SISTEM BILANGAN DAN SANDI

SISTEM BILANGAN DAN SANDI. Pendahuluan Sistem bilangan yang biasa kita pakai sehari-hari disebut bilangan berbasis posisi. Bilangan desimal disebut sistem basis (base system), karena sistem ini mempunyai simbol yang berbeda yaitu,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Kemudian sistem basis juga dikatakan mempunyai suatu radiks (radix). Jadi radiks dan basis merupakan istilah yang mempunyai arti persis sama. Sedangkan pada bilangan biner disebut dengan bilangan radix 2, dimana bilangan biner hanya memiliki angka dan. Untuk bit paling kanan pada bilangan biner disebut LSB (Least Significant Bit) dan bit paling kiri disebut MSB (Most Significant Bit). 2. Sistem Bilangan 2.. Bilangan biner Pencacahan dalam biner, seperti tabel 2.. Dimana bilangan biner diperlihatkan pada kolom sebelah kanan dari tabel, sedangkan ekivalen desimalnya diperlihatkan pada kolom sebelah kiri. Perhatikan bahwa angka merupakan bit yang tidak Signifacant (LSB. Least Significant Bit). Dengan kata lain, bila angka muncul pada kolom sebelah kanan, maka hitungan biner ditambah dengan. Bagian kedua dari kanan adalah angka 2. Angka yang muncul pada kolom ini berarti bahwa hitungan di tambah dengan 2. Tiga nilai tempat lainnya juga ditunjukkan pada tabel 2., dimana masing-masing nilai yang lebih besar merupakan pangkat dari 2 yang ditambahkan. Angka satuan sebenarnya adalah 2, angka duaan adalah 2, Sistem bilangan dan Sandi /hal dari 4

Sistem bilangan dan Sandi /hal 2 dari 4 angka empatan adalah 2 2, angka delapan adalah 2 3 dan angka enam belasan adalah 2 4. Pencacah Desimal Pencacah Biner 6 8 4 2 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 Tabel. 2. Pencacahan dalam biner dan desimal

2.2. Konversi Desimal ke Biner Ubahlah bilangan desimal 87 ke bilangan biner. Gambar 2., akan menunjukkan cara atau metoda yang mudah untuk proses pengubahan tersebut. Mula-mula bilangan desimal 87 dibagi dengan 2, menghasilkan 43 dengan sisa. Sisa ini adalah penting dan dicatat pada sebelah kanan. Pada bilangan biner, sisa ini menjadi LSB. Setelah itu hasil bagi (43) dipindahkan yang ditunjukkan oleh anak panah dan menjadi bilangan yang dibagi. Hasilnya ini dibagi 2 secara berulang-ulang sampai hasil bagi menjadi dengan sisa, seperti baris terakhir pada gambar. Jadi desimal 87 sama dengan biner. 87 : 2 = 43 sisa 43 : 2 = 2 sisa 2 : 2 = sisa : 2 = 5 sisa 5 : 2 = 2 sisa 2 : 2 = sisa : 2 = sisa 87 = Gambar. 2. Pengubahan desimal menjadi biner Bagaimana dengan pengubahan bilangan pecahan? Ubahlah bilangan desimal,375 ke bilangan biner. Gambar 2.2 menunjukkan cara untuk proses pengubahan ini, dimana bilangan desimal o,375 dikalikan dengan 2 hasil kalinya,75. Angka dari bilangan bulat (angka satuan) menjadi bit yang paling dekat dengan titik biner. Kemudian,75 dikalikan dengan 2 hasilnya adalah 2,5. bilangan bulat (angka satuan) merupakan bit berikutnya dalam bilangan biner tersebut. Selanjutnya,5 ini dikalikan dengan 2 dan menghasilkan,. pada angka bilangan bulat ini merupakan angka terakhir dalam bilangan dalam bilangan biner tersebut. Bila hasil kali adalah, maka proses pengubahan telah selesai. Jadi.375 =,2 Sistem bilangan dan Sandi /hal 3 dari 4

,375 x 2 =,75,75 x 2 =,5,5 x 2 =,,375 =. 2 Gambar. 2.2 Pengubahan pecahan desimal menjadi biner pecahan 2.3. Konversi Biner ke Desimal Ubahlah bilangan biner, ke bentuk desimal. Nilai tempat diberikan sepanjang baris sebelah atas. Perlu kita perhatikan nilai setiap posisi disebelah kanan titik biner. Tata cara untuk mengubah bilangan biner pecahan sama dengan pada bilangan bulat. Nilai tempat dari setiap bit pada bilangan biner ditambahkan satu sama lain untuk menghasilkan bilangan desimal. Pada soal ini, 8 + 4 + 2 +,5 +,24 = 4,625 dalam desimal. Gambar 2.3 memperlihatkan cara atau proses pengubahan dari biner ke desimal. Pangkat dari 2 2 3 2 2 2 2 ½ ½ 2 ½ 3 Nilai tempat 8 4 2,5,25,25 Biner =. Desimal = 8 + 4 + 2 + +,5 +,25 = 4,625 Gambar 2.3 Pengubahan biner menjadi desimal 2.4. Bilangan heksadesimal Sistem bilangan heksadesimal mempunyai radiks 6 dan disebut sebagai sistem bilangan basis 6. Bilangan heksadesimal menggunakan simbol -9, A, B, C, D, E, dan F sebagaimana yang ditunjukkan pada kolom heksadesimaldari tabel pada Gambar -2. Huruf A adalah untuk cacahan, B untuk, C untuk 2, D untuk 3, E untuk 4, dan F untuk 5. Keuntungan dari sistem heksadesimal adalah Sistem bilangan dan Sandi /hal 4 dari 4

kegunaannya dalam pengubahan secara langsung dari bilangan biner 4-bit. Perhatikan dalam pengubahan secara langsung dari bilangan biner 4-bit. Desimal Biner Heksadesimal Desimal Biner Heksadesi mal 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 6 7 8 9 2 2 22 23 24 25 26 27 28 29 3 3 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F Gambar 2.4. Pencacahan dalam sistem bilangan desimal, biner, dan heksadesimal Lihatlah baris yang diberi label 6 pada kolom desimal dalam Gambar 2.4. Ekivalen heksadesimalnya adalah. Hal ini menunjukkan bahwa sistem bilangan heksadesimal menggunakan gagasan nilai tempat. Angka (dalam 6) mempunyai nilai 6 satuan, sedangkan angka bernilai nol unit. 2.4. Konversi Desimal ke Heksadesimal Ubahlah bilangan desimal 45 ke ekivalen-heksadesimalnya. Gambar 2.5a merinci proses pembagian dengan 6 yang kita kenal. Mula-mula bilangan desimal 45 dibagi dengan 6, dan menghasilkan 2 dengan sisa 3. Sisa 3 (D dalam heksadesimal) ini menjadi LSD dari bilangan heksadesimal terdekat. Hasil bagi (2) dipindahkan ke posisi bilangan yang dibagi dan kemudian dibagi dengan 6. Ini menghasilkan dengan sisa 2. Angka 2 ini menjadi digit berikutnya dalam bilangan heksadesimal tersebut. Proses telah selesai karena bagian bilangan bulat dari hasil Sistem bilangan dan Sandi /hal 5 dari 4

bagi adalah. Proses pada Gambar -9a tersebut mengubah bilangan desimal 45 menjadi angka heksadesimal 2D. Ubahlah angka desimal 25,25 ke angka heksadesimal. Pengubahan ini harus dikerjakan dengan menggunakan dua proses seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 2.5b. Bagian bilangan bulat dari bilangan desimal (25) diubah menjadi heksadesimal dengan menggunakan proses pembagian denga-6 yang berulang. Sisa (A dalam heksadesimal) dan sisa 5 (F dalam heksadesimal) membentuk bilangan bulat heksadesimal FA. Bagian pecahan dari 25,25 dikalikan dengan 6(,25 x 6), hasilnya adalah 4,. 45 : 6 = 2 sisa 3 2 : 6 = sisa 2 45 = 2 D6 (a) Pengubahan desimal menjadi heksadesimal. 25 : 6 = 5 sisa 5 : 6 = sisa 5 25,25 = F A 46,25 x 6 = 4,, x 6 =, (b) Pengubahan pecahan desimal menjadi heksadesimal. Gambar. 2.5 Konversi desimal ke heksadesimal Bilangan bulat 4 ini dipindahkan ke posisi seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.5b. Pengubahan yang telah disebutkan tersebut menunjukkan bilangan desimal 25,25 sama dengan bilangan heksadesimal FA,4. Sistem bilangan dan Sandi /hal 6 dari 4

2.5. Konversi Heksadesimal ke Desimal Ubahlah bilangan heksadesimal 2B6 ke bilangan desimal. Gambar 2.6 menunjukkan proses yang telah kita kenal. Angka 2 terdapat pada posisi 256-an sehingga 2 x 256 = 52, yang tertulis pada baris desimal. Digit heksadesimal B muncul pada kolom 6-an. Heksadesimal B bersesuaian dengan desimal. Ini berarti bahwa terdapat sebelum angka 6-an (6x), yang menghasilkan 76. Bilangan 76 ini di tambahkan pada jumlah desimal di bagian bawah pada Gambar 2.6.a Kolom menunjukkan enam satuan. Kemudian 6 kini ditambahkan pada baris desimal. Nilai-nilai desimal tersebut ditambahkan (52 +76 + 6 = 694) dan menghasilkan 694. Gambar 2.6.a menunjukkan bahwa 2B66 sama dengan 694. Pangkat dari 6 6 2 6 6 Nilai tempat 256-an 6-an -an Bilangan heksadesimal 2 B 6 256 6 x 2 x x 6 52 + 76 6 = 694 Gambar 2.6a. Pengubahan heksadesimal menjadi desimal Ubahlah bilangan desimal heksadesimal A3F.C ke ekivalen-desimalnya. Gambar 2.6b merinci soal ini. Mula-mula tinjau kolom 256-an. Digit heksadesimal A berarti bahwa 256 harus dikalikan dengan dan menghasilkan 256. Bilangan desimal itu menunjukkan bahwa bilangan tersebut mengandung tiga 6-an, dan oleh karena itu 6 x 3 = 48, yang ditambahkan pada baris desimal. Kolom berisi digit heksadesimal F, yang berarti x 5 = 5. Angka 5 ini ditambahkan pada baris desimal. Kolom,625-an berisi digit heksadesimal C, yang berarti 2 x,625 =,75. Selanjutnya,75 ini ditambahkan pada baris desimal. Penambahan seluruh isi Sistem bilangan dan Sandi /hal 7 dari 4

baris desimal tersebut (256 + 48 + 5 +,75 = 2623,75) menghasilkan bilangan desimal 2623,75. Gambar2.6b mengubah A3F.C6 menjadi 2623.75. Pangkat dari 6 6 2 6 6 /6 Nilai tempat 256-an 6-an -an,625-an Bilangan heksadesimal A 3 F. C 256 6,625 x x3 x5 x 2 256 + 48 + 5 +,75 = 2637,75. 2.6.b Pengubahan pecahan heksadesimal menjadi desimal 2.4.3. Konversi Biner ke Heksadesimal A 8 5 = 2 = A856 a. Pengubahan biner ke heksadesimal. 2 6 C =,2 = 2,6C6 b. Pengubahan pecahan biner ke heksadesimal 2.7. Konversi biner ke heksadesimal Pada gambar 2.7a. Angka biner 2 yang sedang dikonversikan menjadi heksadesimal. Mula-mula kita bagi angka biner tersebut menjadi kelompokkelompok 4 bit yang dimulai pada titik biner. Kemudian setiap kelompok dari empat Sistem bilangan dan Sandi /hal 8 dari 4

bit ini di terjemahkan menjadi digit ekivalen heksadesimal. Jadi biner sama dengan heksadesimal A85. Pengubahan biner menjadi heksadesimal yang lain dituliskan pada gambar 2.7b. Disini biner. akan diterjemahkan menjadi heksadesimal. Mulai dari titik biner, bilangan biner tersebut mula-mula dibagi menjadi kelompokkelompok yang terdiri atas empat bit. Tiga angka ditambahkan pada kelompok yang paling kiri dan membentuk. Dua angka ditambahkan pada kelompok yang paling kanan dan membentuk. Sekarang kelompok mempunyai empat bit dan diubah menjadi digit heksadesimal seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.7b. Bilangan biner. sama dengan 2,6C6. 2.7. Sandi BCD Sandi atau kode BCD ( binary coded desimal atau desimal terkode biner) membuat pengubahan menjadi desimal jauh lebih mudah. Gambar. 2.8 menunjukkan kode BCD 4-bit untuk digit desimal -9. Desimal 2 3 4 5 6 7 8 9 BCD 8-an 4-an 2-an -an Gambar.2.8 Kode BCD 842 Perhatikan bahwa kode BCD merupakan suatu kode berbobot. Bit paling Signifikan mempunyai bobot 8, sedangkan bit yang paling tidak signifikan hanya mempunyai bobot. Kode ini lebih tepat dikenal sebagai kode BCD 842. Bagian 842 dari nama tersebut menunjukkan pembobotan dari masing-masing angka pada kode 4-bit. Terdapat beberapa kode BCD lain yang mempunyai bobot yang berbeda untuk keempat nilai angka tersebut. Karena kode BCD 842 adalah yang paling populer, maka kita bisa mengacu pada kode ini sebagai kode BCD saja. Sistem bilangan dan Sandi /hal 9 dari 4

Bagaimana bilangan desimal 5 dinyatakan sebagai bilangan BCD? Gambar 2.9a menunjukkan teknik yang sangat sederhana untuk mengubah bilangan desimal menjadi bilangan BCD (842). Setiap digit desimal diubah menjadi ekivalen-bcd 4-bit. Dengan demikian bilangan desimal 5 sama dengan bilangan BCD. Desimal 5 BCD (a) Pengubahan desimal menjadi BCD BCD Desimal 9 6 (b) Pengubahan BCD menjadi desimal Desimal 3 2 8 4 BCD (c) Pengubahan desimal menjadi pecahan BCD BCD Desimal 7 8 (d) Pengubahan BCD menjadi pecahan desimal Pengubahan bilangan BCD menjadi bilangan desimal juga cukup sederhana. Gambar.2.9b menunjukkan teknik tersebut.mula-mila bilangan BCD dibagi menjadi beberapa kelompok 4-bit yang dimulai pada titik biner. Kemudian setiap kelompok 4-bit diubah menjadi digit desimal-ekivalennya, yang selanjutnya dicatat dibawah. Jadi bilangan BCD sama dengan dengan 96 desimal. Sistem bilangan dan Sandi /hal dari 4

Gambar 2.9c melukiskan bilangan desimal pecahan yang sedang diubah menjadi ekivalen-bcd-nya. Setiap digit desimal diubah menjadi ekivalen-bcd-nya. Titik desimal dikeluarkan dan menjadi titik biner. Gambar 2.9c menunjukkan bahwa 32,84 desimal sama dengan bilangan BCD.. Ubah bilangan BCD pecahan. menjadi ekivalendesimalnya. Gambr 2.9d menunjukkan prosedur tersebut. Mula-mula, bilangan BCD dibagi menjadi beberapa kelompok 4-bit yang dimulai pada titik biner. Setiap kelompok 4-bit ini kemudian diubah menjadi ekivalen-desimalnya. Titik biner menjadi titik desimal dalam bilangan desimal. Gambar 2.9d menunjukkan bilangan BCD. yang diterjemahkan menjadi ekivalen-desimal sebesar 7,8. Pertimbangkan pengubahan bilangan BCD menjadi ekivalen-binernya. Gambar 2. menunjukkan prosedur tiga langkah. Langkah menunjukkan bilangan BCD yang dibagi menjadi beberapa kelompok 4-bit yang dimulai dari titik biner. Setiap kelompok 4-bit diterjemahkan menjadi ekivalen-desimalnya. Langkah pada Gambar 2. menunjukkan bilangan BCD. yang diterjemahkan menjadi bilangan desimal 3,5. Langkah 2 pada Gambar 2. menunjukkan bagian bilangan bulat dari bilangan desimal yang diterjemahkan menjadi bilangan biner. Pada langkah 2, angka 3 diubah menjadi 2 dengan prosedur pembagian dengan-2 yang berulang. Kemudian, bagian bilangan bulat dan pecahan dari bilangan biner tersebut digabungkan. Jadi bilangan BCD. sama dengan bilangan biner.. Perhatikan bahwa penulisan bilangan biner biasanya lebih efisien dari pada bilangan BCD. Biasanya, bilangan biner terdiri atas dan dalam jumlah yang lebih sedikit seperti terlihat pada pengubahan pada Gambarr 2.. Meskipun lebih panjang, bilangan BCD digunakan dalam sistem digital. Hal ini untuk mempermudahkan pengubahan ke bilangan desimal. Marilah kita ubah bilangan biner. ke ekivalen BCD (842). Prosedur ini diuraikan pada Gambar 2.. Mula-mula, bilangan biner tersebut diubah ke ekivalen-desimalnya. Bilangan biner. sama dengan 38.625. Kemudian masing-masing digit desimal diubah menjadi ekivalen BCD. Gambar 2. melukiskan desimal 38,625 yang diubah menjadi bilangan BCD Sistem bilangan dan Sandi /hal dari 4

.. Selanjutnya, keseluruhan konversi tersebut mengubah biner.2 menjadi bilangan.. 2.7. SANDI ASCII ASCII singkatan dari American Standad Code for Information Interchange, dikembangkan oleh ANSI (American National Standard Institute) untuk tujuan membuat kode biner yang standar. Kode ini mungkin merupakan kode yang paling banyak digunakan diseluruh dunia untuk aplikasi komputer serta komunikasi data. Kode ASCII yang standar menggunakan kombinasi 7 bit, dengan kombinasi kode sebanyak 27 dari 28 (27 = 28) kemungkinan kombinasi, yaitu : 26 buah huruf kapital (uppercase) dari A s/d Z. 26 huruf kecil (lower case) dari a s/d z dijit desimal dari s/d 9 34 karakter kontrol yang tidak dapat dicetak hanya digunakan untuk informasi status operasi komputer. 32 karakter khusus (special charakter) Data-data dalam komputer akan disimpan dalam memori yang biasanya mempunyai satuan tempat penyimpanan dalam orde byte (8 bit). Jika kita menggunakan ASCII 7 bit, maka ada satu bit pada setiap lokasi memori yang tidak digunakan. Untuk memanfaatkan bit tersebut, biasanya data dalam komputer dinyatakan dalam byte sehingga mempunyai 256 buah kombinasi. Bilangan sampai dengan 27 menyatakan kode ASCII standar, sedangkan 28 sampai dengan 255 biasa digunakan untuk karakter grafik. Tabel sandi ASCII b6b5b4 (column) Row B3b2b (Hex) 2 3 4 5 6 7 2 3 NUL SOH STX ETX DLE DC DC2 DC3 SP! # 2 3 @ A B C P Q R S ` a b c p q r s Sistem bilangan dan Sandi /hal 2 dari 4

4 EOT DC4 $ 4 D T d t 5 ENQ NAK % 5 E U e u 6 ACK SYN & 6 F V f v 7 BEL ETB 7 G W g w 8 BS CAN ( 8 H X h x 9 HT EM ) 9 I Y i y A LF SUB * : J Z j z B VT ESC + ; K [ k { C FF FS < L \ l D CR GS - = M ] m } E SO RS. > N ^ n ~ F SI US /? O _ o DEL Control Codes NUL SOH STX ETX EOT ENQ ACK BEL BS HT LF VT FF CR SO SI SP Nul Start of heading Start of text End of text End of transmission Engquiry Acknowledge Beil Backspace Horizontal tab Line feed Vertical tab Form feed Carriage return Shift out Shift in Space DLE DC DC2 DC3 DC4 NAK SYN ETB CAN EM SUB ESC FS GS RS US DEL Data link escape Device control Device control 2 Device control 3 Device control 4 Negative aknowledge Synchronize End transmitted block Cancel End of medium Substitute Escape File separator Group separator Record separator Unit separator Delete or rubout Sistem bilangan dan Sandi /hal 3 dari 4

3. Contoh-contoh soal dan pembahasan. Ubahlah angka desimal 5,625 menjadi biner Jawab : 5 : 2 = 2 sisa 2 : 2 = sisa : 2 = sisa 5,625 =. 2,625 x 2 =,25,25 x 2 =,5,5 x 2 =, 2. Buatlah daftar keenam belas simbol yang digunakan dalam sistem bilangan heksadesimal. Jawab : Keenam belas simbol yang digunakan adalah :,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, dan F. 3. Ubahlah bilangan heksadesimal D3,E menjadi desimal Jawab : Bilangan heksadesimal D3,E D 3 E 6,625 x 3 x 3 x 4 98 + 3 +,875 = 2,875 Sistem bilangan dan Sandi /hal 4 dari 4