BAB II KAJIAN TEORI A. Probabilitas Teorema 2.1 (Walpole, 1992) Probabilitas menunjukan suatu percobaan mempunyai hasil percobaan yang berbeda dan masing-masing mempunyai kemungkinan yang sama untuk terjadi, dan bila tepat itu menyusun kejadian, maka probabilitas kejadian di antara hasil percobaan adalah (2.1) dengan : : probabilitas peristiwa akan terjadi : banyaknya peristiwa A : banyaknya peristiwa yang mungkin terjadi Contoh 2.1 Akan dicari peluang memperoleh kartu hati bila sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge? Penyelesaian Dalam seperangkat kartu bridge terdapat 52 kartu, dan 13 diantaranya kartu hati. Maka, peluang memperoleh kartu hati adalah 6
Jadi peluang diperolehnya kartu hati adalah B. Variabel acak Definisi 2.1 (Walpole, 1992) Variabel acak adalah suatu fungsi yang nilainya berupa bilangan nyata yang ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang sampel. Definisi 2.2 (Walpole, 1992)Variabel Diskrit adalah bila suatu ruang sampel mengandung jumlah titik sampel yang berhingga atau suatu barisan unsur yang tidak pernah berakhir tetapi yang sama banyaknya dengan bilangan cacah. Definisi 2.3 (Walpole, 1992)Variabel Kontinu adalah suatu ruang sampel yang mengandung takhingga banyaknya titik sampel yang sama dengan banyaknya titik pada sebuah ruas garis. Berdasarkan banyak titik sampel dan ruang sampel X melambangkan suatu variabel acak diskrit dan x menyatakan salah satu diantara nilai-nilai nya. Misal pada suatu percobaan mengambil 2 buah kelereng warna merah pada suatu kantong yang berisi 4 kelereng merah dan 2 kelereng hitam, maka hasil percobaan yang mungkin berikut nilai x bagi variabel acak X. 7
Tabel 2. 1 Nilai Variabel Acak X Ruang Sampel X MM 2 MH 1 HM 1 HH 0 M : Kelereng merah H : Kelereng hitam X : Banyaknya kelerang merah muncul C. Sifat variabel acak Definisi 2.5 (Bain, 1992) definisi ekspektasi dan variansi sebagai berikut: Suatu variabel acak X dengan fungsi kepadatan probabilitas f (x), maka nilai ekspektasi dari X didefinisikan sebagai berikut : 2 (2.2) Jika X variabel acak dengan fungsi kepadatan probabilits f(x) dan g(x) adalah fungsi real dengan dominan elemen dari X, maka : 2 (2.3) 8
Teorema 2.2 (Bain, 1992) Jika X variabel acak dengan fungsi kepadatan probabilitas f(x), a dan b suatu konstanta g(x) dan h(x) fungsi real dengan domain elemen X, maka: (2.4) Berikut adalah sifat-sifat ekspetasi: a. b. c. dan adalah konstan d. jika dan independen Variansi dari variabel acak dapat didefinisikan sebagai: dimana maka (2.5) Variansi dari variabel didefinisikan sebagai 9
(2.6) D. Estimasi kuadrat terkecil bersyarat Teorema 2.5 (Klimko, 1978) Ekspetasi bersyarat memprediksi nilai dan eror berdasar syarat pada nilai awal yang telah ditentukan dari data. Misal diberikan ekspektasi bersyarat ( ) maka dengan parameter yang dinotasikan, estimator dapat dicari dengan meminimalkan jumlah kuadrat bersyarat. ( ) (2.7) atau dapat dinyatakan sebagai berikut : Model sebenarnya : Model perkiraan : Kesalahan error i : Jumlah kesalahan kuadrat : Jadi, metode kuadrat terkecil adalah metode menghitung dan sedemikian rupa sehingga minimum. Caranya adalah dengan membuat turunan parsial terhadap kemudian terhadap dan mensamadengankan nol, sehingga diperoleh : 10
E. Gerak Brown Suatu proses stokastik, dikatakan gerak Brown jika memenuhi : 1. Perubahan selama periode waktu adalah (2.8) merupakan sampel acak dari distribusi normal standar dengan mean 0 dan variansi 1, maka nilai mean dari adalah 0, devisiasi standar, dan variansinya. Jadi berdistribusi normal dengan mean 0 dan variansi. Jika,, maka berdistribusi normal dengan mean 0 dan variansi. 2. mengalami kenaikan independen, yaitu tidak bergantung pada keadaan yang lalu. 3. kontinu dengan merupakan fungsi kontinu dari Perubahan yang kecil merupakan suatu limit yang mendekati 0. Misalnya perubahan yang terjadi adalah suatu limit, maka didapat. Saat waktu kontinu, gerak Brown merupakan suatu limit. Jadi untuk persamaan menjadi. Gerak Brown disebut juga proses winner, gerak Brown mempunyai drift rate 0 dan variansi 1. Drift rate 0 maksudnya nilai ekspektasi untuk waktu yang akan datang sama dengan waktu sekarang. Sedangkan rate variansi 1 memiliki arti perubahan m dalam suatu interval waktu 11
. Proses winner ini digeneralisasikan pada variabel yang dapat didefinsikan dengan : (2.9) (2.10) dengan dan konstan Jika, maka sehingga mempunyai ekspektasi per unit waktu. adalah nilai pada saat Pada interval waktu, kenaikan dari dinyatakan sebagai, maka merupakan penambahan variabilitas pada. Banyaknya variabilitas adalah kali proses wiener. Dalam interval waktu yang singkat, maka perubahan adalah (2.11) dengan merupakan sampel random berdistribusi normal standar dengan mean 0 dan variansi 1, sehingga berdistribusi normal dengan mean, standar deviasi dan variansinya. 12
Model ini dapat diperluas dengan parameter dan yang merupakan fungsi dari nilai variabel pada waktu. Proses ini dinyatakan dengan persamaan: (2.12) F. Persamaan diferensial biasa Persamaan diferensial biasa merupakan sebuah bentuk persamaan yang mempunyai turunan satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas suatu fungsi (Ross, 1984). Misalkan adalah fungsi dari yang terdiferensial dan merupakan fungsi dan dengan maka: (2.13) dengan syarat awal dengan syarat awal. merupakan persamaan diferensial biasa disebut solusi bila memenuhi persamaan dengan syarat awal. G. Persamaan diferensial Stokastik Persamaan deferensial stokastik secara umum mempunyai bentuk umum sebagai berikut (Ross, 1996). (2.14) dapat juga ditulis dalam bentuk diferensial sebagai berikut : 13
(2.15) dengan nilai awal dan adalah gerak brown Formula Ito Misalkan adalah solusi dari persamaan diferensial, dan fungsi deterministik yang terdiferensial kontinu terhadap (2.16) dengan ( ) yang perhitunganya berdasarkan Integral Ito Intergral stokastik Ito dari proses sederhana deterministik, didefenisikan sebagai. Terdapat sifatsifat dari Integral stokastik Ito untuk proses sederhana sebagai berikut: a. Linear. Misalkan dan adalah proses sederhana dan merupakan konstanta, maka ( ) (2.17) b. Ekspektasi dari integral stokastik Ito adalah nol, yaitu * + (2.18) c. Integral stokastik Ito memenuhi sifat isometrik, yaitu 14
[( ) ] (2.19) H. Proses Markov Proses Markov merupakan proses stokastik masa lalu yang tidak memiliki pengaruh pada masa depan bila masa sekarang diketahui Misalkan, maka : { } { } (2.20) Jika, maka : { } { } (2.21) Definisi di atas berlaku juga untuk waktu diskrit bila diganti dengan. Sifat umum dari proses Markov adalah: a. b. c. Proses Markov juga markov bila waktu dibalik d. Bila keadaan sekarang diketahui, masa lalu independen dengan masa akan datang, bila, maka: 15
I. Teori Bunga Bunga sering kali didefinisikan suatu bentuk kompensasi yang harus dibayarkan peminjam untuk pemakaian suatu aset dari pemberi pinjaman selama jangka waktu tertentu. kompensasi yang dipinjamkan akan menghasilkan Bunga (Kellison, 1991). Saat bunga direpresentasikan dalam suatu persentase dari sejumlah modal, nilai tersebut mengacu pada istilah suku bunga. Suku bunga seiring dihitung berdasar periode tahunan. Akan tetapi tidak menutup kemungkinan dapat menentukan suku bunga dalam periode lainya. Banyaknya bunga yang diperoleh dari waktu ke waktu adalah (2.22) dengan adalah nilai akumulasi rekening pada waktu, dan adalah nilai akumulasi rekening pada waktu, dan adalah singkatan dari Accumulatian Value atau nilai akumulasi. Suku bunga tahunan yang diperoleh dari waktu ke waktu adalah: (2.23) dengan indeks diukur dalam tahun. Bunga tunggal Bunga tunggal adalah suku bunga yang dapat dihitung secara proposional menurut waktu investasi (Kellison, 1991). Nilai investasi pada waktu tertentu merupakan jumlahan dari modal awal sebesar ditambah dengan akumulasi 16
suku bunga yang proposional menurut waktu. Sehingga untuk tahun keseluruhan investasi dapat dirumuskan sebagai berikut: (2.24) dengan : nilai investasi pada saat jatuh tempo ke- : nilai investasi pada saat jatuh tempo ke-0 : suku bunga : 1, 2, 3,. Contoh 2.2 A menginvestasikan uangnya sebesar Rp. 3.000.000,00 selama 5 tahun dengan suku bunga tunggalnya sebesar 10% per tahun. Hitung banyaknya uang yang diperoleh pada tahun ke 5? Penyelesaian Diketahui : Rp. 3.000.000,00 : 0,1 : 5 maka, 17
Jadi banyaknya uang yang diterima oleh A pada tahun ke 5 setelah investasi adalah Rp. 4.500.000,00 Bunga majemuk Bunga majemuk merupakan suku bunga yang didapatkan selama tahun sebelumnya mendapat bunga juga pada tahun-tahun berikutnya, asalkan bunga tersebut tidak diambil. Jadi dapat dikatakan bunga majemuk merupakan bunga berbunga. Bunga majemuk dapat dirumuskan sebagai berikut (Kellison, 1991): (2.25) : nilai investasi pada saat jatuh tempo ke- : nilai investasi pada saat jatuh tempo ke-0 : suku bunga : 1, 2, 3,. Contoh 2.3 A menginvestasikan uangya sebesar Rp. 3.000.000,00 dalam jangka waktu 5 tahun dimana untuk suku bunga tunggalnya sebesar 10% per tahun. Hitung banyaknya uang yg diperoleh pada tahun ke 5? 18
Penyelesaian Diketahui : Rp. 3.000.000,00 : 0,1 : 5 maka, Jadi banyaknya uang yang diterima oleh A pada tahun ke 5 setelah investasi adalah Rp. 4.831.530,00 Suku bunga efektif Suku bunga efektif adalah sejumlah uang yang akan dibayarkan pada setiap satuan periode waktu untuk setiap unit modal yang dipinjam dimana bunga tersebut hanya dibayarkan sekali, yaitu pada akhir periode pengukuran. Suku bunga efektif disimbolkan (Kellison, 1991). 19
Suku bunga nominal Suku bunga nominal adalah suku bunga yang dibayarkan beberapa kali dalam satu periode ukuran (Kellison, 1991). Simbol untuk suku bunga nominal yang dibayarkan kali setahun adalah, dengan adalah bilangan bulat positf lebih dari 1. Hubungan antara suku bunga efektif dan suku bunga nominal sebagai berikut: * + (2.26) Dari persamaan (2.26) dapat dihitung suku bunga efektif dengan rumus: * + (2.27) Sedangkan untuk menghitung suku bunga nominal dengan rumus: [( ) ] (2.28) Contoh 2.4 Apabila suku bunga nominal per kuartalnya adalah 3,75%, yang mana dalam satu tahun terdiri dari 4 kuartal, Berapakah besarnya suku bunga efektif? Penyelesaian Diketahui 20
maka, 0 1 [ ] Jadi suku bunga efektifnya adalah 3,803 % Nilai akumulasi Nilai akumulasi rupiah yang dihitung berdasarkan bunga majemuk setelah tahun dengan suku bunga mengikuti rumus: (2.29) berikut: Secara umum nilai uang pada masa depan dihitung dengan rumus sebagai (2.30) dengan, : 1, 2, 3, J. BI rate BI rate merupakan suku bunga Indonesia yang menggambarkan sikap kebijakan moneter yang ditetapkan oleh bank Indonesia dan dipublikasikan 21
kepada masyarakat. BI rate diumumkan oleh Dewan gubernur Bank Indonesia setiap Rapat Dewan Gubernur bulanan dan diimplementasikan pada operasi moneter yang dilakukan Bank Indonesia melalui pengelolaan likuiditas (liquidity management) di pasar uang untuk mencapai sasaran operasional kebijakan moneter. Sasaran operasional kebijakan moneter dicerminkan pada perkembangan suku bunga Pasar Uang Antar Bank Overnight (PUAB O/N). Pergerakan di suku bunga PUAB ini diharapkan akan diikuti oleh perkembangan di suku bunga deposito, dan pada gilirannya suku bunga kredit perbankan. Dengan mempertimbangkan pula faktor-faktor lain dalam perekonomian, Bank Indonesia pada umumnya akan menaikkan BI Rate apabila inflasi ke depan diperkirakan melampaui sasaran yang telah ditetapkan, sebaliknya Bank Indonesia akan menurunkan BI Rate apabila inflasi ke depan diperkirakan berada di bawah sasaran yang telah ditetapkan. Pada penelitian ini digunakan data BI Rate untuk memprediksi pergerakan suku bunga yang akan datang. K. Mortalita Perusahaan asuransi maupun perusahaan dana pensiun menggunakan perhitunganya dari tabel mortalita. Tabel mortalita berisikan peluang seorang meninggal menurut umurnya dari kelompok orang yang di asuransikan (Sembiring, 1986). Secara sederhana, menggambarkan banyaknya peluang orang yang hidup dari usia 0 sampai batas usia, yaitu sampai batas dimana umur tersebut banyaknya orang yang hidup sebanyak 0 orang. 22
Notasi menandakan banyaknya orang yang lahir pada tahun tertentu. adalah mereka yang mencapai umur 1 tahun dari, adalah mereka yang mecapai umur 2 tahun dari, begitu seterusnya hingga didapat definisi umum yaitu meraka yang mencapai umur tahun dari. Sedangkan untuk peluang seorang berusia 0 tahun dapat bertahan hidup hingga suatu fungsi harapan hidup yaitu disimbolkan dengan tahun ke depan merupakan yaitu: (2.31) selanjutnya, jumlah orang yang meninggal dari orang sebelum mencapai usia dinyatakan dengan symbol yaitu: (2.32) kemungkinan bahwa orang yang berusia akan bertahan hidup paling tidak 1 tahun, yaitu mencapai umur dituliskan sebagai berikut: (2.33) dan peluang seorang berumur akan bertahan hidup sampai umur dapat dituliskan sebagai berikut: (2.34) untuk peluang seseorang yang berusia akan meninggal sebelum mencapai, atau peluang seseorang yang berusia meninggal antara usia dan tahun dinyatakan dalam simbol sebagai berikut: 23
(2.35) dan peluang seseorang yang berusia meninggal dalam kurun waktu tahun ditulis sebagai berikut: (2.36) peluang seseorang yang berumur tahun akan bertahan hidup untuk tahun berikutnya dan meninggal pada tahun ke dapat ditulis sebagai berikut: (2.37) dan peluang seseorang yang berumur akan meninggal diantara umur dan dapat ditulis sebagai berikut: (2.38) L. Perkiraan Kenaikan Gaji Pegawai Akumulasi gaji seorang pegawai dapat dihitung dengan memisalkan gaji pegawai pada usia akumulasi gaji seorang pegawai dapat dihitung dengan memisalkan gaji pegawai pada usia dinotasikan dengan maka jumlah gaji pegawai tersebut di usia masuk hingga usia adalah (Sujono, 2013): (2.39) dengan, 24
Jumlah akumulasi gaji pegawai pada usia x tahun Besar akumulasi gaji pegawai pada usia tahun Besar gaji pegawai pada usia tahun M. Anuitas tentu Anuitas adalah rangkaian pembayaran yang jumlah besarnya sama dalam waktu tertentu. Berdasarkan jangka waktu pembayaran anuitas terbagi menjadi dua yaitu anuitas awal dan anuitas akhir. Anuitas awal yaitu rangkaian pembayaran dalam waktu tertentu yang pembayaran dilakukan pada awal periode, untuk nilai tunai anuitas awal di periode dinotasikan yang merupakan nilai dari seluruh pembayaran pada awal periode. Sedangkan nilai akhir anuitas awal periode biasa dinotasikan adalah nilai dari seluruh rangkaian pembayaran di awal tahun. (2.40) { }. / 25
(2.41) dengan dan adalah suku diskon Anuitas akhir yaitu rangkaian pembayaran dalam waktu tertentu yang pembayaranya di akhir periode. Nilai tunai anuitas akhir periode dinotasikan adalah nilai dari seluruh pembayaran pada waktu awal periode. Sedangkan nilai akhir anuitas akhir periode dinotasikan adalah nilai dari seluruh rangkaian pembayaran di akhir tahun ke-n. (2.42) (2.43) Contoh 2.5 Hitunglah rangkaian pembayaran di awal tahun dan rangkaian pembayaran di akhir tahun untuk Rp. 1.000,00 selama 5 tahun dengan suku bunga 2%? Penyelesaian Untuk anuitas awalnya ( ) 26
untuk anuitas akhirnya Jadi, rangkaian pembayaran di awal tahun dan rangkaian pembayaran di akhir tahun untuk Rp. 1.000,00 selama 5 tahun dengan suku bunga 2% adalah Rp. 4.807,73 dan Rp. 5.204,04. 1. Anuitas hidup Anuitas hidup adalah serangkaian pembayaran yang dilakukan pada interval yang sama selama masa hidup seseorang. Nilai anuitas hidup dibagi menjadi dua yaitu nilai anuitas hidup awal yang dinotasikan dan nilai tunai anuitas hidup akhir yang dinotasikan. Menurut (Winklevoss, 1993) untuk menentukan anuitas hidup awal dan anuitas hidup akhir dapat dihitung menggunakan rumus, nilai tunai anuitas hidup awal (2.44) dan nilai tunai anuitas hidup akhir 27
(2.45) dengan, : peluang komulatif seorang pegawai akan tetap bekerja pada usia hingga usia tahun : faktor diskonto dari usia peserta tahun sampai usia pensiun normal tahun, yang mana ekuivalen dengan, dengan adalah suku bunga : banyaknya penduduk saat usia : banyaknya penduduk meninggal saat usia 2. Anuitas hidup sementara Anuitas hidup sementara merupakan serangkaian pembayaran yang dilakukan selama paling lama n tahun yang dilakukan di awal ataupun di akhir tahun dengan syarat seseorang masih hidup. Nilai tunai anuitas hidup awal adalah nilai saat ini dari seluruh anuitas hidup yang akan dibayar dimasa yang akan hidup (Darmanto, 2012) 28
Anuitas hidup sementara dapat dihitung dengan rumus (Winklevoss, 1993): (2.46) dengan, : anuitas sementara pada usia hingga usia pensiun : besarnya gaji saat usia : besarnya gaji saat usia : peluang kumulatif seorang pegawai akan tetap bekerja pada usia hingga usia tahun : faktor diskonto dari usia peserta tahun sampau usia pensiun normal tahun, yang mana ekuivalen dengan, dengan adalah suku bunga dapat juga ditulis sebagai berikut dengan, : anuitas sementara pada usia hingga usia pensiun : banyaknya penduduk saat usia 29
: banyaknya penduduk meninggal saat usia : banyaknya penduduk saat usia N. Manfaat (Benefit Accrual) Manfaat atau benefit adalah sejumlah uang yang diterima pegawai yang telah mencapai usia pensiunya dan akan diberikan setiap tahunnya hingga meninggal dunia. Fungsi manfaat digunakan untuk menentukan jumlah manfaat yang dibayarkan pada saat pensiun. Terdapat tiga jenis rumus manfaat yang paling umum digunakan dalam program pensiun maanfat pasti, yaitu berdasarkan penghasilan tetap, gaji terakhir, rata-rata gaji selama bekerja, dan rata-rata gaji selama beberapa tahun terakhir. ` Dalam penelitian ini penulis menggunakan benefit accrual dengan ratarata gaji selama bekerja atau sering disebut Career average dalam perhitungan manfaat, jumlah benefit accrual yang dibayarkan setiap tahunya berdasarkan persentase tetap dari rata-rata gaji pegwai dalam setahun (Winklevoss, 1993). Berikut persamaan umumnya: (2.47) untuk besarnya akumulasi manfaat saat usia (2.48) dengan, 30
proporsi gaji setiap tahun yang dibayarkan sebagai benefit accrual, jumlah akumulasi besarnya manfaat yang diterima sejak usia hingga usia besarnya manfaat yang diterima pada usia besarnya gaji saat usia jumlah akumulasi besarnya gaji saat usia O. Kewajiban Aktuaria Kewajiban aktuaria adalah kewajiban dana pensiun yang dihitung berdasarkan anggapan bahwa dana pensiun terus berlanjut sampai dipenui seluruh kewajiban kepada peserta dan pihak yang berhak. Kewajiban aktuaria sama dengan nilai tunai (present value) dari manfaat yang dialokasikan setiap tahun masa kerja sampai tiba masa pensiun, yang didefinisikan sebagai berikut (Winklevoss, 1993) (2.49) dengan, : kewajiban aktuaria peserta aktif yang berusia tahun, dengan pensiun normal tahun : besar manfaat pensiun yang diterima peserta pada saat tahun 31
: peluang peserta berusia tahun yang akan bekerja sampai pensiun normal tahun : faktor diskonto dari usia peserta tahun sampai usia pensiun normal tahun, yang mana ekuivalen dengan, dimana adalah suku bunga : nilai tunai anuitas awal seumur hidup yang pembayaranya dimulai saat usia pensiun normal tahun Rumus diatas dapat diartikan bahwa pada saat sekarang telah terkumpul sebesar yang akan diberikan pada saat usia pensiun normal tahun yang mempunyai nilai tunai pada saat usia peserta tahun sebesar. Dengan kata lain, kewajiban aktuaria merupakan dana yang harus tersedia saat ini oleh Dana Pensiun untuk membayar manfaat pensiun kepada peserta berusia tahun. Kewajiban aktuaria dapat juga ditunjukan sebagai bagian dari present value of future benefit (PVFB), yaitu nilai tunai dari manfaat pensiun yang akan datang yang dialokasikan berdasarkan metode penilaian actuarial yang digunakan. Fungsi ( ) sama dengan nilai tunai dari total seluruh manfaat pensiun peserta yang dinilai pada saat ini (2.50) dengan, 32
: nilai tunai dari manfaat pensiun yang akan dating peserta yang berusia tahun, dengan usia pensiun normal tahun : besar manfaat pensiun yang diterima peserta pada saat pensiun normal tahun : peluang peserta berusia tahun yang akan bekerja sampai pensiun normal tahun : faktor diskonto dari usia peserta tahun sampai usia pensiun normal tahun, yang mana ekuivalen dengan, dimana adalah suka bunga : nilai tunai anuitas awal seumur hidup yang pembayaranya dimulai saat usia pensiun normal tahun Nilai akan sama dengan nilai yang dinilai dengan bukan karena kewajiban akturaia menununjukan bagian dari yang dialokasikan menurut metode perhitungan aktuaria yang digunakan. Sehingga fungsi dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut: (2.51) Dimana adalah bilangan pecahan yang tergantung pada tiap-tiap metode perhitungan aktuaria. 33
P. Mean Square Error (MSE) Mean Squared Error (MSE) adalah metode untuk mengukur ke akuratan peramalan. Masing-masing kesalahan atau sisa dikuadratkan, kemudian dijumlahkan dan ditambahkan dengan jumlah observasi. Adapun perumusan untuk MSE adalah (Hanke, 2005) ( ) (2.52) dengan, MSE : Nilai error kuadrat rata-rata antara dan : banyaknya observasi yang dilakukan : Nilai sesungguhnya pada waktu : Nilai peramalan pada waktu Q. Tabel Penyusutan Jamak dan Service Table (Tabel Pelayanan) 1. Tabel Penyusutan Jamak Tabel penyusutan jamak merupakan perluasan dari tabel mortalita. Jika tabel mortalita merupakan tabel penyusutan yang hanya disebabkan oleh satu faktor penyebab saja, yaitu kematian maka tabel penyusutan jamak merupakan tabel penyusutan yang dikarenakan lebih dari satu faktor penyebab. Misalkan terdapat penyebab penyusutan dan (Catarya, 1998) 34
: Jumlah orang yang bertahan pada usia tahun dan akan mengalami penyusutan diakibatkan oleh faktor penyebab penyusutan : Banyak orang yang mengalami penyusutan diantara usia dan, dengan diakibatkan oleh faktor penyebab penyusutan. : Jumlah orang yang mengalami penyusutan diantara usia dan yang diakibatkan oleh faktor penyebab penyusutan. maka jumlah orang yang akan mengalami penyusutan dari faktor penyebab antara usia dan adalah (2.53) (2.54) Sedangkan jumlah orang yang akan bertahan pada usia dirumuskan sebagai berikut (2.55) adalah peluang orang berusia akan keluar dari kumpulan orangorang berusia dalam 1 tahun yang diakibatkan oleh faktor penyebab penyusutan, maka (2.56) 35
Dengan menggunakan persamaan (2.56) peluang orang berusia akan keluar dari kumpulan orang-orang berusia dalam 1 tahun, diakibatkan oleh faktor penyebab penyusutan, dimana (2.57) yaitu (2.58) berdasarkan persamaan (2.55), persamaan (2.58) menjadi (2.59) Peluang bahwa seseorang berusia akan tetap berada didalam kumpulan orang-orang berusia paling sedikit satu tahun, diberi simbol, dimana menurut persamaan (2.59), maka (2.60) (2.61) 36
Sedangkan adalah peluang seseorang berusia akan tetap berada di dalam kumpulan orang-orang berusia yang akan mencapai usia. Dari persamaan (2.61), maka (2.62) dan (2.63) dengan peluang seseorang berusia akan keluar dari kumpulan orang-orang berusia dalam tahun. 2. Service Table (Tabel Pelayanan) Tabel pelayanan merupakan aplikasi dari tabel penyusutan jamak. Tabel ini menunjukan situasi penyusutan pegawai pada perusahaan dikarenakan kematian, pensiun dipercepat, cacat dan pensiun normal. Jika : jumlah peserta yang masih aktif bekerja sebanyak pada usia : banyak peserta yang masih aktif bekerja yang meninggal sebanyak diantara usia dan : banyak peserta yang mengundurkan diri diantara usia sebanyak dan 37
: banyak peserta yang masih aktif bekerja yang menjadi cacat sebanyak diantara usia dan : banyaknya peserta yang pensiun normal sebanyak diantara usia dan Berdasarkan persamaan (2.56), peluang seseorang yang berusia akan meninggal sebelum mencapai, atau peluang seseorang yang berusia meninggal antara usia dan tahun dapat dinyatakan bahwa mengalami meninggal karna suatu sebab, berturut-turut dapat dinyatakan sebagai berikut, (2.64) (2.65) (2.66) (2.67) Kemudian dari persamaan (2.58) jumlah peluang meninggal dapat diartikan dengan penyusutan karena keempat penyebab dan peluang seseorang meninggal, sehingga didapatkan, 38
dengan, (2.68) dan (2.69) dengan, : jumlah peserta aktif sebanyak yang keluar dari status dalam satu tahun pada usia : banyak peserta yang masih aktif bekerja yang meninggal sebanyak diantara usia dan : banyak peserta yang mengundurkan diri diantara usia sebanyak dan : banyak peserta yang masih aktif bekerja yang menjadi cacat sebanyak diantara usia dan : banyaknya peserta yang pensiun normal sebanyak diantara usia dan : jumlah peserta yang masih aktif bekerja sebanyak pada usia : peluang peserta yang masih aktif bekerja sebanyak berusia akan keluar dari kumpulan peserta berusia dalam 1 tahun 39
: peluang peserta akan meninggal sebanyak dalam 1 tahun : peluang peserta berusia akan mengundurkan diri sebanyak dalam 1 tahun : peluang peserta berusia akan cacat sebanyak dalam 1 tahun : peluang peserta berusia akan pensiun normal sebanyak dalam 1 tahun Sedangkan jumlah peserta yang masih aktif bekerja pada usia adalah (2.70) dari persamaan (2.70) dapat dicari peluang bertahan peserta * ( )+ ( ) (2.71) Sehingga peluang bertahan peserta dari semua sebab penyusutan yaitu (2.72) dengan, 40
(2.73) Service table selengkapnya dapat dilihat pada lampiran 2. 41