Matakuliah: Fisika Matematika DERET FOURIER DAN APLIKASINYA DALAM FISIKA Di S U S U N Oleh : Kelompok VI DEWI RATNA PERTIWI SITEPU (8176175004) RIFKA ANNISA GIRSANG (8176175014) PENDIDIKAN FISIKA REGULER [2017 PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2017
KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan kehadapan Tuhan Yang Maha Esa, karena berkat rahmat dan kasih-nyalah makalah ini dapat penulis selesaikan tepat pada waktunya. Ada pun makalah ini disusun, untuk dapat memenuhi tugas mata kuliah Fisika Matematika. Makalah ini diberi judul Deret Fourier Dan Aplikasinya Dalam Fisika. Penulis berharap dengan disusunnya makalah ini dapat bermanfaat dalam mengetahui aplikasi deret fourier dalam fisika. Kami menyadari makalah ini jauh dari kata sempurna, karena itu kritik dan saran membangun yang sangat penulis harapkan. Semoga makalah ini bermanfaat bagi kita semua. Medan, September 2017 Kelompok VI i
DAFTAR ISI Kata pengantar... i Daftar isi... ii Bab I Pendahuluan A. Latar Belakang... 1 B. Rumusan Masalah... 2 C. Tujuan Penulisan... 2 Bab II Pembahasan 2.1 Fungsi periodik... 3 2.2 Deret fourier... 4 2.3 Syarat atau kondisi Dirichlet... 5 2.4 Fungsi genap dan fungsi ganjil... 10 2.5 Deret sinus dan cosinus setengah jangkauan... 11 2.6 Aplikasi deret fourier dalam fisika... 14 Bab III Penutup Kesimpulan... 18 DAFTAR PUSTAKA... 19 ii
i
BAB I PENDAHULUAN A. Latar belakang Permasalahan-permasalahan yang semakin kompleks dari waktu ke waktu menuntut manusia untuk selalu berkembang dan mencari pemecahan dari permasalahan tersebut. Hal ini mendorong semakin berkembang pula ilmu pengetahuan dan teknologi yang dapat membantu manusia dalam menyelesaikan permasalahan-permasalahannya. Salah satu disiplin ilmu tersebut adalah matematika, dimana dalam matematika terdapat suatu kajian tentang pemodelan yang sedikit banyak dapat membantu manusia untuk menyelesaikan masalahnya. Dalam permasalahan Fisika, banyak gejala yang dipelajari terkait dengan dinamika yang berulang-ulang atau periodik, seperti getaran atau osilasi. Contoh yang paling sederhana adalah gerakan berulang pada gerak harmonik sederhana oleh pegas yang membentuk fungsi sinusoidal jika kita gambarkan hubungan antara posisi dengan waktu. Di pihak lain, kadang kita dihadapkan pula pada permasalahan yang terkait dengan struktur yang memiliki periodisitas, seperti contohnya perambatan cahaya ketika melalui medium berlapis-lapis yang memiliki struktur lapisan periodik. Secara umum, gejala atau struktur periodik yang diamati tidak memiliki bentuk sesederhana fungsi sinusiodal, bahkan seringkali tidak memiliki bentuk ungkapan analitik yang kita kenal. Untuk menangani permasalahan yang terkait dengan sistem periodik tersebut, maka kita dapat menggunakan uraian deret dengan fungsi-fungsi sinusoidal sebagai basisnya. Jika pada bab 1 kita telah berkenalan dengan uraian Taylor yang menjabarkan suatu fungsi berdasarkan deret pangkat, maka pada bab ini kita akan membahas perumusan yang kurang lebih sama tetapi diterapkan khusus pada fungsifungsi periodik yang secara umum tidak memiliki bentuk ungkapan analitik. Pada awalnya deret Fourier diperkenalkan oleh Joseph Fourier pada tahun 1807 untuk memecahkan model masalah persamaan panas pada suatu lempeng logam (Fourier, 1878). Meskipun motivasi awal adalah menyelesaikan model tersebut, namun kemudian deret Fourier dikembangkan untuk menyelesaikan banyak permasalahan dalam matematika dan fisika seperti penyelesaian persamaan diferensial biasa maupun parsial. Salah satu permasalahan yang menarik pada deret Fourier adalah tentang kemonotonan koefisienkoefisien deret Fourier, yaitu monoton turun dan konvergen ke nol karena merupakan salah satu syarat cukup agar deret tersebut konvergen seragam. 1
1.2 Rumusan Masalah Adapun rumusan masalah dari makalah ini adalah: 1 Apakah yang dimaksud dengan fungsi periodik? 2 Bagaimanakah bentuk persamaan fungsi periodik? 3 Apakah yang dimaksud dengan deret fourier? 4 Bagaimanakah bentuk dan cara menyelesaikan Deret Fourier? 5 Apasajakah syarat atau kondisi dirichlet? 6 Apakah yang dimaksud dengan fungsi genap dan fungsi ganjil? 7 Bagaimanakah bentuk persamaan fungsi genap dan fungsi ganjil? 8 Apakah yang dimaksud dengan deres sinus dan deret cosinus setengah jangkauan? 9 Apa sajakah aplikasi Deret Fourier dalam fisika? 1.3 Tujuan Penulisan Tujuan penulisan makalah ini adalah sebagai berikut: 1 Mengetahui dimaksud dengan fungsi periodik 2 Mengetahui bentuk persamaan fungsi periodik 3 Mengetahui yang dimaksud dengan deret fourier 4 Mengetahui bentuk dan cara menyelesaikan deret fourier 5 Mengetahui syarat atau kondisi dirichlet 6 Mengetahui yang dimaksud dengan fungsi genap dan fungsi ganjil 7 Mengetahui bentuk persamaan fungsi genap dan fungsi ganjil 8 Mengetahui yang dimaksud dengan deres sinus dan deret cosinus setengah jangkauan 9 Mengetahui aplikasi deret fourier dalam fisika 2
BAB II PEMBAHASAN 2.1. Fungsi Periodik Fungsi f(x) dikatakan periodik dengan perioda P, jika untuk semua harga x berlaku: f (x + P) = f (x) ; P adalah konstanta positif. Harga terkecil dari P > 0 disebut perioda terkecil atau sering disebut perioda dari f(x). Contoh : Fungsi sin x mempunyai perioda 2π; 4 π; 6 π;... karena sin (x+2 π) = sin (x+4 π) = sin (x+6 π) =...= sin x. Periode dari sin nx atau cos nx ; dengan n bilangan bulat positif adalah 2 π /n. Periode dari tan x adalah π. Fungsi konstan mempunyai periode sembarang bilangan positif. Gambar grafik dari fungsi-fungsi yang periodik, misalnya : 3
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada setiap segmen (piecewise continuous function), bila f(x) hanya kontinu pada interval-interval tertentu dan diskontinu pada titik-titik yang banyaknya berhingga. Harga f(x) di titik-titik diskontinu ditentukan dengan menghitung harga limit fungsi f(x) untuk x mendekati titik diskontinu (ujung masing-masing interval). 2.2 deret fourier Dalam beberapa permasalahan yang berhubungan dengan gelombang (gelombang suara, air, bunyi, panas, dsb) ; pendekatan dengan deret Fourier yang suku-sukunya memuat sinus dan cosinus sering digunakan. Dengan mengekspansikan ke dalam bentuk deret Fourier ; suatu fungsi periodik bisa dinyatakan sebagai jumlahan dari beberapa fungsi harmonis, yaitu fungsi dari sinus dan cosinus (fungsi sinusoidal). 4
Jika fungsi f(x) terdefinisi pada interval (-L;L) dan di luar interval tersebut f(x) periodikdengan periode 2L ; maka deret Fourier atau ekspansi Fourier dari fungsi f(x) tersebut di definisikan sebagai : (2-1) dengan koefisien Fourier an, bn ditentukan oleh : (2-2) Jika interval ( L;L) sembarang dan f(x) mempunyai periode 2L maka : (2-3) (2-4) (2-5) dengan C sembarang bilangan real. Jika C = -L maka rumus (2-4) dan (2-5) akan sama dengan (2-2) dan (2-3). Deret Fourier konvergen bila memenuhi syarat/kondisi Dirichlet. 2.3 Syarat /Kondisi Dirichlet Teorema : Jika, 1. f(x) terdefinisi dan bernilai tunggal, kecuali pada beberapa titik yang banyaknya berhingga pada interval (-L:L). 2. f(x) periodik dengan perioda 2L. 3. f(x) dan f (x) merupakan fungsi-fungsi yang kontinu pada setiap segmen pada interval (L;L). Maka deret Fourier (2-1) dengan koefisien (2-2) dan (2-3) atau (2-4) dan (2-5) konvergen ke : 5
Contoh : 1. Tentukan deret Fourier dari fungsi f(x) yang didefinisikan sebagai : di luar interval ini f(x) periodik dengan perioda 2 π. Penyelesaian : 6
Fungsi f (x) pada contoh diatas bisa dimisalkan merupakan suatu pulsa voltase yang periodik; dan suku-suku dari deret Fourier yang dihasilkan akan berkaitan dengan frekuensi frekuensi yang berbeda dari arus bolak balik yang dihubungkan pada gelombang bujur sangkar dari voltase tadi. 2. Tentukan deret Fourier dari : dan bagaimanakah f (x) harus ditentukan pada x = -5 ; x = 0 dan x = 5 agar deret Fourier tersebut konvergen ke f (x) pada -5 < x < 5. Penyelesaian : Periode = 2L. L=5 7
Deret fouriernya yaitu f(x) memenuhi syarat Dirichlet, jadi deret Fourier akan konvergen ke: - F (x) ; jika x titik kontinu - f (x + ) + f (x - ) ; jika x titik diskontinu 2 titik-titik x = -5; 0 dan 5 merupakan titik-titik diskontinu dari f (x) pada interval (-5,5) sehingga : di x = -5 ; deret akan konvergen ke : di x = 0 ; deret akan konvergen ke : di x = 5 ; deret akan konvergen ke : Deret Fourier diatas akan konvergen ke f(x) pada interval -5 x 5 apabila f (x) ditentukan sbb: diluar interval ini periodik dengan p = 10 8
3. Ekspansikan f (x) = x 2 ; 0 < x < 2π kedalam deret Fourier jika f (x) Periodik dengan periode 2 π. Penyelesaian: periode 2L = 2 π L = π 9
2.4 Fungsi Genap dan Fungsi Ganji Fungsi f(x) disebut fungsi genap jika f ( -x ) = f (x) untuk setiap x. Contoh : 1. Polinomial dalam x yang suku-sukunya adalah x berpangkat genap merupakan fungsi genap. Jika f (x) fungsi genap maka: (2-6) Fungsi f (x) disebut fungsi ganjil jika f ( -x ) = - f (x) untuk semua x. 2. Polinomial dalam x yang suku-sukunya adalah x berpangkat ganjil merupakan fungsi ganjil. Jika f (x) fungsi ganjil maka: 10
2.5 Deret Sinus dan Deret Cosinus Setengah Jangkauan (Half Range) Deret fourier dari fungsi genap : genap Jadi, jika f(x) fungsi genap maka bn = 0 ; sehingga yang muncul hanya suku-suku yang mengandung cosinus saja atau suku-suku dari an. Deret fourier dari fungsi ganjil: Jika f(x) fungsi ganjil maka an = 0 ; sehingga yang muncul hanya suku-suku yang mengandung sinus saja atau suku-suku dari bn. 11
Deret sinus dan cosinus setengah jangkauan adalah suatu deret Fourier yang hanya mengandung suku sinus atau cosinus saja. Apabila diinginkan deret setengah jangkauan yang sesuai dengan fungsi yang diberikan, fungsi yang dimaksud biasanya hanya diberikan dalam setengah interval adari (-L;L) yaitu pada interval (0;L) saja. Setengah lainya yaitu (-L,0) ditentukan berdasarkan penjelasan fungsinya genap atau ganjil. Deret sinus setengah jangkauan adalah deret Fourier dengan : f(x) fungsi ganjil Deret Cosinus setengah jangkauan adalah deret Fourier dengan: f(x) fungsi genap Contoh: Ekspansikan f (x) = x ; 0 < x < 2 ke dalam : a. deret sinus setengah jangkauan b. deret cosinus setengah jangkauan Penyelesaian : a. deret sinus setengah jangkauan f (x) = x ; 0 < x < 2 diperluas dalam bentuk fungsi ganjil sepanjang interval-2 < x < 2 (dengan periode 4), sebagai berikut: Sehingga : an = 0 12
Jadi deret sinus: a. Deret cosinus setengah jangkauan f (x) = x ; 0 < x < 2 diperluas dalam bentuk fungsi ganjil sepanjang interval-2 < x < 2 (dengan periode 4), sebagai berikut: an = 0 Bn = 0 13
Jadi deret cosinus: 2.6 Aplikasi Deret Fourier dalam fisika Salah satu aplikasi dari deret fourier adalah pada pemisahan perpaduan gelombang. Suatu gelombang yang bergerak pada sutu medium bukan hanya gelombang yang berupa gelombang tunggal namun merupakan perpaduan dari banyak gelombang. Dengan menggunakan deret fourier maka perpaduan dari banyak panjang gelombang ini dapat dipisahkan kembali menjadi gelombang-gelombang penyusunnya. Misalkan saja pada gelombang radio. Gelombang radio FM mempunyai frekuensi 88 Mhz sampai dengan 108 Mhz. Tapi yang menimbulkan pertanyaan adalah kenapa kita dapat mendengarkan suara penyiar radionya padahal batas pendengaran manusia hanya 20 Hz sampai dengan 20.000 Hz saja?. Ini dapat dijawab karena gelombang radio tersebut hanya sebagai pembawa. Yang nantinya pada radio penerima gelombang datang tersebut akan dipecah kembali yang salah satunya berupa gelombang suara yang dapat kita dengarkan. 14
Pada gambar diatas disajikan dua bentuk gelombang yang mempunyai bentuk yang sangat berbeda. Namun pada gambar kiri itu merupakan gelombang perpaduan dari banyak sekali gelombang. Sedangkan pada gambar kanan merupakan bentuk-bentuk gelombang yang menyusun gambar kiri tadi. Gambar kiri dapat di pecah menjadi gambar kanan dengan bantuan deret fourier. Hal ini pula yang berlaku pada frekuensi radio yang telah disinggung sebelumnya. Selain adanya deret fourier, juga dikenal adanya transformasi fourier (Fourier Transform-FT). Joseph Fourier mengemukakan bahwa sebuah fungsi periodik dapat direpresentasikan dengan mengkombinasikan penjumlahan tak hingga dari fungsi sinus dan cosinus. Representasi fungsi inilah yang kemudian dikenal sebagai Deret Fourier. Beberapa tahun setelah penemuan ini, deret fourier dikembangkan menjadi bentuk yang lebih umum sehingga dapat diterapkan pada fungsi yang non-periodik, bentuk yang lebih umum ini yang kemudian dikenal sebagai Transformasi Fourier (FT). Sejak penemuan ini, transformasi fourier menjadi metoda yang sangat cocok untuk menganalisis fungsi atau sinyal1, karena transformasi fourier dapat mengubah fungsi atau sinyal dalam domain waktu ke domain frekuensi. Biasanya sebuah fungsi digambarkan dalam domain waktu. Artinya yang diukur dari fungsi tersebut adalah waktu. Dengan kata lain, jika kita gambarkan fungsi tersebut pada sumbu simetri, maka sumbu x (sebagai variabel bebas) mewakili waktu, dan sumbu y (sebagai variabel tak bebas) mewakili nilai pada waktu t tertentu, atau nilai amplitudo-nya. Jika kita menggambar fungsi dalam domain waktu, maka kita akan memperoleh representasi waktu-amplitudo fungsi tersebut. Pada aplikasinya, representasi ini tidak selalu merupakan representasi terbaik. Pada banyak kasus, informasi khusus tersembunyi pada nilai frekuensinya. Spektrum frekuensi dari sebuah fungsi memperlihatkan frekuensi yang termuat pada fungsi tersebut. Transformasi Fourier (Fourier Transform atau FT) dapat mengubah fungsi atau sinyal dalam domain waktu ke dalam domain frekuensi. Jika kita menerapkan FT pada sebuah fungsi dalam domain waktu, maka kita akan mendapatkan repesentasi frekuensiamplitudo fungsi tersebut. Dengan transformasi fourier, sebuah fungsi dapat digambarkan dalam sumbu x yang menunjukkan spektrum frekuensi dan sumbu y menunjukkan amplitudo. Gambar FT menunjukkan berapa banyak frekuensi yang termuat pada fungsi tersebut. Berikut ini adalah contoh dua buah fungsi stasioner periodik, yang tergabungkan (y1 + y2 = y) beserta gambar FT-nya: 15
Seringkali, informasi yang tidak dapat dilihat pada domain waktu, dapat dilihat pada domain frekuensi. Sebagai contoh dalam bidang medis dikenal sinyal ECG (ElectroCardioGraphy), yaitu catatan grafik aktivitas elektrik jantung. Bentuk khusus ECG orang yang sehat, dikenal betul oleh seorang ahli jantung. Sebuah penyimpangan yang berarti dari bentuk tersebut biasanya dianggap sebagai gejala adanya penyakit. Namun gejala adanya penyakit tidak selalu terlihat jelas pada sinyal ECG dalam domain waktu, terkadang penyakit dapat didiagnosa lebih mudah jika sinyal dianalisis dalam domain frekuensi. Pada ECG dapat memanfaatkan transformasi fourier tergantung yang diinginkan. Seperti telah disinggung sebelumnya bahwa tidak selalu suatu gejala kejanggalan pembacaan catatan grafik aktifitas elektrik jantung dapat teramati dengan baik dalam domain waktu. Sehingga diperlukan domain lain yang sesuai dan dapat memberikan informasi yang lebih akurat kepada pembaca. Domain lain yang dapat digunakan adalah domain frekuensi. Dan sebaliknya tidak semua gejala kejanggalan juga dapat dibaca pada domain ini. Sehingga antara doain waktu dan domain frekuensi akan saling melengkapi, tergantung dengan kebutuhan. Hal tersebut merupakan contoh sederhana dari kegunaan domain frekuensi. 16
Transformasi fourier bersifat reversibel, yaitu suatu fungsi dapat ditransformasi ke dalam domain frekuensi (yang memuat informasi frekuensi amplitudo), dan di inversikan lagi ke domain waktu (yang memuat informasi waktu-amplitudo). Namun, kedua informasi tersebut tidak bisa didapatkan secara bersamaan. Representasi fungsi dalam domain frekuensi tidak memuat informasi waktu, demikian pula sebaliknya. Untuk fungsi-fungsi yang stasioner, yaitu fungsi yang nilai frekuensinya tidak berubah-ubah secara kontinu, informasi waktu dan frekuensi secara bersamaan tidak diperlukan, karena di seluruh interval waktu, nilai komponen frekuensinya konstan. 17
BAB III PENUTUP 3.1 KESIMPULAN 1. Fungsi f(x) dikatakan periodik dengan perioda P, jika untuk semua harga x berlaku: f (x + P) = f (x) ; P adalah konstanta positif. Harga terkecil dari P > 0 disebut perioda terkecil atau sering disebut perioda dari f(x). 2. Dalam beberapa permasalahan yang berhubungan dengan gelombang (gelombang suara, air, bunyi, panas, dsb) ; pendekatan dengan deret Fourier yang suku-sukunya memuat sinus dan cosinus sering digunakan. Dengan mengekspansikan ke dalam bentuk deret Fourier ; suatu fungsi periodik bisa dinyatakan sebagai jumlahan dari beberapa fungsi harmonis, yaitu fungsi dari sinus dan cosinus (fungsi sinusoidal). 3. Syarat atau kondisi dirichlet yaitu: Teorema : Jika, o f(x) terdefinisi dan bernilai tunggal, kecuali pada beberapa titik yang banyaknya berhingga pada interval (-L:L). o f(x) periodik dengan perioda 2L. o f(x) dan f (x) merupakan fungsi-fungsi yang kontinu pada setiap segmen pada interval (-L;L) 4. Fungsi f(x) disebut fungsi genap jika f ( -x ) = f (x) untuk setiap x Fungsi f (x) disebut fungsi ganjil jika f ( -x ) = - f (x) untuk semua x. 5. Deret sinus setengah jangkauan adalah deret Fourier dengan : f(x) fungsi ganjil Deret Cosinus setengah jangkauan adalah deret Fourier dengan: f(x) fungsi genap 18
DAFTAR PUSTAKA Chotim, Moch., 2001, Kalkulus 1. Semarang: UNNES Semarang. Chotim, Moch., 2008, Kalkulus 1. Semarang: UNNES Semarang. Kartono. 2001. Maple untuk Persamaan Diferensial. Yogyakarta: J & J Learning. Romadiastri, Yulia., 2004. Solusi Persamaan Difusi pada Pipa Berhingga Dengan Kasus Kondisi Robin: Skripsi.UNNES Semarang. Waluya, S.B.,2006, Persamaan Diferensial, Yogyakarta : Graha Ilmu 19