MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Distribusi Eksponensial dan Aplikasinya

MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Bab 3 Distribusi Eksponensial dan Aplikasinya Orang Pintar Belajar Stokastik

Kuliah ProsStok, untuk apa? Fakultas Ekonomi ITB?

Math is the language of economics. If you are an NYU undergraduate, studying math will open doors to you in terms of interesting economics courses at NYU and job opportunities afterwards. Start with the basics: take three calculus courses (up to and including multivariable calculus), linear algebra, and a good course in probability and statistics. These basic courses will empower you. After you have these under your belt, you have many interesting options all of which will further empower you to learn and practice economics. I especially recommend courses in (1) Markov chains and stochastic processes, and (2) Differential equations.

Distribusi eksponensial dapat dipandang sebagai analog (kontinu) dari distribusi geometrik. Kita ketahui bahwa distribusi geometrik memodelkan banyaknya percobaan yang dibutuhkan oleh suatu proses diskrit untuk mengubah keadaan. Sedangkan distribusi eksponensial menjelaskan waktu untuk proses kontinu untuk mengubah keadaan.

Kaitan antara Distribusi Geometrik dan Eksponensial: Table: Percobaan Bernoulli vs Proses Poisson. Percobaan Bernoulli Proses Poisson Bnyk sukses Distribusi Binomial Distribusi Poisson Wkt utk sukses I Distribusi Geometrik Distribusi Eksponensial

Asumsi laju konstan dalam praktiknya jarang dipenuhi. Misalnya, laju adanya telepon masuk akan berbeda setiap waktu dalam suatu hari. Namun, jika kita perhatikan selang waktu pada saat laju konstan, maka distribusi eksponensial dapat dikatakan model yang cukup baik untuk melihat waktu saat telepon masuk akan terjadi lagi.

Pertanyaan yang memang kerap diajukan adalah (i) Apakah distribusi eksponensial tepat untuk menggambarkan, misalnya, waktu tunggu, lama seseorang mengantre dsb? (ii) Bagaimana menggunakan distribusi eksponensial dalam berbagai aplikasi?

Perhatikan ilustrasi berikut: Misalkan disebuah Bank terdapat 2 orang teller yang sibuk melayani nasabah. Tidak ada orang lain yang antre. Seseorang K yang datang akan dilayani salah satu teller yang telah selesai dengan nasabah sebelumnya. Jika waktu melayani dari teler ke-i adalah peubah acak eksponensial dengan parameter λ i, hitung E(T), dimana T adalah waktu yang dihabiskan K di Bank.

Bagaimana anda menjelaskan bahwa (i) waktu layanan cukup tepat dimodelkan dengan distribusi eksponensial? (ii) menghitung E(T ) jauh lebih penting daripada memperdebatkan kecocokan distribusi?

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi peluang f (x) = λ e λx, x 0. Peubah acak tersebut disebut peubah acak eksponensial dan distribusinya disebut distribusi eksponensial. Sifat distribusi dan momennya antara lain: 1 Fungsi distribusi: F (x) = 1 exp( λx) 2 Ekspektasi: E(X ) = 1/λ 3 Fungsi pembangkit momen atau f.p.m: M(t) = (1 t/λ) 1

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan Diskusi Tentukan: E(X > c), untuk suatu konstanta c > 0. Atau, E(X X > c), yang sering disebut conditional tail expectation atau CTE.

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan E(X X > c) = = = c c c c = x f X (x X > c) dx x f X (x) P(X > c) dx x f X (x) dx f X (x) dx

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan Dalam konteks risiko, c adalah suatu nilai risiko pada tingkat peluang tertentu yang sering disebut Value-at-Risk (VaR). Dengan demikian, E(X X > c) adalah expected shortfall atau ES.

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan Data Eksponensial Membangkitkan data berdistribusi eksponensial: y = exprnd(3,10,1); hist(y)

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan Inverse Transformation Method Misalkan U peubah acak Uniform(0, 1). Untuk setiap fungsi distribusi kontinu F, jika kita definisikan peubah acak X sbb: X = F 1 (U) maka peubah acak X memiliki fungsi distribusi F.

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan Contoh. Jika F (x) = 1 e x maka F 1 (u) adalah nilai x sedemikian hingga 1 e x = u atau x = log(1 u) Jadi, jika U adalah peubah acah Uniform(0,1) maka F 1 (U) = log(1 U) adalah peubah acak Eksponensial dengan mean 1 (parameter 1).

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan Sifat Tanpa Memori Misalkan X peubah acak. Sifat tanpa memori (memoryless property) pada X adalah sifat dimana peluang X lebih dari s + t dengan syarat/diberikan X lebih dari t sama dengan peluang X lebih dari s, atau P ( X > s + t X > t ) = P ( X > s )

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan Contoh: Misalkan X menyatakan waktu tunggu seseorang mendapatkan kebahagiaan. Peluang orang tsb menunggu lebih dari 7 tahun setelah dia menunggu lebih dari 5 tahun sama dengan peluang dia menunggu lebih dari 2 tahun. Orang itu tidak lagi mengingat bahwa dia telah menunggu selama 5 tahun. Itu sebabnya dikatakan sifat tanpa memori.

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan Perhatikan: P ( X > s + t X > t ) = P( X > s + t, X > t ) P ( X > t ) = P( X > s + t ) P ( X > t ) = P ( X > s )

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan Akibatnya: P ( X > s + t ) = P ( X > s ) P ( X > t ) yang dipenuhi HANYA oleh X berdistribusi Eksponensial dengan parameter θ.

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan Buktinya sbb: Misalkan X Exp(λ), maka P ( X > s + t ) = 1 P ( X < s + t ) = 1 F X (s + t) = 1 ( 1 exp( λs λt) ) = exp( λs λt) = exp( λs) exp( λt) = P ( X > s ) P ( X > t )

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan Sifat tanpa memori ini tidak dipenuhi oleh distribusi lain. Sebagai contoh, misalkan X U(0, 1), maka P ( X > s + t ) = 1 P ( X < s + t ) = 1 F X (s + t) = 1 (s + t) (1 s)(1 t) = (1 F X (s)) (1 F X (t)) = P ( X > s ) P ( X > t )

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan Sifat tanpa memori: P ( X > s + t ) ( ) X > t = P X > s dapat dituliskan sebagai P ( X t > s X > t ) = P ( X > s ). Akibatnya, E ( X t X > t ) = E ( X ).

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan 1. Misalkan waktu tunggu (dalam menit) antrian di Bank berdistribusi eksponensial dengan mean 10. Peluang bahwa seorang nasabah menunggu lebih dari 15 menit untuk dilayani adalah...

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan Solusi: P(X > 15) = e 15(1/10) = e 3/2

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan Sedangkan peluang seseorang menunggu lebih dari 15 menit setelah dia menunggu lebih dari 10 menit adalah...

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan Solusi: P(X > 15 X > 10) = P(X > 5) = e 5(1/10) = e 1/2

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan 2. Misalkan disebuah Bank terdapat 2 orang teller A dan B yang sibuk melayani nasabah Uvi dan Ivi. Tidak ada orang lain yang antre. Seseorang, Ovi, yang datang akan dilayani salah satu teller yang telah selesai dengan nasabahnya. Diketahui waktu layanan (service time) teler A dan B adalah peubah acak-peubah acak yang berdistribusi identik eksponensial dengan parameter λ.

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan Berapa peluang bahwa Ovi adalah nasabah pertama yang akan meninggalkan Bank?

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan Solusi: 0

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan Berapa peluang bahwa Ovi adalah nasabah terakhir yang akan meninggalkan Bank?

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan Solusi: 1/2

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan Solusi (detil): Misalkan S A dan S B adalah waktu layanan teller A dan B. Peluang Ovi adalah nasabah terakhir yang akan meninggalkan Bank sama artinya dengan peluang waktu layanan Ovi di teller A (atau di teller B), setelah Uvi (atau Ivi) selesai dilayani, lebih besar dari waktu layanan Ivi (atau Uvi) di teller B (atau di teller A).

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan Dengan kata lain, P(S O > S U + S I ) = P(S O > S I S I > S U )P(S I > S U ) + P(S O > S U S U > S I )P(S U > S I ) = P(S O > S I )P(S I > S U ) + P(S O > S U )P(S U > S I ) =

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan Berapa peluang bahwa Ovi adalah BUKAN nasabah terakhir yang akan meninggalkan Bank?

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan Solusi: 1/2

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan Solusi (detil): Peluang Ovi adalah BUKAN nasabah terakhir yang akan meninggalkan Bank sama artinya dengan peluang waktu layanan Ovi di teller A (atau di teller B), setelah Uvi (atau Ivi) selesai dilayani, lebih kecil dari waktu layanan Ivi (atau Uvi) di teller B (atau di teller A).

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan Dengan kata lain, P(S I > S O )P(S I > S U ) + P(S U > S O )P(S U > S I ) =

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan DISKUSI: (1) Bagaimana jika parameter waktu layanan kedua teller adalah λ 1 dan λ 2? (2) Bagaiman jika perhatian kita adalah pada nasabah Uvi?

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan 3. Banyaknya uang yang terlibat dalam kecelakaan adalah peubah acak eksponensial dengan mean 1000. Banyaknya uang yang dibayar oleh perusahaan asuransi tergantung apakah klaim pemegang polis lebih dari 400. Tentukan nilai harapan dan variansi banyak uang yang dibayar perusahaan asuransi pada setiap kecelakaan.

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan Solusi: Misalkan X banyak uang yang terlibat dalam suatu kecelakaan. Jumlah uang yang dibayarkan oleh perusahaan asuransi ke pemegang polis adalah (X 400) + (dimana a + didefinisikan sama dengan { a jika a > 0 dan sama dengan 0 jika a 0). Misalkan 1, jika X > 400, I = 0, jika X 400.

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan Misalkan Y = (X 400) + jumlah uang yang dibayarkan. Dengan sifat tanpa memori, jika uang kerusakan lebih dari 400 maka jumlah yang dibayarkan adalah p.a eksponensial dengan mean 100. Jadi E(Y I = 1) = 1000 = 10 3 I E(Y I = 0) = 0 Var(Y I = 1) = 1000 2 = 10 6 I Var(Y I = 0) = 0

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan Karena I Bern(exp( 0.4)), maka E(Y ) = E(E(Y I )) = 10 3 E(I ) = dan Var(Y ) = E(Var(Y I )) + Var(E(Y I )) =

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan 4. Misalkan masa hidup (lifetime) sebuah lampu, sebelum akhirnya mati/terbakar, adalah p.a eksponensial dengan mean 10 (jam). Misalkan Ani memasuki ruangan dan mendapatkan lampu mati/terbakar. Jika Ani ingin bekerja di ruangan itu selama 5 jam, berapa peluang bahwa Ani dapat menyelesaikan pekerjaannya sebelum lampu mati/terbakar/padam?

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan Solusi: Lampu mati ketika Ani masuk ruangan. Dengan sifat tanpa memori, maka (sisa) waktu hidup lampu, sebut W, adalah p.a eksponensial dengan mean 10. Jadi, P(W > 5) = 1 F (5) =

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan Namun, jika distribusi waktu hidup bukan eksponensial maka P(W > t + 5 W > t) = 1 F (t + 5) 1 F (t)

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan Fungsi Laju Kegagalan Sifat tanpa memori dapat juga diilustrasikan dengan fungsi LG atau laju kegagalan (failure/hazard rate function) dari distribusi eksponensial. Misalkan peubah acak X memiliki fungsi peluang f dan fungsi distribusi F. Fungsi LG didefinisikan r(t) = f (t) 1 F (t),

Data Eksponensial Sifat Tanpa Memori Fungsi Laju Kegagalan dimana jika sesuatu memiliki waktu hidup X dan telah bertahan selama waktu t maka laju r(t) akan mengukur peluang sesuatu itu tidak dapat bertahan pada waktu tambahan dt. Dengan kata lain P ( X (t, t + dt) X > t ) f (t) dt 1 F (t) atau peluang bersyarat bahwa sesuatu (dengan umur t) akan gagal.

Ini cerita dari suatu khotbah pada umat.

Alkisah, sang pengkhotbah mengingatkan umat bahwa Kanjeng Rosul pernah berpesan bahwa beliau tidak ingin umatnya memelihara anjing di rumah.

Mengapa? tanya salah seorang sahabat dengan rasa penasaran.

Rumah orang yang memiliki anjing tidak akan pernah didatangi oleh malaikat, jawab pengkhotbah.

Sahabat girang. Kalau begitu aku tidak akan pernah mati karena malaikat tidak akan mencabut nyawaku

Eit, bukan begitu. Malaikat akan mencabut nyawamu setelah mencabut nyawa anjingmu...

Sahabat: Cape deh...

Ini bahan ujian tentang anjing!

Umur (masa hidup atau lifetime) seekor anjing bulldog dan herder adalah p.a eksponensial yang saling bebas, dengan mean (atau parameter?) θ b dan θ h. Seekor anjing telah (baru saja) mati. Hitung sisa umur yang diharapkan (expected additional lifetime) dari anjing yang lain?

Solusi: E(sisa umur Anjing) = E(sisa umur Bulldog Herder mati) P(Herder mati) + E(sisa umur Herder Bulldog mati) P(Bulldog mati) = E(T b T h < T b )P(T h < T b ) + E(T h T b < T h )P(T b < T h ) = 1 θ b θ h θ h + θ b + 1 θ h θ b θ h + θ b

Seorang dokter hewan memiliki janji dengan seekor anjing pada pukul 7.00 dan dengan anjing lain pada pukul 7.30. Banyaknya waktu yang dihabiskan dengan anjing-anjing itu adalah p.a eksponensial yang saling bebas dengan mean 30 (menit). Asumsikan bahwa anjing-anjing itu datang tepat waktu. Hitung lama waktu yang diharapkan (expected amount of time) yang dihabiskan anjing lain alias anjing 7.30 di ruangan dokter hewan tersebut.

Misalkan T i lama waktu janjian ke-i, i = 1, 2. Diketahui, T i Exp(1/30), E(T 2 ) = E(T 2 T 1 < 30)P(T 1 < 30) + E(T 2 T 1 > 30)P(T 1 > 30) = E(T 2 )(1 exp( 1)) + E(T 1 + T 2 ) exp( 1) = 30(1 exp( 1)) + (30 + 30) exp( 1)

Mesin 1 (M1) sedang bekerja. Mesin 2 (M2) akan dipasang untuk dipakai pada waktu t dari sekarang. Jika masa hidup Mesin i berdistribusi eksponensial dengan mean (atau parameter?) λ i, i = 1, 2, berapa peluang M1 adalah mesin pertama yang akan rusak (tidak dapat dipakai lagi)?

P(M1 rusak pertama) = P(M1 rusak pertama M1 msh bekerja sampai wkt t) P(M1 msh bekerja sampai wkt t) + P(M1 rusak pertama M1 rusak pd wkt t) P(M1 rusak pd wkt t) = P(M1 < M2)P(M1 > t) + 1 P(M1 < t) = λ 1 λ 1 + λ 2 exp( λ 1 t) + (1 exp( λ 1 t))

Berapa peluang M2 adalah mesin pertama yang akan rusak (tidak dapat dipakai lagi)?

Misalkan X dan Y peubah acak (X {1, 4, 9}, Y { 2, 0, 1, 3.1}) dengan fungsi peluang bersama 2 0 1 3.1 1 0.1 0.2 0 0 4 0.1 0 0.4 0 9 0 0.1 0 0.1 Hitung P(Y 2 > X )

Solusi: P(Y 2 > X ) = f (1, 2) + f (1, 3.1) + f (4, 3.1) + f (9, 3.1) = 0.1 + 0 + 0 + 0.1 = 0.2

Diketahui fungsi peluang bersama f (x, y) = a. Tentukan f Y (y) b. Hitung P(Y > X 2 ) 1/3, 0 x 1, 0 y 1 2/3, 1 < x 2, 0 y 1 0, x, y yang lain

Solusi: f Y (y) = f Y (y) = 1 0 2 1 1/3 dx = 1/3, 0 y 1 2/3 dx = 2/3, 0 y 1 Jadi f Y (y) = 1, 0 y 1 P(Y > X 2 ) = 1 1 0 x 2 = = 2/9 1/3 dy dx

Pandang dua buah p.a eksponensial X 1 dan X 2 yang saling bebas dengan parameter λ 1 dan λ 2, maka P(X 1 < X 2 ) = f X1,X 2 (x 1, x 2 ) dx 2 dx 1 = 0 = = λ 1 λ 1 + λ 2 x 1 λ 1 e λ 1x 1 λ 2 e λ 2x 2 dx 2 dx 1

Diskusi Apa distribusi dari min{x 1, X 2 }? maks{x 1, X 2 }? Hitung P(X 1 = min{x 1, X 2 })?

P(min(X 1, X 2 ) > x) = P(X i > x, i = 1, 2) = P(X 1 > x, X 2 > x) = P(X 1 > x)p(x 2 > x) = e λ1x e λ 2x = e (λ 1+λ 2 )x Jadi, min(x 1, X 2 )

Jumlah P.A Eksponensial Misalkan X 1,..., X n sampel acak berdistribusi eksponensial. Misalkan n Y = X i, maka distribusi dari Y dapat ditentukan dengan metode fungsi pembangkit momen, i=n M Y (t) = E(exp(tY )) = E(exp(t[X 1 + + X n ])) = Jadi, Y..., dengan mean dan variansi...

Catatan: X adalah p.a Gamma jika memiliki fungsi peluang Notasi: f X (x) = λα Γ(α) x α 1 exp( λ x). X Gamma(α, λ). Fungsi pembangkit momen atau f.p.m: M X (t) = (1 t/λ) α.

Apa yang anda ketahui tentang distribusi Erlang?

Distribusi X 1 + X 2 dapat ditentukan dengan teknik fungsi distribusi. Misalkan Y = X 1 + X 2, P(Y y) = P(X 1 + X 2 y) = P(X 1 y x 2 ) = = y y x2 0 y 0 0 λ exp( λ x 1 ) λ exp( λ x 2 ) dx 1 dx 2 F X1 (y x 2 ) f X2 (x 2 ) dx 2

Fungsi peluang dari X 1 + X 2 adalah f X1 +X 2 (y) = = y 0 y 0 f X1 (y x 2 ) f X2 (x 2 ) dx 2 λ exp( λ (y x 2 )) λ exp( λ x 2 ) dx 2 = λ 2 y exp( λ y) = λ2 (2 1)! y 2 1 exp( λ y)

Statistik Terurut Eksponensial Misalkan X 1,..., X n sampel acak berukuran n dari distribusi eksponensial dengan parameter λ. Akan ditentukan distribusi dari Y (k), statistik terurut ke-k. Ambil kasus untuk k = 1 dan/atau k = n.

Solusi: Fungsi peluang untuk statistik terurut ke-k adalah: f X(k) (x) = C n k 1,1,n k (F X (x)) k 1 f X (x) (1 F X (x)) n k Untuk s.a berukuran 2 dari distribusi eksponensial dengan parameter λ, f X(1) (x) = C 2 0,1,1 (1 e λx ) 1 1 λ e λx (e λx ) 2 1 = 2 λ e 2λx

Aplikasi dalam Antrean Misalkan disebuah Bank terdapat 2 orang teller yang sibuk melayani nasabah. Tidak ada orang lain yang antre. Seseorang K yang datang akan dilayani salah satu teller yang telah selesai dengan nasabah sebelumnya. Jika waktu melayani dari teler ke-i adalah peubah acak eksponensial dengan parameter θ i, hitung E(T ), dimana T adalah waktu yang dihabiskan K di Bank.

Solusi: E(T ) = E(T R 1 < R 2 ) P(R 1 < R 2 ) + E(T R 2 < R 1 ) P(R 2 < R 1 ) λ 1 λ 2 = E(T R 1 < R 2 ) + E(T R 2 < R 1 ) λ 1 + λ 2 λ 1 + λ 2

dimana E(T R 1 < R 2 ) = E(S + R 1 R 1 < R 2 ) = E(S R 1 < R 2 ) + E(R 1 R 1 < R 2 ) = 1 1 + λ 1 λ 1 + λ 2

Solusi (alternatif): dimana E(S) = E(S R 1 < R 2 ) E(T ) = E(min(R 1, R 2 ) + S) 1 = + E(S) λ 1 + λ 2 λ 1 λ 1 + λ 2 + E(S R 2 < R 1 ) λ 2 λ 1 + λ 2

1. Pandang soal sebelumnya (Uvi, Ivi, Ovi) dengan distribusi waktu layanan teller A dan B memiliki parameter yang berbeda. Berapa peluang Ovi bukanlah nasabah terakhir keluar dari bank?

Solusi: P(S I > S O )P(S I > S U ) + P(S U > S O )P(S U > S I ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ1 λ1 λ2 λ2 = + λ 1 + λ 2 λ 1 + λ 2 λ 1 + λ 2 λ 1 + λ 2 ( ) 2 ( ) 2 λ1 λ2 = + λ 1 + λ 2 λ 1 + λ 2

Bagaimana kita dapat menghitung P(X 1 < X 2 ) untuk X i p.a. eksponensial dengan parameter λ i atau λ?

min(x 1, X 2 ) Eksp(λ 1 + λ 2 ) atau min(x 1, X 2 ) Eksp(2λ)

Statistik Terurut Eksponensial Misalkan X 1,..., X n sampel acak berukuran n dari distribusi eksponensial dengan parameter λ. Akan ditentukan distribusi dari Y (k), statistik terurut ke-k. Ambil kasus untuk k = 1 dan/atau k = n.

Solusi: Fungsi peluang untuk statistik terurut ke-k adalah: f X(k) (x) = C n k 1,1,n k (F X (x)) k 1 f X (x) (1 F X (x)) n k Untuk s.a berukuran 2 dari distribusi eksponensial dengan parameter λ, f X(1) (x) = C 2 0,1,1 (1 e λx ) 1 1 λ e λx (e λx ) 2 1 = 2 λ e 2λx

2. Misalkan Itta memasuki sebuah Bank yang memiliki seorang teller. Itta melihat ada 5 nasabah di Bank, 1 orang sedang dilayani dan 4 orang yang lain antri. Itta pun antre. Jika waktu layanan berdistribusi dengan parameter µ, berapa lama waktu (expected amount of time) yang dihabiskan Ita di Bank?

Solusi: Misalkan T lama waktu Ita di Bank; S i waktu layanan, E(T I ) = E(S I ) + 5 E(S i ) = 6/µ i=1

Apakah distribusi dari X = S 1 + + S 5 untuk S i p.a. eksponensial dengan parameter λ?

dengan mean E(X ) = 5/λ. X = S 1 + + S 5 Ga(5, λ)

3. Disebuah toko ada 2 petugas jaga. Tiga orang: Fer, Fir dan Fur datang ke toko bersamaan. Fer dan Fir langsung mendatangi petugas toko, sedangkan Fur menunggu (baca: antre).

Berapa peluang bahwa Fer masih berada di toko setelah Fir dan Fur pergi apabila waktu layanan untuk setiap petugas adalah tepat (tidak acak) 10 menit?

Solusi: Fer tidak mungkin masih berada di toko apabila Fir (dan Fur) sudah selesai dilayani. Jadi peluangnya adalah 0.

Berapa peluang bahwa Fer masih berada di toko setelah Fir dan Fur pergi apabila waktu layanan adalah i dengan peluang 1/3, i = 1, 2, 3?

Solusi: 1/27

Solusi (detil): P(S Fer > S Fir + S Fur ) = P(S Fir = 1)P(S Fur = 1)P(S Fer = 3) = (1/3)(1/3)(1/3) = 1/27

Berapa peluang bahwa Fer masih berada di toko setelah Fir dan Fur pergi apabila waktu layanan berdistribusi eksponensial dengan mean 1/µ?

Solusi: 1/4

Solusi (detil): Apa saja yang akan terjadi pada Fer? (1) Fer adalah orang pertama yang keluar dari toko, dengan peluang 1/2 (2) Fer adalah orang terakhir yang keluar dari toko, dengan peluang 1/4 (3) Fer BUKAN orang terakhir yang keluar dari toko, dengan peluang 1/4

5. Jika X 1 dan X 2 peubah acak-peubah acak kontinu non negatif yang saling bebas, hitung P(X 1 < X 2 min(x 1, X 2 ) = t)

Solusi: P(X 1 < X 2 min(x 1, X 2 ) = t) = P(X 1 < X 2, min(x 1, X 2 ) = t) P(min(X 1, X 2 ) = t) P(X 1 = t, X 2 > t) = P(X 1 = t, X 2 > t) + P(X 2 = t, X 1 > t) f X1 (t)s X2 (t) = f X1 (t)s X2 (t) + f X2 (t)s X1 (t)

6. Misalkan X i berdistribusi eksponensial dengan parameter θ i, dimana i = 1, 2, 3. Hitung P(X 1 < X 2 < X 3 )

Solusi: P(X 1 < X 2 < X 3 ) = P(X 2 < X 3 X 1 = min(x 1, X 2, X 3 )) P(X 1 = min(x 1, X 2, X 3 )) = θ 2 θ 2 + θ 3 θ 1 θ 1 + θ 2 + θ 3

Hitung P(X 1 < X 2 X 3 = maks(x 1, X 2, X 3 ))

Solusi: P(X 1 < X 2 X 3 = maks(x 1, X 2, X 3 )) P(X 1 < X 2 < X 3 ) = P(X 3 = maks(x 1, X 2, X 3 )) P(X 1 < X 2 < X 3 ) = P(X 1 < X 2 < X 3 ) + P(X 2 < X 1 < X 3 ) θ 1 + θ 3 = θ 1 + θ 2 + 2θ 3

Hitung E(maksX i X 1 < X 2 < X 3 )

Solusi: E(maksX i X 1 < X 2 < X 3 ) = E(X 1 + (X 2 X 1 ) + (X 3 X 2 ) X 1 < X 2 < X 3 ) = E(X 1 X 1 < X 2 < X 3 ) + E((X 2 X 1 ) X 1 < X 2 < X 3 ) + E((X 3 X 2 ) X 1 < X 2 < X 3 ) = E(X 1 X 1 < X 2 < X 3 ) + E(X 2 X 2 < X 3 ) + E(X 3 ) 1 1 = + + 1 θ 1 + θ 2 + θ 3 θ 2 + θ 3 θ 3

7. Pandang kasus antrean di toko dengan 2 petugas jaga dan 3 nasabah. Waktu layanan petugas jaga i adalah p.a eksponensial dengan parameter α i. Berapa waktu harapan (expected time) hingga 3 nasabah tersebut meninggalkan toko?

Solusi: Kita tahu waktu yang dihabiskan nasabah 3 (nasabah terakhir) adalah 3 E(T 3 ) = α 1 + α 2

8. Seorang nasabah yang datang ke suatu kantor administrasi akan dilayani oleh petugas P1, lalu petugas P2, lalu pulang. Waktu layanan petugas Pi adalah p.a eksponensial dengan parameter β i, i = 1, 2. Ketika Rose datang, terlihat P1 sedang kosong (tidak sedang melayani nasabah). Sedangkan 2 nasabah ada di P2 (seorang nasabah A dilayani dan seorang lain B antri). Hitung peluang nasabah A masih dilayani ketika Rose pindah ke P2?

Solusi: Pandang Rose saat berada di P1 dan nasabah A di P2. Waktu layanan Rose di P1 lebih singkat dari waktu layanan A di P2. Dengan kata lain, P(P 1 < P 2 ) = β 1 β 1 + β 2