Catatan Kuliah AK5161 MATEMATIKA KEUANGAN AKTUARIA Insure and Invest! disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014
Tentang AK5161 MatKeu Aktuaria A. Jadwal kuliah: Selasa; 13- Kamis; 11- B. Penilaian: 1. Ujian: Ujian 1, Minggu ke-6, 2 Oktober 2014 (30%) Ujian 2, Minggu ke-10, 30 Oktober 2014 (30%) Ujian 3, Minggu ke-15, 4 Desember 2014 (30%) 2. Kuis dan Tugas (10%) C. Buku teks: 1. Sheldon M Ross, 2011, An Elementary Introduction to Mathematical Finance 2. AK5161 MatKeu Aktuaria i K. Syuhada, PhD.
Daftar Isi 1 Kejadian, Peubah Acak, dan Peluang 1 1.1 Pendahuluan........................... 1 1.2 Ruang Sampel dan Peluang................. 2 1.3 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi............ 4 1.4 Ekspektasi.............................. 7 ii
BAB 1 Kejadian, Peubah Acak, dan Peluang Silabus: Kejadian dan peubah acak, fungsi peluang (probability density function), fungsi distribusi (cumulative distribution function), peluang bersyarat, ekspektasi bersyarat, kovariansi dan korelasi). Tujuan: 1. Memahami definisi kejadian dan menentukan peubah acak (p.a) 2. Menghitung fungsi peluang (f.p) dan fungsi distribusi (f.d); f.p ke f.d; f.d ke f.p 3. Menghitung peluang dan ekspektasi bersyarat suatu p.a dari distribusi diskrit atau kontinu 4. Memahami konsep dan menghitung kovariansi dan korelasi 1.1 Pendahuluan Kegiatan asuransi berkaitan dengan keinginan untuk mengatur dan memindahkan risiko kepada pihak lain. Dalam praktiknya, perhitungan yang cermat tentang 1
besar premi dan total jumlah biaya serta klaim yang kembali sangat diperlukan. Saat ini praktik asuransi mulai digabungkan dengan investasi. Hal ini dimaksudkan untuk menumbuhkan iklim asuransi dengan keuntungan dari investasi. Kuliah Matematika Keuangan Aktuaria mengajak kita untuk memahami konsep dan menghitung nilai uang, opsi dan, secara umum, bermain peluang. 1.2 Ruang Sampel dan Peluang Ruang sampel dan Kejadian Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Ruang sampel S adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Anggota dari S disebut kejadian elementer. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel atau koleksi dari kejadian-kejadian elementer. Peluang Peluang kejadian A adalah P (A) = lim n n(a) n Misalkan S adalah ruang sampel, A adalah kejadian. Peluang kejadian A adalah P (A) = n(a) n(s) Peluang atau ukuran peluang P pada lap-σ A adalah suatu pemetaan dari A terhadap selang [0, 1] yang memenuhi tiga aksioma berikut: AK5161 MatKeu Aktuaria 2 K. Syuhada, PhD.
1. 0 P (A) 1, untuk setiap A A 2. P (S) = 1 3. Untuk himpunan terhitung kejadian-kejadian saling asing A 1, A 2,..., ( P i=1 A i ) = P (A i ) i=1 Teorema 1. P (A c ) = 1 P (A) 2. Jika A B maka P (A) P (B) 3. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Latihan 1. Seorang agen asuransi menawarkan asuransi kesehatan kepada calon nasabah. Nasabah dapat memilih tepat 2 jenis asuransi dari pilihan A, B, C atau tidak memilih sama sekali. Proporsi nasabah memilih jenis asuransi A, B dan C, berturut-turut, adalah 1/4, 1/3 dan 5/12. Hitung peluang seorang nasabah memilih untuk tidak memilih jenis asuransi. 2. Catatan dalam perusahaan asuransi otomotif memberikan informasi bahwa (i) setiap pelanggan mengasuransikan setidaknya satu mobil (ii) 70% pelanggan mengasuransikan lebih dari satu mobil, dan (iii) 20% mengasuransikan jenis sports car. Dari pelanggan yang mengasuransikan lebih dari satu mobil, 15% mengasuransikan sports car. Hitung peluang bahwa seorang pelanggan yang terpilih secara acak mengasuransikan tepat satu mobil dan ini bukan sports car. AK5161 MatKeu Aktuaria 3 K. Syuhada, PhD.
1.3 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi Peubah Acak Peubah acak tidaklah acak dan bukanlah peubah Peubah acak adalah fungsi yang memetakan anggota S ke bilangan real R P.A. Diskrit Peubah acak X dikatakan diskrit jika terdapat barisan terhitung dari bilangan {a i, i = 1, 2,... } sedemikian hingga P ( {X = a i } ) = i i P (X = a i ) = 1 Catatan: Sebuah peubah acak diskrit tidak selalu berasal ruang sampel diskrit. F X disebut fungsi distribusi (diskrit) dari X jika terdapat barisan terhitung {a i, i = 1, 2,... } dari bilangan real dan barisan {p i, i = 1, 2,... } dari bilangan positif yang bersesuaian sedemikian hingga p i = 1 dan i F X (x) = a i x p i Jika diberikan himpunan terhitung {a i, i = 1, 2,... } dan bilangan positif {p i, i = 1, 2,... } sdh i p i = 1, fungsi peluang p X (x) adalah p X (x) = p i = P (X = a i ), dengan x = a i AK5161 MatKeu Aktuaria 4 K. Syuhada, PhD.
Fungsi distribusi (kumulatif): F (x) = P (X x) Sifat-sifat: (a) F fungsi tidak turun (b) lim x F (x) = 1 (c) lim x F (x) = 0 (d) F fungsi kontinu kanan Catatan: P (a < X b) = F (b) F (a) P (X b) P (X < b) P (X < b) = P ( { 1 }) lim X b n n = lim P ( X b 1 ) n n = lim F ( b 1 ) n n P.A. Kontinu Misalkan X peubah acak dan fungsi distribusinya F X dapat diturunkan. Fungsi peluang f X adalah turunan dari fungsi distribusi, f X (x) = d dx F X(x) atau dengan kata lain F X (x) = x f X (t) dt Definisi: Jika X adalah peubah acak sedemikian hingga fungsi peluangnya ada (turunan dari fungsi distribusi) maka X dikatakan sebagai peubah acak AK5161 MatKeu Aktuaria 5 K. Syuhada, PhD.
kontinu. Catatan: 1 = F X ( ) = P (a X b) = F X (b) F X (a) = P (X = a) = a a f X (t) dt = 0 f X (t) dt b a f X (t) dt Latihan 1. Tentukan fungsi peluang dari fungsi distribusi berikut: 0, x < 3.1 3/5, 3.1 x < 0 F (x) = 7/10, 0 x < 1 1, 1 x 2. Tentukan fungsi peluang dari fungsi distribusi berikut: 0, x < 0 1 + x, 0 x < 1 3 5 F (x) = 3, 1 x < 2 5 9, 2 x < 3 10 1, x 3 AK5161 MatKeu Aktuaria 6 K. Syuhada, PhD.
3. Diketahui fungsi peluang sebagai berikut: p, x = 1.9 0.1, x = 0.1 0.3, x = 20p f(x) = p, x = 3 4p, x = 4 0, yang lain Hitung P ( 1.9 X 3), F (2), F (F (3.1)) 1.4 Ekspektasi Ilustrasi. Seorang peserta kuis diberi dua buah pertanyaan (P-1, P-2), yang harus dijawab dengan urutan yang ditentukan oleh peserta kuis sendiri. Jika dia menjawab P-i, i = 1, 2, terlebih dahulu maka dia dibolehkan menjawab pertanyaan P-j, j i apabila dia menjawab P-i dengan BENAR. Tentu saja jika dia menjawab SALAH maka dia tidak dapat melanjutkan menjawab pertanyaan berikutnya. Peserta kuis akan mendapatkan uang tunai sebesar Rp i jika dia menjawab P-i dengan benar (dia mendapatkan uang sebesar Rp 1 +Rp 2 jika menjawab BENAR untuk kedua pertanyaan). Jika peluang dia tahu jawaban pertanyaan P-i adalah q i, pertanyaan mana yang harus dia jawab pertama kali agar dia dapat memaksimalkan uang tunai yang dapat diraih (expected winnings)? Definisi. Nilai harapan/ekspektasi (expected value/expectation) atau ekspektasi dari peubah acak diskrit/kontinu X adalah E(X) = x x p X (x) AK5161 MatKeu Aktuaria 7 K. Syuhada, PhD.
dan E(X) = x f X (x) dx dimana p X dan f X adalah fungsi peluang dari X. Catatan: 1. Ekspektasi adalah rata-rata tertimbang (weighted average) dari nilai yang mungkin dari X 2. Ekspektasi = mean = momen pertama 3. Ekspektasi suatu peubah acak adalah nilai rata-rata (long-run average value) dari percobaan bebas yang berulang 3. Apakah ekspektasi harus berhingga? (Diskusi!) Sifat-sifat ekspektasi 1. E(g(X)) = g(x) f X(x) dx 2. E(a X + b Y ) = a E(X) + b E(Y ) 3. E(XY ) = E(X) E(Y ), jika X dan Y saling bebas. 4. E(X) = 0 P (X > x) dx, untuk X > 0 (*) 5. E(X r ) = xr f X (x) dx (momen ke-r) 6. E((X µ X ) r ) = (x µ X) r f X (x) dx (momen pusat ke-r) 7. E((X µ X ) 2 ) = V ar(x) = E(X 2 ) (E(X)) 2 Deviasi standar dari X adalah akar kuadrat Variansi dari X. 8. E(e tx ) = etx f X (x) dx = M X (t) (fungsi pembangkit momen) 9. M X (0) = E(X), M X (0) = E(X2 ) AK5161 MatKeu Aktuaria 8 K. Syuhada, PhD.