Bab 4 RANGKA BATANG 2-D (PLANE TRUSS)

b 4 hlmn b 4 RNGK TNG -D (LN TRUSS) Rngk tng Dimensi tu plne truss merupkn model struktur yng terdiri ts btng-btng yng dihubungkn hny pd ujung-ujungny dn direncnkn gr dpt menylurkn gy-gy ke tumpun yng d secr efisien. ontoh: Selin Rngk tng D (plne truss) dikenl pul Rngk tng D (spce truss). Dlm mt kulih Sttik ini hny membhs Rngk tng D, sedngkn Rngk tng D kn dibhs pd mt kulih nlisis Struktur. sumsi-sumsi yng digunkn dlm nlisis. Semu btng hny menhn gy norml sentris (trik tu tekn). Ujung btng dihubungkn dengn sendi-sendi tnp gesern.. Semu gris kerj gy-gy btng pd sutu sendi hubung berpotongn pd titik sendiny. 4. Semu bebn bekerj pd sendi-sendi hubung. Sesui dengn sumsi yng dimbil mk bert sendiri btng dpt diperhitungkn dengn prinsip ½ bert totl btng tersebut dinggp bekerj terpust pd ujungujungny. il sumsi yng dimbil % dpt dipenuhi, mk rngk btng tersebut hny kn timbul tegngn norml trik dn tekn sj, tu lebih dikenl dengn sebutn rimry Stresses. il pd pelksnnny sumsi tersebut tidk dpt dipenuhi mk kn timbul Secondry Stresses, yitu tegngn sekunder yng timbul kibt momen lentur dn gy lintng. il penyimpngn dri sumsi hny sedikit mk secondry stresses yng timbul jug kecil, sehingg dpt dibikn. entuk dn Susunn Rngk tng entuk dn susunn rngk btng menentukn kestbiln. erikut ciri-ciri kestbiln rngk btng tersebut;. entuk Stbil d umumny terdiri dri bentuk segitig-segitig yng sling berngki Simple truss Rngk tng Sederhn ompound truss Rngk tng Tersusun repred by Y. Djoko Setiyrto

b 4 hlmn b. entuk Lbil d umumny terdpt pd bentuk segiempt tu lebih erjnjin Tnd + gy btng yng bersift TRIK, di mn rh gy btng meningglkn titik simpul (joint) tu potongn yng ditinju. gy btng yng bersift TKN, di mn rh gy btng mendekti/menuju titik simpul (joint) tu potongn yng ditinju. eberp Metode erhitungn Gy tng. Keseimbngn titik (Method of Joint). Ritter. remon (nlisis secr grfis) Method of Joints (Keseimbngn Titik) d metod ini, penentun besrny gy-gy btng dilkukn dengn mengnlisis keseimbngn tip-tip titik simpul. Lngkh-lngkh:. hitunglh reksi peletkn dengn mengnggp rngk btng sebgi blok sederhn di ts du peletkn.. nlisis dimuli dri titik simpul yng mempunyi jumlh btng yng pling sedikit. Kemudin pindh ke titik simpul berikutny yng mempunyi jumlh btng yng belum dikethui pling sedikit, dn seterusny.. gy btng yng belum dikethui sellu diumpmkn sebgi gy trik / positif (+) terlebih dhulu. il hsil perhitungnny memberikn hsil negtif (-), mk rh gy btng diblik. 4. sering kli hrus dipki gbungn persmn dri beberp titik simpul untuk dpt menghitung besrny gy btng. d struktur rngk btng yng kompleks / rumit, cr ini jik dilkukn perhitungn secr mnul tidk prktis. Keculi menggunkn progrm komputer, seperti S, STDIII, SNS, tu Microep. repred by Y. Djoko Setiyrto

b 4 hlmn ontoh : Tentukn besrny msingmsing gy btng pd gmbr dismping berikut ini! Menghitung reksi peletkn: M = V = V () + () () () = V () = - () + () + () V = / = ( ) MS = VS = -V () + () + () + () = V () = () + () + () V = 6 / = ( ) x = H + = H = - ( ) H = ( ) D S S 7 Joint y = S. ½ + = S. = - (tekn) x = - + S7 + S. ½ = S7 + -.( ½ ) - = S7 =.( ½ ) + = (trik) repred by Y. Djoko Setiyrto

b 4 hlmn 4 S S S Joint y = - S - S. ½ = - S - (- ). (½ ) = S = (trik) x = S + - S. ½ = S + + = S = - (tekn) S 7 S 8 S S 6 S 9 S S 4 S 8 S 5 D S 9 S 4 S 5 S 6 Joint y = S4. ½ = - + S4. ½ = S4 = (non ktif) x = S8 = S7 S8 = (trik) Joint D y = S5 = (non ktif) x = S9 = S8 S9 = (trik) Joint y = S6. ½ = - S6 = - (tekn) x = S = S6. ½ S6. ½ = - S6 = - (tekn) ocok! (OK) Joint y = S6. ½ = - (- ). ½ = - - = - (OK) x = S9 = - S6. ½ = - (- ). ½ = (OK) Tbel Gy-gy tng tng Gy tng Gy (kg) S - S5 S - S6 - S S7 S4 S8 V =, V = S9 repred by Y. Djoko Setiyrto

b 4 hlmn 5 ontoh : G 6 7 H M 5 9 8 M D 4 M M M M erhitungn gy-gy pd rngk btng Joint y = V = S 5 S S5 (,5 ) + = S5 (,5 ) = S5 = - / (,5 ) S5 = 565,69 kg x = S = - S5 (,5 ) S = = 4 kg Joint S 9 S S x = S = S = = 4 kg y = S9 = S 5 S 6 S S 9 = = rctg,5 Joint x = α = rctg / = 6,565 S5 (,5 ) = S6 (cos 6,565 ) + S (,5 ) - 4 = S6 (cos 6,565 ) + S (,5 )..pers.) y = + S5 (,5 ) = S6 (sin 6,565 ) - S (,5 ) - = S6 (cos 6,565 ) S (,5 )...pers.) Dengn mengeliminsikn persmn dn persmn mk kn diperoleh S =, dn S6 = - 447, kg Joint H x = S6 cos α = S7 cos α S7 = S6 = - 447, kg y = S = - (S6 + S7) sin α S = - 4 (- 4) = repred by Y. Djoko Setiyrto

b 4 hlmn 6 H S 6 S 7 S Joint S = y = S = - S sin 45 + S sin 45 = + S sin 45 S = S = S S D S = x = S + S cos 45 = S + S cos 45 + = S + S = 4 kg Joint G (tipikl dengn joint ) = rctg,5 S 7 G S S 8 S = x = S8 (cos 45 ) = S7 (cos 6,565 ) + S (cos 45 ) S8 (cos 45 ) = S7 (cos 6,565 ) + S (cos 45 ) S8 (,5 ) = - 447, (cos 6,565 ) + S8 (,5 ) = - 4 kg y = - S8 (sin 45 ) + S7 (sin 6,565 ) - S (sin 45 ) S = - + 4 447, (sin 6,565 ) S = - + 4 S = S = Joint (tipikl dengn joint ) S S S 4 x = S4 = S = = 4 kg y = S = (OK!) JOINT (KONTROL) S 8 S 4 V = y = S8(,5 ) + = - 4 + 6 = = (OK!) x = S4 = - S8 (,5 ) 4 = 4 (OK!) Tbel Gy-gy tng tng Gy (kg) tng Gy (kg) tng Gy (kg) S 4 S5-565,69 S9 S 4 S6 447, S S 4 S7 447, S S4 4 S8-565,69 S repred by Y. Djoko Setiyrto

b 4 hlmn 7 V = V =6 kg S Method of Sections (Ritter) d metod ini, penentun besrny gy-gy btng dilkukn dengn mengnlisis potongn yng dibut oleh gris fiktif yng memotong mksimum btng yng belum dikethui gy btngny. Lngkh-lngkh: 5. hitunglh reksi peletkn dengn mengnggp rngk btng sebgi blok sederhn di ts du peletkn. 6. butlh gris potongn fiktif dengn pertimbngn gris tersebut hny memotong btng mksimum btng yng belum dikethui gy btngny. 7. peninjun potongn hny pd slh stu bgin tu sisi sj (freebody kiri tu freebody knn), kren peninjun freebody kiri mupun freebody knn kn men ghsilkn besr gy dn rh gy yng sm. 8. seluruh gy btng yng dicri, gy-gy lur (bebn) dn reksi peletkn hrus diperhitungkn, demikin pul jrk joint dri btng yng terpotong hrus tergmbrkn. 9. gy btng yng belum dikethui sellu diumpmkn sebgi gy trik / positif (+) terlebih dhulu. il hsil perhitungnny memberikn hsil negtif (-), mk rh gy btng dpt diblik tetpi niliny berubh menjdi positif.. menentukn besrny gy btng dengn menghitung jumlh momen pd sutu titik tertentu (kibt reksi, bebn lur dn gy btng pd irisn yng ditinju) hrus sm dengn nol M =. butlh potongn-potongn yng linny sehingg semu gy btng dpt ditentukn. eberp cttn penting tentng cr Ritter :. Metode Ritter dpt dikombinsikn dengn metode Keseimbngn Titik, dlm rti setelh mencri beberp gy btng dengn menggunkn cr Ritter dpt dilnjutkn mencri gy btng linny dengn menggunkn cr keseimbngn titik, tu seblikny.. Gy-gy btng yng terpotong bersm-sm dengn reksi-reksi peletkn dn bebn-bebn yng bekerj hrus membentuk keseimbngn.. Gy-gy btng yng terpotong mewkili bebn-bebn lur dn reksi-reksi tumpun dri bgin potongn yng tidk ditinju. 4. Setip freebody yng ditinju dpt dikontrol keseimbngnny, sehingg gy btng yng diperoleh dpt lebih diykini kebenrnny dibndingkn dengn metode Keseimbngn Titik. 5. Gris fiktif dpt memotong jumlh btng lebih dri tig buh slkn gy btng yng belum dikethui pling bnyk tig buh. 6. erhitungn gy-gy btng yng linny hrus dilkukn potongn mellui gy-gy btng yng dicri. ontoh: erikut ini contoh dri rngk btng (contoh pertm) yng telh dihitung reksi peletknny. erhtikn rngk btng tersebut! Gris fiktif x-y memotong mksimum btng yng tidk dikethui gy btngny, yitu S, S, dn S7. Kemudin dilkukn pemishn potongn pd gris fiktif tersebut, yitu freebody kiri dn freebody knn. repred by Y. Djoko Setiyrto

b 4 hlmn 8 gris fiktif y 4 5 6 H = 7 8 9 D V = V = x S S H = S 7 S V = reebody Kiri S 7 4 5 6 8 9 D V = S reebody Knn il yng ditinju dlh freebody kiri, mk: M = V () + () + S () = S() = - () () S = - (Tekn) M = V () + H () S7 () = S7 () = () + () S7 = (Trik) M = S () + () + S () = S() = - () (-)() S = (Trik) Kontrol: M = - S () + V () + H () - S7 () = - () + () + () () = = OK! Methods of remon Menentukn gy ksil pd rngk btng secr grfis d metode remon, gy-gy btng ditentukn dengn membut poligon gy pd msing-msing titik simpul (joint). erikut lngkh-lngkh penyelesinny:. Tetpkn skl gy yng kn digunkn dn rh putrn poligon gy. (serh jrum jm tu berlwnn rh jrum jm). Hitunglh reksi peletknny. repred by Y. Djoko Setiyrto

b 4 hlmn 9. ut poligon gy, dimuli pd titik simpul yng mksimum mempunyi gy btng tidk dikethui. Mulilh dri gy yng dikethui pling wl sesui rh putrn yng ditetpkn. Ingt!! rinsip poligon gy dlh seluruh rngkin gy-gy yng tertutup (wl titik tngkp hingg khir tujun gy bertemu dlm titik). Jdi untuk mencri gy-gy btng yng belum dikethui mhsisw hrus pndi-pndi mengnlisis gr poligon-poligon gy merupkn rngkin yng tertutup. 4. osisi gy tip btng sellu sm dengn posisi btng, yng berbed dlh rhny, pkh meningglkn titik joint yng ditinju tu menuju titik joint yng ditinju tersebut. 5. Setelh poligon gy terbentuk (wl-khir bertemu pd titik), tentukn titik joint yng ditinju dengn pertimbngn rh putrn dn gy-gy dri btng yng tidk dikethui. (terletk pd gy-gy yng tidk dikethui) 6. gr tidk membingungkn, berilh tnd negtif (-) untuk btng tekn jik menuju titik joint, dn tnd positif (+) untuk btng trik jik meningglkn titik joint. 7. Mulilh lgi dengn lngkh ketig untuk mencri gy btng linny. 8. Jik seluruh gy btng telh dikethui, mk seluruh poligon gy yng didpt untuk msing-msing joint dijdikn stu poligon gy dengn pertimbngn letkletk joint yng telh ditetpkn pd poligon gy disesuikn dengn joint-joint pd rngk btng. ontoh: Reksi peletkn telh dihitung pd contoh sebelumny. Skl : cm = rh putrn: Serh jrum jm 4 5 6 H = V = 7 8 9 D V =. Joint. Joint Jointdipoligon S = 4 cm S = cm strt S repred by Y. Djoko Setiyrto

b 4 hlmn lterntifyngslh (wl-khir tidkdlmjoint) V S =,8cm H S 7 = 4 cm Jointdipoligon strt. Joint Jointdipoligon S 8 = 4 cm S strt 4. Joint strt Jointdipoligon S 6 =5,6 cm S S 4 S 7 5. Joint 6. Joint D (KONTROL) S 9 S 8 Jointdipoligon strt S 9 = 4 cm S 6 DIGRM RMON Tbel Hsil Keseluruhn S =- S 9 =+ S 8 =+ S =- S =+ S 7 =+ S 6 =- tng njng Gy 4 cm -,8 cm -,4 cm 4 5 6 5,7 cm -,85 7 4 cm 8 4 cm 9 4 cm repred by Y. Djoko Setiyrto

b 4 hlmn NLISIS RNGK TNG DNGN MNGGUNKN ORSI MTRIKS d penjelsn nlisis Rngk tng sebelumny, perhitungn gy-gy reksi sistem struktur kibt gy lur (bebn), dilkukn dengn cr sttik. enentun gy reksi btng dn reksi perletkn dilkukn secr mnul (dengn tngn) berdsrkn peninjun kriteri keseimbngn bdn bebs keseluruhn tupun bdn bebs prsil (sebgin) dri sistem struktur. r-cr perhitungn mnul tersebut di ts boleh jdi msih cukup sederhn dn prktis dilkukn ts sistem struktur yng msih sederhn dn reltif kecil, mislny yng terdiri dri jumlh btng dn titik simpul yng reltif sedikit, dengn sudut orientsi btng yng reltif mudh dihitung. r-cr di ts kn seger terbukti kurng prktis diterpkn untuk sistem struktur yng reltif besr dn rumit. Mslh yng muncul ntr lin: spek ketelitin perhitungn. Keslhn penerpn kriteri keseimbngn dlm stu bdn bebs, kn dpt mermbt ke perhitungn keseimbngn bdn bebs bersebelhn. erhitungn sngt tergntung kepd geometri (bentuk) struktur; yng memng pd umumny hny kn cocok dilkukn secr mnul (tngn). engmbiln bdn bebs yng tktis dn seger menghsilkn penentun nili beberp komponen reksi, dilkukn berdsrkn pengmtn. erhitungn kn memkn wktu yng reltif lm. Tersediny komputer sebgi lt bntu hitung berkpsits tinggi, cept, teliti sert ndl, dpt dimnftkn untuk mengtsi kendl-kendl yng telh dipprkn di ts. nlisis sttik dpt. ditungkn dlm lgoritm perhitungn yng lebih stndr, dn kemudin ditungkn dlm sutu progrm nlisis yng dpt dieksekusi oleh komputer. ormulsi nlisis perlu ditungkn dlm formulsi mtriks, kren penyjin semcm ini sngt cocok untuk dieksekusi oleh komputer. ROSDUR NLISIS DLM ORMULSI MTRIKS Urutn lngkh nlisis sttik struktur rngk sendi disusun dlm lgoritm opersi perhitungn sebgi berikut:. Tetpkn model diskrit yng digunkn untuk mewkili struktur yng dihdpi. Hitung jumlh elemen m, jumlh titik simpul j, dn jumlh reksi kekngn r. erikn nomor urut untuk elemen dn titik simpul.. Susun dt msukn mengeni semu elemen. Dt menckup insidens elemen, yitu dftr elemen dengn nomor titik ujung wl dn khir. enulisn dftr nomor titik ujung wl dn khir untuk insidens elemen dlh bebs. Insidens ini kn mendefinisikn tt sumbu lokl setip elemen, sert orientsiny terhdp tt sumbu globl, sert kn mendefinisikn kesinmbungn topologi sistem struktur. turn penulisn sumbu lokl setip elemen dlh sesui dengn turn tngn knn (telunjuk sumbu x, jempol sumbu y, punggung tngn knn yng di liht) dengn meninju insidens elemen, yitu rh sumbu lokl x dlh serh nomor titik ujung wl dn khir yng telh ditetpkn.. Susun dt msukn mengeni sernu titik simpul, yng menckup koordint, sert kektifn derjt kebebsn titik simpul. erikn indeks untuk derjt kebebsn yng ktif, indeks untuk derjt kebebsn yng terkekng oleh dny reksi perletkn. repred by Y. Djoko Setiyrto

b 4 hlmn 4. enomorn urutn kolom mtriks koefisien sekrng dpt dilengkpi, yitu mengurutkn kolom,,..., m untuk loksi Sl, S,,..., S.. Dengn memeriks indeks kektifn titik simpul, muli dri hingg titik j, dpt ditemukn derjt kebebsn yng memiliki indeks (nol). errti bhw disitu d reksi perletkn, yng llu diberi nomor muli dri (m + ), (m + ), dn seterusny hingg nomor (j). 5. enomorn urutn bris persmn dpt dilkukn dengn mudh sesui urutn nomor titik simpul. Mislny, rh X dn Y titik simpul bernomor k diberi msingmsing nomor urut (k - ) + dn (k - ) + dlm urutn bris persmn simultn. 6. Mtriks koefisien [] sekrng dpt disusun dengn:. memproses elemen stu per stu, yitu dengn menggunkn koefisien dlm tbel berikut: Tbel : Dftr Sumbngn lemen ke i ts Mtriks Koefisien [] ris Ke- i i j j Nili - cos αi - sin αi cos αi sin αi dpun penulisnny dlm mtriks kekkun dlh sebgi berikut: c b = Z dlh indeks yng menunjukkn bris dri mtriks kekkun. Diperoleh dri tbel dengn cr meliht titik dri ujung (i dn j) elemen yng ditinju. Jdi setip elemen mempunyi 4 vrisi dri nili sesui b dengn tbel (i, i, j, j). dlh indeks yng menunjukkn kolom dri mtriks kekkun. Ditulis berdsrkn nomor elemenny. Z dlh nili dri mtriks kekkun sesui dengn tbel. Jdi setip elemen mempunyi 4 vrisi dri nili Z sesui dengn tbel ( -cos αi, -sin αi, cos αi, sin αi ) b. Sumbngn reksi perletkn dpt dimsukkn dengn menuliskn -, dlm bris dn kolom yng sesui. 7. Lngkh berikutny dlh penyusunn mtriks gy lur {}, berdsrkn dt msukn yng memberikn loksi titik simpul dimn bekerj gy-gy lur terpust di rh tt sumbu globl. 8. Sistem persmn simultn dlm khir lngkh (7) dpt disusun dlm bentuk mtriks sebgi berikut: [] {S} = {} [] T []{S} = {}[] T ONTOH y L= m Tentukn besrny msingmsing gy btng dlm gmbr () di smping ini! H = 5 m sistem struktur x Gmbr () repred by Y. Djoko Setiyrto

b 4 hlmn enyelesin: penomorn elemen dn titik simpul Sistem struktur di ts dimodelkn ts tig elemen, dengn penomorn titik simpul dn elemen seperti dlm gmbr (b) di smping. Dengn demikin, jumlh elemen m =, titik simpul j =, dn reksi perletkn / kekngn r =. Gmbr (b) Dt msukn berup insidens elemen, dn kektifn, koordint dn gy lur titik simpul, disusun dlm tbel berikut: Tbel : Insiden lemen Titik Ujung lemen y O y O = O = 7 x x x = y tt sumbu lokl elemen Gmbr (c) Insidens elemen tersebut sekligus kn menetpkn tt sumbu lokl (xl, y); (x, y); dn (x, y) pd elemen hingg elemen seperti terliht dlm gmbr (c) di smping. Dengn demikin, sudut pit sumbu xi dengn sumbu X yitu αi, diperoleh untuk ketig tt sumbu lokl sebesr α =, α = rctn (5/), dn α =7. kektifn titik simpul Gmbr (d) d gmbr (d) di smping muli dri titik hingg, kektifn titik simpul di rh dn diperiks. Jik kektifn bernili nol, mk di sn d gy reksi seperti yng diberikn nomor urut 4, 5, dn 6 dlm gmbr (e) di smping bwh ini, yng msing-msing koresponden dengn RH, RV, dn RH. 4 6 5 penomorn gy reksi Gmbr (e) enomorn gy reksi diberikn dlm gmbr (e) di smping. Dlm contoh ini, reksi gy dlm pd elemen,, dn diberi indeks,, dn. Sedngkn reksi gy peletkn diberi indeks 4, 5, 6. enomorn gy reksi sekligus menentukn loksi kolom dn totl jumlh kolom. repred by Y. Djoko Setiyrto

b 4 hlmn 4 5 penomorn bris persmn 4 enomorn urutn bris mtriks dimuli dri titik hingg, dlm msing-msing rh X dn Y titik simpul, seperti terliht pd gmbr (f). Dengn ini, identifiksi bris dn kolom mtriks koefisien [] telh tertetpkn. 6 Gmbr (f) Tbel : Kektifn, koordint, dn bebn titik simpul Titik Kektifn Koordint ebn Lur. 5. - -. 5. - -.. - - enyusunn Mtriks Kekkun. sumbngn elemen demi elemen terhdp [], dpt diproses sebgi berikut: Untuk elemen, α =, i (ujung pertm) = j (ujung kedu) = menurut insiden elemen dlm dftr tbel : c = -, c =, c =, c4 = Untuk elemen, α = rctn (5/) cos α = / dn cos α = 5/ i (ujung pertm) = j (ujung kedu) = menurut insiden elemen dlm dftr tbel : c5 = -/; c6 = -5/, c = /, c4 = 5/ Untuk elemen, α = rctn (5/) cos α = / dn cos α = 5/ i (ujung pertm) = j (ujung kedu) = menurut insiden elemen dlm dftr tbel : c = ; c =, c5 =, c6 = - S S S R 4 R 5 R 6 - - Yng - [] = / 5/ 4 -/ - 5-5/ - 6 tercetk tebl merupkn sumbngn dri reksi elemen dn peletkn repred by Y. Djoko Setiyrto

b 4 hlmn 5 repred by Y. Djoko Setiyrto b. sumbngn reksi-reksi peletkn untuk [] Reksi nomor 4 (gmbr e) berd pd titik simpul di rh derjt kebebsn pertm (nomor pd gmbr f) mk c4 = - Reksi nomor 5 (gmbr e) berd pd titik simpul di rh derjt kebebsn kedu (nomor du pd gmbr f) mk c5 = - Reksi nomor 6 (gmbr e) berd pd titik simpul di rh derjt kebebsn pertm (nomor 5 pd gmbr f) mk c56 = - enyusunn Mtriks ebn enyusunn mtriks bebn / vektor gy lur {}dlh sebgi berikut: Gy yng d hny stu, yitu terletk pd titik simpul di rh derjt kebebsn kedu, mk 4 (sesui gmbr f) =. Dengn demikin diperoleh mtriks bebn sebgi berikut: 6 5 4 enyusunn Mtriks dlm Sistem ersmn Keseimbngn 5 / / 5/ / 6 5 4 R R R S S S R R R S S S 6 5 4