SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA FUNGSI NILAI HARAPAN PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT INTAN FITRIA SARI

SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA FUNGSI NILAI HARAPAN PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT INTAN FITRIA SARI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Sifat-sifat Statistik Penduga Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk dengan Tren Fungsi Pangkat adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Agustus 2016 Intan Fitria Sari NIM G551150396

RINGKASAN INTAN FITRIA SARI. Sifat-sifat Statistik Penduga Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk dengan Tren Fungsi Pangkat. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan HADI SUMARNO. Proses stokastik merupakan model yang menggunakan aturan-aturan peluang yang mempunyai peranan yang cukup penting dalam kehidupan seharihari. Sebagai contoh kedatangan pelanggan ke pusat servis (bank, kantor pos, toko buku, supermarket, dan sebagainya) dan proses kedatangan pengguna line telepon dapat dimodelkan dengan proses stokastik. Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Jika waktu dianggap berpengaruh maka digunakan proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson yang fungsi intensitasnya merupakan fungsi takkonstan dari waktu. Proses Poisson takhomogen ini merupakan perumuman dari proses Poisson homogen. Salah satu bentuk khusus dari proses Poisson takhomogen adalah proses Poisson periodik, yaitu suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Proses Poisson majemuk merupakan salah satu bentuk khusus proses stokastik yang memiliki banyak manfaat dalam memodelkan berbagai macam fenomena nyata. Bening dan Korolev (2002) menerapkan proses Poisson majemuk pada bidang asuransi dan keuangan. Sebagai contoh, proses Poisson majemuk digunakan untuk memodelkan besarnya klaim agregat, sehingga perusahaan asuransi dapat menduga besarnya keuntungan yang akan diperoleh pada masa yang akan datang. Sebelumnya, Byrne (1969) telah menggunakan proses Poisson majemuk pada beberapa permasalahan fisika. Selain itu, proses Poisson majemuk telah diterapkan pada bidang demografi (Kegler 2007), geologi (Özel dan İnal 2008), dan biologi (Puig dan Barquinero 2011). Kajian terhadap proses Poisson majemuk dengan menggunakan proses Poisson takhomogen sangatlah luas. Oleh karena itu, kajian dimulai dengan salah satu bentuk khusus dari proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson periodik majemuk (Ruhiyat 2013). Setelah itu kajian diperluas menjadi proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear (Wibowo 2014). Selanjutnya kajian diperluas menjadi proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat. Proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat bermanfaat untuk mencari perumuman dari sifat proses Poisson periodik majemuk. Misalkan * + adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan fungsi intensitas λ terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas diasumsikan mempunya dua komponen, yaitu komponen periodik, dengan periode (diketahui) dan komponen tren fungsi pangkat. Dengan kata lain, untuk setiap, fungsi intensitas dapat dituliskan sebagai berikut dengan merupakan sebuah fungsi periodik dengan periode dan merupakan komponen tren fungsi pangkat, dimana melambangkan kemiringan dari tren fungsi pangkat. Diasumsikan juga bahwa merupakan bilangan real (diketahui) dan. Fungsi periodik tidak diasumsikan

memiliki bentuk parametrik apapun kecuali berupa fungsi periodik yang dapat dituliskan sebagai berikut untuk setiap dan, dengan menyatakan himpungan bilangan asli. Misalkan * + adalah suatu proses dengan, di mana * + merupakan barisan peubah acak yang independent and identically distributed dengan nilai harapan dan ragam, yang juga bebas terhadap * +. Proses * + disebut dengan proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat. Fungsi nilai harapan dari, dinotasikan dengan yaitu, -, -, dengan. Misalkan dimana untuk setiap bilangan real, menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama dengan, dan misalkan pula maka untuk setiap bilangan real, dapat dinyatakan sebagai dengan. Misalkan adalah fungsi intensitas global dari komponen periodik pada proses * +. Diasumsikan Untuk setiap yang diberikan, dapat dituliskan sebagai berikut. Fungsi nilai harapan dari dapat dituliskan menjadi. /. Pendugaan fungsi nilai harapan dapat dibagi menjadi beberapa pendugaan, yaitu pendugaan, pendugaan yang merupakan kemiringan pada fungsi intensitas, pendugaan fungsi intensitas global, dan pendugaan yang merupakan nilai harapan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu, -. Rumusan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat adalah ( * dengan (, -) (, -)

(, -) (, -) (, -) dengan saat (, -) dan berimplikasi dengan saat (, -). Penduga bagi fungi nilai harapan dengan rumusan ini merupakan penduga yang konsisten lemah. Dengan pendekatan asimtotik bagi bias dan ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat, didapatkan [ ] * + dan, - untuk dimana adalah konstanta yang diketahui sebagai berikut ( ) Kata kunci: bias, fungsi intensitas periodik, fungsi nilai harapan, proses Poisson periodik, ragam, tren fungsi pangkat.

SUMMARY INTAN FITRIA SARI. Statistical Properties of the Estimator for the Mean Function of a Coumpond Cyclic Poisson Process with Power Function Trend. Supervised by I WAYAN MANGKU and HADI SUMARNO. A stochastic process models which using the rules of probability, have an important role in everyday life. For example, the arrival of a customer to a service center ( bank, post office, bookstore, supermarket, etc.) and the arrival of the telephone line can be modeled by a stochastic process. A stochastic process is divided into two stochastic processes, they are discrete time stochastic process and continuous time stochastic process. If the intensity is constant (not dependent to the time) the process is called homogeneous Poisson process, however if the intensity dependent to the time the process is called nonhomogeneous Poisson process,. Nonhomogeneous Poisson process is a generalization of the homogeneous Poisson process. One particular form of the nonhomogeneous Poisson process is periodic Poisson process, that is a Poisson process with intensity periodic function. One special form of stochastic process is compound Poisson process which can be used in modeling a wide variety of real phenomena. Bening and Korolev (2002 ) applying compound Poisson process in the insurance and finance. For example, compound Poisson process is used to model the aggregate amount of the claim, so that insurance companies can guess the amount of benefits to be obtained in the future. Previously, Byrne (1969 ) have used a compound Poisson process on some physical problem. In addition, the compound Poisson process has been applied to the fields of demographics ( Kegler 2007), geology ( Özel and Inal 2008), and biology ( Puig and Barquinero 2011). The study on the compound Poisson process using nonhomogeneous Poisson process was extensive. Therefore, the study begins with one particular form of the nonhomogeneous Poisson process, that is periodic compound Poisson process ( Ruhiyat 2013 ). The study was expanded to periodic compound Poisson process with linear trend ( Wibowo 2014). Furthermore, the study was expanded to periodic compound Poisson process with power function trend. Periodic compound Poisson process with power function trend is useful to search for generalization of the periodic nature of the compound Poisson process. Let * + be a non-homogeneous Poisson process with (unknown) locally integrable intensity function which is assumed to consist of two components, namely, a periodic or cyclic component with (known) period and a power function trend component. In other words, for any points, ) the intensity function can be written as where is a periodic function with period and is the power function trend component, where denotes the slope of the power function trend. It is also assumed that is known real number and. We do not assume any parametric form of except that it is periodic, that is, the equality holds for all, ) and, where denotes the set of integers. Let * + be a process with

where * + is a sequence of independent and identically distributed random variables with mean and variance, which is also independent of the process * +. The process * + is called a compound cyclic Poisson process with power function trend. The mean function (expected value) of, denoted by, is given by, -, - with Let where for any real number, denotes the largest integer less than or equal to, and let also Then for any given real number, we can write with. Let that is the global intensity of the cyclic component of the Poisson process * +. We assume that Then, for any given, we have which implies. /. Estimation of the mean function can be divided into several estimations, they are the estimation of, estimation of, estimation of the globally intensity function, and estimation of which is the expected value of the number of events that occur at time intervals, -. Formulation of the estimator for the mean function of a periodic compound Poisson process with power function trend is ( * where (, -) (, -) (, -) (, -) (, -) with the understanding that when (, -). Thus, when (, -). This estimator is weakly consistent. Asymptotic approximations to the bias and variance of the estimator are given by [ ] * + and

, - as where is a constant, which is given by ( ) Keywords: bias, compound Poisson process, cyclic intensity function, mean function, power function trend, variance.

Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2016 Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB

SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA FUNGSI NILAI HARAPAN PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT INTAN FITRIA SARI Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016

Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr Jaharuddin, MS

PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta ala atas segala karunia-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Desember 2015 ini ialah Pemodelan Matematika, dengan judul Sifat-sifat Statistik Penduga Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk dengan Tren Fungsi Pangkat. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc dan Bapak Dr Ir Hadi Sumarno, MS selaku pembimbing, serta Dr Jaharuddin, MS dan Drs Ali Kusnanto, MSi yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada Bapak, Ibu, Mas Aan, Mbak Fala, Muhammad Dinar Mardiana, seluruh keluarga, sahabat, serta teman-teman pascasarjana Matematika Terapan dan adik-adik di Departemen Matematika IPB atas doa dan dukungannya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Agustus 2016 Intan Fitria Sari

DAFTAR ISI DAFTAR LAMPIRAN PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 2 Manfaat Penelitian 2 Kerangka Penelitian 2 PERUMUSAN PENDUGA 3 Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan 3 Ide Penduga bagi Fungsi Intensitas Global ( ) 5 Ide Penduga bagi Fungsi Intensitas Sebagian. / 6 BEBERAPA LEMA TEKNIS 7 PENDEKATAN ASIMTOTIK UNTUK BIAS PENDUGA 10 PENDEKATAN ASIMTOTIK UNTUK RAGAM PENDUGA 13 SIMPULAN 19 DAFTAR PUSTAKA 20 LAMPIRAN 21 RIWAYAT HIDUP 47 vi

DAFTAR LAMPIRAN 1. Perumusan nilai harapan dari proses Poisson majemuk 21 2. Penjabaran sebagai nilai harapan dari 22 3. Beberapa lema teknis 23 4. Penjabaran ( ) 43

PENDAHULUAN Latar Belakang Proses stokastik merupakan model yang menggunakan aturan-aturan peluang yang mempunyai peranan yang cukup penting dalam kehidupan sehari-hari. Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Proses Poisson dibedakan menjadi dua, yaitu proses Poisson homogen dan proses Poisson takhomogen. Pada proses Poisson homogen fungsi intensitas (fungsi nilai harapan) merupakan fungsi yang konstan (tidak bergantung pada waktu), sedangkan pada proses Poisson takhomogen fungsi intensitas bergantung pada waktu. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson takhomogen yang fungsi intensitasnya berupa fungsi periodik. Proses ini merupakan salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu yang memiliki banyak manfaat dalam memodelkan berbagai macam fenomena nyata yang berkaitan dengan aturan peluang. Fenomena yang dapat dimodelkan dengan proses Poisson periodik di antaranya dalam bidang komunikasi, hidrologi, meteorologi, asuransi, dan seismologi (Helmers et al. 2003). Dalam suatu proses Poisson periodik, bentuk fungsi intensitas pada periode sebelumnya dengan sesudahnya memiliki pola yang serupa. Oleh sebab itu, dalam kehidupan sehari-hari proses Poisson periodik berguna untuk memprediksi suatu kejadian pada periode berikutnya. Proses Poisson majemuk merupakan salah satu bentuk khusus proses stokastik yang memiliki banyak manfaat dalam memodelkan berbagai macam fenomena nyata. Bening dan Korolev (2002) menerapkan proses Poisson majemuk pada bidang asuransi dan keuangan. Sebagai contoh, proses Poisson majemuk digunakan untuk memodelkan besarnya klaim agregat, sehingga perusahaan asuransi dapat menduga besarnya keuntungan yang akan diperoleh pada masa yang akan datang. Sebelumnya, Byrne (1969) telah menggunakan proses Poisson majemuk pada beberapa permasalahan fisika. Selain itu, proses Poisson majemuk telah diterapkan pada bidang demografi (Kegler 2007), geologi (Özel dan İnal 2008), dan biologi (Puig dan Barquinero 2011). Kajian terhadap proses Poisson majemuk dengan menggunakan proses Poisson takhomogen sangatlah luas. Oleh karena itu, kajian dimulai dengan salah satu bentuk khusus dari proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson periodik majemuk (Ruhiyat 2013). Setelah itu kajian diperluas menjadi proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear (Wibowo 2014). Selanjutnya kajian diperluas menjadi proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat (Sari 2015). Proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat bermanfaat untuk mencari perumuman dari sifat proses Poisson periodik majemuk. Pembahasan karya ilmiah ini difokuskan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat. Sebaran dari proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat sulit ditentukan, sehingga salah satu hal penting yang dapat diusahakan untuk ditentukan adalah penduga fungsi nilai harapan dari proses tersebut. Nilai harapan ini merupakan fungsi dari waktu karena proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat merupakan fungsi dari waktu. Kajian terkait perumusan penduga, kekonsistenan lemah, dan laju kekonvergenan ke nol

2 dari penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat telah dikaji oleh Sari (2015). Selanjutnya akan dianalisis sifat-sifat statistik dari penduga tersebut. Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. merumuskan penduga konsisten untuk fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat 2. menentukan pendekatan asimtotik bagi bias penduga 3. menentukan pendekatan asimtotik bagi ragam penduga. Manfaat Penelitian Penelitian ini diharapkan dapat memberikan informasi terkait perluasan pada bentuk proses Poisson sehingga dapat menjadi pertimbangan bagi peneliti lainnya dalam penggunaan untuk penelitian yang berkaitan dengan proses Poisson. Kerangka Penelitian Keterbatasan model proses Poisson majemuk akibat dari asumsi bahwa fungsi intesitas merupakan fungsi konstan, menjadikan model proses Poisson majemuk perlu dikembangkan. Pengembangan dapat dilakukan dengan mengganti komponen proses Poisson homogen pada proses Poisson majemuk menjadi proses Poisson periodik, sehingga modelnya menjadi proses Poisson periodik majemuk. Sebaran dari peubah acak Poisson periodik majemuk sulit ditentukan, sehingga salah satu hal penting yang dapat diusahakan untuk ditentukan adalah nilai harapan dari peubah acak tersebut. Pada penelitian ini, fungsi intensitas dari proses Poisson periodik tidak diasumsikan diketahui karena apabila fungsi intensitas tersebut diketahui, fungsi nilai harapan dapat dengan mudah ditentukan. Pada situasi ini, diperlukan pendugaan terhadap fungsi nilai harapan. Pendugaan diawali dengan merumuskan penduga bagi fungsi nilai harapan. Oleh karena itu, penduga yang diperoleh harus dianalisis kekonsistenannya, yaitu kekonsistenan lemah. Selain itu, untuk melihat perbedaan antara penduga dengan fungsi nilai harapan yang sebenarnya dilakukan analisis pendekatan asimtotik bagi bias dan ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat. Langkah-langkah penyelesaian penelitian ini adalah: 1. modifikasi perumusan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat 2. analisis sifat-sifat statistik penduga dengan pendekatan asimtotik bagi bias dan ragam penduga tersebut.

3 Gambar 1 Bagan Kerangka Penelitian PERUMUSAN PENDUGA Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan Misalkan * + adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan fungsi intensitas λ terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas diasumsikan mempunyai dua komponen, yaitu komponen periodik, dengan periode (diketahui) dan komponen tren fungsi pangkat. Dengan kata lain, untuk setiap, fungsi intensitas dapat dituliskan sebagai (1) dengan merupakan sebuah fungsi periodik dengan periode dan merupakan komponen tren fungsi pangkat, dimana melambangkan kemiringan dari tren fungsi pangkat. Diasumsikan juga bahwa merupakan bilangan real (diketahui) dan. Fungsi periodik tidak diasumsikan memiliki bentuk parametrik apapun kecuali berupa fungsi periodik yang dapat dituliskan sebagai (2) untuk setiap dan, dengan menyatakan himpunan bilangan asli. Misalkan * + adalah suatu proses dengan, (3) di mana * + merupakan barisan peubah acak yang independent and identically distributed dengan nilai harapan dan ragam, yang juga bebas terhadap * +. Proses * + disebut dengan proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat. Fungsi nilai harapan dari, dinotasikan dengan yaitu, -, -, (4) dengan. (5) Bukti persamaan (4) dapat dilihat pada Lampiran 1.

4 Misalkan dimana untuk setiap bilangan real, menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama dengan, dan misalkan pula maka untuk setiap bilangan real, dapat dinyatakan sebagai dengan. Selanjutnya untuk setiap yang diberikan dan adalah fungsi intensitas global dari komponen periodik pada proses * +, dapat dituliskan sebagai. (6) Bukti persamaan (6) dapat dilihat pada Lampiran 2. Diasumsikan Berdasarkan persamaan (4) dan (6), fungsi nilai harapan dari dituliskan menjadi. /. (7) dapat Pendugaan fungsi nilai harapan pada persamaan (7) dapat dibagi menjadi beberapa pendugaan, yaitu 1. Penduga bagi dirumuskan sebagai (, -) (, -), (8) dengan saat (, -) berimplikasi saat (, -) Penduga ini diperoleh dari rata-rata nilai peubah acak yang bersesuaian untuk setiap titik data pada interval pengamatan, - 2. Penduga bagi kemiringan dari tren fungsi pangkat, yaitu dirumuskan sebagai berikut: (, -). (9) Penjelasan persamaan (9) dapat dilihat pada Putra (2012), untuk. 3. Penduga bagi fungsi intensitas global dirumuskan sebagai berikut: (, -) (10) 4. Penduga bagi fungsi intensitas sebagian ( ) yang merupakan nilai harapan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu, - dirumuskan sebagai berikut: (, -) (11) Penduga bagi tingkat kemiringan, penduga bagi fungsi intensitas global, dan penduga bagi fungsi intensitas sebagian merupakan modifikasi dari pendugaan yang telah dikaji Putra (2012) untuk tujuan berbeda. Berdasarkan penduga pada persamaan (8), (9), (10), dan (11), penduga bagi fungsi nilai harapan dirumuskan sebagai berikut:. / (12) dengan saat (, -).

5 Ide Penduga bagi Fungsi Intensitas Global ( ) Fungsi intensitas global dari komponen periodik pada proses * + dirumuskan sebagai Misal. Untuk setiap s ϵ [0,n] dan setiap k bilangan positif dan setiap kτ ϵ [0,n], dapat ditulis sebagai Karena merupakan fungsi periodik yaitu maka ( ) Perhatikan untuk di sekitar nol, berlaku bahwa, untuk (, -) ( (, -)). / ( (, -)) ( ) ( (, -)). / (, -) Karena (Titchmarsh 1960), maka

6 (, -) Sehingga didapat penduga untuk θ yaitu (, -) Ide Penduga bagi Fungsi Intensitas Sebagian. / Fungsi intensitas sebagian dari komponen periodik pada proses * + dirumuskan sebagai Misal. Untuk setiap s ϵ [0,n] dan setiap k bilangan positif dan setiap kτ ϵ [0,n], dapat ditulis sebagai Karena merupakan fungsi periodik maka sehingga Perhatikan untuk di sekitar nol, berlaku bahwa, untuk (, -) (, -) ( )

7 (, -) ( ) (, -) ( ) (, -) Karena (Titchmarsh 1960), maka (, -) Sehingga didapat penduga untuk yaitu (, -) BEBERAPA LEMA TEKNIS Lema 1: Jika fungsi intensitas maka memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, ( ). / untuk n. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3. Lema 2: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka ( ). / untuk n. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3. Lema 3: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, serta 0 < b < 1 maka ( ) ( ) untuk n. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3. Lema 4: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal. Jika, maka jika ( ) ( ) (, maka ( ). /. / +

8 dan jika, maka ( ) ( ) untuk n. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3. Lema 5: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, serta maka. / untuk n. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3. Lema 6: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal. Jika, maka jika. / ( ). /. /, maka. / ( ) dan jika, maka. / ( ) untuk n. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.. /, Akibat 1: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka (( ) ) untuk. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3.. / Akibat 2: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal. Jika, maka.( ) / jika kasus dan jika kasus.( ) /. /, maka ( ).( ) /. /. /, maka

9 untuk n. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3. Akibat 3: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal. Jika, maka jika (. / * (, maka (. / * ( dan jika, maka (. / * ) ( ). / untuk n. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3. Lema 7: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, serta maka ( ) untuk n. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3. Lema 8: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal serta maka. / untuk n. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3. Lema 9: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal serta 0 < b < 1 maka. / untuk n. Bukti dapat dilihat pada Lampiran 3. )

10 PENDEKATAN ASIMTOTIK UNTUK BIAS PENDUGA Teorema 1 (Aproksimasi Asimtotik bagi Bias Penduga) Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal. Jika memenuhi persamaan (3), maka [ ] * + untuk Artinya, [ ] konvergen ke nol jika. Bukti Teorema 1: [ ] 0 [ (, -)]1 [ (, -) ] ( (, -) ) [ (, -) ] ( (, -) ) [ (, -) ] ( (, -) ) Untuk (, -) maka. Sedangkan untuk (, -), ( (, -) * (, -) Sehingga untuk,, (, -) - [( * ]. ( ). / ( ) /. /. Berdasarkan Lema 1, Lema 3, dan Lema 5 diperoleh, (, -) - ( ( ). / ( )+ ( + ( ( + ( + ( )) ( +

11 (( ) ( +) (( ) ( +) (( ) ( +) untuk. Jadi, [ ] [ (, -) ] ( (, -) ) (( ) ( +) ( (, -) )

12 (( )+ ( (, -) ) ( ( + ( (, -) ) ( ( (, -) )) + ( ( ( ( (, -) )) + ) ( ( ) ) ( ( + ) ( ) Karena ( (, -)) ( ) maka [ ] ( ( + ) ( ) ( ) * + untuk. Jadi, [ ] [ ] * + * + untuk. Bukti lengkap.

13 PENDEKATAN ASIMTOTIK UNTUK RAGAM PENDUGA Teorema 2 (Aproksimasi Asimtotik bagi Ragam Penduga) Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal. Jika memenuhi persamaan (3), maka, - untuk dengan merupakan konstanta dengan ( ( ) ) Artinya,, - konvergen ke nol jika. Berdasarkan Teorema 1, yaitu [ ] konvergen ke nol jika dan Teorema 2, yaitu, - konvergen ke nol jika penduga bagi merupakan penduga yang konsisten lemah. Bukti Teorema 2: Berdasarkan sifat dari ragam, ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan dapat diperoleh dari rumusan berikut:, - [ ] 0. /1. (13) Suku kedua dari ruas kanan persamaan (13) telah diperoleh pada persamaan Teorema 1 sehingga tersisa suku pertama yang perlu dihitung. Momen kedua dari penduga bagi fungsi nilai harapan dapat ditentukan melalui nilai harapan bersyarat berikut [ ] [ 0[ ] (, -)1] [ ] (, - ) ( (, -) ) [ ] (, - ) ( (, -) ) [ ] (, - ) ( (, -) ) Untuk (, -) maka. Sedangkan untuk (, -), ( Sehingga untuk, [ (, -) ] (, -) * (, -) [(( * ) ]

14 ( * ( + Pertama dihitung *( * +. / ( ) ( ). / ( ) ( ) Berdasarkan Lema 7-9 dan Akibat 1-3, persamaan dapat dibedakan menjadi tiga kasus, sehingga untuk dapat ditulis sebagai *( * + ( ( + ) ( ( ) ) ( ) ( + ( ( + +

15 ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) untuk. Kedua, dihitung ( + [ ] * + * + [ ]

16 Jadi diperoleh untuk, [ (, -) ] (( ) ( ( ) ) ) (( ) + ( ( ( ) ) + (( ) ( ( ) untuk. ))

17 Oleh karena itu, [ ] [ 0[ ] (, -)1] ( (, -) ) *(( ) + ( ( ( ) )++ ( (, -) ) (( ) ( ( ) )) untuk. Pada bukti Teorema 1, telah diperoleh ( ( (, -) ) ( ) ) (14) untuk. Dengan cara serupa, dapat diperoleh ( (, -) ). / (15) untuk. Bukti persamaan (15) telah dikaji pada Wibowo (2014). Dengan persamaan (14) dan (15), dapat dituliskan [ ] [ 0[ ] (, -)1]

18 *(( ) + ( ( ( ) )++ ( ) ( ( *, (( ) ( ( ) )) ( ) ( ( +) untuk. Dengan langkah yang sama, diperoleh untuk kasus dan. Sehingga, dengan pendekatan asimtotik untuk ragam penduga, diperoleh ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan untuk adalah sebagai berikut, - 0[ ] 1 0. /1 ( ) ( ( ) ( +) ( +

19 ( ( ) ( )+ untuk. Bukti lengkap. SIMPULAN Rumusan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat adalah ( * dengan (, -) (, -) (, -) dan (, -) (, -) dengan saat (, -), sehingga jika (, -) Penduga bagi fungsi nilai harapan ini merupakan penduga yang konsisten lemah. Pendekatan asimtotik bagi bias dan ragam penduga ini adalah [ ] * + dan, - ( ( ) ( )) untuk

20 DAFTAR PUSTAKA Bening VE, Korolev VY. 2002. Generalized Poisson Models and Their Applications in Insurance and Finance. Boston (US): VSP International Science Publishers. Byrne J. 1969. Properties of compound Poisson processes with applications in statistical physics. Physica 41:575-587. Helmers R, Mangku IW, Zitikis R. 2003. Consistent estimation of the intensity function of a cyclic Poisson process. J. Multivariate Anal. 84(1):19-39. Hogg RV, McKean JW, Craig AT. 2014. Introduction to Mathematical Statistics. Ed. ke-7. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall. Kegler SR. 2007. Applying the compound Poisson process model to reporting of injuryrelated mortality rates. Epidemiologic Perspectives & Innovations 4:1-9. Mangku IW. 2001. Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson Process (Ph.D.Thesis). Amsterdam : University of Amsterdam. Mangku IW, Ruhiyat, IGP Purnaba. 2013. Statistical Properties of an Estimator For the Mean Function of a Compound Cyclic Poisson Process. Far East J. Math. Sciences (FJMS) 82(2):227-237. Öze G İnal C 2008. The probability function of the compound Poisson process and an application to aftershock sequence in Turkey. Environtmetrics 19:79-85. Puig P, Barquinero JF. 2011. An application of compound Poisson modeling to biological dosimetry. Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci. 467(2127):897-910. Putra D. 2012. Kekonsistenan penduga dari fungsi sebaran dan fungsi kepekatan waktu tunggu dari proses Poisson periodik dengan tren fungsi pangkat [tesis]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor. Ross SM. 2010. Introduction to Probability Models. Ed. ke-9. Orlando, Florida: Academic Press Inc. Ruhiyat. 2013. Pendugaan fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk [tesis]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor. Ruhiyat, I. W. Mangku and I.G. Purnaba. 2013. Consistent estimation of the mean function of a compound cyclic Poisson process. Far East J. Math. Sci (FJMS) 77(2): 183-194. Titchmarsh EC. 1960. The Theory of Function. London (GB): Oxford University Press. Sari IF. 2015. Pendugaan fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat [sikrpsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor. Wibowo B. 2014. Pendugaan fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.

21 Lampiran 1 Perumusan nilai harapan dari proses Poisson majemuk Bukti persamaan (4) :, -, -. Berdasarkan persamaan (3),, - Dengan menggunakan sifat nilai harapan, Selanjutnya terlebih dahulu ( ) 0 0 1 0. /1. 1 ( + karena barisan peubah acak * + bebas terhadap proses * +. Kemudian, karena * + adalah barisan peubah acak i.i.d, maka, sehingga. /. Akhirnya diperoleh, -, -, -. Bukti lengkap.

22 Lampiran 2 Penjabaran sebagai nilai harapan dari Bukti persamaan (6) : ( ) ( ) Berdasarkan Ruhiyat (2013): ( ), sehingga diperoleh. Bukti lengkap.

23 Lampiran 3 Beberapa Lema Teknis Lema 1: Jika fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka ( ). / untuk n. Bukti: Nilai harapan dari dapat ditulis sebagai ( (, -)) ( ) ( ) untuk. Bukti lengkap. Lema 2: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka ( ). / untuk n. Bukti: Ragam dari dapat ditulis sebagai ( (, -)) ( ) ( (, -)) ( ) untuk. Bukti lengkap. Lema 3: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, serta 0 < b < 1 maka ( ) ( ) untuk n. Bukti: Nilai harapan dari dapat ditulis sebagai

24 ( ), (, -)- ( ) ( ) ( + ( ) ( + ( + ( ) ( + ( ) untuk. Bukti lengkap. Lema 4: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal. Jika kasus, maka ( ) ( ) ( jika kasus jika kasus, maka ( )., maka /. / ( ) ( ) untuk n. + Bukti: Untuk setiap, dimana maka (, -) dan (, ( ) -)tidak saling tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga (, -) dan

(, -) adalah bebas untuk Telah didefinisikan penduga bagi yaitu sehingga ( ) dapat dihitung sebagai ( ) (16) dengan memisalkan 25 (, -) Perhatikan, ( (, -)) ( (, -)) Karena merupakan proses Poisson, maka, sehingga persamaan di atas dapat ditulis menjadi ( (, -)) ( ) ( ) (17) Perhatikan bahwa i. untuk ii. untuk iii. untuk jika (Titchmarsh 1960). (18) Dengan menggunanakan persamaan (18), persamaan (17) dapat dibedakan menjadi tiga kasus. Perhatikan pula bahwa untuk Untuk kasus pertama,, persamaan (17) menjadi

26 ( ) untuk ( + (19) Untuk kasus pertama,, persamaan (17) menjadi. / ( + untuk Untuk kasus pertama,, persamaan (17) menjadi (20) ( ) untuk (21)

27 Berikutnya untuk suku kedua ruas kanan (16), sehingga sebagai ( ) ( ) ( + dapat diperoleh (22) untuk Selanjutnya, pada suku ketiga ruas kanan (16), diperoleh sebagai ( (, -) ) ( (, -) ) ( (, -) (, -) ) ( (, -) (, -), Untuk setiap, dimana maka (, -) dan (, ( ) -) tidak saling tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga (, -) dan (, -)adalah bebas untuk ( (, -) (, -), (, -) (, -) ( )

28 ( ) ( + (23) untuk Berdasarkan penjabaran di atas dan menyubstitusikan persamaan (19)-(23) ke persamaan (16), diperoleh ( ) yang dibedakan menjadi tiga kasus berikut, yaitu untuk kasus, diperoleh ( ) ( ) ( untuk kasus untuk kasus, diperoleh ( )., diperoleh /. / ( ) ( ) untuk n. Bukti lengkap. + Lema 5: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, serta maka. / untuk n. Bukti.: Nilai harapan dari. / dapat ditulis sebagai ( (, -)) ( ) ( ) ( + ( ) ( +

29 ( +. / ( + ( ) ( + untuk. Bukti lengkap. Lema 6: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal. Jika kasus, maka. / ( ). /. / jika kasus, maka. / ( ) jika kasus, maka. / ( ) untuk n.. /, Bukti: Untuk setiap, dimana maka (, -) dan (, ( ) -)tidak saling tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga (, -) dan (, -) adalah bebas untuk Telah didefinisikan penduga bagi yaitu sehingga ( ) dapat dihitung sebagai. / (24) dengan memisalkan (, -)

30 Perhatikan, ( (, -)) ( (, -)) Karena merupakan proses Poisson, maka, sehingga persamaan di atas dapat ditulis menjadi ( (, -)) ( ) ( ) (25) Perhatikan bahwa i. untuk ii. untuk iii. untuk jika (Titchmarsh 1960). (26) Dengan menggunanakan persamaan (26), dapat dibedakan menjadi tiga kasus. Perhatikan pula bahwa untuk Untuk kasus pertama,, persamaan (25) menjadi

31 ( ) untuk Untuk kasus kedua, ( +, persamaan (25) menjadi (27) ( ) ( + untuk (28) Untuk kasus ketiga,, persamaan (25) menjadi

32 ( ) ( + (29) untuk Berikutnya untuk suku kedua ruas kanan (24), sehingga dpat diperoleh sebagai berikut ( ) ( ) ( + (30) untuk Selanjutnya, dengan menggunakan Chaucy Schwarz pada suku ketiga ruas kanan (24), diperoleh sebagai berikut ( (, -) ) ( (, -) ) ( (, -) (, -) ) ( (, -) (, -), Untuk setiap, dimana maka (, -) dan (, ( ) -)tidak saling tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga (, -) dan (, -)adalah bebas untuk ( (, -) (, -),

33 (, -) (, -) ( ) ( ) ( + (31) unutk Berdasarkan penjabaran di atas dan menyubstitusikan persamaan (27)-(31) ke persamaan (24), diperoleh ( ) yang dibedakan menjadi tiga kasus sebagai berikut, yaitu untuk kasus, diperoleh. / ( ). /. / untuk kasus, diperoleh. / ( ) untuk kasus, diperoleh. / ( ) untuk n. Bukti lengkap.. /, Akibat 1: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka (( ) ) untuk.. /

34 Bukti: (( ) ) ( ) ( ( )) ( + untuk. Akibat 2: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal. Jika kasus, maka.( ) / jika kasus ( )). /, maka (.( ) /. /. / Dan jika kasus.( ) / untuk n., maka Bukti:.( ) / ( ). ( )/ untuk kasus, diperoleh.( ) / ( ) ( ). / (. /* ( + untuk kasus, diperoleh.( ) /. /. / ( ( ). /*

35 untuk kasus, diperoleh.( ) / ( ). / (. /* untuk n. Akibat 3: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal. Jika kasus, maka (. / * jika kasus (, maka (. / * ( dan jika kasus untuk n. Bukti: ) ( ). /, maka (. / * (. / *. / (. /* (. / * ( ) ( ). / ) (. /)

36 ( ) untuk kasus, diperoleh (. / * ( ). /. / (. /) ( ) ( ) untuk kasus (. / *, diperoleh ( ). / (. /) untuk n. Lema 7: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, serta maka ( ) untuk n. Bukti: Nilai harapan dari adalah sebagai berikut: Misal (, -) dan ( ) ( (, -) + ( (, -) (, -) ) ( (, -) )

37 ( (, -) (, -)) (32) ( ) Perhatikan bahwa ( (, -) (, -)) ( (, -) (, -)) ( (, -)) ( (, -)) ( ( (, -) (, -))) ( ( (, -))) ( (, -)) ( (, -)) ( ( (, -))) ( (, -)) Karena Poisson, maka, sehingga diperoleh ( (, -)) ( ( (, -))) ( (, -)) ( (, -)). ( (, -))/ ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( +

38 ( + ( + untuk Suku kedua persamaan (32) dapat dituliskan sebagai berikut ( ) ( + untuk Sehingga ( (, -) (, -)) ( ) ( + ( + untuk Lema 8: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal serta maka. / untuk n. Bukti: Nilai harapan dari adalah sebagai berikut: Misal (, -) dan. / ( (, -) +

39 ( (, -) (, -) ) ( (, -) ) ( (, -) (, -), (33) ( ) Perhatikan bahwa ( (, -) (, -), ( (, -) (, -), ( (, -)) ( (, -)) ( ( (, -) (, -))) ( ( (, -))) ( (, -)) ( (, -)) ( ( (, -))) ( (, -)) Karena Poisson, maka, sehingga diperoleh ( (, -)) ( ( (, -))) ( (, -)) ( (, -)). ( (, -))/ ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) )

40 ( ( ) ) ( + ( + ( + untuk Suku kedua persamaan (33), dapat ditulis sebgai berikut ( ) ( + untuk Sehingga diperoleh ( (, -) (, -)) ( ) (( ) ( ) + untuk Lema 9: Jika fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal serta 0 < b < 1 maka. / untuk n.

41 Bukti: Misalkan (, -) (, -) Perhatikan bahwa ( ) Berdasarkan Lampiran 4. Diperoleh ( ) untuk Nilai harapan dari adalah sebagai berikut:. / ( ) ( ). / ( ( )) ( ). /. / ( ) ( ). /. / ( ) ( ). / Berdasarkan Lema 6, diperoleh. / dalam tiga kasus, yaitu untuk, diperoleh. / ( ) ( ). / ( ( ) + ( + ( + untuk, diperoleh. / ( ) ( ). /

42 ( ( ) ( + + ( + untuk, diperoleh. / ( ) ( ). / ( ( ) ) ( + ( + untuk

43 Lampiran 4 Penjabaran ( ) Bukti persamaan Misalkan ( ) (, -) Perhatikan bahwa Misal (, -) ( ) (, -) (, -) Sehingga dapat ditulis ( ) Pertama dihitung ( (, -) (, -)) Kedua dihitung ( (, -), ( (, -) ) ( (, -) (, -),

44 ( ) ( (, -) (, -), (, -) Karena Poisson, maka, sehingga diperoleh (, -) ( + untuk Ketiga dihitung ( (, -) ) ( (, -) ) ( (, -) (, -),

45 ( ) ( (, -) (, -), ( (, -)) Karena poisson, maka, sehingga diperoleh ( (, -)) ( ( [, -], -)) * + untuk Keempat dihitung. / ( ) ( ) ( +

46 untuk Sehingga diperoleh ( ) untuk Bukti lengkap.

47 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Kudus pada tanggal 12 Maret 1994 sebagai anak kedua dari dua bersaudara dari pasangan Sukandar dan Suti ah. Tahun 2011 penulis lulus dari SMA 1 Kudus. Tahun 2015 penulis lulus sebagai Sarjana Sains dari Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IPB dan pada tahun yang sama secara resmi diterima di Pascasarjana IPB dengan Program Studi Matematika Terapan (MAT), namun penulis telah mengikuti kegiatan perkuliahan di S-2 MAT sejak September 2014 melalui program sinergi IPB (fasttrack). Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif sebagai pengurus Gugus Mahasiswa Pasca Sarjana Matematika (Gumapastika) IPB sebagai staf Hubungan Masyarakat pada tahun 2015.