RESIDUATION OF MATRICES OVER DIOIDS

dokumen-dokumen yang mirip
PERMANEN DAN DOMINAN SUATU MATRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL

POLINOMIAL ATAS ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL

Simetrisasi Aljabar Max Plus

Nilai Eigen dan Vektor Eigen Universal Matriks Interval Atas Aljabar Max-Plus

Semi Modul Interval [0,1] Atas Semi Ring Matriks Fuzzy Persegi

SISTEM MAKS-LINEAR DUA SISI ATAS ALJABAR MAKS-PLUS 1. PENDAHULUAN

BAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas

MENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS INTERVAL TUGAS AKHIR

ANALISIS EIGENPROBLEM MATRIKS SIRKULAN DALAM ALJABAR MAX-PLUS

RUANG FAKTOR. Oleh : Muhammad Kukuh

HALAMAN PENGESAHAN PROPOSAL PENELITIAN DOSEN YUNOR

SISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS

A-7 KEBEBASAN LINEAR DALAM ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL

2 G R U P. 1 Struktur Aljabar Grup Aswad 2013 Blog: aswhat.wordpress.com

A 10 Diagonalisasi Matriks Atas Ring Komutatif

DIAGONALISASI MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN INTISARI

SISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN. aljabar max-plus bersifat assosiatif, komutatif, dan distributif.

MODUL ATAS RING MATRIKS ( ) Arindia Dwi Kurnia Universitas Jenderal Soedirman Ari Wardayani Universitas Jenderal Soedirman

KETERCAPAIAN DARI RUANG EIGEN MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS. 1. Pendahuluan

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

Sifat Lapangan pada Bilangan Kompleks

Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya

PENERAPAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ITERATIF MAKS-PLUS PADA MASALAH LINTASAN TERPANJANG

SEMI-HOMOMORFISMA BCK-ALJABAR. Deffyana Prastya A. 1 dan Suryoto 2. Program Studi Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. Soedarto, SH, Semarang, 50275

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Invers Tergeneralisasi Matriks atas Z p

KARAKTERISASI PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ATAS ALJABAR SUPERTROPICAL

Generalized Inverse Pada Matriks Atas

AKAR-AKAR POLINOMIAL SEPARABLE SEBAGAI PEMBENTUK PERLUASAN NORMAL PADA RING MODULO

MASALAH VEKTOR EIGEN MATRIKS INVERS MONGE DI ALJABAR MAX-PLUS

MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR

PROSIDING ISBN : Dhian Arista Istikomah, S.Si, M.Sc 1. Abstrak

Konstruksi Matriks NonNegatif Simetri dengan Spektrum Bilangan Real

PENENTUAN WAKTU KEDATANGAN PESAWAT DI BANDAR UDARA HUSEIN SASTRANEGARA BANDUNG DENGAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ATAS ALJABAR MAKS-PLUS

K-ALJABAR. Iswati dan Suryoto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S.H, Semarang 50275

KEBEBASAN LINEAR GONDRAN-MINOUX DAN REGULARITAS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS

POLINOMIAL KARAKTERISTIK MATRIKS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS. 1. Pendahuluan

Matriks Simplektik dan Hubungannya Pada Sistem Linier Hamiltonian. Simplectic Matrix and It Relations to Linear Hamiltonian System

Modul Faktor Dari Modul Supplemented

Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks atas Ring Komutatif

Diagonalisasi Matriks Segitiga Atas Ring komutatif Dengan Elemen Satuan

Aplikasi Matriks Circulant Untuk Menentukan Nilai Eigen Dari Graf Sikel (Cn)

DIMENSI PARTISI SUBGRAF TERINDUKSI PADA GRAF TOTAL ATAS RING KOMUTATIF

GRUP ALJABAR DAN -MODUL REGULAR SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA OLEH: FITRIA EKA PUSPITA

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam

UNNES Journal of Mathematics

STRUKTUR ALJABAR 1. Winita Sulandari FMIPA UNS

OPERASI MODIFIKASI ARITMATIKA INTERVAL TERHADAP INVERS MATRIKS INTERVAL

ENUMERASI DIGRAF TIDAK ISOMORFIK

Syarat Cukup dan Perlu Elemen Gelanggang Merupakan Pembagi Nol Kiri maupun Kanan )(RMnn

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama)

DAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN...

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA SISI DALAM ALJABAR MAX-PLUS BILANGAN FUZZY

GELANGGANG ARTIN. Kata Kunci: Artin ring, prim ideal, maximal ideal, nilradikal.

Pembagi Bersama Terbesar Matriks Polinomial

SYARAT PERLU DAN CUKUP SUBMODUL TERKOMPLEMEN. Sri Wahyuni Jurusan Matematika FMIPA UGM. Abstrak

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

KETERKAITAN ANTARA LATIS BOOLEAN, RING BOOLEAN DAN ALJABAR BOOLEAN

PENGERTIAN RING. A. Pendahuluan

Karakterisasi Nilai Eigen, Vektor Eigen, dan Eigenmode dari Matriks Tak Tereduksi dan Tereduksi dalam Aljabar Max-Plus

Menentukan Nilai Eigen Tak Dominan Suatu Matriks Semi Definit dan Indefinit Menggunakan Metode Kuasa Invers dengan Shift

BAB 3 ALJABAR MAX-PLUS. beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut

SYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH. Bambang Irawanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP. Abstact. Keywords : extension fields, elemen algebra

IDEAL PRIMA DAN IDEAL MAKSIMAL PADA GELANGGANG POLINOMIAL PRIME IDEAL AND MAXIMAL IDEAL IN A POLYNOMIAL RING

IDEAL DIFERENSIAL DAN HOMOMORFISMA DIFERENSIAL. Na imah Hijriati, Saman Abdurrahman, Thresye

Pembagi Bersama Terbesar Matriks Polinomial Indramayanti Syam 1,*, Nur Erawaty 2, Muhammad Zakir 3

Konsep Dasar. Modul 1 PENDAHULUAN

Karakterisasi Modul Torsi dan Modul Bebas Torsi Menggunakan Preradikal

Karakteristik Operator Positif Pada Ruang Hilbert

G a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.

Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks

8 MATRIKS DAN DETERMINAN

BAB 6 RING (GELANGGANG) BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

SISTEM BILANGAN BULAT

KONGRUENSI PADA SUBHIMPUNAN BILANGAN BULAT

ORDER UNSUR DARI GRUP S 4

UNIVERSITAS INDONESIA NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DALAM ALJABAR MAX-PLUS TESIS RIDA NOVRIDA

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:

K-ALJABAR. Jl. Prof. H. Soedarto, S.H, Semarang 50275

Saman Abdurrahman Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km 36 Banjarbaru

PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017

SIFAT DISTRIBUTIF MATRIKS IDEMPOTEN DAN APLIKASINYA PADA DETERMINAN MATRIKS

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:

DESKRIPSI MATA KULIAH : STRUKTUR ALJABAR I

Pembentukan Ideal Prim Gelanggang Polinom Miring Atas Daerah ( )

PENENTUAN JADWAL PRODUKSI PADA SISTEM PRODUKSI TIPE ASSEMBLY DI PERUSAHAAN ROTI GANEP SOLO MENGGUNAKAN ALJABAR MAKS-PLUS

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

PENJADWALAN PEMANDU WISATA DI KERATON KASUNANAN SURAKARTA DENGAN MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS

KLASIFIKASI NEAR-RING Classifications of Near Ring

5. Sifat Kelengkapan Bilangan Real

Jurusan Pendidikan Matematika

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar

SOLUSI POSITIF DARI PERSAMAAN LEONTIEF DISKRIT

Syarat Perlu Dan Cukup Subaljabar Merupakan Ideal di Dalam Aljabar BCI

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS TERREDUKSI DALAM ALJABAR MAKS-PLUS BESERTA APLIKASINYA

1 P E N D A H U L U A N

Parameterisasi Pengontrol yang Menstabilkan Melalui Pendekatan Faktorisasi

Teorema-Teorema Utama Isomorphisma pada Near-Ring

Transkripsi:

RESIDUATION OF MATRICES OVER DIOIDS Musthofa Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Ari Suparwanto Jurusan matematika FMIPA UGM Abstract A solution of A b in maplus linear system can be determined by observing the greatest subsolution, where - A t (-b). If A b, then is a solution. The structure of dioid (D,, ) is more general than maplus. In order to solve Ab in dioid, we use residuation of matrices over diod. The purposes here are to establish the formula of the residual of A, and then use it to determine whether Ab has a solution or not. Key Words: Dioids, Maplus, Residuated A. PENDAHULUAN Sistem persamaan linear maplus A b, mempunyai subsolusi terbesar dengan - A t (-b). (1) Jika memenuhi persamaan A b, maka merupakan solusi, jika tidak maka dengan menggunakan residuasi dapat ditunjukkan bahwa persamaan tersebut tidak mempunyai solusi. Sebagai contoh akan ditentukan solusi persamaan 5 1 1 7 4 7 Subsolusi terbesar dari persamaan di atas adalah t 5 7 5 A ( b) 1 4 7 6 3 3. Jadi subsolusi terbesarnya adalah 3 Selanjutnya dapat dicek 5 1 5 1 3 7 4 7 4 3 4 3 4 7 7. Jadi 3 merupakan solusi. Metode mencari subsolusi di atas secara umum tidak dapat digunakan untuk menentukan solusi dari sistem persamaan linear atas struktur yang lebih umum, misalnya dioid. Misalnya pada contoh di atas, jika operasi ma diganti dengan operasi min, maka [ 3] t bukan merupakan solusi. Untuk mencari solusinya digunakan konsep residuasi. Residuasi bertujuan untuk menyelesaikan persamaan f() b, dengan f suatu pemetaan pada himpunan yang dilengkapi relasi urutan [1]. Karena pada diod selalu dapat dilengkapi dengan relasi urutan, maka konsep residuasi dapat diterapkan pada pemetaan dari suatu dioid Dipresentasikan pada Seminar Nasional Himpunan Peminat Aljabar ( HPA) di UIN Syarif Hidayatullah Jakarta pada tanggal 7 Maret 1

ke dioid, khususnya pemetaan linear yang direpresentasikan oleh suatu matriks. Akhirnya dengan menentukan residual dari matriks A, dapat ditunjukkan apakah suatu persamaan linear A b atas dioid mempunyai solusi atau tidak mempunyai solusi. B.PEMBAHASAN 1. Dioid Berikut ini diberikan definisi dioid seperti dalam []. Definisi 1. Dioid adalah himpunan (D,, ) yang memenuhi aksioma: 1. a,b,c D, ( a b) c a ( b c ) ( bersifat assosiatif). a,b D, a b b a ( bersifat komutatif) 3. a,b,c D, ( a b) c a ( b c ) ( bersifat assosiatif) 4. a,b,c D, ( a b) c (a b) ( b c) ( distributif terhadap ) c ( a b ) ( c a ) ( c b) 5. ε D : a D, a ε ε a a (elemen netral ) 6. a D, a ε ε a ε 7. e D : a D, a e e a a (identitas ) 8. a D, a a a ( bersifat komutatif) Selanjutnya operasi pertama ( ) disebut operasi penjumlahan dan operasi kedua ( ) disebut operasi perkalian. 1. Himpunan R {+ }, dengan operasi min dan + yang disebut R min merupakan dioid dengan elemen netral {+ } dan elemen identitas.. Himpunan R {- } dengan operasi ma dan + yang disebut R ma merupakan dioid dengan elemen netral {- } dan elemen identitas. 3. Himpunan R {- } {+ } dengan operasi ma dan min merupakan dioid dengan elemen netral {- } dan elemen identitas {+ }. 4. Himpunan N, dengan operasi + dan merupakan dioid dengan elemen netral dan elemen identitas 1. Pada dioid ( D,, ) dapat didefinisikan relasi urutan, misalnya a b a b b. Dengan kata lain dioid D merupakan himpunan terurut. Selanjutnya seperti dalam [3], diberikan definisi tentang diod lengkap. Definisi..1.Suatu himpunan terurut (D, ) dikatakan lengkap jika setiap A D mempunyai suprimum...suatu dioid (D,, ) dikatakan lengkap jika (D, ) lengkap dan memenuhi:

( ) a A ( ).1.1 A D, d D, a d ( a d) a A.1.1 A D, d D, d a ( d a) a A a A Selanjutnya jika a, b D, suprimum a dan b ditulis sup{a,b} a b dan infimum a dan b, ditulis inf{a,b} a b. R {- } dengan operasi ( ma, +) yang disebut dengan R ma bukan merupakan dioid lengkap, sedangkan ( R { } { }) lengkap. + Rma dengan operasi (ma, +) merupakan dioid. Residuasi Definisi 3. Misalkan D dan E masing-masing himpunan terurut. Suatu pemetaan f: D E dikatakan isotone jika y berakibat f() f(y). f:r ma R ma dengan f() merupakan pemetaan isoton. Definisi 4. Suatu pemetaan f dari himpunan terurut D ke himpunan terurut E dikatakan residuated jika f isotone dan b E, { D / f() b} mempunyai elemen maksimal, dinotasikan dengan f # (b). Suatu pemetaan isotone f # : E D disebut residual dari f. Jadi f # (b) merupakan subsolusi terbesar dari persamaan f() b. Hubungan antara f dan f # sebagaimana dibahas dalam [] adalah: f ο f # I (a) f # ο f I (b) 1.Pemetaan f:r ma R ma dengan f() residuated dengan residual f # (y) y (-) y.pemetaan g n : (N,+, ) (N,+, ) dengan g n () n residuated dengan residual gn( y) n Definisi 5. Suatu pemetaan f pada dioid lengkap D dikatakan lower semicontinuous ( lsc) jika untuk setiap himpunan X D berlaku f ( ) f( ). X X Sebagaimana dalam [], salah satu sifat pemetaan pada dioid lengkap, yaitu f residuated jika dan hanya jika f lsc dan f(ε)ε. Demikian juga telah diperoleh sifat sifat : # f f f f (3a) f f f f (3b)

( f g) g f (3c) ( f g) f g (3d) 3. Matriks atas Dioid Dari dioid D dapat dibentuk matriks berukuran n n dengan entri-entrinya elemenelemen dioid D. Operasi penjumlahan dan perkalian didefinisikan seperti pada operasi penjumlahan dan perkalian matriks dengan menyesuaikan penjumlahan elemen sebagai dan perkalian elemen sebagai. 3 1 1 A dan B 1 ε 1. 3 1 1 1 3 1 3 A B 1 ε 1 1 ε 1 1 3 1 1 1 3 1 3 1 5 4 A B 1 ε 1 1 1 ε 1 1 ε 1 ε Himpunan semua matriks berukuran n n dengan operasi seperti di atas merupakan dioid yang dinotasikan dengan D n n. ε ε... ε e ε... ε ε ε... ε ε e... ε Matriks ε dan e berturut-turut merupakan elemen netral dan elemen εε... ε εε... e satuan pada D n n. 4. Penyelesaian Sistem A b Berikut ini suatu sifat yang digunakan sebagai acuan dalam menyelesaikan persamaan A b sebagaimana yang dibahas dalam [4]. Lemma 1. Jika D dioid lengkap, maka pemetaan isotone f : D D dengan f()a dan f() a residuated. Bukti : Akan ditunjukkan f lsc dan f(ε) ε. Karena D lengkap maka f ( ) a ( ) ( a ) f( ). Jadi f lsc. X X X X Demikian pula diperoleh f(ε) a ε ε. Terbukti f residuated. Untuk menentukan solusi persamaan A b, dengan A D n n, akan ditinjau terlebih dahulu untuk kasus n 3, yaitu A D 3 3. Misal D dan E adalah dioid lengkap. Diperhatikan pemetaan A: D 3 3 E 3 3 sebagai berikut:

1 b1 A: b b 3 b 3 A11( 1 ) A1( ) A13( 3) A A1( 1 ) A( ) A3 ( 3) (4) A 31( 1 ) A3 ( ) A33( 3) Untuk menentukan solusi sistem persamaan A b, seperti dalam sistem linear ma plus, dicari dulu subsolusi terbesar dari persamaan A b, yaitu ditentukan dulu A # (b). Menurut persamaan (4) di atas, bentuk A dapat dipandang sebagai A A 1 () A () A 3 () (5) dengan A11( 1 ) A1( ) A13( 3) A1( ) A( ) ; A( ) A3( 3) ; A3( ) A1( 1) A ( ) A ( ) A ( ) 33 3 31 1 3 Berdasarkan lemma 1 maka, maka A ij () residuated. Sehingga diperoleh # # # A11 ( b1 ) A1 ( b ) A31 ( b3 ) A1 ( b) A ( b) ; A ( b) A3 ( b3) ; A3 ( b) A1 ( b1) # # # A33 ( b3 ) A13 ( b1 ) A3 ( b ) (6) Menurut persamaan (3d) dan (5) akhirnya diperoleh: A11 ( b1 ) A1 ( b ) A31 ( b3 ) # A ( b) A1 ( b1 ) A ( b ) A3 ( b3 ) (7) A13 ( b1 ) A3 ( b ) A33 ( b3 ) Selanjutnya A # (b) ditulis sebagai (A\b). Sehingga (A\b) merupakan subsolusi terbesar dari persamaan A b. Analog dengan cara di atas, untuk A D n n, subsolusi terbesar persamaan A b ditunjukkan dalam teorema berikut: Teorema 1. Jika D dioid lengkap, A D n n, dan b D n 1 maka Bukti : n ( A \ b) ( A \ b ) (8) i ji j j 1

A11( 1 ) A1( )... A1 n( n) A1( 1 ) A( )... A n( n) A... A n1( 1) An( )... Ann( n) Dibentuk : A11( 1 ) A1( ) A1 n( n) A( ) A3( 3 ) A1 ( 1 ) A1( ) ; A( ) ;... ; An ( )......... Ann( n ) An1( 1) Ann 1( n 1) Diperoleh : A A( ) A ( )... A ( ) 1 Sehingga : ( A \ b) ( A1 \ b1) ( A \ b)... ( A \ b ) i i i ni n n n ( A \ b ) j1 ji j Ada atau tidaknya solusi persamaan A b dibahas dalam teorema berikut: Teorema. Sistem persamaan linear A b pada diod lengkap mempunyai solusi jika dan hanya jika A(A\b) b (9) Bukti : ( ) Diketahui A(A\b) b. Jadi sistem persamaan linear A b mempunyai penyelesaian. ( ) Misalkan sistem persamaan linear A b mempunyai solusi. diperoleh A b, sehingga A b. Karena (A\b) merupakan elemen maksimal dalam { / A b ) maka ( A\b). Diperoleh A A ( A\b ) b A A ( A\b) (*) Selanjutnya menurut (a) A (A\b) b...(**) Dari (*) dan (**) diperoleh A ( A\b) b. 5. Contoh - contoh Penyelesaian A b. 5 1 1 1. Akan dicari solusi persamaan 4 atas R ma (R {- }, ma,+). ( A\ b) 1 ( A11\ b1) ( A1\ b) ( 5) ( ) 3 3 ( A\ b) ( A \ b) ( A \ b ) ( 1) ( 4) 1 1 1

3 5 1 3 Diperoleh ( A\ y). Dapat dicek A( A\ b) b 4 Jadi persamaan tersebut mempunyai solusi.. Akan dicari solusi persamaan 5 1 1 4 atas R min ( R {+ }, min,+). ( A\ b) ( A \ b) ( A \ b ) ( 5) ( ) 3 1 11 1 1 ( A\ b) ( A \ b) ( A \ b ) ( 1) ( 4) 1 1 1 1 5 1 Diperoleh ( A\ y) 1. Dapat dicek A( A\ b) b 4 1 Jadi persamaan tersebut mempunyai solusi. 3. Akan dicari solusi persamaan 5 1 1 4 atas D (R {± }, ma,min). ( A\ b) 1 ( A11\ b1) ( A1\ b) min(5, ) min(, ) ( A\ b) ( A \ b) ( A \ b ) min(1, ) min(4, ) + 11 1 1 5 1 Diperoleh ( A\ y). Dapat dicek A( A\ b) b 4 Jadi persamaan tersebut mempunyai solusi. 5 1 1 4. Akan dicari solusi persamaan 4 atas ( N, +, ). ( A\ b) 1 ( A11\ b1) ( A1\ b) 1 5 ( A\ b) ( A1 \ b1) ( A \ b) 1 4 5 1 Diperoleh ( A\ y). Ternyata 4. Jadi persamaan tersebut tidak mempunyai solusi.

C. KESIMPULAN Jika D dioid lengkap, maka sistem persamaan A b, dengan A D n n dan b D n 1 mempunyai subsolusi terbesar berbentuk n ( A \ b) i ( Aji \ bj) j 1 Berdasarkan pembahasan di atas, dapat dilihat bahwa dalam hal dioid D adalah : maka ( A \ b) min( A + b ) 1. ma. min, maka i ji j 1 j n ( A \ b) ma( A + b ) i ji j 1 j n 3. (R {± }, ma,min), maka ( A \ b) min(ma ( A, b )) i ji j 1 j n b i 4. ( N, +, ), maka ( A\ b) i min 1 j n Aji Selanjutnya persamaan A b akan mempunyai solusi jika ( A\b) merupakan solusi, yaitu jika A ( A\b) b. Jika A (A\b) b maka persamaan tersebut tidak mempunyai solusi. D. SARAN Dalam makalah ini belum dibahas bagaimana jika A D m n dengan m n. Sehingga perlu dikaji bagaimana bentuk solusi dari persamaan A b untuk A D m n. Demikian pula dapat diteliti lebih lanjut untuk persamaan yang berbentuk A By atas dioid. E. DAFTAR PUSTAKA [1] G.Cohen, S.Gaubert, J.P Quadrat. Ma-plus algebra and system theory: where we are and where to go now. IFAC Conference on System and control. 1998. [] F.Baceeli, G.Cohen, G.J.Olsder, J.P.Quadrat. Synchronization and Linearity. New York:John Wiley and Sons, 1. [3] M.Gondran, M.Minou. Graph, Dioids, and Semirings.New York: Springer, 8 [4] S.Gaubert,Ma Plus. Methods and applications of (ma,+) linear algebra,rapport de recherché, 1997.

2024 © DocPlayer.info Pengaturan dan alat privasi | Ketentuan | Tanggapan