PARTIKEL DALAM SUATU KOTAK SATU DIMENSI Atom terdiri dari inti atom yang dikelilingi oleh elektron-elektron, di mana elektron valensinya bebas bergerak di antara pusat-pusat ion. Elektron valensi geraknya dibatasi akibat adanya gaya tarik elektrostatik antara pusat-pusat ion positif dengan elektron-elektron valensinya. Tingkah laku elektron-elektron yang bergerak di dalam logam dianggap sama dengan tingkah laku atom atau molekul di dalam gas mulia, oleh sebab itu elektron-elektron ini biasa disebut sebagai Gas Elektron Bebas, dengan sifat; bermuatan negatif, dan konsentrasinya jauh lebih besar dibandingkan dengan konsentrasi molekul dalam gas biasa. Sommerfeld memperlakukan elektron valensi dengan cara menggunakan statistika kuantum, sehingga tingkatan energi elektron di dalam kotak potensial dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan Scrodinger. Contoh Tinjaulah sebuah electron bermassa m yang bebas bergerak di dalam kotak potensial 1 dimensi yang sangat tebal, lebar kotak L dan tingginya ~ (lihat gambar). Kajilah sifat-sifat dan perilaku electron tersebut di dalam kotak, ditinjau dari tingkatan energi, dan fungsi gelombangnya. Langkah-langkah yang perlu Anda perhatikan dalam mengkaji sifat-sifat dan perilaku elektron di dalam kotak potensial tersebut adalah: (1) tentukan terlebih dahulu potensial elektron di dalam maupun di luar kotak, (2) hitung tingkat energinya ketika berada pada suatu posisi tertentu, dan (3) lukiskan kerapatan probabilitas elektron dari fungsi gelombang yang terbentuk. ENERGI POTENSIAL ELEKTRON. Energi potensial elektron di dalam kotak sama dengan nol, sebab elektron bebas tidak memiliki energi potensial, sedangkan potensial elektron di luar kotak adalah tak berhingga sebab dinding kotak cukup tebal sehingga tidal dimungkinkan elektron tersebut keluar dari
dalam kotak. Informasi ini jika dituliskan dalam formulasi matematik, maka bentuknya adalah: (1) TINGKAT ENERGI ELEKTRON DI DALAM KOTAK Langkah kedua adalah, kita harus menghitung tingatan energi electron ketika electron tersebut berada pada suatu posisi tertentu. Besarnya energi total electron yang berada di dalam kota adalah (2) di mana adalah operator energi kinetik dan adalah energi potensial. Karena energi potensial elektron di dalam kotak V(x) = 0, dan dengan merumuskan energi kinetik, serta mengalikan fungsi gelombang di ruas kiri dan ruas kanan, maka pers.(2) dapat dituliskan sebagai (3) di sini adalah merupakan operator momentum linear untuk 1- dimensi. Apabila harga operator momentum linear dimasukkan ke dalam pers.(3) dan semua variabelnya disusun di sebelah kiri, maka hasilnya adalah: (4) di mana (5)
Perhatikanlah bahwa pers. (4) adalah merupakan persamaan difrensial orde-2 yang dapat diselesaikan melalui persamaan karakteristik. Misalkan solusi pers.(4) berbentuk: jika pers.(6) disubstitusikan ke pers.(4) diperoleh: (6) (7) pada pers.(7), sebab jika demikian kita tidak akan mendapatkan arti fisis apa-apa darinya. Jadi yang harus berharga nol adalah, sehingga dengan mengingat bahwa harga (i = imaginary), maka harga dari pers.(7) adalah: bila pers.(8) disubstitusikan ke dalam pers.(6) diperoleh: (8) A, dan B adalah merupakan konstanta. Bila exponensial pada pers.(9) diuraikan ke dalam fungsi sinus dan cosinus, hasilnya adalah: di mana C = A+B (bagian real), dan D = (A-B) i (bagian imaginernya). (10) Harga C dan Ddari pers.(10) dapat ditentukan melalui masalah syarat batas (boundary value problem). Marilah kita mencoba untuk menganalisa kotak potensial. Bila kita tinjau dari arah sebelah kiri pada daerah x = 0, terlihat bahwa sebelah kanan pada daerah x = L, maka, tetapi jika kita tinjau dari arah
Jika x = 0; pers.(10) dapat ditulis: (11) supaya pers.(11) memiliki arti fisis, maka C = 0 dan D 0, sehingga pers.(11) dapat dituliskan menjadi: Sebelum kita menghitung harga D, terlebih dahulu kita tentukan harga k melalui syarat batas pula, yaitu Jika x = L; pers.(12) dapat ditulis: (12) (13) pada pers.(13) harga D 0, tetapi yang harus bernilai nol adalah sin kl, dengan demikian harga k dapat dituliskan sebagai; (14) Untuk mengetahui besarnya tingkatan energi elektron tingkat ke-n yang berada di dalam kotak potensial, substitusikan pers.(14) ke dalam pers.(5) hasilnya adalah: (15) Pers.(15) merupakan energi elektron tingkat ke-n didalam kotak yang biasa disebut sebagai nilai eigen (eigen value). Dari persamaan tersebut terlihat bahwa elektron yang terperangkap dalam kotak potensial selalu berada pada suatu tingkatan-tingkatan energi tertentu. Hal ini dapat memberi penjelasan kepada kita, bahwa spectrum suatu atom tidaklah bersifat kontinu, tetapi bersifat diskrit.
FUNGSI EIGEN DAN RAPAT PROBABILITAS Untuk menentukan fungsi eigen dan rapat probabilitas elektron di dalam kotak potensial, kita harus menentukan harga D (konstanta normalisasi) dari pers.(13) melalui syarat normalisasi, yaitu: pers.(16) dapat diselesaikan melalui pengintegralan yang standar, dengan mengingat bahwa: (16) Bila pers.(17) disubstitusikan ke dalam pers.(16), maka hasilnya (turunkan sebagai latihan) adalah: (17) (18) harga pada pers.(18) adalah nol, sehingga nilai konstanta D dari pers.(18) adalah: (19) Jika factor normalisasi D sebesar gelombang elektron pada tingkat ke-n adalah: ini dimasukkan ke dalam pers. (13), maka fungsi (20) pers.(20) ini yang dikenal sebagai fungsi eigen (eigen function) menunjukkan bahwa disamping elektron memiliki tingkat-tingkat energi tertentu, dia juga bergerak di dalam kotak dalam bentuk gelombang sinusoidal menurut tingkatan energinya, seperti digambarkan pada
fungsi gelombang, dan rapat probabilitas sebagai fungsi dari posisi berikut ini. Fungsi Gelombang elektron Rapat Probabilitas elektron