Peubah Acak dan Distribusi

BAB 1 Peubah Acak dan Distribusi 1.1 ILUSTRASI (Ilustrasi 1) B dan G secara bersamaan menembak sasaran tertentu. Peluang tembakan B mengenai sasaran adalah 0.7 sedangkan peluang tembakan G (bebas dari tembakan B) mengenai sasaran adalah 0.4. Pertanyaan yang mungkin adalah... 1. Jika sebuah tembakan mengenai sasaran, berapa peluang bahwa itu tembakan G? 2. Berapa peluang bahwa, jika sasaran tertembak, kedua tembakan mengenai sasaran? 3. Berapa peluang bahwa, jika sasaran tertembak, tembakan G mengenai sasaran? Misalkan B kejadian B menembak sasaran Misalkan G kejadian G menembak sasaran Misalkan T kejadian sebuah tembakan mengenai sasaran Misalkan S kejadian sasaran tertembak P (G T ) P (G T ) P (T ) P (G B c ) P (G B c ) + P (B G c ) (0.4)(0.3) (0.4)(0.3) + (0.7)(0.6) 1

P (G S) P (B S) P (G B S) P (S) P (G)P (B) 1 P (G c B c ) (0.4)(0.7) 1 (0.6)(0.3) P (G S) P (G S) P (S) P (G S) 1 P (G c B c ) 0.4 1 (0.6)(0.3) (Ilustrasi 2) Sebagai seorang sekretaris, Ega tahu bahwa sebuah surat akan berada di salah satu dari tiga buah kotak surat yang ada. Misalkan p i adalah peluang bahwa Ega akan menemukan surat setelah mengecek kotak surat j dengan cepat jika ternyata surat tersebut berada di kotak surat j, j 1, 2, 3. Pertanyaan yang mungkin adalah... 1. Misalkan Ega mengecek kotak surat 1 tidak menemukan surat. Berapa peluang hal itu akan terjadi? 2. Jika diketahui Ega mengecek kotak surat 1 tidak menemukan surat, berapa peluang bahwa surat itu ada di kotak surat 1? Misalkan K j, j 1, 2, 3 adalah kejadian surat berada di kotak surat j. Misalkan T kejadian mengecek kotak surat 1 tidak mendapatkan surat. Peluang hal itu akan terjadi adalah P (T ) P (T K 1 )P (K 1 ) + P (T K 2 )P (K 2 ) + P (T K 3 )P (K 3 ) (1 p 1 )(1/3) + 1/3 + 1/3 Jika diketahui Ega mengecek kotak surat 1 dan tidak menemukan surat, maka peluang bahwa surat itu ada di kotak surat 1 adalah P (T K 1 )P (K 1 ) P (K 1 T ) P (T K 1 )P (K 1 ) + P (T K 2 )P (K 2 ) + P (T K 3 )P (K 3 ) (1 p 1 )(1/3) (1 p 1 )(1/3) + 1/3 + 1/3 MA4081 Pros.Stok. 2 K. Syuhada, PhD.

(Ilustrasi 3) Kuliah Analisis Multivariat, Statistika Matematika, dan Proses Stokastik di MA ITB diikuti oleh 50, 75 dan 100 mahasiswa. Dari jumlah tersebut diketahui bahwa 50, 60 dan 70 persen-nya adalah mahasiswa Angkatan 2008. Seperti biasa, mahasiswa akan mungkin mengundurkan diri dari perkuliahan tersebut, dengan kemungkinan yang sama. Seorang mahasiswa mengundurkan diri dan dia adalah mahasiswa Angkatan 2008. Berapa peluang bahwa mahasiswa tersebut mengambil kuliah Proses Stokastik? (Ilustrasi 4) Maskapai penerbangan mengetahui bahwa lima persen pemesan tiket tidak akan datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan ini, maskapai tidak ragu untuk menjual 52 tiket penerbangan pada pesawat dengan kapasitas duduk 50 orang. Berapa peluang akan ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang? Misalkan X peubah acak yang menyatakan banyaknya orang yang tidak datang dengan peluang sukses (tidak datang) 0.05. X B(52, 0.05). P (X 2) 1 [P (X 0) + P (X 1)] 1 (0.05) 0 (0.95) 52 52(0.05) 1 (0.95) 51 0.74 (Ilustrasi 5) Misalkan X peubah acak berdistribusi Poisson dengan mean λ. Parameter λ berdistribusi eksponensial dengan mean 1. Tunjukkan bahwa P (X n) (1/2) n+1 P (X n) 0 0 0 (1/2) n+1 1 n! P (X n λ) e λ dλ e λ λ n e λ dλ n! e 2λ λ n dλ 1 n! 0 e s s n ds MA4081 Pros.Stok. 3 K. Syuhada, PhD.

1.2 RUANG SAMPEL dan PELUANG Ruang sampel dan Kejadian Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Ruang sampel S adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Anggota dari S disebut kejadian elementer. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel atau koleksi dari kejadian-kejadian elementer. Peluang Peluang kejadian A adalah P (A) lim n n(a) n Misalkan S adalah ruang sampel, A adalah kejadian. Peluang kejadian A adalah P (A) n(a) n(s) Peluang atau ukuran peluang P pada lap-σ A adalah suatu pemetaan dari A terhadap selang [0, 1] yang memenuhi tiga aksioma berikut: 1. 0 P (A) 1, untuk setiap A A 2. P (S) 1 3. Untuk himpunan terhitung kejadian-kejadian saling asing A 1, A 2,..., ( P i1 A i ) P (A i ) i1 Teorema 1. P (A c ) 1 P (A) 2. Jika A B maka P (A) P (B) 3. P (A B) P (A) + P (B) P (A B) MA4081 Pros.Stok. 4 K. Syuhada, PhD.

1.3 PEUBAH ACAK dan FUNGSI DISTRIBUSI Peubah Acak Peubah acak tidaklah acak dan bukanlah peubah Peubah acak adalah fungsi yang memetakan anggota S ke bilangan real R P.A. Diskrit Peubah acak X dikatakan diskrit jika terdapat barisan terhitung dari bilangan {a i, i 1, 2,... } sedemikian hingga P ( {X a i } ) P (X a i ) 1 i i Catatan: Sebuah peubah acak diskrit tidak selalu berasal ruang sampel diskrit. F X disebut fungsi distribusi (diskrit) dari X jika terdapat barisan terhitung {a i, i 1, 2,... } dari bilangan real dan barisan {p i, i 1, 2,... } dari bilangan positif yang bersesuaian sedemikian hingga p i 1 dan i F X (x) a i x p i Jika diberikan himpunan terhitung {a i, i 1, 2,... } dan bilangan positif {p i, i 1, 2,... } sdh i p i 1, fungsi peluang p X (x) adalah p X (x) p i P (X a i ), dengan x a i Fungsi distribusi (kumulatif): F (x) P (X x) Sifat-sifat: (a) F fungsi tidak turun MA4081 Pros.Stok. 5 K. Syuhada, PhD.

(b) lim x F (x) 1 (c) lim x F (x) 0 (d) F fungsi kontinu kanan Catatan: P (a < X b) F (b) F (a) P (X b) P (X < b) P (X < b) P ( { 1 }) lim X b n n lim P ( X b 1 ) n n lim F ( b 1 ) n n P.A. Kontinu Misalkan X peubah acak dan fungsi distribusinya F X dapat diturunkan. Fungsi peluang f X adalah turunan dari fungsi distribusi, f X (x) d dx F X(x) atau dengan kata lain F X (x) x f X (t) dt Definisi: Jika X adalah peubah acak sedemikian hingga fungsi peluangnya ada (turunan dari fungsi distribusi) maka X dikatakan sebagai peubah acak kontinu. Catatan: 1 F X ( ) P (a X b) F X (b) F X (a) P (X a) a a f X (t) dt 0 f X (t) dt b a f X (t) dt MA4081 Pros.Stok. 6 K. Syuhada, PhD.

Contoh/Latihan: 1. Tentukan fungsi peluang dari fungsi distribusi berikut: 0, x < 3.1 3/5, 3.1 x < 0 F (x) 7/10, 0 x < 1 1, 1 x 2. Tentukan fungsi peluang dari fungsi distribusi berikut: 0, x < 0 1 + x, 0 x < 1 3 5 3 F (x), 1 x < 2 5 9 10, 2 x < 3 1, x 3 3. Diketahui fungsi peluang sebagai berikut: p, x 1.9 0.1, x 0.1 0.3, x 20p f(x) p, x 3 4p, x 4 0, yang lain Hitung P ( 1.9 X 3), F (2), F (F (3.1)) MA4081 Pros.Stok. 7 K. Syuhada, PhD.

1.4 DISTRIBUSI DISKRIT (Ilustrasi B-1) Pasien di IGD adalah orang-orang yang dianggap dekat dengan kematian. Kesembuhan dari penyakit yang dideritanya bagi mereka adalah seperti mimpi. Untuk bisa bertahan hidup dari hari ke hari sudahlah merupakan mukjizat. Asumsikan bahwa setiap orang memiliki peluang untuk dapat bertahan hidup sampai hari esok sebesar α i, dengan i menyatakan orang kei, i 1, 2,.... Jika jumlah pasien IGD pada suatu hari adalah 5 orang, berapa peluang besok hanya akan ada 2 orang saja yang masih hidup? (Ilustrasi B-2) Misalkan sebuah mesin dari pesawat akan rusak (saat terbang) dengan peluang 1-p, saling bebas antara mesin satu dan yang lain. Misalkan sebuah pesawat akan melakukan penerbangang sukses jika setidaknya 50% mesin bekerja dengan baik (tidak rusak). Untuk p berapa, sebuah pesawat dengan 4 mesin akan lebih disukai (terbang lebih baik) dibandingkan dengan pesawat dengan 2 mesin? Misalkan X menyatakan banyak mesin baik (tidak rusak). bermesin 4: Untuk pesawat P (X 2) P (X 2) + P (X 3) + P (X 4) 6p 2 (1 p) 2 + 4p 3 (1 p) + p 4 sedangkan untuk pesawat bermesin 2: P (X 1) 1 P (X 0) 1 (1 p) 2 Syarat: * lebih besar dari **. Diperoleh p > 2/3. Distribusi Binomial Misalkan S {sukses, gagal} adalah ruang sampel yang menotasikan sukses atau gagal dari suatu percobaan. Definisikan X(sukses) 1 dan X(gagal) 0 dan p X (1) P (X 1) p p X (0) P (X 0) 1 p dimana 0 p 1 adalah peluang diperoleh sukses. X dikatakan peubah acak Bernoulli dengan parameter p. Jika dilakukan n percobaan independen dan jika X menyatakan banyaknya sukses yang diperoleh maka X dikatakan sebagai peubah acak Binomial dengan parameter (n, p), dimana p X (k) B(k; n, p) C n k p k (1 p) n k MA4081 Pros.Stok. 8 K. Syuhada, PhD.

(Ilustrasi P-1) Banyaknya kecelakaan yang terjadi di tol setiap hari berdistribusi Poisson dengan parameter λ 3. Berapa peluang tidak ada kecelakaan pada hari ini? Misalkan X menyatakan banyak kecelakaan. P (X 0) exp( 3) (Ilustrasi P-2) Misalkan X peubah acak Poisson dengan parameter λ. Tunjukkan bahwa P (X i) naik secara monoton sebelum kemudian turun secara monoton untuk i semakin besar. Distribusi Poisson Misalkan X peubah acak dengan fungsi peluang λ λi p X (i) e i! untuk i 0, 1, 2,... dan λ > 0. parameter λ. X disebut peubah acak Poisson dengan Ilustrasi G-1 Ini kisah masa lalu Nurul yang sempat diceritakan sesaat sebelum Nurul menikah. Katanya Ayahku meninggal waktu usiaku tiga tahun. Lalu Ibu kawin lagi. Dengan ayah tiriku, Ibu mendapat dua orang anak tiri dan melahirkan tiga orang anak. Ketika usiaku lima belas tahun, Ibu pun meninggal. Ayah tiriku kawin lagi dengan seorang janda yang sudah beranak dua. Ia melahirkan dua orang anak pula dengan ayah tiriku. Pertanyaan yang mungkin adalah... Berapa peluang bahwa orang yang dinikahi Nurul tidak memiliki hubungan darah? Jika Nurul tidak ingin menikah dengan saudara sedarah, berapa peluang bahwa Nurul akhirnya menikahi orang yang bukan saudara sedarah? (Ilustrasi G-2) Tiga remaja makan disuatu restoran. Untuk menentukan siapa yang akan membayar, mereka sepakat untuk mengundi dengan melantunkan koin. Seseorang dengan hasil lantunan yang berbeda dengan yang lain wajib membayar makanan yang telah dipesan. Jika X menyatakan banyaknya lantunan koin yang harus dilakukan, tentukan (i) P (X 3) (ii) b. P (X > 4) Peluang sukses (ada yang lantunannya berbeda alias ada yang bayar) adalah 3/4. Dengan demikian X Geo(3/4). P (X 3) (1/4) 2 (3/4) 3/64 P (X > 4) 1 P (X 4) 1/256 MA4081 Pros.Stok. 9 K. Syuhada, PhD.

Distribusi Geometrik Misalkan percobaan-percobaan dilakukan hingga diperoleh sukses yang pertama. Percobaan-percobaan tersebut saling bebas dan memiliki peluang sukses p. Misalkan X menyatakan banyaknya percobaan yang dilakukan untuk mendapatkan sukses pertama tersebut, maka X dikatakan peubah acak Geometrik dengan parameter p. Fungsi peluangnya adalah p(n) P (X n) (1 p) n 1 p, untuk n 1, 2,... dan p > 0. MA4081 Pros.Stok. 10 K. Syuhada, PhD.

1.5 DISTRIBUSI KONTINU Ilustrasi Riset bidang psikologi melibatkan pengukuran perilaku. Hasil-hasil pengukuran akan berbeda antara individu satu dengan yang lainnya. Namun demikian, sesungguhnya hasil-hasil tersebut dapat diprediksi sebagai kelompok individu. Salah satu pola umum pada hasil pengukuran (tentunya berupa angka) adalah bahwa kebanyakan pengukuran-pengukuran tersebut terkonsentrasi di sekitar mean dari distribusi tersebut. Ada sedikit hasil pengukuran yang jauh dari mean. Apabila distribusi frekuensi digambarkan, akan tampak kurva berbentuk bel (bell-shaped curve) yang disebut DISTRIBUSI NORMAL. Ketika hasil pengukuran membentuk suatu distribusi normal, ada beberapa hal yang dapat diprediksi. Pertama, mean, median dan modus sama. Kedua, seseorang dapat memperkirakan seberapa jauh (dari mean) hasil pengukuran akan terjadi. Dengan demikian, akan dapat ditentukan skor/nilai mana yang lebih mungkin terjadi dan peluang/proporsi nilai diatas atau dibawah nilai tersebut. Kebanyakan hasil pengukuran perilaku mengikuti distribusi normal. Misalnya, nilai IQ. Meannya 100 dan umumnya IQ seseorang akan berada diantara 85-115 atau 15 nilai dari mean. Jika psikolog mengetahui mean dan deviasi standar maka akan dapat ditentukan proporsi skor/nilai yang berada disetiap daerah jangkauan (range). Tentu saja, terlepas dari keumuman distribusi normal, terdapat beberapa kasus dengan nilai/hasil pengukuran yang tidak berdistribusi normal. Kenormalan atau ketidaknormalan data sangat penting dalam menentukan uji statistik yang bersesuaian. Distribusi Normal Definisi: Peubah acak kontinu X adalah peubah acak Normal atau GAUSS dengan parameter µ dan σ 2 jika fungsi peluang f X nya sbb: f X (x) 1 2 π σ exp( (x µ) 2 / 2 σ 2 ), x Diskusi: Ukuran ideal jumlah mahasiswa di kelas TP adalah 60 orang. Namun demikian, Departemen MA ITB mencatat bahwa biasanya hanya 30 persen mahasiswa saja dari total yang terdaftar yang benar-benar hadir dalam perkuliahan. Jika MA ITB memutuskan menerima 180 mahasiswa untuk kelas TP, berapa peluang bahwa lebih dari 60 orang hadir di kelas? Teorema Limit DeMoivre-Laplace Jika S n menyatakan banyaknya sukses yang terjadi pada n percobaan inde- MA4081 Pros.Stok. 11 K. Syuhada, PhD.

penden, dengan peluang sukses adalah p, maka untuk setiap a < b, ( ) P a S n np b Φ(b) Φ(a), np(1 p) untuk n. (pendekatan Normal untuk Binomial akan baik jika np(1 p) besar, np(1 p) 10) Distribusi Uniform Definisi: Peubah acak kontinu X dikatakan berdistrbusi seragam pada selang (a, b) jika fungsi peluang f X nya sbb: f X (x) 1 b a, a x b Contoh/Latihan: 1. Jika X berdistribusi Uniform pada selang (-1,1), tentukan P ( X > 1/2), tentukan fungsi peluang dari X. 2. Misalkan lama (dalam menit) mahasiswa mengikuti kuliah TP adalah peubah acak dengan fungsi peluang seperti gambar dibawah berikut. Tentukan peluang seorang mahasiswa mengikuti kuliah lebih dari 15 menit? antara 20 dan 35 menit? Inverse Transformation Method Misalkan U peubah acak Uniform(0, 1). Untuk setiap fungsi distribusi kontinu F, jika kita definisikan peubah acak X sbb: X F 1 (U) maka peubah acak X memiliki fungsi distribusi F. Contoh. Jika F (x) 1 e x maka F 1 (u) adalah nilai x sedemikian hingga atau 1 e x u x log(1 u) MA4081 Pros.Stok. 12 K. Syuhada, PhD.

Jadi, jika U adalah peubah acah Uniform(0,1) maka F 1 (U) log(1 U) adalah peubah acak Eksponensial dengan mean 1 (parameter 1). Distribusi Gamma Peubah acak Gamma: Misalkan percobaan Bernoulli diulang-ulang sebanyak n kali, maka banyaknya sukses yang diperoleh adalah peubah acak berdistribusi Binomial dengan parameter n dan p, dimana p adalah peluang sukses. Jika kita memandang banyaknya percobaan Bernoulli yang dilakukan sampai diperoleh (dan termasuk) sukses ke-r, maka kita dapatkan peubah acak beristribusi Binomial negatif dengan parameter r dan p. Peubah acak Gamma adalah analogi dalam bentuk kontinu untuk peubah acak Binomial negatif. Dalam hal ini kita pandang peubah acak Binomial negatif ini sebagai waktu yang diberikan untuk sukses ke-r. Definisi: Peubah acak kontinu X adalah peubah acak Gamma jika memiliki fungsi peluang f(x) λα Γ(α) xα 1 e λx, x > 0 dimana α dan λ adalah bilang real positif. Kita katakan X berdistribusi Gamma dengan parameter α dan λ; x Gamma(α, λ). Definisi Fungsi Gamma: Γ(t) 0 x t 1 e x dx Catatan: Γ(t + 1) t Γ(t), t > 0 Diskusi. 1. Jelaskan/Buktikan: Γ(n) (n 1)! n 1, 2,... ( Γ n + 1 ) (2n)! π 2 n! 2 2n 2. Apa yang dapat kita katakan tentang distribusi Gamma jika α 1, α < 1, α > 1? 3. Jika α membesar maka fungsi peluang Gamma nampak seperti fungsi peluang Normal. Berikan ilustrasi pada λ 2 dan α 1/2, 1, 5/2, 5 MA4081 Pros.Stok. 13 K. Syuhada, PhD.