VEKTOR 1. Pengertin Vektor dlh besrn yng memiliki besr (nili dn rh. Vektor merupkn sebuh rus gris yng P berrh dn memiliki pnjng. Pnjng rus gris tersebut dlh pnjng vektor. Rus gris dri titik P dn berujung di titik Q mk vektorny disebut vektor PQ. Pnjng vektor PQ ini dilmbngkn dengn PQ. Penulisn huruf kecil yng dicetk tebl dlh slh stu cr penulisn vektor. Vektor PQ dismping dpt ditulis sebgi vektor. Dpt jug huruf kecil dibubuhi tnd pnh ditsny seperti vektor. Perhtikn gmbr berikut: Dengn menggunkn rumus jrk ntr titik, mk dpt ditentukn pnjng vektor dn b dengn rumus: Pd gmbr dits jug terdpt vektor c dengn pnjng vektor c dlh c = (b 1 1 + (b Untuk setip vektor yng bukn vektor nol, dpt ditentukn sutu vektor stun dri vektor, dilmbngkn dengn e. Vektor stun rhny serh dengn vektor dn pnjngny sm dengn stu stun. Jik vektor = (, mk vektor stun dri dirumuskn dengn: e = y = 1 +y ( y Vektor vektor stun i dn j dpt dinytkn dengn vector kolom, yitu: i = ( 1 0 dn j = (0 1 Dengn pemhmn yng sm seperti vektor pd bidng (R, klin dpt memhmi vektor pd rung (R 3. A( 1, Q c b 1 O b 1. Opersi Hitung pd Vektor. Penjumlhn dn Pengurngn Vektor Perhtikn titik-titik A(1,, B(b1, b, dn C(c1, c pd koordint Crtesius berikut ini! Pd gmbr tersebut, vektor, b, dn c dpt klin tulis sebgi berikut. A( 1, y c B(b 1,b = (b1 1, b Dpt pul ditulis, = ( b 1 1 b b = (c1 b1, c b Dpt pul ditulis, b = ( c 1 b 1 c b c = (c1 1, c Dpt pul ditulis, c = ( c 1 1 c Sekrng, jumlhknlh vektor dn b. Kren vektor merupkn mtriks kolom, mk klin dpt menjumlhkn vektor dn b dengn menggunkn turn penjumlhn mtriks. Dengn turn ini, kn diperoleh: Perhtikn bhw ( c 1 1 c = c b y b + b = ( b 1 1 b + ( c 1 b 1 c b = ( b 1 1 + c 1 b 1 b + c b = ( c 1 1 c Urin tersebut menunjukkn bhw + b = c. b 1 O b 1 B(b 1,b Pnjng vektor dlh = 1 + Pnjng vektor dlh b = b 1 + b
Secr geometris, penjumlhn ntr vektor dn b ini dpt klin lkukn dengn du cr, yitu:. Cr Segitig ABED, kn diperoleh: AB + AD = AB + BE Dlm cr ini, titik pngkl vektor b berimpit rus dengn titik ujung vektor. Jumlh vektor dn b didpt dengn menrik rus gris dri titik pngkl vektor ke titik ujung vektor b. Rus gris ini diwkili oleh vektor c. Akibtny, + b = c. b. Cr Jjrgenjng Mislkn, vektor mewkili rus gris berrh dri titik pngkl A ke titik B dn vektor b mewkili rus gris berrh dri titik pngkl C ke titik D. Dlm cr jjrgenjng, titik pngkl vektor berimpit dengn titik pngkl vektor b, yitu A = C. Dengn membut jjrgenjng (Oleh kren AD = = BE AE Oleh kren AB =, AD (Gunkn = b dn cr AE = segitig c, mk + b = c. Sekrng, jik vector dijumlhkn dengn invers vector b, mk kn didpt penjumlhn vector +(-b seperti pd gmbr di smping. Seperti pd bilngn rel, klin dpt menuliskn + (-b = - b. Secr geometris, kit dpt mengurngkn dengn b seperti pd gmbr di smping. Dengn menggunkn turn penjumlhn dn pengurngn mtriks kolom, klin dpt menytkn turn penjumlhn dn pengurngn vektor sebgi berikut. Untuk dn b vector vector di R, berlku: + b = ( 1 + ( b 1 b = ( 1 + b 1 + b b = ( 1 ( b 1 b = ( 1 b 1 b Dengn menggunkn psngn terurut, dpt dituliskn: + b = ( 1, + (b 1, b = ( 1 + b 1, + b b = ( 1, (b 1, b = ( 1 b 1, b Untuk dn b vektor vektor di R 3, berlku: Perhtikn gmbr berikut! Dri gmbr di ts, dpt dinytkn: b + c = d + e = c b + d + e = 1 b 1 1 + b 1 + b = ( + ( b = ( + b 3 b 3 3 + b 3 1 b 1 1 b 1 b = ( ( b = ( b 3 b 3 3 b 3 Dengn menggunkn psngn terurut, dpt dituliskn: + b = ( 1,, 3 + (b 1, b, b 3 = ( 1 + b 1, + b, 3 + b 3 b = ( 1,, 3 (b 1, b, b 3 = ( 1 b 1, b, 3 + b 3 b. Perklin Sklr dengn Vektor Pd bgin sebelumny, kit telh mempeljri penjumlhn vektor. Ap yng terjdi jik vektorvektor yng dijumlhkn dlh k vektor yng sm? Dlm penjumlhn tersebut, kit kn mendptkn sebuh vektor bru yng setip komponen-komponenny diperoleh dengn menglikn k
dengn setip komponen-komponen vektor u. Akibtny, vektor bru tersebut segris dengn vektor u dn memiliki pnjng k u. Jik k sklr tk nol dn vektor u = (u 1, u,, u n, mk ku = (ku 1, ku,, ku n Dlm perklin sklr dengn vektor ini, jik k > 0, mk vektor ku serh dengn vektor u. Adpun jik k < 0, mk vektor ku berlwnn rh dengn vektor u. c. Sift sift Opersi Hitung pd Vektor Jik, b, dn c vektor-vektor di R tu di R 3 dn k sert l sklr tk nol mk berlku hubungn berikut:. + b = b + b. ( + b + c = + ( b + c c. + 0 = 0 + = d. + (- = 0 e. k (l = (kl f. k ( + b = k + kb g. (k + l = k + l h. I = d. Perbndingn Vektor Dlm perbndingn PN : NQ = m : n terdpt du ksus, yitu: 1. Titik N membgi PQ di dlm. PN : NQ = m : n. Titik N membgi PQ di lur. PN : NQ = m : (-n e. Perklin Sklr Du Vektor Jik dn b vektor vektor non nol dn α sudut di ntr vektor dn b, mk B perklin sclr vektor dn b didefinisikn oleh. b = b cos α. b Jik = (1,,,n dn b = (b1,b,,bn dlh sembrng vektor pd R n, mk hsil kli dlm tu perklin klrny dlh. b = 1b1+b+ +nbn. α O A Jik, b dn c vektor vektor di R tu di R 3 dn k sklr tk nol, mk terdpt sift sift sebgi berikut: 1..b = b.
..(b+c =.b +.c 3. k(.b = (k.b =.(kb 4.. = f. Perklin Silng Du Vektor Bil vektor = 1 i + y 1 j + z 1 k dn vektor b = i + y j + z, k mk perklin silng du vektor dirumuskn sebgi berikut: b = (y 1 z y z 1 i + ( z 1 1 z j + ( 1 y y 1 k Jik terdpt du vektor dn b di R-3, dn θ dlh sudut pit ntr dn b, mk 3. Contoh Sol. Tentukn pnjng vektor berikut: 1 3i 4j 5i 1j 3 6i + 6j + 6k 3 4 [ 0 ] 5 9 5 [ 1] 4 6 PQ jik P (0,1 dn Q (6,0 7 AB jik A (6, 6, 9 dn B (, -, -3. b = b sin θ b. Mislkn vektor posisi dri titik A dn B berturut-turut dlh = 3i j + k dn b = i + 5j + 4k. Tentukn vektor-vektor yng mewkili rus gris AB dn BA dlm bentuk kombinsi liner. 1 c. Mislkn vektor = [ 3] dn vektor b = [ 1 ]. Jik = b, tentukn nili. 4 5 d. Dikethui = i + j 4k dn b = 4i + 3i 5k. Tentukn: 1 3b 3b e. Dikethui = 5i 3j + k dn b = 4i + j pk, dimn b = 1. Hitunglh nili p! f. Mislkn U dlh titik (5, 4, -1 dn V dlh titik (11, -3,. 1 Tentukn titik tengh rus gris yng menghubungkn U dn V. Cri titik pd rus gris yng menghubungkn U dn V yng berd pd jrk 5 kli dri jrk dri U ke V. g. Ditentukn koordint titik-titik A(-, 6, 5, B(, 6, 9, C(5, 5, 7, dn titik P terletk pd AB sehingg AP : PB = 3 : 1. Tentukn: 1 Koordint titik P Vektor PC dlm bentuk kombinsi liner 3 AP, PB dn PC h. Hitung u v dri vektor-vektor berikut, kemudin cri nili cosinus dri sudut θ ntr u dn v. 1 u = 5i 7j dn v = 3i 9j u = 3i k dn v = 15i + j 3k 3 u = i + j + 3k dn v = i + 7j 4k
i. Tentukn besr sudut yng terbentuk oleh kedu vektor di bwh ini dengn menggunkn rumus perklin sklr du vektor. 1 = i j k dn b = 6i 3j + k = 3i + j 6k dn b = 4i 3j + k 3 j. Diketui = [ 0] dn b = [ 1 ]. Hitunglh: 3 1 dn b b 3 Sudut ntr dn b k. Hitunglh nili m gr vektor = i + mj + k tegk lurus vektor b = 4i j k. l. Dikethui vektor = 3i j + k, b = i + j k dn c = i j + k. Tentukn: 1 b c 3 (b + c 4 (b c 3 0 m. Mislkn p = [ ], q = [ ] dn r = [ 6]. Hitunglh: 1 3 7 1 p (q r (p q r 3 (p q (q r