 62 m 63 x x 1 m 61 m 62 m 63 x x 1 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 57

Pemfaktoran dengan Metode Reduksi Crout Meskipun metode LU Gauss dikenal paling baik untuk melakukandekomposisilu, terdapatmetodelain yang digunakan secara luas, yaitu metode reduksi Crout Nama lain: metode reduksi Cholesky atau metode Dolittle Dalam membahas metode reduksi Crout, tinjau matriks 3 3 berikut: a 11 a 12 a 13 1 0 0 u 11 u 12 u 13 A = a 21 a 22 a 23 L = l 21 1 0 U = 0 u 2,2 u 23 a 31 a 32 a 33 l 31 l 3,2 1 0 0 u 33 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 2

Karena LU = A, maka hasil perkalian L dan U itu dapat ditulis sebagai u 11 u 12 u 13 a 11 a 12 a 13 LU = l 21 u 11 l 21 u 12 + u 22 l 21 u 13 +u 23 = A = a 21 a 22 a 23 l 31 u 13 l 31 u 12 + l 32 u 22 l 31 u 13 + l 32 u 23 + u 33 a 31 a 32 a 33 Dari kesamaan dua buah matriks LU = A, diperoleh u 11 = a 11, u 12 = a 12, u 13 = a 13 } Baris pertama U l 21 u 1 = a 21 l 21 = l 31 u 11 = a 31 l 31 = a u a u 21 11 31 11 }Kolom pertama L l 21 u 12 + u 22 = a 22 u 22 = a 22 - l 21 u 12 } Baris kedua U l 21 u 13 + u 23 = a 23 u 23 = a 23 - l 21 u 13 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 3

l 31 u 12 + l 32 u 22 = a 32 l 32 = a l 32 u 22 31 u 12 Kolom kedua L l 31 u 13 + l 32 u 23 + u 33 = a 33 u 33 = a 33 - ( l 31 u 13 + l 32 u 23 ) } Baris ketiga U Kita perhatikan ada urutan pola teratur dalam menemukan elemen-elemen L dan U, yaitu: (1)elemen-elemen baris pertama dari U (2)elemen-elemen baris pertama dari L (3)elemen-elemen baris kedua dari U (4)elemen-elemen baris kedua L (5) (6)elemen-elemen baris ke-k dari U (7)elemen-elemen baris ke-k dari L Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 4

Rumus umum menghitung u dan l untuk sistem dengan matriks A yang berukuran 3 3 dapat ditulis sebagai berikut: p 1 u pj = a pj - k= 1 l pk u kj, p = 1, 2, 3,., n (P.4.13) j = p, p+1,., n dan l iq = q 1 a iq k= 1 u qq 1 ik u kq q = 1, 2, 3,., n-1, i = q+1, q+2,., n (P.4.14) dengan syarat u qq 0 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 5

Contoh: Selesaikan x 1 + x 2 -x 3 = 1 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 5 -x 1 + x 2 + 2x 3 = 5 denganmetodedekomposisilu, yang dalamhalinildanudihitungdengan metodereduksicrout. Penyelesaian: 1 1-1 1 A = 2 2 1 b = 5-1 1 1 1 Diperoleh: u 11 = a 11 = 1 u 12 = a 12 = 1 u 13 = a 13 = -1 l 21 = a 21 /u 11 = 2/1 = 2 l 31 = a 31 /u 11 = -1/1 = -1 u 22 = a 22 - l 21 u 12 = 2-2 1 = 0 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 6

Karena u qq tidak boleh nol, lakukan pertukaran baris, baik untuk matriks A maupun untuk vektor b: Matriks A Vektor b R 2 R 3 1 1-1 R 2 R 3 1-1 1 1 1 2 2 1 5 Hitung kembali nilai l 21, l 31, dan u 22 (Perhatikan bahwa nilai u 11, u 12, u 13 tidak berubah) l 21 = a 21 /u 11 = -1/1 = -1 l 31 = a 31 /u 11 = 2/1 = 2 u 22 = a 22 - l 21 u 12 = 1 - (-1)(1) = 1 + 1 = 2 u 23 = a 23 - l 21 u 13 = 1 - (-1)(-1) = 1-1 = 0 l 32 = a l 32 u 22 31 u 12 = ( ) 2 2 1 2 = 0 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 7

Diperoleh L dan U sebagai berikut, 1 1-1 1 0 0 1 U = 0 2 0 L = -1 1 0 dan b = 1 0 0 3 2 0 1 5 Berturut-turut dihitung y dan x sebagai berikut: 1 0 0 y 1 1 Ly = b -1 1 0 y 2 = 1 2 0 1 y 3 5 y 1, y 2, dan y 3 dihitung dengan teknik penyulihan maju: y 1 = 1 -y 1 + y 2 = 1 y 2 = 1 + y 1 = 1 + 1 = 2 2y 1 + 0y 2 + y 3 = 5 y 3 = 5-2y 1 = 3 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 8

1 1-1 x 1 1 Ux = y 0 2 0 x 2 = 2 0 0 3 x 3 3 x 1, x 2, dan x 3 dihitung dengan teknik penyulihan mundur: 3x 3 = 3 x 3 = 1 2x 2 + 0x 3 = 2 x 2 = 1 x 1 + x 2 - x 3 = 1 x 1 = 1 Jadi, solusi sistem persamaan lanjar di atas adalah x = (1, 1, 1) T. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 9

Jika diamati elemen segitiga bawah pada matriks U semuanya bernilai nol, sehingga ruang yang tidak terpakai itu dapat dipakai untuk menyimpan elemen matriksl. Elemen diagonal matriks L seluruhnya 1, jadi tidak perlu disimpan(default). Dengan demikian, penyimpanan elemen LdanUpadasatumatriksdapatmenghemat penggunaanmemori. Selain itu, matriks A hanya dipakai sekali untuk memperolehldanu, sesudahitutidakdipakailagi. Dengan demikian, setelah L dan U diperoleh, elemennya dapat dipindahkan ke dalam A. Karena alasan ini, maka metode dekomposisi LU dinamakan juga metode kompaksi memori. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 10

Determinan Metode eliminasi Gauss dapat diterapkan untuk menghitung determinan matriks n n. Determinannya dapat dihitung setelah ia ditransformasi menjadi matriks segitiga atas U. Dua hukum penting determinan: Hukum1: det(bc) = det(b) det(c) Hukum2: det(m) = hasilkali semuaelemendiagonal M jika M adalah matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 11

Kasus 1: Bila eliminasi Gauss tidak menerapkan tatancang pivoting. Jika pivoting tidak diterapkan, determinan matriks A adalah: det(a) = det(lu) = det(l) det(u) = det(u) = u 11 u 22 u 33... u nn yang dalamhalinidet(l) = 1 sebabsemuaelemen diagonal Ladalahsatu. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 12

Kasus 2: Bila eliminasi Gauss menerapkan tatancang pivoting. Tatancangpivotingmengakibatkanpertukaranbaris. Dekomposisi LU dengan pivoting setara dengan mengerjakan dua proses terpisah berikut: 1. TransformasikanmatriksAmenjadimatriksA' dengan cara permutasi baris-baris matriks(sama dengan mengalikan A dengan matriks permutasi P), A' = PA atausetaradengana= P -1 A' 2. Dekomposisi A' menjadi LU tanpa pivoting A' = LU Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 13

Dari (1) dan(2), LdanUdihubungkandenganAoleh A= P -1 A' = P -1 LU Determinan A dapat ditulis sebagai det(a) = det(p -1 ) det(l) det(u) = det(p -1 ) 1 det(u) = det(p -1 ) det(u) = αdet(u) yang dalamhalini α= det(p -1 ) = -1 atau1 bergantungpada apakahpivotingsejumlahbilangan ganjilataugenap. Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 14

Jika pivoting dilakukan sejumlah p kali, maka α dapat ditulis sebagai: α= (-1) p α bernilai1 untukpgenapdan-1 untukpganjil. Karena itu, det(a) = (-1) p det(u) = (-1) p u 11 u 22 u 33... u nn Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 15

Contoh: Hitung determinan matriks A berikut: Penyelesaian: 2 3-1 A = 4 4-3 -2 3-1 2 3-1 R 4 2 - / 2 R 1 2 3-1 R 6 3 - / -2 R 2 2 3-1 4 4-3 R 3 - -2 / 2 R 1 0-2 -1 0-2 -1-2 3-1 1 0-2 0 0-5 Tidak ada proses pivoting selama eliminasi Gauss, maka det (A) = (2) (-2) (-5) = 20 Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 16