Modul ke: 02 Pusat Matematika Ekonomi Deret Bahan Ajar dan E-learning
BANJAR / BARISAN Banjar ialah suatu fungsi yang wilayahnya ialah set bilangan alam. Banjar ialah suatu set bilangan bernomor satu, dua, tiga dan seterusnya. Barisan/ banjar (sequence), Un, adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu U n : suku ke n U n = f (n) ; n = bilangan asli Banjar yang berakhir dinamakan banjar berhingga Banjar yang tak berakhir dinamakan banjar tak berhingga 2
1. [n] = 1, 2, 3,..., n,... 2. [1/n] = 1, ½, 1/3,..., 1/n,... 3. [1/2 n ] = ½, ¼, 1/8,..., 1/2 n,... Contoh-contoh banjar: 4. [ {n + (-1) n } / n ] = 0, 3/2, 2/3, 5/4, 4/5, 7/6, 6/7,..., {n + (-1) n } / n,... 5. [a + (n-1) d] = a, a+d, a+2d,..., a + (n-1) d,... 6. [ar n-1 ] = a, ar, ar 2,...,ar n-1,... Jenis barisan/banjar: - Aritmetika (Hitung) - Geometrika (Ukur) - Harmoni Banjar (1) dan banjar (5) adalah banjar hitung. Banjar (2) yang sukunya kebalikan dari suku banjar hitung (1) adalah banjar harmoni. Banjar 6 adalah banjar ukur Suku banjar (2) dan (3) mendekati 0, dan suku 3 banjar (4) mendekati 1 sebagai limit.
Definisi: Banjar Hitung ialah banjar yang selisih antara dua sukunya yang berikutan/berurutan adalah sama. Selisih itu dinamakan selisih sama yang adalah 1 pada banjar (1) dan d pada banjar (5). Banjar ukur ialah banjar yang nilai bandingnya antara dua sukunya yang berikutan/berurutan sama. Nilai banding (ratio) itu dinamakan nilai banding sama, yang adalah r pada banjar (6) 4
Banjar & Deret Banjar (sequence) perlu dibedakan dari deret (series) yang adalah jumlah suku-suku suatu banjar. Banjar (sequence) khusus seperti (1) dan (5), (2) dan (6) dalam bahasa inggris dinamakan juga progression, yaitu arithmatic progression, harmonic progression, dan geometric progression. Jumlah suku-suku banjar hitung adalah deret hitung (arithmatic series), jumlah suku-suku banjar harmoni adalah deret harmoni (harmonic series), dan jumlah suku-suku banjar ukur adalah deret ukur (geometric series). 5
DERET Deret (series), S n, adalah jumlah semua suku dari suatu barisan Deret ialah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur. Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk sebuah deret dinamakan suku/ banjar/barisan. Jenis deret : deret hitung (arithmatic series), deret ukur (geometric series). deret harmoni (harmonic series), 6
a + (a+d) + (a+2d) +... + a+(n-1)d adalah deret hitung berhingga dengan n suku 1 + ½ + 1/3 +... + 1/n adalah deret harmoni berhingga dengan n suku. Nama deret harmoni dan banjar harmoni adalah dari terbaginya panjang kawat gitar atau piano menurut angka-angka yang sama, pada nada-nada harmoni. Rumus untuk jumlah deret harmoni belum ada. a + ar + ar 2 +... + ar n-1 +... adalah deret ukur tak berhingga dengan tak berhingga suku. 7
RUMUS BARISAN & DERET ARITMETIKA Barisan :Un = a + (n 1)b Un : suku ke n a = U 1 = suku pertama b = beda/selisih = U n U n-1 Deret : S n = n/2 (a + U n ), atau S n = n/2 (2a + (n 1) b) Sn : jumlah n suku pertama Hubungan barisan dan deret : U n = S n S n-1 8
Proses pencarian rumus Contoh: 5, 10, 15, 20, 25, 30,,. x a U 2 U 3 U 4 U 5 U 6 U n Perhatikan: ternyata besarnya selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan (b) adalah 5. Suku pertama, yaitu U 1 atau a, adalah 5. Selanjutnya berturut-turut dapat dihitung : U 1 = a = 5 U 2 = a + b = 5 + 5 = 10 U 3 = a + 2b = 5 + 10 = 15 U 4 = a + 3b = 5 + 15 = 20... U n = a + (n 1)b = x 9
Besarnya suku ke-n adalah: U n = a + (n 1)b Jumlah nilai-nilainya sampai dengan suku ke n adalah: S n = n/2 (a + U n ) atau S n = n/2 {2a + (n 1)b} a : besarnya suku pertama atau S 1 b : selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan (beda) n : banyaknya suku U n : besarnya atau nilai suku ke n S n : jumlah nilai-nilai sampai dengan suku ke n. 10
KASUS 1. Cari suku ke 10 dan jumlah dari 15 suku pertama barisan 3, 7, 11.. 2. Cari suku ke 8 dan jumlah dari 10 suku pertama dari barisan aritmetika jika nilai suku ke 2 = 8 dan suku ke 5 = 17 3. Penjualan bulan Januari sebesar 4.000 unit dan tiap bulan penjualan turun sebesar 100 unit. Berapakah : a. Jumlah penjualan pada bulan Oktober b. Total penjualan sampai dengan Desember 4. Diketahui U n = 3n 2 + 4n, tentukan suku ke 7 11
BARISAN & DERET GEOMETRIKA Barisan :U n = ar n-1 U n : suku ke n S n : jumlah dari n suku pertama a = U 1 = suku pertama r = rasio = U n /U n-1 Deret : S n = a(r n 1)/(r 1) jika r > 1 S n = a(1 r n )/(1 r) jika r < 1, r 0 S n = a/(1 r) jika n = ~ S n : jumlah dari n suku pertama 12
Proses pencarian rumus Contoh : 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, x a U 2 U 3 U 4 U 5 U 6 U 7 U n Besarnya hasil bagi antara nilai-nilai dua suku yang beurutan (p) yaitu antara suatu suku dengan suku di depannya adalah 2. Suku pertama, yaitu U 1 atau a, adalah 5. Selanjutnya berturutturut dapat dihitung: U 1 = a = 5 U 2 = ap = 5. 2 = 10 U 3 = ap 2 = 5. 2 2 = 20 U 4 = ap 3 = 5. 2 3 = 40... U n = ap n-1 = x 13
Besarnya suku ke - n adalah: U n = ap n - 1 Jumlah nilai-nilainya sampai dengan suku ke - n adalah S n = a ( 1 - p n ) 1 - p a : besarnya suku pertama p : hasil bagi antara nilai-nilai dua suku yang berurutan (pengganda) n : banyaknya suku U n : besarnya suku ke n S n : jumlah nilai-nilai sampai dengan suku ke n. 14
KASUS 1. Carilah suku ke 3 dan jumlah dari 7 suku pertama barisan 8, 16, 32.. 2. Carilah suku ke 10 dan jumlah dari 12 suku pertama dari barisan geometri jika suku ke 2 = 8 dan suku ke 5 = 64 3. Produksi tahun pertama sebesar 7.000 unit dan tiap tahun terjadi kenaikan 5%. Berapa : a. Jumlah produksi tahun ke 5 b. Total produksi dalam 8 tahun pertama 15
Terima Kasih Mafizatun Nurhayati, SE. MM.