KONSEP PROBABILITAS Sebelumnya, telah dipelajari statistika deskriptif yang fokus untuk menyimpulkan data yang telah dikumpulkan pada waktu sebelumnya. Pada bab ini, akan dibahas tentang aspek lain dari statistika, yaitu menghitung kesempatan yang akan terjadi di masa mendatang STATISTIKA INFERENSIAL. Dalam statistika inferensial, keputusan untuk suatu populasi diambil berdasarkan sampel yang diambil dari populasi tersebut. Namun, terdapat ketidakpastian dalam pengambilan kesimpulan, sehingga semua risiko harus dievaluasi dibahas melalui TEORI PROBABILITAS. Melalui teori probabilitas ini, dengan informasi yang terbatas, dapat dianalisis risiko. I. Probabilitas a) Probabilitas adalah bilangan yang menunjukkan peluang/kesempatan sesuatu kejadian akan terjadi. b) Nilai probabilitas berada di antara 0 sampai 1. c) Nilai probabilitas bisa dideskripsikan dalam bentuk desimal atau bilangan pecahan. d) Jika probabilitas semakin mendekati 0, maka dapat dikatakan bahwa semakin tidak mungkin kejadian tersebut terjadi. e) Jika probabilitas semakin mendekati 1, maka dapat dikatakan bahwa semakin pasti kejadian tersebut terjadi. Tiga kata kunci dalam teori probabilitas yaitu: Eksperimen Hasil Kejadian Suatu proses yang mengarah pada terjadinya satu dan hanya satu dari beberapa pengamatan yang mungkin. Hasil tertentu dari suatu eksperimen. Kumpulan dari satu atau lebih hasil dari suatu eksperimen yang diobservasi. Eksperimen Lempar Dadu Hasil Muncul mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, 6 Kejadian Mengamati mata dadu genap, dll 1
II. Pendekatan untuk Menetapkan Probabilitas Pendekatan Probabilitas Objektif Subjektif Probabilitas Klasik Probabilitas Empiris Berdasarkan informasi yang ada Berdasarkan hasil probabilitas yang sama Berdasarkan frekuensi relatif 1) PROBABILITAS KLASIK Probabilitas Klasik berdasarkan pada asumsi bahwa hasil (outcomes) dari suatu eksperimen adalah dengan kemungkinan yang sama. Dengan probabilitas klasik, maka: Probabilitas kejadian = banyaknya hasil yang diinginkan total hasil yang mungkin terjadi Contoh probabilitas klasik: Dalam eksperimen lempar dadu, hitunglah probabilitas kejadian munculnya mata dadu genap? Ada 3 hasil/outcomes yang diinginkan, yaitu munculnya mata dadu 2, 4 atau 6. Ada 6 kejadian/events yang mungkin terjadi pada eksperimen, yaitu munculnya mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. Probabilitas kejadian muncul mata dadu genap adalah 3 1. 6 2 2) PROBABILITAS EMPIRIS Probabilitas empiris adalah probabilitas dari suatu kejadian yang terjadi merupakan bagian dari berapa kali suatu kejadian yang sama terjadi pada waktu lampau. Probabilitas empiris = berapa kali suatu kejadian terjadi banyaknya observasi 2
Hukum Large Number : Semakin banyak percobaan dilakukan, maka probabilitas empiris dari suatu kejadian akan mendekati probabilitas sesungguhnya. Pada kejadian pelemparan sebuah koin, maka probabilitas klasik munculnya gambar adalah 1 2. Sedangkan, probabilitas empirisnya ditemukan sebagai berikut. Banyaknya Percobaan Banyaknya Kejadian Muncul GAMBAR Frekuensi Relatif dari GAMBAR 1 0 0 10 3 0,3 50 26 0,52 100 52 0,52 500 236 0,472 1000 494 0,494 10000 5027 0,5072 Dapat diperhatikan bahwa semakin banyak percobaan dilakukan, maka probabilitas empiris semakin mendekati probabilitas sebenarnya (probabilitas klasik). Karena probabilitas empiris akan mendekati probabilitas sesungguhnya/probabilitas klasik, maka konsep probabilitas empiris/frekuensi relatif dapat digunakan untuk menemukan probabilitas dari suatu kejadian. Pada semester lalu, sebanyak 80 mahasiswa Fakultas Ekonomi di suatu perguruan tinggi mengikuti perkuliahan Statistika, dan sebanyak 12 orang diantaranya memperoleh nilai A, maka probabilitas seorang mahasiswa akan memperoleh nilai A bisa ditaksir melalui frekuensi relatif/probabilitas empiris, yaitu 12/80 = 0,15. 3) PROBABILITAS SUBJEKTIF Konsep dari Probabilitas subjektif adalah bahwa probabilitas dari suatu kejadian yang terjadi diperoleh berdasarkan informasi dan/atau opini apapun yang dimiliki pada saat itu. Probabilitas seseorang menikah sebelum usia 30 tahun. Probabilitas Inter Milan bermain dalam Liga Champions pada musim depan. III. Aturan-Aturan untuk Menghitung Probabilitas 1) ATURAN PENJUMLAHAN a) Aturan khusus dalam penjumlahan: 3
hanya bisa digunakan jika kejadian pada eksperimen saling lepas (artinya, jika suatu kejadian terjadi, maka tidak mungkin ada kejadian lain terjadi pada waktu bersamaan). Syarat suatu kejadian A dan B pada eksperimen saling lepas adalah: A B Jika kejadian A dan kejadian B saling lepas, maka probabilitas bahwa satu atau lebih kejadian terjadi adalah jumlah dari probabilitas masing-masing kejadian, atau secara matematika ditulis: P A atau B = P A B = P A + P B Sebuah dadu dilemparkan, maka berapakah probabilitas munculnya mata dadu genap yang lebih besar dari 3 atau mata dadu bilangan prima? A = munculnya mata dadu genap yang lebih besar dari 3 : {4,6} P(A) = 2/6 = 1/3 B = munculnya mata dadu prima : {2,3,5} P(B) = 3/6 = 1/2 Penyelesaian 1: Maka, P A B = P A + P B = 1 3 + 1 2 = 5 6 Dengan demikian, probabilitas munculnya mata dadu genap yang lebih besar dari 3 atau mata dadu bilangan prima adalah 5 6. Penyelesaian 2: Maka, A B = 4,6 2,3,5 = 2,3,4,5,6 P A B = 5 6 Dengan demikian, probabilitas munculnya mata dadu genap yang lebih besar dari 3 atau mata dadu bilangan prima adalah 5 6. b) Aturan umum dalam penjumlahan: digunakan jika kejadian pada eksperimen tidak saling lepas (artinya, suatu hasil muncul paling sedikit pada 2 kejadian yang berbeda dalam waktu bersamaan). Jika kejadian A dan kejadian B tidak saling lepas, berarti bisa jadi terdapat hasil yang muncul pada kejadian A dan muncul juga pada kejadian B, maka probabilitas bahwa A atau B terjadi secara matematika ditulis: P A atau B = P A B = P A + P B P A B dengan P A B merupakan probabilitas suatu hasil yang bisa muncul pada kejadian A dan pada kejadian B. P A B disebut juga sebagai joint probability, yaitu jika dua kejadian terjadi bersamaan. 4
Sebuah dadu dilemparkan, maka berapakah probabilitas munculnya mata dadu genap atau mata dadu bilangan prima? A = munculnya mata dadu genap : {2,4,6} P(A) = 3/6 = 1/2 B = munculnya mata dadu prima : {2,3,5} P(B) = 3/6 = 1/2 Penyelesaian 1: Perhatikan 2 muncul pada kejadian A dan pada kejadian B, sehingga P A B = 1/6 Maka, P A B = P A + P B P A B = 1 2 + 1 2 1 6 = 5 6 Dengan demikian, probabilitas munculnya mata dadu genap atau mata dadu bilangan prima adalah 5 6. Penyelesaian 2: Maka, A B = 2,4,6 2,3,5 = 2,3,4,5,6 P A B = 5 6 Dengan demikian, probabilitas munculnya mata dadu genap atau mata dadu bilangan prima adalah 5 6. 2) ATURAN PERKALIAN a) Aturan khusus dalam perkalian: hanya bisa digunakan jika kejadian yang muncul pada eksperimen saling bebas (artinya, kemunculan suatu kejadian tidak memengaruhi probabilitas dari kemunculan kejadian lainnya). Misalnya: ketika kejadian B terjadi setelah kejadian A terjadi, maka apakah kejadian A memengaruhi probabilitas kejadian B untuk terjadi? Jika tidak, maka probabilitas dari A dan B adalah dengan mengalikan probabilitas masing-masing kejadian A dan B, secara matematis dituliskan: syarat kejadian P A dan B = P A B = P A P B A dan B saling bebas Dua keping logam dilempar secara bersamaan sebanyak satu kali. Kejadian M adalah kejadian munculnya sisi gambar pada logam pertama, sedangkan kejadian N adalah kejadian munculnya sisi yang sama untuk kedua keping logam itu. Periksalah apakah kejadian M dan N merupakan dua kejadian yang saling bebas. M = munculnya sisi gambar pada logam pertama : {(G,G), (G,A)} P(M) = 2/4 = 1/2 N = munculnya sisi yang sama untuk kedua keping logam : {(A,A), (G,G)} P(N) = 2/4 = 1/2 M N {( G, G)} P( M N) 1/ 4 Ternyata, 5
1 1 1 P( M N) P( M ) P( N) 4 2 2 Maka, kejadian M dan N merupakan dua kejadian yang saling bebas. Berdasarkan pengalaman, terungkap bahwa probabilitas dari suatu ban X untuk mampu digunakan maksimal 60.000 mil adalah 0,95. Berapakah probabilitas dua buah ban X mampu digunakan maksimal 60.000 mil? Misalkan: A = ban X pertama yang mampu digunakan maksimal 60.000 mil P(A) = 0,95 B = ban X kedua yang mampu digunakan maksimal 60.000 mil P(B) = 0,95 Maka, probabilitas kedua ban mampu digunakan maksimal 60.000 mil adalah: P A B = P A P B = 0, 95 0, 95 = 0, 9025 b) Aturan umum dalam perkalian: digunakan jika kejadian pada eksperimen tidak saling bebas (artinya, ketika kejadian B terjadi setelah kejadian A, dan A berpengaruh pada probabilitas dari kejadian B). Aturan umum dalam perkalian adalah: P A dan B = P A B = P A P B A dengan P B A adalah probabilitas terjadinya kejadian B setelah kejadian A terjadi. P B A disebut juga sebagai conditional probability, yaitu nilai probabilitas tergantung pada kondisi apakah kejadian A terjadi sebelum terjadinya kejadian B. Berdasarkan rumus di atas, maka conditional probability secara matematis dapat ditulis: P B A = P A B P(A) Terdapat 10 bungkus mie di dalam suatu kotak yang terdiri dari 7 mie rebus dan 3 mie goreng. Maka, probabilitas terambilnya mie rebus adalah 7/10, dan probabilitas terambilnya mie goreng adalah 3/10. Selanjutnya, mie kedua diambil lagi dari dalam kotak tanpa pengembalian mie pertama yang sudah diambil. Maka, pada pengambilan kedua, probabilitas terambilnya mie rebus pada pengambilan kedua adalah: *) 6/9 jika yang terambil pada pengambilan pertama adalah mie rebus. (Karena mie rebus yang tersisa adalah sebanyak 6 bungkus, sedangkan total mie yang tersisa dalam kotak adalah 9 bungkus setelah pengambilan pertama.) *) 7/9 jika yang terambil pada pengambilan kedua adalah mie goreng. (Karena mie rebus tidak berkurang setelah pengambilan pertama, yaitu masih tetap 7, sedangkan total mie yang tersisa dalam kotak adalah 9 bungkus setelah pengambilan pertama). Pada contoh sebelumnya, jika seseorang makan mie 2 hari berturut-turut yang diambil dari kotak yang sama, maka berapa probabiltas keduanya terambil mie rebus? Asumsikan A adalah terambil mie rebus pada pengambilan pertama, maka P A = 7/10. 6
Asumsikan B adalah terambil mie rebus pada pengambilan kedua, maka P B A = 6/9. Maka, probabilitas terambilnya mie rebus pada hari pertama dan hari kedua adalah: P A B = P A P B A = 7 10 6 9 = 42 90 Ani dan Budi merupakan pasangan pengantin baru. Mereka berencana untuk memiliki dua anak saja. Jika Budi menginginkan kedua anaknya adalah laki-laki, sementara Ani menginginkan paling sedikit satu anak mereka adalah laki-laki, hitunglah probabilitas kedua anak mereka laki-laki dengan syarat paling sedikit satu anaknya adalah laki-laki. Misalkan: b boy; g girl A = paling sedikit satu anaknya adalah laki-laki : {(b,b), (b,g), (g,b)} P(A) = 3/4 B = kedua anaknya adalah laki-laki : {(b,b)} P(B) = 1/4 Penyelesaian 1: Perhatikan bahwa A B = b, b P A B = 1 4 Maka, P A B P B A = = 1/4 P(A) 3/4 = 1 3 Dengan demikian, probabilitas kedua anak mereka laki-laki dengan syarat paling sedikit satu anaknya adalah laki-laki adalah 1 3. Penyelesaian 2: Ruang sampel awal adalah: {( b, b), ( b, g), ( g, b), ( g, g )} Karena yang ditanyakan adalah probabilitas kedua anak mereka laki-laki dengan syarat paling sedikit satu anaknya adalah laki-laki, berarti kejadian paling sedikit satu anak adalah laki-laki pasti terjadi. Atau, dengan kata lain, kejadian paling sedikit satu anak adalah laki-laki menjadi ruang sampel yang baru. Ruang sampel baru adalah: {( b, b), ( b, g), ( g, b )} Dengan demikian, probabilitas kedua anak mereka laki-laki dengan syarat paling sedikit satu anaknya laki-laki adalah 1 3. [ 1 {( bb, )} ; 3 {( b, b ), ( b, g ), ( g, b )} ] 3) ATURAN KOMPLEMEN Digunakan untuk menentukan probabilitas dari suatu kejadian untuk terjadi dengan cara mengurangkan probabilitas dari suatu kejadian untuk tidak terjadi dari 1. Suatu kejadian terjadi dan suatu kejadian tidak terjadi jelas merupakan hal yang saling lepas, sehingga jumlah probabilitas dari terjadinya suatu kejadian dan probabilitas tidak terjadinya suatu kejadian tersebut adalah 1. P A + P ~A = 1 P A = 1 P(~A) 7
Kemasan dari suatu bahan makanan: ada yang underweight, ada yang overweight dan ada yang beratnya sesuai label. Probabilitas terambilnya kemasan yang underweight adalah 0,025 dan probabilitas terambilnya kemasan yang overweight adalah 0,075. Maka berapa probabilitas terambilnya kemasan yang beratnya sesuai dengan labelnya? U = terambilnya kemasan yang underweight P(U) = 0,025 O = terambilnya kemasan yang overweight P(O) = 0,075 Maka, probabilitas terambilnya kemasan yang underweight atau kemasan yang overweight adalah: P U O = 0,025 + 0,075 = 0,1 sehingga, probabilitas terambilnya kemasan yang beratnya sesuai label adalah: 1 P U O = 1 0, 1 = 0, 9 IV. Tabel Kontingensi Tabel kontingensi adalah suatu tabel yang digunakan untuk mengelompokkan sampel pengamatan sesuai dengan dua atau lebih karakteristik yang dapat diidentifikasi. Suatu survei dilakukan terhadap 200 pegawai tentang kesetiaan mereka terhadap perusahaan mereka. Salah satu pertanyaan adalah Jika kamu diberikan tawaran oleh perusahaan lain, yang posisinya sama atau lebih tinggi dibanding perusahaan tempat kamu bekerja saat ini, apakah kamu akan tetap di perusahaan sekarang atau menerima tawaran dari perusahaan lain? Respons dari responden diklasifikasikan berdasarkan lamanya mereka berada di perusahaan tersebut, yang ditampilkan dalam tabel kontingensi berikut: Kesetiaan Lamanya bekerja di perusahaan sekarang 1-5 tahun 6-10 tahun > 10 tahun < 1 tahun (B1) (B2) (B3) (B4) Total tetep diperusahaan sekarang (A1) 10 30 5 75 120 menerima tawaran dari perusahaan lain 25 15 10 30 80 (A2) Total 35 45 15 105 200 Berdasarkan informasi dari tabel kontingensi tersebut, hitunglah probabilitas terpilihnya seorang pegawai yang setia pada perusahaan dan telah bekerja di perusahaan selama lebih dari 10 tahun, secara acak? A1 = terpilihnya pegawai yang tetap setia pada perusahaan sekarang P A1 = 120 200 8
B4 = terpilihnya pegawai yang telah bekerja di perusahaan selama lebih dari 10 tahun P B4 A1 = probabilitas terpilihnya pegawai yang telah bekerja di perusahaan selama lebih dari 10 tahun, yang tetap memilih setia pada perusahaan sekarang P B4 A1 = 75 120 Dengan demikian, probabilitas terpilihnya seorang pegawai yang setia pada perusahaan dan telah bekerja di perusahaan selama lebih dari 10 tahun adalah: P A1 B4 = P A1 P B4 A1 = 120 200 75 120 = 75 = 0, 375 200 V. Diagram Pohon Diagram pohon merupakan suatu graf yang sangat membantu dalam menampilkan perhitungan yang melibatkan beberapa tahapan. Kesetiaan Lamanya bekerja di perusahaan sekarang 1-5 tahun 6-10 tahun > 10 tahun < 1 tahun (B1) (B2) (B3) (B4) Total tetep diperusahaan sekarang (A1) 10 30 5 75 120 menerima tawaran dari perusahaan lain 25 15 10 30 80 (A2) Total 35 45 15 105 200 Bentuk diagram pohon dari tabel di atas ditampilkan sebagai berikut: 9
Kesetiaan Conditional probability Lama bekerja Joint probability 10/120 < 1 tahun 120 200 10 120 = 0,05 120 200 tetap pada perusahaan sekarang 75/120 30/120 5/120 1-5 tahun 6-10 tahun > 10 tahun 120 200 30 120 = 0,15 120 200 5 120 = 0,025 120 200 75 120 = 0,375 80 200 menerima tawaran dari perusahaan lain 25/80 30/80 15/80 10/80 < 1 tahun 1-5 tahun 6-10 tahun > 10 tahun 80 200 25 80 = 0,125 80 200 15 80 = 0,075 80 200 10 80 = 0,05 80 200 30 80 = 0,15 VI. Prinsip-Prinsip Perhitungan 1) FORMULASI PERKALIAN Jika ada m cara untuk melakukan sesuatu, dan ada n cara untuk melakukan sesuatu lainnya, maka ada m n cara untuk melakukan keduanya. Banyak cara pengaturan = m n Prinsip ini dapat diperluas jika ada lebih dari 2 kejadian. Formula perkalian diaplikasikan untuk menemukan banyaknya cara pengaturan yang mungkin untuk dua atau lebih grup. Suatu dealer memasang iklan bahwa untuk $30.000 pelanggan bisa membeli mobil convertible, sedan 2-pintu, atau model 4-pintu, dan kemudian pelanggan bisa memilih wire wheel covers atau solid wheel covers. Berapa banyak cara memilih pasangan model dan penutup roda yang ditawarkan oleh dealer tersebut? Ada 3 pilihan model dan ada 2 pilihan penutup roda. Maka, banyak cara memilih pasangan model dan penutup roda adalah 3 2 = 6. 10
Convertible model Model sedan 2-pintu Wire wheel cover Solid wheel cover Model sedan 4-pintu 2) FORMULASI PERMUTASI Formula permutasi diaplikasikan untuk menemukan banyaknya cara pengaturan yang mungkin jika hanya ada 1 grup objek, dan jika cara pengaturan memperhatikan urutan (artinya ab dianggap tidak sama dengan ba ). Untuk memilih r objek dari satu grup yang mengandung n objek menggunakan formula permutasi: P r n = n! n r! Tiga bagian alat elektronik, asumsikan bagian A, bagian B, dan bagian C, akan dipasang ke TV. Bagian-bagian tersebut akan dipasang dengan cara sebarang ke TV. Berapa banyak cara untuk memasang bagian-bagian tersebut ke TV? Ada 3 bagian yang akan dipasang, sehingga n = 3. Karena tiap bagian tidak mungkin dipasang pada tempat yang sama, atau ketiga bagian akan ditempatkan pada lokasi yang berbeda, maka ada 3 tempat tersedia untuk memasang bagian-bagian tersebut, sehingga r = 3. Maka, banyaknya cara untuk memasang bagian-bagian tersebut ke TV adalah: P 3 3! 3 = 3 3! = 3! 3 2 1 = = 6 0! 1 1 = 6 Hal tersebut juga bisa dilakukan dengan menggunakan konsep/formula perkalian: ada 3 part (A, B, C) yang akan ditempatkan pada 3 lokasi yang berbeda: 11
Dengan demikian ada 6 cara berbeda untuk menempatkan 3 bagian ke 3 tempat yang berbeda. 3) FORMULASI KOMBINASI Urutan dari objek-objek yang dipilih tidak diperhatikan (sehingga ab dianggap sama saja dengan ba ). Formula untuk menghitung banyaknya kombinasi dari r objek dari sehimpunan n objek adalah C r n = n! r! n r! Suatu CD akan diwarnai dengan 2 warna yang berbeda. Jika kombinasi dari 2 warna sudah digunakan pada suatu CD, maka kombinasi warna tersebut tidak bisa lagi digunakan untuk mewarnai CD lainnya. Jika tersedia warna merah, kuning, hijau, biru, maka ada berapa cara warna yang bisa diaplikasikan ke CD? Jika terdapat 10 CD, apakah dari 4 warna dan diambil 2 warna cukup untuk mewarnai semua CD? Dengan menggunakan formula kombinasi, maka C 2 4 = 4! 2! 4 2! = 4! 2! 2! = 4 3 2 1 2 1 2 1 = 24 2 2 = 24 4 = 6 sehingga jika dari 4 warna akan diambil 2 kombinasi warna untuk setiap CD, maka ada 6 kombinasi warna untuk mewarnai CD, yaitu: Karena jika setiap kombinasi warna hanya diaplikasikan ke 1 CD saja, maka hanya ada 6 CD yang bisa diberi warna. Atau dengan kata lain, dengan 4 pilihan warna yang tersedia, tidak cukup untuk mewarnai 10 CD. Sebuah kotak berisi 10 buah kelereng, 6 diantaranya berwarna merah dan 4 berwarna putih. Dari kotak itu, diambil 3 buah kelereng secara acak. Berapa peluang terambilnya: a. semua kelereng putih b. 2 kelereng merah dan 1 kelereng putih 12
Dari 10 kelereng, diambil 3 kelereng. Berarti, total cara pengambilan ada sebanyak: C 10 10! 10! 3 120 3!(10 3)! 3! 7! cara a) 3 kelereng putih diambil dari 4 kelereng putih, total cara pengambilan ada sebanyak: C 4 4! 4! 3 4 3!(4 3)! 3! 1! cara Jadi, peluang terambilnya semua kelereng putih adalah: 4 1 P(semua kelereng putih) 120 30 b) 2 kelereng merah dan 1 kelereng putih, total cara pengambilan ada sebanyak: 6 4 6! 4! 6! 4! C 2 C 1 15 4 60 cara 2!(6 2)! 1!(4 1)! 2! 4! 3! 1! Jadi, peluang terambilnya 2 kelereng merah dan 1 kelereng putih adalah: 60 1 P(2 merah dan 1 putih) 120 2 13
L A T I H A N S O A L 1. Video Games Inc. baru-baru ini mengembangkan video game baru. Kemampuan untuk dimainkannya diuji oleh 80 pemain game kawakan. a. Apa eksperimennya? b. Sebutkan salah satu kemungkinannya! c. Misalkan 65 pemain yang mencoba game tersebut berkata bahwa mereka menyukainya. Apakah 65 ini merupakan probabilitasnya? d. Probabilitas bahwa game tersebut akan berhasil terhitung sebesar -1. Berilah komentar Anda mengenai hal ini! e. Tentukan salah satu kejadian yang mungkin! 2. Satu kartu secara acak dipilih dari tumpukan kartu remi standar. Hitunglah probabilitas terambilnya: a. kartu berwarna merah b. kartu King c. kartu As dan berwarna hitam d. kartu bernomor 9 dan berwarna merah 3. Pemeriksaan fisik rutin dilakukan setiap tahun sebagai bagian dari program pelayanan kesehatan bagi para pekerja Jack Separo Institute. Delapan persen pekerja ditemukan membutuhkan sepatu pengobatan, lima belas persen membutuhkan perawatan gigi, dan tiga persen membutuhkan keduanya. Berapakah probabilitas seorang pekerja yang dipilih secara acak membutuhkan perbaikan sepatu atau perawatan gigi? 4. Dua dadu setimbang dilemparkan secara bersamaan satu kali. Misalkan A adalah kejadian jumlah dari angka pada kedua dadu sama dengan 6, sementara B adalah kejadian munculnya angka 4 pada dadu pertama. Apakah A dan B merupakan kejadian yang saling bebas? Buktikanlah! 5. Dua buah dadu setimbang dilempar secara bersamaan sebanyak satu kali. Hitunglah probabilitas kejadian munculnya angka 1 pada dadu kedua dengan syarat kejadian munculnya jumlah kedua dadu kurang dari 4 terjadi lebih dulu! 6. Lihatlah tabel berikut. Kejadian Kedua Kejadian Pertama A 1 A 2 A 3 Total B 1 2 1 3 6 B 2 1 2 1 4 Total 3 3 4 10 a. Tentukan P(A 1 ). b. Tentukan P(B 1 A 2 ). c. Tentukan P(B 2 dan A 3 ). 14
7. Selesaikanlah. a. P c. b. 7 4 P d. 9 3 5 C 2 10 C 7 8. Pengumpul suara nasional telah membuat 10 pertanyaan yang dirancang untuk menilai kinerja presiden Indonesia. Pengumpul suara akan memilih 5 dari pertanyaan tersebut. Berapa banyak susunan berbeda yang ada untuk menyusun 5 pertanyaan yang terpilih? 9. Dari satu set kartu remi standar, diambil sebuah kartu tanpa pengembalian, kemudian diambil sebuah kartu lagi. Hitunglah probabilitas kejadian terambilnya: a. dua-duanya hitam b. dua-duanya merah c. kartu hitam pada pengambilan pertama dan kartu merah pada pengambilan kedua d. kartu merah pada pengambilan pertama dan kartu hitam pada pengambilan kedua 10. Tim baseball Kucing Garong memainkan 70 persen pertandingannya saat malam dan 30 persen saat siang hari.tim tersebut memenangkan 50 persen pertandingan malamnya dan 90 persen pertandingan siangnya. Menurut koran hari ini, mereka menang kemarin. Hitunglah berapa probabilitas pertandingan yang dimainkan saat malam! 15