ECONOMICAL MATHEMATICS

Transkripsi

1 12 February 2018 Abdul Aziz, M.Si 1

2 ECONOMICAL MATHEMATICS Abdul Aziz, M.Si Mathematics Department Science and Technology Faculty State of Islamic University Maulana Malik Ibrahim Malang 2

3 Sillabus BAB I APLIKASI DERET 1. Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk 2. Bunga Efektif dan Bunga Nominal 3. Bunga Flat, Efektif, dan Anuitas BAB II APLIKASI FUNGSI POLINOMIAL 1. Fungsi Konsumsi dan Investasi 2. Fungsi Permintaan dan Penawaran 3. Fungsi Marginal dan Keseimbangan Pasar 4. Fungsi Pajak dan Subsidi 5. Fungsi Biaya, Laba, dan BEP 3

4 BAB III APLIKASI MATRIKS 1. Model Pasar dan Equilibrium 2. Model Pendapatan Nasional 3. Model IS-LM BAB IV APLIKASI DIFERENSIAL 1. Fungsi Elastisitas Permintaan 2. Fungsi Elastisitas Parsial 3. Fungsi Biaya, Penerimaan, dan Permintaan Marginal 4. Fungsi Biaya, Laba, dan Pajak Maksimum 4

5 BAB V APLIKASI INTEGRAL 1. Fungsi Surplus Konsumen 2. Fungsi Surplus Produsen 3. Model Persediaan dan Penawaran BAB VI APLIKASI FUNGSI LAGRANGE DAN KUHN TUCKER 1. Fungsi Utilitas (Kepuasan Konsumen) 2. Fungsi Keseimbangan Konsumsi 3. Fungsi Keseimbangan Produksi 5

6 BAB I APLIKASI DERET 1. Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk 2. Bunga Efektif dan Bunga Nominal 3. Bunga Flat, Efektif, dan Anuitas 6

7 1. Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk Bunga tunggal atau bunga sederhana adalah perhitungan bunga yang dilakukan hanya berdasarkan pada pokok investasi dan jangka (lama) investasinya. Besarnya bunga tunggal dapat dilakukan dengan menggunakan rumus: I P.. i t 0 dimana: I : Interest value, nilai bunga P 0 : Pokok investasi i : rate of interest annually, tingkat bunga pertahun t : time, jangka waktu (lama) investasi (tahun) sehingga setelah t tahun nilai total investasi menjadi: P P I P Pit P it t

8 Misalkan pokok investasinya sebesar Rp ,- dengan bunga tunggal pertahun sebesar 2% maka setelah 5 tahun investasinya akan menjadi: P ,

9 Bunga majemuk adalah perhitungan bunga yang dilakukan tidak hanya berdasarkan pokok investasi dan jangka (lama) investasinya saja, tetapi juga total investasi pada waktu sebelumnya. Besar bunga majemuk dapat dihitung dengan menggunakan rumus: I P i 0. t sehingga setelah t tahun nilai total investasi menjadi: t P P i Misalkan pokok investasinya sebesarrp ,- dengan bunga majemuk pertahun sebesar 2 % maka setelah 5 tahun investasinya akan menjadi: 1 t 0 P ,

10 Dalam bunga majemuk didefinisikan suatu fungsi diskonto atau discount factor (v) sebagai berikut: v 1 1 i Fungsi ini digunakan untuk pemotongan bunga untuk mengetahui nilai sekarang (present value) atau besarnya investasi awal (P 0 ) jika diharapkan pada t tahun yang akan datang akan menjadi sebesarp t : Pt 1 P P P. v 0 t t 1i 1i Misalkan kita ingin melunasi pinjaman kita sebesar Rp ,- yang jatuh tempo 3 tahun mendatang dengan bunga 2 % pertahun, maka besarnya pelunasan merupakan nilai sekarang dari pinjaman yaitu: t t t 1 P

11 Dan di definisikan suatu fungsi tingkat potongan bunga atau tingkat diskon, d, sebagai berikut: 1 1 i 1 i d 1 v1 1 i 1 i 1 i 1 i Karenav adalah nilai sekarang untuk pembayaran sebesar 1 yang akan dibayarkan pada 1 tahun kemudian, apabila pembayarannya dilakukan 1 tahun lebih cepat, maka besarnya bunga yang hilang adalah d = 1 v. Sehingga terdapat hubungan antara tingkat suku bunga dengan tingkat diskon 1 d 1 i 1 11

12 Contoh 1: Misalkan pokok investasinya adalah sebesar Rp ,- dengan bunga pertahun 13 % maka setelah 5 tahun nilai total investasi ini dapat dihitung sebagai berikut: Pokok Investasi = Rp1,000, Bunga pertahun = 13% Perhitungan Bunga Tunggal Tahun ke- Nilai Investasi Nilai Bunga Total Investasi 0 Rp1,000, Rp0.00 Rp1,000, Rp1,000, Rp130, Rp1,130, Rp1,130, Rp130, Rp1,260, Rp1,260, Rp130, Rp1,390, Rp1,390, Rp130, Rp1,520, Rp1,520, Rp130, Rp1,650, Perhitungan Bunga Majemuk Tahun ke- Nilai Investasi Nilai Bunga Total Investasi 0 Rp1,000, Rp0.00 Rp1,000, Rp1,000, Rp130, Rp1,130, Rp1,130, Rp146, Rp1,276, Rp1,276, Rp165, Rp1,442, Rp1,442, Rp187, Rp1,630, Rp1,630, Rp211, Rp1,842,

13 PERHITUNGAN NILAI DEPOSITO Nilai Tabungan Pokok Rp1,000, Bunga pertahun 13% Perhitungan Bunga pertahun Tahun Bunga Saldo Bunga Saldo Selisih ke- Tunggal Tunggal Majemuk Majemuk 0 Rp0 Rp1,000,000 Rp0 Rp1,000,000 Rp0 1 Rp130,000 Rp1,130,000 Rp130,000 Rp1,130,000 Rp0 2 Rp130,000 Rp1,260,000 Rp146,900 Rp1,276,900 Rp16,900 3 Rp130,000 Rp1,390,000 Rp165,997 Rp1,442,897 Rp52,897 4 Rp130,000 Rp1,520,000 Rp187,577 Rp1,630,474 Rp110,474 5 Rp130,000 Rp1,650,000 Rp211,962 Rp1,842,435 Rp192,435 13

14 Tahun Tunggal Majemuk ke- T Perbulan T Pertahun M Perbulan M Pertahun 0 Rp1,000,000 Rp1,000,000 Rp1,000,000 Rp1,000,000 1 Rp1,130,000 Rp1,130,000 Rp1,138,032 Rp1,130,000 2 Rp1,260,000 Rp1,260,000 Rp1,295,118 Rp1,276,900 3 Rp1,390,000 Rp1,390,000 Rp1,473,886 Rp1,442,897 4 Rp1,520,000 Rp1,520,000 Rp1,677,330 Rp1,630,474 5 Rp1,650,000 Rp1,650,000 Rp1,908,857 Rp1,842,435 14

15 2. Bunga Efektif dan Bunga Nominal Tingkat suku bunga efektif selalu dinyatakan dengan sebuah satuan waktu. Selanjutnya, periode konversi merupakan interval waktu pada akhir dimana bunga dihitung. Tingkat suku bunga dikatakan efektif jika periode konversi dan satu satuan waktunya adalah identik, sehingga bunga pada kasus ini dihitung pada setiap akhir periode satuan waktunya. Jika bunga dihitung sebanyak n kali dalam setahun, maka tingkat suku bunganya adalah tingkat suku bunga pertahun dibagi dengan frekuensi, n, perhitungan bunga pertahun. Tingkat suku bunga yang demikian inilah yang dinamakan dengan bunga nominal, yang ditulis sebagai: i ( n) i n 15

16 Sehingga secara akumulasi terdapat hubungan antara tingkat suku bunga nominal dengan tingkat suku bunga efektif, sebagai berikut: ( n) n sehingga diperoleh: i 1 1 i n ( n) i 1 1 i n Sedangkan hubungannya dengan tingkat diskon ( n) i n i 1 n 1 n 1 1 d sehingga diperoleh dan terdapat hubungan antara tingkat suku bunga nominal dengan tingkat diskon: n ( n) d 1 1 d n ( n) d n 1 1 d 1 ( n) ( n) ( n) ( n) 1 v 1 1 ( n) 1 ( n) i i 1 i i i 1 n 1 n 16

17 Jika frekuensi perhitungan bunga nominal semakin besar dalam satu satuan waktu bunga efektif, maka akan terjadi perhitungan bunga secara kontinu: limi n n ( ) Konvergen pada suatu nilai yang dikatakan sebagai percepatan pembungaan (force of interest) dan ekivalen dengan tingkat suku bunga efektif, i. Perhatikan persamaan i ( n) n 1 i 1 i 1 0 Maka dapat dilihat bahwa δ merupakan derivative dari fungsi (1+ i) x pada titik x = 0. Sehinggadiperoleh ln 1i Dapat digambarkan sebagai pokok investasi sebesar 1, maka dengan bunga efektif pertahun i pada waktu Δt bunga yang diperoleh sebesar δδt. 1 n 17

18 Misalkan tabungan awal S 0 dengan discount rate d maka akan diperoleh bunga dimuka sebesar S 0 d. Dan jika S 0 d ditabung juga akan diperoleh bunga dimuka sebesar S 0 d 2 danseterusnya. Sehingga untuk tabungan bunga sampai takhingga diperoleh bunga pada akhir periode sebesar 2 3 d S0d d d... S0 1 d Jadi, total tabungan akhir periode sebesar d S S d Dengan demikian, sejauh ini dapat dibuktikan adanya hubungan bahwa ( n ) ( n) d d i i Misalkan untuki = 0.05 dan n = 2 terlihat bahwa < < < <

19 3. Bunga Flat, Efektif dan Anuitas Bunga Flat (Flat Rate); bunga setiap periode dihitung sama yaitu dari pokok pinjaman, artinya angsuran bunga (A b ) dan angsuran pokok (A p ) tetap (flat), sehingga total angsuran yang yang dibayarkan setiap periode (A) juga tetap. Bunga Efektif (Sliding Rate); bunga setiap periode dihitung beda yaitu dari sisa pinjaman, artinya angsuran bunga (A b ) menurun tetapi angsuran pokok (A p ) tetap, sehingga total angsuran yang yang dibayarkan setiap periode (A) juga menurun. Bunga Anuitas (Anuity Rate); bunga setiap periode dihitung beda yaitu dari sisa pinjaman, artinya angsuran bunga (A b ) menurun tetapi angsuran pokok (A p ) menaik, sehingga total angsuran yang yang dibayarkan setiap periode (A) juga tetap. Rekening Koran (RC Rate); pembebanan bunga yang tetap setiap bulannya namun tanpa angsuran pokok, angsuran pokok hanya dibayarkan di akhir masa/periode pinjaman. 19

20 Misalkan bunga pertahun i dihitung n kali pertahun selama t tahun, maka angsuran setiap periode yaitu: b i Flat : A t P0 x, A n p t i Efektif : A P x, A n b p t t1 t P0 nt P0 nt i i Anuitas : A P x, A P x / 1 v, A A A n n b nt p b t t1 t 0 t t t 20

21 Metode Perhitungan Bunga Kredit 1. Flat Rate yaitu Pembebanan bunga setiap bulan tetap dari jumlah pinjamannya, demikian juga angsuran (cicilan) pokok juga akan tetap sampai pinjaman lunas. 2. Sliding Rate kadang juga disebut efektif yaitu Pembebanan bunga setiap bulan akan disesuaikan dengan sisa pinjamannya, sehingga angsuran (cicilan) bunga akan menurun seiring dengan berkurangnya nilai pinjaman. Tetapi angsuran pokok akan tetap. 3. RC Rate kepanjangan dari rekening koran yaitu Pembebanan bunga yang tetap setiap bulannya namun tanpa angsuran pokok, biasanya angsuran pokok hanya dibayarkan di akhir masa/periode pinjaman. 4. Annuity Rate Jumlah angsuran yang kita bayar kepada pihak pemberi kredit tetap selama jangka waktu yang telah ditetapkan sebelumnya. Akan tetapi walaupun komposisi besarnya angsuran pokok dengan angsuran bunga akan berbeda setiap bulannya. Tetapi menghasilkan jumlah total angsuran yang sama setiap bulannya, dimana angsuran pokok akan semakin besar sedangkan angsuran bunga akan semakin mengecil. 21

22 Contoh Simulasi Perhitungan Angsuran Pinjaman 22

23 23

24 24

25 25

26 26

27 Contoh Simulasi Perhitungan Angsuran Kredit 27

28 Sebelum membeli Mobil ada baiknya kita mempertimbangkan kodisi keuangan yang kita miliki. Mulai dari kemampuan uang muka/down Payment, Angsuran per bulan dan Lamanya proses kredit berjalan. Disini kita bahas simulasi perhitungan kredit untuk menperkirakan tingkat kesanggupan kita memiliki sebuah kendaraan baru. Persiapan Data: 1. Harga kendaraan 2. Rate Bunga Leasing/Bank, (Standart Leasing 1, 2, 3 tahun = 8%, 9% dan 10%) 3. Asuransi (rate 1,2,3 = 7,5% 8,5% dan 9,5% dikalikan Harga Kendaraan) 4. Biaya Administrasi ( , dan ) 5. Tenor/jangka waktu Kredit (dalam tahun) 6. Total Uang Muka 28

29 Misalkan harga kendaraan baru Rp. 100 juta, masa kredit selama 3 tahun, Berapa uang muka dan angsuran per bulannya. Perhitungan total pembayaran dimuka: 1. DP biasanya 20% dari harga kendaraan DP = x 20% = Pokok Kredit = = Bunga Kredit = x (10%x3 tahun) = Angsuran / bln = ( ) / 36 bln = Besar Klaim Asuransi = 9,5 % X = Biaya Administrasi = Biaya lain, Provisi (biasanya pembiayaan via bank menggunakan ini) 29

30 Mobil bekas bisa pula dibuat perhitungan kredit dan yang perlu diperhatikan adalah used car kondisi layak pakai. Persiapan Data : 1. Harga kendaraan dan kondisi kendaraan yang layak sesuai usianya 2. Rate Bunga Leasing/Bank, Standar Leasing 1, 2, 3 tahun = 10%, 11% dan 12% 3. Asuransi menggunakan asuransi TLO (Total Lost Only) nilainya 1,75%, 2,75% dan 3,75% 4. Biaya Administrasi 1,2 dan 3 tahun biasanya sama Rp Tenor/jangka waktu Kredit ( dalam tahun) 6. Total Uang Muka 30

31 Mislakan harga kendaraan mobil bekas tahun 2000 Rp. 50 juta, masa kredit selama 2 tahun, Berapa uang muka dan angsuran per bulannya. Perhitungan total pembayaran dimuka: 1. DP mobil bekas biasanya 30% = x 30% = Pokok Kredit = = Bunga Kredit = x (11%x2 tahun) = Angsuran perbulan = ( ) / 24 = Rp Asuransi Kombinasi = 2,75 % X = Biaya Administrasi = Provisi = Rp. - 31

32 TERIMA KASIH SELAMAT BELAJAR SEMOGA BERMANFAAT DAN SUKSES 32