Saman Abdurrahman. Universitas Lambung Mangkurat,

Saman Abdurrahman Universitas Lambung Mangkurat, samunlam@gmail.com Abstrak. Dalam tulisan ini akan dibahas dua permasalahan, yaitu jumlah antara ideal fuzzy dari near-ring, dan jumlah antara ideal normal fuzzy dari near-ring. Hasil yang diperoleh dari penelitian ini adalah jumlah dua atau lebih ideal fuzzy dari nearring R adalah ideal fuzzy dari near-ring R, dan jumlah dua atau lebih ideal normal fuzzy dari near-ring R adalah ideal normal fuzzy dari near-ring R. Kata kunci: near-ring, ideal fuzzy, normal. Pendahuluan Aljabar abstrak adalah salah satu cabang dari matematika. Salah satu konsep yang dipelajari dalam aljabar abstrak adalah near-ring. Menurut Satyanarayana et al [1], near-ring merupakan salah satu perluasan dari ring, dimana beberapa aksioma yang ada pada ring tidak harus diberlakukan pada near-ring. Operasi pertama pada near-ring sebarang tidak harus membentuk grup abelian, terhadap operasi kedua membentuk semigrup, dan terhadap operasi pertama dan kedua, cukup dipenuhi salah satu sifat distributif kiri atau kanan. Pada tahun 1991, Abou-Zaid [2] melakukan penelitian pada struktur subnear-ring, dan ideal pada near-ring yang dipadukan dengan kosep fuzzy, sehingga menghasilkan struktur baru, yaitu subnear-ring fuzzy, dan ideal fuzzy pada near-ring. Penelitian yang dilakukan oleh Abou-Zaid [3], melahirkan banyak ide bagi peneliti lainnya, sehingga banyak peneliti yang mengembangkan ide dari Abou-Zaid [2], diantaranya, Abdurrahman [3] melakukan penelitian ideal fuzzy dari near-ring, yang meliputi hubungan antara ideal dengan ideal fuzzy dari suatu near-ring. Mengingat pada penelitian sebelumnya telah dibahas subnear-ring fuzzy dan ideal fuzzy nearring, maka pada penelitian ini akan diselidiki sifat jumlah ideal fuzzy dari near-ring, yang dimotivasi oleh pernyataan Satyanarayana et al [1], yaitu jika A dan B adalah ideal dari near-ring R, maka A + B adalah ideal dari R. Dari sifat ini muncul suatu pertanyaan, apakah sifat ini berlaku atau dipertahankan oleh ideal di himpunan fuzzynya?. Berangkat dari permasalahan ini, maka dalam tulisan ini akan dibahas hasil jumlah dari ideal fuzzy, dan hasil jumlah dari ideal normal fuzzy dari suatu near-ring. Metode Penelitian Penelitian ini dilakukan berdasarkan studi literatur dari berbagai sumber baik berupa buku, atau jurnal ilmiah, khususnya yang berkaitan dengan near-ring, subnear-ring, ideal near-ring, subnear-ring fuzzy, ideal fuzzy near-ring, dan ideal normal fuzzy near-ring. Pada tahap awal dipelajari konsep-konsep dasar tentang near-ring, subnear-ring, dan ideal near-ring. Konsep dasar ini yang nantinya akan banyak membantu dalam memahami konsep subnear-ring fuzzy, ideal fuzzy near-ring, dan ideal normal fuzzy near-ring. Universitas Negeri Surabaya 25 April 2015 457

Setelah memahami konsep subnear-ring fuzzy, ideal fuzzy near-ring, dan ideal normal fuzzy near-ring, selanjutnya mendefinisikan jumlah dari dua subset fuzzy, membuktikan beberapa lemma atau teorema yang terkait, dan menentukan asumsi-asumsi sehingga terbentuk sifat baru, yang mendukung pada pembuktian hasil jumlah antara ideal fuzzy near-ring, dan ideal normal fuzzy near-ring. Langkah terakhir, dengan menggunakan lemma-lemma dan teorema-teorema yang saling terkait, maka diperoleh teorema jumlah antara ideal fuzzy near-ring, dan ideal normal fuzzy nearring, yang hasilnya dituangkan dalam bentuk definisi atau teorema. Hasil Dan Pembahasan Sebelum membahas hasil jumlah antara ideal fuzzy dari near-ring, dan ideal normal fuzzy dari near-ring, berikut diberikan beberapa definisi, lemma, dan teorema yang mendukung pada pembahasan berikutnya. Definisi 1. (Satyanarayana et al., [1]) Himpunan R tidak kosong dengan dua operasi biner + dan disebut near ring, jika memenuhi: (1) (R, +) adalah grup (tidak harus grup abelian), (2) (R,.) adalah semigrup, (3) untuk setiap x,y,z R berlaku salah satu sifat distributif kanan atau kiri (i). distributif kanan : (x + y). z = x. z + y. z (ii). distributif kiri : x. (y + z) = x. y + x. z Suatu near-ring disebut near-ring kanan jika memenuhi aksioma (1), (2), dan (3) bagian (i), dan disebut near-ring kiri jika memenuhi aksioma (1), (2), dan (3) bagian (ii). Selanjutnya yang dimaksud near-ring adalah near-ring kiri, kecuali ada keterangan lebih lanjut, dan x y dapat juga ditulis xy. Pada near-ring, grupnya tidak harus abelian terhadap operasi +, maka dalam mendefinisikan ideal dari near-ring subgrupnya harus merupakan subrup normal. Definisi 2. (Satyanarayana et al., [1]) Diberikan near-ring R. Subgrup normal dari R disebut ideal dari R, jika (1). RI I (2). (r + i)s rs I untuk setiap r, s R dan i I. Subgrup normal I dari R, memenuhi kondisi (1) disebut ideal kiri dari R, dan memenuhi kondisi (2) disebut ideal kanan dari R. Definisi 3. (Mordeson et al., [4]) Diberikan X adalah himpunan tidak kosong. Suatu pemetaan disebut subset fuzzy dari X jika. Selanjutnya himpunan semua subset fuzzy dari X dinotasikan dengan (X). Definisi 4. (Mordeson et al., [4]) Jika, (X), maka jika dan hanya jika (x) (x) untuk setiap x X. Definisi 5. (Kandasamy, [5]) Diberikan near-ring R dan (R). Subset fuzzy disebut subnearring fuzzy dari R jika untuk setiap x,y R berlaku: (x y) min{ (x), (y)}, dan (xy) min{ (x), (y)}. Definisi 6. (Kandasamy, [5]) Diberikan near-ring R dan (R). Subset fuzzy disebut ideal fuzzy dari R, jika untuk setiap x,y,z R berlaku: 458 25 April 2015 Universitas Negeri SUrabaya

(1) (x y) min{ (x), (y)}, (2) (x) (y + x y), (3) (xy) (y), dan (4) ((x + z)y xy) (z). Suatu disebut ideal kiri fuzzy dari R jika memenuhi kondisi (1), (2), dan (3), sedangkan disebut ideal kanan fuzzy dari R jika memenuhi kondisi (1), (2), dan (4). Lemma 7. (Abdurrahman et al., [3]) Diberikan near-ring R. Jika adalah subnear-ring fuzzy dari R, maka (0R) (x), dan ( x) (x) untuk setiap x R. Definisi 8. (Abou-Zaid., [2]) Diberikan near-ring R, dan, (R). Jumlah dan didefinisikan dengan, ( )(x) untuk setiap x R. Setelah diberikan definisi, lemma, dan teorema yang mendukung pada pembahasan jumlah ideal fuzzy dari near-ring, dan jumlah ideal normal fuzzy dari near-ring, berikut disajikan lemma dan teorema yang menjadi bahasan dalam tulisan ini. Lemma 9. Jika dan adalah subnear-ring fuzzy dari near-ring R, maka ( )(0R) ( )(x), dan ( )( x) ( )(x) untuk setiap x R. Diambil sebarang x R, maka x = y + z untuk suatu y, z R. Mengingat dan adalah subnearring fuzzy dari R, maka menurut Lemma 7: (0R) (y), (0R) (z), dan (x) = ( x). Akibatnya: ( )(0R) sup[min{ (0R), (0R)}] sup[min{ (y), (z)} ( )(x). dan, ( )(x) sup[min{ (0R), (x)}] sup[min{ (0R), ( x)}] )( x). Teorema 10. Diberikan 1, 2, 1 dan 2 adalah subnear-ring fuzzy dari near-ring R. Jika 1 2, dan 1 2 maka 1 1 2 2. Diambil sebarang x R, dengan x = y + z untuk suatu y,z R, maka ( 1 1)(x) = sup[min{ 1(y), 1(z)} sup[min{ 2(y), 2(z)} = ( 2 2)(x). Akibatnya, 1 1 2 2 Akibat 11. Diberikan 1, 2, 1 dan 2 adalah ideal fuzzy dari near-ring R. Jika 1 2, dan 1 2, maka 1 1 2 2. Teorema 12. Jika dan adalah ideal fuzzy dari near-ring R, maka adalah ideal fuzzy dari near-ring R. Diambil sebarang x, y R dengan x = a + b dan y = c + d untuk suatu a, b, c, d R, maka: 1). ( )(x y) = ( )(a + b (c + d)) = ( )(a c + c + b c d) = sup[min{ (a c), (c + b c d)}] sup[min{min{ (a), (c)}, min{ (c + b c), (d)}}] = sup[min{min{ (a), (c)}, min{ (b), (d)}}] min[sup{min{ (a), (b)}}, sup{min{ (c), (d)}}] = min{( )(x), ( )(y)}, 3). ( )(y + x y) = ( )(y + a + b y) = ( )(y + a y + y + b y) Universitas Negeri Surabaya 25 April 2015 459

= sup[min{ (y + a y), (y + b y)}] = sup[min{ (a), (b)}] = ( )(x), 2). ( )(xy) = ( )(x(c + d)) = ( )(xc + xd) = sup[min{ (xc), (xd)}] sup[min{ (c), (d)}] = ( )(y), dan 4). ( )[(x + z)y xy] = ( )[(x + z)y xy + 0R] = sup[min{ [(x + z)y xy], (0R)}] sup[min{ (z), (0R)] = ( )(z). Jadi, adalah ideal fuzzy dari near-ring R. Teorema 13. Diberikan near-ring R. Jika 1, 2,..., n adalah ideal fuzzy dari R, maka 1 2... n adalah ideal fuzzy dari R. Misalkan 1, 2,..., n adalah ideal fuzzy dari near-ring R. Akan dibuktikan 1 2... n ideal fuzzy dari R. Untuk membuktikan 1 2... n adalah ideal fuzzy dari R, digunakan induksi matematika pada bilangan bulat positif n 2. 1). Untuk n = 2, maka menurut Teorema 12, 1 2 adalah ideal fuzzy dari R. 2). Diasumsikan untuk n = k, 1 2... k adalah ideal fuzzy dari R. Akan dibuktikan untuk n = k + 1, 1 2... k k + 1 adalah ideal fuzzy dari R. Mengingat 1 2... k, dan k + 1 adalah ideal fuzzy dari R, maka menurut Teorema 12, 1 2... k k + 1 adalah ideal fuzzy dari R. Dari semua kasus, terbukti bahwa 1 2... k k + 1 adalah ideal fuzzy dari R. Oleh karena itu dengan prinsip induksi matematika, disimpulkan bahwa 1 2... n adalah ideal fuzzy dari R, untuk semua bilangan bulat positif n 2. Akibat 14. Diberikan 1, 2,..., n dan 1, 2,..., n adalah ideal fuzzy dari near-ring R. Jika 1 2... n, dan 1 2... n maka ( 1 2... n) ( 1 2... n). Teorema 15. Diberikan near-ring R. Jika dan adalah ideal fuzzy dari R, maka R {x R ( ) ( )(0R)} adalah ideal dari R. Misalkan dan ideal fuzzy dari near-ring R. Akan dibuktikan R adalah ideal dari near-ring R. Berdasarkan definisi R, maka 0R R yang mengakibatkan R dan R R. Selanjutnya, diambil sebarang x, y, z R, maka ( )(x) ( )(y) ( )(z) ( )(0R). Mengingat dan adalah ideal fuzzy dari R maka, menurut Teorema 12, adalah ideal fuzzy dari R, sehingga 1) ( )(x y) min{( )(x), ( )(y)} ( )(0R), sehingga menurut Lemma 9, nilai keanggotaan ( )(x y) ( )(0R), yang mengakibatkan x y R. 2) ( )(y + x y) ( )(x) ( )(0R), maka y + x y R. 3) ( )(xy) ( )(y) ( )(0R), sehingga menurut Lemma 9, nilai keanggotaan ( )(xy) ( )(0R), yang mengakibatkan xy R, dengan kata lain RR R. 4) ( )((x + z)y xy) ( )(z) ( )(0R), sehingga menurut Lemma 9, nilai keanggotaan ( )((x + z)y xy) ( )(0R), yang mengakibatkan (x + z)y xy R. Jadi, R adalah ideal dari near-ring R. Akibat 16. Jika 1, 2,..., n adalah ideal fuzzy dari near-ring R, maka R adalah ideal dari R. Teorema 17. Diberikan 1, 2, 1 dan 2 adalah ideal fuzzy dari near-ring R. Jika 1 2, 1 2, dan 1(0R) 2(0R) 1(0R) 2(0R), maka. 460 25 April 2015 Universitas Negeri SUrabaya

Mengingat 1, 2, 1 dan 2 adalah ideal fuzzy dari R, 1 2, dan 1 2, maka menurut Akibat 11, 1 1 2 2 sehingga menurut Teorema 15,, dan ideal dari R. Selanjutnya diambil sebarang x, maka ( 1 1)(x) = ( 1 1)(0R) = sup{min { 1(0R), 1(0R)}= sup{min { 2(0R), 2(0R)} = ( 2 2)(0R). Dari analisa di atas, maka ( 2 2)(0R) = ( 1 1)(x) ( 2 2)(x), sehingga menurut Lemma 9, nilai keanggotaan ( 2 2)(x) = ( 2 2)(0R). Akibatnya x, dengan kata lain Berikut diberikan definisi ideal normal fuzzy dari near-ring R, dan selanjutnya himpunan semua ideal normal fuzzy dari near-ring R, dinotasikan dengan N(R). Definisi 18. (Abdurrahman, [6]) Diberikan ideal fuzzy dari near-ring R. Ideal fuzzy disebut normal, jika ada x R sedemikian hingga (x) 1. Setelah definisi ideal normal fuzzy dari near-ring R, selanjutnya diberikan beberapa sifat dari ideal normal fuzzy dari R. Teorema 19. Jika N(R), maka (0R) 1. Misalkan N(R), maka ada x sedemikian hingga (x) 1. Di lain pihak, menurut Lemma 9, (0R) (z) untuk setiap z, akibatnya, (0R) (x) 1, dengan kata lain (0R) Akibat 20. Jika, N(R), maka N(R). Akibat 21. Jika 1, 2,..., n N(R), maka 1 2... n N(R). Akibat 22. Jika 1, 2, 1, 2 N(R) dengan 1 2, dan 1 2 maka. Lemma 23. Diberikan A dan B adalah ideal dari near-ring R. Jika A dan B adalah fungsi karakteristik dari A dan B, maka A B N(R) dan A + B. Mengingat A dan B adalah fungsi karakteristik dari ideal A dan B, maka menurut Abdurrahman et al., [3] (Teorema 4.1.9), A dan B adalah ideal fuzzy dari R, sehingga menurut Teorema 12 dan Definisi 18, maka A B N(R), sehingga menurut Teorema 19: ( A B)(0R) 1. Selanjutnya, {x ( A B)(x) ( A B)(0R)} {x ( A B)(x) 1} {x = y + z sup{min{ A(y), B(z)}} 1} = {x = y + z A(y) = B(z) 1} {x = y + z y A dan z B} A Setelah diberikan beberapa sifat dari ideal normal fuzzy dari near-ring R, selanjunya diberikan sifat dari, yang dibentuk dari suatu ideal fuzzy dari R. Teorema 24. Diberikan dan adalah ideal fuzzy dari near-ring R. Jika * (x) (x) + 1 (0R) dan * (x) (x) + 1 (0R) untuk setiap x R, maka ( ) * N(R), dan ( ) ( ) *. Misalkan dan ideal fuzzy dari R dengan * (x) (x) + 1 (0R), dan * (x) (x) + 1 (0R) untuk setiap x R. Akan dibuktikan ( ) * N(R), dan ( ) ( ) *. Mengingat dan adalah ideal fuzzy dari R, maka menurut Teorema 12, ideal fuzzy dari R, sehingga untuk setiap x, y, z R, berlaku: 1) ( ) * (x y) ( )(x y) + 1 ( )(0R) min{( )(x), ( )(y)} + 1 ( )(0R) min{( ) * (x), ( ) * (y)}, 2) ( ) * (y + x y) ( )(y + x y) + 1 ( )(0R) ( )(x) + 1 ( )(0R) ( ) * (x), 3) ( ) * (xy) ( )(xy) + 1 ( )(0R) ( )(y) + 1 ( )(0R) ( ) * (y), dan 4) ( ) * ((x + z)y xy) ( )((x + z)y xy) + 1 ( )(0R) ( )(z) + 1 ( )(0R) Universitas Negeri Surabaya 25 April 2015 461

( ) * (z). Berdasarkan analisa di atas, maka ( ) * adalah ideal fuzzy dari R. Mengingat ( ) * (0R) ( )(0R) + 1 ( )(0R), maka nilai keanggotaan dari ( ) * (0R) 1, dengan kata lain ( ) * N(R). Akibatnya menurut Lemma 9, ( )(x) ( )(0R) ) * (0R) untuk setiap x R. Karena ( )(0R) 1 dan ( ) * (x) ( )(x) + 1 ( )(0R), maka ( )(x) ( ) * (x) untuk setiap x R, yang mengakibatkan ( ) ( ) *. Selanjunya diberikan sifat dari, yang berhubungan dengan suatu ideal fuzzy dari nearring R yang memiliki nilai keanggotaan 0 untuk suatu x R. Lemma 25. Diberikan, dan adalah ideal fuzzy dari near-ring R. Jika ( ) * (x) 0 untuk suatu x R, maka ( )(x) 0. Mengingat, dan adalah ideal fuzzy dari near-ring R, maka menurut Teorema 12, dan Teorema 24, maka ideal dari R, dan ( ) * N(R). Misalkan ( ) * (x) 0 untuk suatu x R. Akan dibuktikan ( )(x) 0. Andaikan ( )(x) 0. Karena ( ) * (x) 0 dan ( ) * (x) ( )(x) + 1 ( )(0R), maka ( )(0R) ( )(x) + 1. Mengingat ( )(x) 0, maka ( )(0R) 1 yang mengakibatkan ( )(0R) [0,1], sehingga kontradiksi dengan ( )(0R) [0,1] yang mengakibatkan pengandaian salah, seharusnya ( )(x) 0, dengan kata lain ( )(x) 0 untuk suatu x R. Selanjunya diberikan beberapa sifat dari, yang berhubungan dengan suatu ideal normal fuzzy dari near-ring R. Lemma 26. Diberikan, dan adalah ideal fuzzy dari near-ring R. N(R) jika dan hanya jika ( ) *. ( ) * ( )(x) ( ) * (x) untuk setiap x ( )(x) ( )(x) + 1 ( )(0R) untuk setiap x ( )(0R) Akibat 27. Jika, dan adalah ideal fuzzy dari near-ring R, maka (( ) * ) * ( ) *. Akibat 28. Jika, N(R), maka (( ) * ) * =. Akibat 29. Jika 1, 2,..., n adalah ideal fuzzy dari near-ring R, maka R adalah ideal dari R. Akibat 30. Jika 1, 2,..., n N(R), maka R = R. Kesimpulan Berdasarkan hasil dan pembahasan, maka dapat diambil kesimpulan bahwa jumlah dua atau lebih ideal fuzzy dari near-ring R adalah ideal fuzzy dari R, dan jumlah dua atau lebih ideal normal fuzzy dari nearring R adalah ideal normal fuzzy dari near-ring R. Jumlah ideal fuzzy dari near-ring yang diteliti pada tulisan ini, hanya terbatas pada ideal-ideal fuzzy dari near-ring yang sama, tetapi penelitian ini dapat dijadian sebagai referensi untuk melakukan penelitian pada direct sum ideal fuzzy dari near-ring. Daftar Pustaka 462 25 April 2015 Universitas Negeri SUrabaya

1. Satyanarayana, Bh., and Prasad, KS., 2013. Near-ring, Fuzzy Ideals, and Graph Theory, Taylor and Francis Group, LLC. 2. Abou-Zaid., 1991. On fuzzy subnear-rings and ideals, Fuzzy Sets and Systems, 44(1), pp. 139 146. 3. Abdurrahman, S., Thresye., Hijriati, N., 2012. Ideal fuzzy near-ring, Jurnal Matematika Murni dan Terapan Epsilon, 6(2), hal 13 19. 4. Mordeson, JN., Malik, DS., and Kuroki, N., 2003. Fuzzy semigroup, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg. 5. Kandasamy, WBV., 2003, Smarandache fuzzy algebra, American Research Press Rehoboth. 6. Abdurrahman, S., 2014. Karakterisasi Ideal maksimal fuzzy near-ring, Prosiding Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD) Yogyakarta, hal 1199 1207. Universitas Negeri Surabaya 25 April 2015 463