Untai Elektrik I Analisis Dr. Iwan Setyawan Fakultas Teknik Universitas Kristen Satya Wacana
(1) Pada (Branch Current), setiap cabang pada untai diberi arus. Kemudian, kita terapkan Kirchhoff s Current Law (KCL) pada principal node dan tegangan diantara masing-masing node untuk mencari hubungan antara arus-arus tersebut. Prosedur ini akan menghasilkan satu set persamaan yang kemudian diselesaikan untuk mencari besar masing-masing arus.
(2) Contoh soal 1: Carilah nilai arus untuk tiap cabang pada untai berikut.
(3) Jawab: Dengan menerapkan KCL pada node a, kita peroleh I 1 = I 2 + I 3 (1) antara titik a dan b dapat dituliskan berdasarkan elemen-elemen yang ada pada tiap cabang: V ab = 20 5I 1, V ab = 10I 3 V ab = 2I 2 + 8
(4) Jawab (cont.): Dari sini kita dapat menulis 20 5I 1 = 10I 3 (2) 20 5I 1 = 2I 2 + 8 (3) Dengan mensubstitusikan (2) ke (3) kita peroleh 10I 3 = 2I 2 + 8 5I 3 = I 2 + 4 (4)
(5) Jawab (cont.): Kemudian dengan mengalikan (1) dengan 5 dan memasukkan (4) kita peroleh Dari (5) dan (3) kita peroleh 5I 1 = 5I 2 + I 2 + 4 5I 1 = 6I 2 + 4 (5) 20 6I 2 4 = 2I 2 + 8 8 = 8I 2 I 2 = 1 A (6)
(6) Jawab (cont.): Dengan memasukkan nilai I 2 ke (5) kita peroleh 5I 1 = 6 + 4 I 1 = 2 A (7) Selain itu dengan memasukkan nilai I 2 ke (4) kita peroleh 5I 3 = 1 + 4 I 3 = 1 A (8)
(7) Arah arus yang berbeda juga dapat digunakan, dengan penyesuaian tanda. arus cabang ini tidak tepat digunakan untuk untai yang kompleks.
(1) Pada metode ini, setiap window pada untai diberi sebuah arus sedemikian sehingga tiap arus merupakan sebuah loop tertutup ( loop currents ). Jika sebuah elemen atau cabang dilewati lebih dari satu arus, maka arus yang sebenarnya mengalir adalah jumlahan arus-arus tadi. Semua arus bisa dibuat searah atau berlawanan arah jarum jam. Biasanya semua arus dibuat searah jarum jam. Setelah semua arus ditetapkan, digunakan KVL untuk memperoleh persamaan- persamaan yang harus diselesaikan.
(2) Contoh soal 2: Carilah arus disetiap percabangan untai berikut (untai ini identik dengan contoh sebelumnya).
(3) Jawab: Dengan menerapkan KVL pada window kiri (dimulai dari titik α), kita peroleh: 20 + 5I 1 + 10(I 1 I 2 ) = 0 15I 1 10I 2 = 20 (9) dan untuk window kanan (dimulai dari titik β): 8 + 10(I 2 I 1 ) + 2I 2 = 0 10I 1 + 12I 2 = 8 (10)
(4) Jawab (cont.): Dengan mengalikan (10) dengan 1.5 kita peroleh 15I 1 + 18I 2 = 12 15I 1 = 18I 2 + 12 Jika kita substitusikan persamaan terakhir ke (9), kita peroleh 18I 2 + 12 10I 2 = 20 8I 2 = 8 I 2 = 1 Dengan memasukkan hasil ini ke (9) kita peroleh I 1 = 2.
(5) Jawab (cont.): Arus yang melalui R = 10 ohm adalah I 1 I 2 = 1 ampere. Pada contoh sebelumnya, arus ini adalah I 3.
(6) Arus yang diberikan tidak harus terbatas pada satu window seperti pada contoh diatas. Pada metode ini, setiap elemen untai harus dilewati sebuah arus atau kombinasi arus-arus yang ada pada untai. Pada metode ini, tidak boleh ada 2 elemen pada cabang yang berbeda yang dilewati arus atau kombinasi arus yang sama.
(1) Penyelesaian analisis untai dengan metode arus mesh dapat dilakukan menggunakan matriks. Contoh soal 3: Tuliskan persamaan-persamaan untai berikut dalam bentuk matriks.
(2) Jawab: Dengan menerapkan KVL pada tiap-tiap window, kita peroleh (R A + R B )I 1 R B I 2 = V a R B I 1 +(R B + R C + R D )I 2 R D I 3 = 0 R D I 2 +(R D + R E )I 3 = V b
(3) Jawab (cont.): Persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut: R A + R B R B 0 I 1 V a R B R B + R C + R D R D I 2 = 0 0 R D R D + R E I 3 V b
(4) Matriks pada contoh diatas dapat ditulis dalam bentuk umum sebagai berikut R 11 R 12 R 13 R 21 R 22 R 23 (11) R 31 R 32 R 33 Pada persamaan diatas, elemen R 11 adalah jumlahan semua resistor yang dilewati arus I 1. Untuk kasus ini nilainya adalah R A + R B. R 22 dan R 33 masing-masing adalah jumlahan semua resistor yang dilewati I 2 dan I 3.
(5) Elemen R 12 adalah jumlahan semua resistor yang dilewati arus I 1 dan I 2. Tanda elemen ini positif jika kedua arus memiliki arah yang sama, dan negatif jika arus berlawanan arah. Pada kasus diatas, R B adalah satu-satunya resistor yang dilewati I 1 dan I 2. Karena arah kedua arus ini berlawanan, tanda R B negatif. Hal yang sama berlaku untuk R 13, R 21, R 23 dan R 31. Perhatikan bahwa R ij = R ji, i, j. Jadi, matrix ini simetris terhadap diagonal utamanya.
(6) Matriks kedua berisi arus-arus yang ada pada untai. Matriks ketiga berisi sumber-sumber tegangan pada untai. Elemen V 1 berisi jumlahan semua sumber yang menimbulkan arus pada window pertama dan seterusnya. Elemen matriks ini bernilai positif jika arus mengalir dari terminal ke terminal +. Jika tidak, nilainya negatif. Pada kasus diatas, window pertama memiliki sumber V a dengan I 1 masuk dari terminal negatif. Window kedua tidak memiliki sumber, dan window ketiga memiliki sumber yang masuk dari terminal positif.
(7) Matriks yang dihasilkan dari proses analisis untai seperti diatas dapat diselesaikan dengan banyak cara. Cara yang akan dibahas berikut ini adalah metode determinan atau disebut juga dengan aturan Cramer (Cramer s rule). Penyelesaian dengan aturan Cramer tidak terlalu efisien jika untai yang dianalisis sangat kompleks.
(8) Contoh soal 4: Selesaikan persamaan matriks pada contoh yang lalu (Persamaan (11)) dengan menggunakan metode determinan.
(9) Jawab: Untuk mencari I 1 kita gunakan pembagian 2 determinan. yang menjadi penyebut adalah determinan matriks resistansi, dengan simbol R. yang menjadi pembilang sama dengan R, tetapi kolom pertama diganti dengan matriks tegangan atau V 1 R 12 R 13 V 2 R 22 R 23 V 3 R 32 R 33 I 1 = 1 V 1 R 12 R 13 R 11 R 12 R 13 R V 2 R 22 R 23 V R 21 R 22 R 23 3 R 32 R 33 R 31 R 32 R 33
(10) Jawab (cont.): Menggunakan analisis yang sama, dapat diperoleh: I 2 = 1 R 11 V 1 R 13 R R 21 V 2 R 23 R 31 V 3 R 33 I 3 = 1 R 11 R 12 V 1 R R 21 R 22 V 2 R 31 R 32 V 3
(11) Ekspansi determinan pembilang menggunakan kofaktor akan menghasilkan satu set persamaan yang berguna dalam menganalisis untai. Untuk kasus diatas diperoleh: I 1 = V 1 ( 11 R I 2 = V 1 ( 12 R I 3 = V 1 ( 13 R ) ) + V 2 ( 21 R + V 2 ( 22 R ) + V 2 ( 23 R Dengan ij adalah kofaktor R ij dalam R. ) ) + V 3 ( 31 R + V 3 ( 32 R ) + V 3 ( 33 R ) ) ) (12) (13) (14)
(1) Perhatikan gambar untai berikut. Untai ini memiliki 5 node (node 1, 2 dan 3 adalah principal node sedangkan node 4 dan 5 adalah simple node).
(2) Dalam metode ini, salah satu principal node dipilih menjadi referensi. Kemudian persamaan-persamaan dibuat berdasarkan KCL pada principal node lainnya. Masing-masing principal node (yang bukan referensi) diberi tegangan. ini relatif terhadap node referensi. -tegangan ini adalah besaran yang dicari untuk mendapatkan solusi untai.
(3) Untai diatas dapat digambar ulang sebagai berikut, dengan node 3 dijadikan node referensi untuk V 1 dan V 2.
(4) Menurut KCL, jumlahan arus yang keluar dari node 1 harus nol. Sehingga diperoleh V 1 V a R A + V 1 R B + V 1 V 2 R C = 0 Hal yang sama dapat diperoleh untuk node 2 sebagai berikut. V 2 V 1 + V 2 + V 2 V b = 0 R C R D R E
(5) Persamaan-persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut. [ ] 1 R A + 1 R B + 1 R C 1 [V1 ] [ ] R Va C /R 1 1 R C R C + 1 R D + 1 = A R E V 2 V b /R E Perhatikan bahwa matrik koefisien simetris terhadap diagonal utamanya.
(6) Elemen (1, 1) matriks koefisien berisi jumlahan reciprocal semua resistor yang terhubung ke node 1. Elemen (2, 2) matriks koefisien berisi jumlahan reciprocal semua resistor yang terhubung ke node 2. Elemen (1, 2) dan (2, 1) berisi negatif jumlahan reciprocal semua resistor pada cabang yang menghubungkan node 1 dan node 2. Sisi kanan persamaan berisi arus-arus yang men-drive masing-masing node.
(7) Contoh soal 5: Selesaikan contoh soal 2 menggunakan metode tegangan node.
(8) Jawab: Untai yang dianalisis dapat digambar ulang sebagai berikut.
(9) Jawab (cont.): Karena hanya ada 2 principal node, maka kita hanya membutuhkan 1 persamaan. Jika diasumsikan arus mengalir dari node 1 ke node referensi, maka kita peroleh V 1 20 + V 1 5 10 + V 1 8 = 0 2 2(V 1 20) + V 1 + 5(V 1 8) = 0 8V 1 80 = 0 V 1 = 10
(10) Jawab (cont.): Dari hasil diatas dapat diperoleh I 1 = (10 20)/5 = 2 I 2 = (10 8)/2 = 1 I 3 = 10/10 = 1 Tanda negatif pada I 1 menunjukkan bahwa arah arus yang diasumsikan salah. Besar dan arah arus yang diperoleh pada penyelesaian ini cocok dengan hasil sebelumnya.
(1) Pada jaringan dengan 1 sumber, kita sering perlu mengetahui tahanan input (input resistance atau driving point resistance). Jaringan seperti ini ditunjukkan pada gambar berikut.
(2) Pada jaringan diatas, terdapat satu sumber tegangan, V 1, dengan driving current I 1. Karena hanya terdapat 1 sumber tegangan, persamaan untuk I 1 adalah ( ) 11 I 1 = V 1 R Tahanan input adalah perbandingan V 1 terhadap I 1, atau R in,1 = R 11
(3) Sebuah sumber tegangan yang dipasang pada sebuah jaringan pasif menghasilkan beda tegangan antar semua node dalam jaringan. Jika sebuah resistor luar dipasang diantara 2 node jaringan, resistor tersebut akan menarik arus dari jaringan dan pada umumnya menurunkan tegangan antar node tersebut. Hal ini disebabkan oleh tegangan pada tahanan output. Tahanan output dicari dengan membagi tegangan open-circuit dengan arus short-circuit pada node yang dianalisis.
(1) Sebuah sumber tegangan pada satu bagian sebuah jaringan menghasilkan arus pada semua cabang jaringan. Misalnya, sumber tegangan yang dipasang pada suatu jaringan pasif menghasilkan arus output pada bagian tempat sebuah beban dipasang. Dalam kasus seperti diatas, jaringan dikatakan memiliki suatu transfer resistance.
(2) Perhatikan jaringan pasif berikut ini Pada jaringan ini, tegangan sumber adalah V r dan arus keluaran adalah I s. Persamaan arus mesh untuk I s hanya berisi satu suku, sebagai berikut ( 1s ) ( rs ) I s = (0) + + 0 + V r + 0 + R R
(3) resistance jaringan adalah perbandingan V r dan I s, atau R trf,rs = R rs Karena matriks tahanan simetris, rs = sr, maka R trf,rs = R trf,sr Persamaan terakhir menunjukkan sifat penting jaringan linear: Jika tegangan tertentu pada mesh r mengakibatkan arus tertentu pada mesh s, tegangan yang sama pada mesh s akan mengakibatkan arus yang sama pada mesh r.
(4) Misalkan kasus yang lebih umum, yaitu sebuah jaringan dengan n buah mesh dan banyak sumber tegangan. Arus pada mesh ke-k dapat dicari sebagai berikut I k = V 1 + + V k 1 + V k + R trf,1k R trf,(k 1)k R in,k V k+1 R trf,(k+1)k + + V n R trf,nk Persamaan terakhir menunjukkan bahwa sumber yang jauh dari mesh k memiliki tahanan yang besar sehingga hanya memberi sedikit kontribusi terhadap I k. Semakin dekat sebuah sumber, semakin besar kontribusinya terhadap I k.
(1) arus mesh dan tegangan node merupakan alat utama analisis untai. lain yang dapat digunakan adalah dengan memanfaatkan tahanan ekuivalen (seri dan paralel) serta aturan pembagian arus dan tegangan. ini sangat merepotkan jika untai yang dianalisis kompleks.
(2) Contoh soal 6: Carilah daya total yang dikeluarkan sumber tegangan dan daya yang diserap masing-masing resistor pada untai berikut ini:
Jawab: (3) Menggunakan metode network reduction, pertama-tama kita hitung tahanan ekuivalen sebagai berikut: R ab = 7 + 5 = 12 Ω R cd = 12 6 12 + 6 = 4 Ω Kedua tahanan ekuivalen tersebut paralel, sebagai berikut:
(3) Jawab (cont.): Dari gambar diatas dapat kita hitung tahanan ekuivalen sebagai berikut: R ef = 4 12 4 + 12 = 3 Ω Jadi untai sekarang menjadi sebagai berikut:
(4) Jawab (cont.): Dari gambar diatas dapat kita hitung tahanan total untai sebagai berikut: R eq = 7 + 3 = 10 Ω Jadi daya total yang dikeluarkan sumber tegangan dapat dihitung sebagai berikut: P T = V 2 R eq = (60)2 10 = 360 W
(5) Jawab (cont.): Daya total ini dibagi antara R ge dan R ef sebagai berikut: P ge = 7 360 = 252 W 7 + 3 P ef = 3 360 = 108 W 7 + 3 P ef dibagi lagi antara R cd dan R ab sebagai berikut: P cd = 12 108 = 81 W 4 + 12 P ab = 4 108 = 27 W 4 + 12
(6) Jawab (cont.): P cd dibagi antara tahanan 12 dan 6 Ohm sebagai berikut: P 12 = 6 81 = 27 W 12 + 6 P 6 = 12 81 = 54 W 12 + 6 P ab dibagi lagi antara tahanan 7 dan 5 Ohm sebagai berikut: P 7 = 7 27 = 15.75 W 7 + 5 P 5 = 5 27 = 11.25 W 7 + 5
(1) Sebuah jaringan linear yang memiliki dua atau lebih sumber bebas dapat dianalisis dengan cara memasang sumber-sumber tersebut secara bergantian. Jika sumber-sumber adalah sumber tak bebas, superposisi hanya bisa dilakukan jika fungsi pengendali sumber tak bebas ada diluar jaringan. Sumber tegangan yang dimatikan diganti hubung pendek. Sumber arus yang dimatikan diganti hubung buka. tidak dapat digunakan untuk menghitung daya, karena perhitungan daya tidak linear terhadap arus dan tegangan.
(2) Contoh soal 7: Hitung arus yang mengalir pada resistor 23 ohm pada untai berikut.
(3) Jawab: Jika sumber arus dimatikan, maka untai menjadi sebagai berikut.
(4) Jawab (cont.): Dari untai tersebut, dapat dihitung tahanan ekuivalen untai sebagai berikut: R eq = 47 + dan arus total sebagai berikut: 27 (4 + 23) 54 I T = 200 60.5 = 3.31 A sehingga arus pada resistor 23 ohm adalah: I 23 = 27 3.31 = 1.65 A 54 = 60.5 Ω
(5) Jawab (cont.): Jika sumber tegangan dimatikan, maka untai menjadi sebagai berikut.
(6) Jawab (cont.): Tahanan ekuivalen yang ada di sebelah kiri sumber arus dapat dihitung sebagai berikut: R eq = 4 + 27 (47) 74 = 21.15 Ω sehingga arus pada resistor 23 ohm adalah: I 23 = 21.15 20 = 9.58 A 21.15 + 23 Jadi arus total yang mengalir pada resistor 23 ohm adalah I 23 = I 23 + I 23 = 11.23 A
(1) Sebuah untai resistif linear aktif yang mengandung satu atau lebih sumber tegangan atau arus dapat digantikan oleh sebuah sumber tegangan dan sebuah resistor seri (teorema Thevenin), atau sebuah sumber arus dan resistor paralel (teorema ). tersebut disebut tegangan equivalent Thevenin (Thevenin equivalent voltage, V ) dan arus tersebut disebut arus equivalent ( equivalent current, I ). Kedua resistor tersebut bernilai sama R
(2) Ketika terminal ab pada gambar (a) terhubung buka, suatu tegangan akan muncul di antara titik-titik tersebut. Dari gambar (b) terlihat bahwa tegangan ini merupakan V dari untai equivalen Thevenin Bila suatu untai yang terhubung singkat diaplikasikan pada terminal seperti yang diusulkan oleh garis putus-putus pada gambar (a), suatu arus akan dihasilkan. Dari gambar (c) terlihat bahwa arus tersebut merupakan I dari untai equivalen.
(3) Jika untai (b) dan (c) equivalent dari untai aktif yang sama, untai-untai tersebut saling equivalent. Sehingga I = V /R. Bila baik V dan I telah ditentukan dari untai aktif, maka R = V /I
(4) Contoh Soal 8: Tentukan untai equivalen dari untai aktif pada gambar berikut:
(5) Jawab: Dengan melihat bahwa terminal ab terhubung buka, kedua sumber menghasilkan arus searah jarum jam melalui resistor 3 Ω dan 6 Ω.
(6) Jawab (cont.): I = 20 + 10 3 + 9 = 30 9 A Karena tidak ada arus yang melalui resistor 3 Ω bagian atas, tegangan Thevenin dapat diambil dari cabang aktif. atau V ab = V = 20 30 9 3 = 10 V V ab = V = 30 9 6 10 = 10 V
(7) Jawab: Hambatan/resistans R dapat diperoleh dengan menghubung-singkatkan sumber tegangan dan kemudian menghitung hambatan equivalen dari untai ini pada terminal ab
(8) Jawab (cont.): R = 3 + (3)(6) = 5 Ω 9 Ketika suatu untai hubung singkat diterapkan pada terminal, arus I sc dihasilkan dari dua sumber. Dengan mengasumsikan bahwa arus tersebut melalui hubung singkat dari a ke b, kita dapatkan dengan menggunakan superposisi: I sc = I = 6 6 + 3 20 3 + 3+6 9 3 3 + 3 10 6 + 3+3 6 = 2 A
(9) Jawab(cont): Gambar berikut menunjukkan dua buah untai yang equivalen. Pada kasus ini kita mendapatkan V, R, dan I secara independen.
(10) Kegunaan dari untai ekuivalen menjadi jelas apabila suatu untai aktif ditinjau di bawah suatu kondisi dengan sejumlah beban yang direpresentasikan dengan sejumlah resistor. Hal ini digambarkan sebagai berikut, dengan resistor R 1, R 2,...,R n dapat disambungkan secara bersamaan dan arus serta daya yang dihasilkan dapat dihitung. Bila hal ini dicoba dihitung dari untai aslinya, tugas ini menjadi berat dan menghabiskan waktu.
(1) Saat dibutuhkan untuk mendapat transfer daya maksimum dari suatu untai aktif ke resistor beban eksternal R L. Dengan mengasumsikan bahwa untai tersebut linear, untai dapat direduksi menjadi suatu untai ekuivalen seperti gambar berikut.
(2) Maka, I = V R + R L dan daya yang diserap oleh beban adalah P L = V 2 R L (R + R L ) 2 = V 2 4R (1 R L (R R ) 2 ) + R L Terlihat bahwa P L mencapai nilai maksimunya V 2 /4R saat R L = R, dalam kasus ini daya pada R juga V 2 /4R. Sehingga daya yang tertransfer menjadi maksimal dengan efisiensi 50%. Note : kondisi transfer daya maksimal pada beban tidak sama dengan kondisi pemberian daya maksimal oleh sumber. Kondisi yang kedua terjadi bila R L = 0, sehingga daya yang diberikan pada beban adalah 0 (minimum).