UKURAN LOKASI DAN VARIANSI MEAN: Mean merupakan ukuran rata-rata dari data. Dua metode yang akan dibahas untuk menentukan rata-rata adalah rata-rata hitung dan rata-rata harmonik. Rata-rata hitung Merupakan pembagian antara jumlah nilai dari keseluruhan data dengan banyaknya data :
RUMUS-RATA-RATA HITUNG Contoh 3.1 : Apabila diketahui 5 orang istri tentara yang bekerja dengan penghasilan yang bervariasi. Masing-masing penghasilan (dalam rupiah) adalah 750.000, 800.000, 850.000, 900.000, 1000.000. Berapa rata-rata penghasilan mereka? Jawab : Sangat mudah menentukan rata-rata dari data tersebut, yaitu :
= 860.000 Berdasarkan rumus di atas, dapat dikembang kan apabila datanya berkelompok, menjadi: x k i1 k i1 fx i f i i
dengan f I adalah frekuensi dari data ke i. Contoh 3.2 : Akan diteliti banyaknya transaksi dari 100 stan pada suatu expo. Diperoleh data sebagai berikut : No Banyak transaksi frekuensi 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 5 22 30 18 15 10
x k i1 k i1 = 2,46 fx i f i i 0.5+1.22+2.30+3.18+4.15+5.10 5+22+30+18+15+10 Contoh 3.3 : Jika diketahui data Nilai Ebtanas Murni (NEM) karyawan yang diterima bekerja di PT. Maju Mapan. Carilah nilai rata-rata NEM nya :
Tabel : Nilai Ebtanas Murni (NEM) karyawan yang diterima bekerja di PT. Maju Mapan No Kelas Interval Frekuensi 1 2 3 4 5 6 35 39 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 5 15 20 15 10 5
Maka dapat dicari rata-ratanya dengan terlebih dahulu membuat tabel berikut : No Kelas Interval Frekuensi (fi) Nilai tengah (xi) fi.xi 1 2 3 4 5 6 35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 5 15 20 15 10 5 37 42 47 52 57 62 185 630 940 780 570 310 Jumlah 70 3415
Sedangkan rata-ratanya dicari dengan menggunakan nilai tengah sebagai XI untuk rumus di atas, yaitu : x k fx i i i1 3415 k 70 fi i1 48,78
Apabila dipergunakan rata-rata duga, maka perumusan rata-rata berubah menjadi:. x x p 0 k i1 k i1 fu i f i i
Penjelasan : Xo = salah satu harga titik tengah kelas (merupakan rata-rata duga) p = panjang kelas interval Ui = 0 jika = Xo = 1,2,3, untuk kelas di atas Xo = -1,-2,-3, untuk kelas di bawah Xo Contoh 3.4 : Dari contoh nilai NEM di atas, apabila dipergunakan rata-rata duga dengan nilai ratarata duga adalah 47, maka :
Tabel : Nilai Ebtanas Murni (NEM) karyawan yang diterima bekerja di PT. Maju Mapan No Kelas Interval Frekuensi (fi) Ui Ui. fi 1 35-39 5-2 -10 2 40-44 15-1 -15 3 45-49 20 0 0 4 50-54 15 1 15 5 55-59 10 2 20 6 60-64 5 3 15 Jumlah 70 3 25
x x p 0 k i1 k i1 fu i f i i x x dengan : Xo = 47, p = 5 5.{5(-2)+15(-1)+15.1+10.2+5.3} x 47 70 125 47 70 48,78
Modus Merupakan nilai atau data yang paling sering muncul. Untuk data berkelompok : b 1 Mo b p b 1 b 2
Keterangan : Dengan : Mo = Modus b = batas bawah kelas modus b1 = beda frekuensi kelas modus dengan kelas inteval yang mendahului b2 = beda frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas interval berikutnya. P = Interval/ panjang kelas modus
b 1 Mo b p b 1 b 2. b = 44.5 p = 5 b1 = 20-15 = 5 b2 = 20-15 = 5 Mo = 44.5 + 5 {5/(5+5)} Mo = 44.5 + 2.5 Mo = 47 Jadi data yang paling sering muncul atau modusnya adalah 47.
Contoh 3.5 : Dari data NEM di atas, berapa nilai yang paling sering muncul (modusnya)? Jawab : Kalau dilihat dari penyebaran datanya, maka frekuensi tertinggi dan menyatakan kelas interval yang paling sering muncul adalah 45-49 yaitu 20 kali. Dengan demikian, pastilah modus dari data ini nantinya tidak akan bergeser dari selang tersebut. Dipergunakan rumus umum mencari modus yaitu :
MEDIAN Median merupakan nilai sentral dari sebuah distribusi frekuensi. Merupakan nilai sentral berhubungan dengan posisi sentral yang dimilikinya dalam sebuah distribusi, Median membagi seluruh jumlah observasi atau pengukuran kedalam 2 bagian yang sama. Untuk data yang berkelompok kelas yang mengandung median adalah kelas pertama untuk frekwensi komulatif menyamai atau melebihi setengah dari ukuran sampel (populasi)
MEDIAN Merupakan setengah dari data, setelah disortir dengan cara : Susun data mulai yang terkecil Jika banyak data ganjil, median adalah yang paling tengah Jika banyak data genap, median adalah rata-rata data tengah
RUMUS YANG DIGUNAKAN MEDIAN... 1 (n/2) - F = B + ----------------- X i F m - F
Dimana : B = Tepi kelas bawah dari interval dimana mediannya terletak Fm = Frekwensi komulatif yang bersesuaian dengan tepi kelas atas dari interval dimana median dihitung. F = Frekwensi komulatif yang bersesuaian dengan B n = nilai observasi i = Interval kelas
RUMUS YANG DIGUNAKAN...2 (n/2) - ( n - F' m) md = A - -------------------------- X i F' m - F'
Dimana : A = Tepi kelas atas dari interval dimana mediannya terletak F' m F' = Frekwensi komulatif yang sesuai dengan A = Frekwensi komulatif yang bersesuaian dengan tepi kelas atas dari interval dimana median dihitung i = Interval kelas
Hasil Ujian Statistik 111 orang Mahasiswa FEUI 53,53 63,14 49,03 55,15 67,79 63,49 58,63 50,84 51,77 41,22 73,55 50,74 56,00 46,98 46,33 62,66 66,60 59,16 50,37 44,82 52,49 53,35 61,61 55,54 50,94 33,88 52,26 47,92 64,00 58,94 34,88 58,87 59,84 56,23 42,59 45,77 63,28 48,75 69,79 56,71 70,51 56,72 66,12 59,06 44,54 48,10 47,83 56,31 51,54 44,88 58,21 44,14 67,48 58,77 53,94 61,50 50,91 34,38 63,85 36,41 57,07 45,41 71,16 55,78 56,57 65,41 69,65 54,96 52,26 45,01 51,61 47,76 29,10 53,02 73,53 44,06 47,54 50,09 39,19 48,97 60,48 74,63 54,31 55,27 44,48 63,48 43,01 52,94 50,75 51,31 40,48 48,67 66,19 57,29 55,05 56,34 32,61 62,98 45,09 37,57 54,09 51,74 35,54 38,87 27,43 51,13 60,36 54,51 52,43 26,87 20,07
MEDIAN Tabel nilai Ujian 111 orang Mahasiswa yang mengikuti statistik FEUI tahun 1967 Nilai Ujian mi fi mi. Fi Tepi Frekwensi Kelas Komulatif kurang dari 19,995 0 20,00-29,99 24,995 4 99,980 29,995 4 30,00-39,99 34,995 9 314,955 39,995 13 40,00-49,99 44,995 25 1.124,875 49,995 38 50,00-59,99 54,995 48 2.639,760 59,995 86 60,00-69,99 64,995 20 1.299,900 69,995 106 70,00-79,99 74,995 5 374,975 79,995 111 Jumlah 111 5.854,445 X = 52,743
Y = JUMLAH MAHASISWA HISTOGRAM FREKUENSI HASIL UJIAN STATISTIK FEUI 60 50 40 30 20 10 0 x = NILAI UJIAN 24,995 34,995 44,995 54,995 64,995 74,995
Y = JUMLAH MAHASISWA POLIGON FREKWENSI KUMULATIF UJIAN STATISTIK FEUI 120 100 80 60 40 20 0 X = NILAI MAHASISWA 14,995 24,995 34,995 44,995 54,995 64,995 74,995
MEDIAN (111/2-38 = 49,995 + X 10 86-38 = 49,995 + 3,645 = 53,640 PENENTUAN MEDIAN DARI DATA TERTINGGI KE TERENDAH (111/2) (111 86) = 59,995 - X 10 86-38 = 59,995-6,354 = 53,640
KUARTIL Cara menghitung kuartir pada dasarnya sama dengan menghitung median, secara teoritis Xi yang ordinatnya membagi seluruh distribusi kedalam empat bagian yang sama, dimana nilainilai kuartil (Q1 merupakan kuartil pertama yang nilai Xi memiliki frekuensi kurang dari sebesar n/40. Q1, Q2, dan Q3 pada dasarnya sama dengan menghitung median.
Cara menghitung Q1 n/4 = 111/4 = 27,75 (111/4) - 13 Q1= 39,995 + X 10 38-13 = 45,895 Q2 = Median
3 n/4 = 83,25 83,25 38 Q 3 = 49,995 + X 10 86-38 = 60,0512
PENGUKURAN DESIL Desil nilai-nilai Xi yang membagi seluruh luas segi empat panjang dari histogram kedalam 10 bagian yang sama. D1 merupakan Desil pertama nilai Xi memiliki frekwensi komulatif kurang dari sebesar n/10
Pengukuran persentil Persentil adalah nilai-nilai Xi yang membagi seluruh distribusi kedalam 100 bagian yang sama. P1 merupakan persentil pertama, dimana nilai Xi memiliki frekwensi komulatif kurang dari sebesar n/100 P 50 merupakan sentil ke 50 dimana nilai Xi memiliki frekwensi komulatif kurang dari sebesar 50 n/100
SOAL QUIS Jika dikelompokkan nilai ujian Matematika I seluruh Kadet tingkat I yang berjumlah 150 orang dalam 6 kelas interval hasilnya adalah sebagai berikut : No Kelas Interval Frekuensi 1 2 3 4 5 6 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 5 10 35 50 30 20
Carilah : Mean Modus Median Kuartil Persentil pertama