Lecture 1: Concept of Game Theory A. Pendahuluan Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai kegiatan-kegiatan yang bersifat kom-petitif yang diwarnai dengan suatu keadaan persaingan (konflik). Persaingan (konflik) ini dapat dilakukan di antara 2 pihak atau sejumlah orang (grup). Beberapa contoh kegiatan tersebut antara lain: bidang perdagangan (bisnis), olahraga, peperangan (pertahanan), dan politik. Masih banyak kegiatan-kegiatan lain yang bersifat kompetitif. Namun tidak setiap keadaan persaingan (konflik) dapat disebut sebagai permainan (game). Hanya persaingan yang memenuhi kriteria atau ciri-ciri tertentu saja yang dapat disebut sebagai permainan. Kriteria atau ciri-ciri tersebut adalah: 1. Terdapat persaingan kepentingan di antara pemain (pelaku) 2. Setiap pemain mempunyai sejumlah pilihan, terbatas atau tidak, yang disebut strategi. 3. Aturan permainan untuk mengatur pilihan-pilihan itu disebutkan satu-satu dan diketahui oleh semua pemain. 4. Hasil permainan dipengaruhi oleh pilihan-pilihan yang dibuat oleh semua pemain dan hasil untuk seluruh kombinasi pilihan oleh semua pemain diketahui dan didefinisikan secara numerik. Salah satu contoh persaingan yang bukan merupakan suatu permainan adalah perdebatan di antara dua orang. Hal tersebut disebabkan motivasi yang mendasarinya adalah permusuhan dan bukan suatu logika. B. Klasifikasi Permainan Berdasarkan jumlah langkah dan pilihan: 1. Permainan berhingga (finite game), yaitu suatu permainan yang mempunyai sejumlah langkah berhingga, dengan setiap langkah yang memuat pilihan yang berhingga pula. 2. Permainan tak berhingga (infinite game), yaitu untuk suatu permainan selain permainan berhingga. Berdasarkan jumlah pemain (orang): Suatu permainan dikatakan permainan n orang jika jumlah orang yang bermain adalah n. Di sini orang dapat berperan sebagai individu atau kelompok. Berdasarkan jumlah pembayaran 1. Permainan berjumlah nol (zero sum game), yaitu suatu permainan dengan jumlah kemenangan kedua belah pihak sama dengan nol. Hal ini berarti bahwa jumlah pembayaran yang diterima bagi salah satu pemain yang menang sama dengan jumlah pembayaran yang dibayarkan oleh pihak yang kalah. Dalam hal ini, kemenangan dari pihak yang satu merupakan kekalahan pihak lainnya. Bila ada dua orang yang ber-main di dalam permainan maka dinamakan permainan berjumlah nol dari dua orang (two person zero sum game). Jika ada n orang (pemain) dinamakan permainan berjum-lah nol dari n orang (n person zero sum game). 2. Permainan berjumlah tidak nol (non zero sum game), yaitu permainan dengan total pembayaran dari masing-masing pemain pada akhir suatu permainan tidak sama dengan nol. Permainan ini dapat dimainkan 2 orang atau n orang.
C. Matriks Pembayaran (Pay off Matrix) Matriks pembayaran (pay off matrix) adalah suatu tabel berbentuk segi empat dengan elemenelemennya yang merupakan besarnya nilai pembayaran yang bersesuaian dengan strategi yang digunakan oleh kedua pihak. Matriks pembayaran two person zero sum game. Bentuk umum matriks pembayaran ini adalah: Pemain Pertama (P 1) Pemain Kedua (P 2) i/j 1 2 3... n 1 a11 a12 a13... a1n 2 a 21 a 22 a 23... a 2n 3 a 31 a 32 a 33... a 3n.................. m a m1 a m2 a m3... a mn Keterangan: m adalah banyaknya strategi yang dipunyai oleh P1. n adalah banyaknya strategi yang dipunyai oleh P 2. a ij, i = 1, 2,..., m dan j = 1, 2,..., n adalah nilai pembayaran yang didefinisikan secara numerik (bilangan positif, negatif atau nol) yang bersesuaian dengan strategi ke i bagi pemain P 1 dan strategi ke j bagi pemain P 2. Dengan demikian, baris-baris dari matriks pembayaran tersebut menunjukkan strategi bagi pemain P 1 dan kolom-kolom matriks pembayaran menunjukkan strategi bagi pemain P 2. Matriks pembayaran A = (a ij), dengan i = 1, 2,..., m dan j = 1, 2,..., n, menunjukkan pembayaran kepada pemain pertama P1, sehingga pembayaran untuk pemain kedua P2 merupakan negatif dari pembayaran kepada pemain pertama P 1. Dengan kata lain, jika pemain pertama P 1 menerima pembayaran sebesar a ij, maka pemain kedua P 2 harus membayar sebesar a ij atau menerima pembayaran sebesar -a ij. Pemain pertama P 1 (pemain baris) merupakan pemain yang berusaha memaksimumkan perolehan (pembayaran atau keuntungan), sedangkan pemain kedua P 2 (pemain kolom) merupakan pemain yang berusaha meminimumkan pembayaran (kerugian). Contoh. Adanya persaingan perebutan pasar barang-barang elektronika dari pengu-saha A dan pengusaha B dengan mengadakan kampanye promosi. Pengusaha A meng-gunakan 3 media promosi, yaitu televisi, radio, dan surat kabar, sedangkan pengusaha B hanya menggunakan 2 media promosi, yaitu televisi dan radio. Dengan informasi pasar yang diperoleh dari hasil riset pemasaran diperoleh data sebagai berikut: Jika pengusaha A melakukan promosi menggunakan media televisi dan media B juga berpromosi dengan media televisi, maka pengusaha A akan memperoleh keuntungan Rp. 5.000.000,- (5 juta). Jika pengusaha A melakukan promosi menggunakan media radio dan pengusaha B berpromosi dengan televisi, maka pengusaha A akan memperoleh keuntungan sebesar Rp. 6.000.000,- (6 juta).
Pengusaha A akan rugi sebesar Rp. 10.000.000,- (10 juta) jika berpromosi menggunakan media surat kabar di saat pengusaha B berpromosi menggunakan televisi. Jika pengusahan A berpromosi menggunakan televisi dan pengusaha B berpromosi menggunakan radio, maka baik pengusaha A maupun pengusahan B tidak akan dapat menikmati keuntungan atau pun kerugian. Jika kedua pengusaha tersebut sama-sama menggunakan media radio, maka pe-ngusaha B akan memperoleh keuntungan sebesar Rp. 2.000.000,- (2 juta). Pengusaha B juga akan memperoleh keuntungan sebesar Rp. 3.000.000,- (3 juta) jika ia promosi menggunakan media radio di saat pengusaha A berpromosi meng-gunakan media surat kabar. Dari data tersebut, dapat disajikan matriks pembayaran (dalam jutaan rupiah): Pengusaha A Pengusaha B i/j Televisi Radio Televisi 5 0 Radio 6-2 Surat Kabar -10-3 Penjelasan: a 11 = 5 berarti keuntungan bagi pengusaha A sebesar 5. a21 = 6 berarti keuntungan bagi pengusaha A sebesar 6. a 31 = -10 berarti keuntungan bagi pengusaha B sebesar 10. a 12 = 0 berarti tidak ada yang untung atau rugi. a 22 = -2 berarti keuntungan bagi pengusaha B sebesar 2. a 32 = -3 berarti keuntungan bagi pengusaha B sebesar 3. Matriks pembayaran n person zero sum game. Sesuai dengan pengertian dari teori permainan, maka untuk jumlah pemain n > 2 dibentuk menjadi 2 kelompok yang juga saling berhadapan (bersaing). Pengelompokan ini dikenal dengan istilah koalisi. Contoh. Misalnya ada 3 pemain, yaitu A, B, dan C. Pemain A mempunyai 2 strategi, yaitu X1, X2. Pemain B mempunyai 2 strategi, yaitu Y1, Y2. Pemain C mempunyai 2 strategi, yaitu Z 1, Z 2. Dengan data sebagai berikut: Strategi Pembayaran A B C A B C X 1 Y 1 Z 1-3 2 1 X1 Y1 Z2 4-5 1 X 1 Y 1 Z 3 0 2-2 X 1 Y 2 Z 1-6 4 2 X 1 Y 2 Z 2 2-4 2 X 1 Y 2 Z 3 4 0-4 X 2 Y 1 Z 1 1 1-2 X 2 Y 1 Z 2-1 -2 3 X 2 Y 1 Z 3 2 1-3 X2 Y2 Z1-3 -2 5
X 2 Y 2 Z 2-1 1 0 X 2 Y 2 Z 3 4-1 -3 Dengan jumlah pemain n = 3, maka terdapat 3 koalisi yang mungkin, yaitu: A melawan B dan C; A dan B melawan C; B melawan A dan C. Dengan demikian, ada 3 buah matriks pembayaran sesuai dengan koalisi tersebut. Matriks pembayaran untuk A melawan B dan C. Pemain A dipandang sebagai pemain baris. Pemain A Pemain B, C i/j Y 1, Z 1 Y 1, Z 2 Y 1, Z 3 Y 1, Z 1 Y 1, Z 2 Y 1, Z 3 X 1-3 4 0-6 2 4 X2 1-1 2-3 -1 4 Matriks pembayaran pada tabel di atas merupakan matriks pembayaran untuk pemain A melawan pemain B dan C, sehingga elemen-elemen dalam matriks pembayaran tersebut dipandang dari pemain A. Sekarang akan disajikan matriks pembayaran dengan memandang koalisi B dan C sebagai pemain baris. Pemain B, C Pemain A i/j X1 X2 Y 1, Z 1 3-1 Y 1, Z 2-4 1 Y1, Z3 0-2 Y 1, Z 1 6 3 Y 1, Z 1-2 1 Y1, Z1-4 -4 Dari kedua tabel tersebut akan dihasilkan strategi optimal yang sama pula. Pada tabel pertama: a 11 = -3. Hal ini berarti bahwa jika pemain A memilih strategi X1 dan pemain koalisi BC memilih strategi Y1Z1, maka pemain A akan membayar sebesar 3 kepada pemain koalisi B dan C. Dalam hal ini, pemain koalisi BC menang. Pada tabel kedua: a 11 = 3. Hal ini berarti bahwa jika pemain koalisi BC memilih strategi Y1Z1 dan pemain A memilih strategi X1, maka pemain koalisi BC akan memperoleh pembayaran sebesar 3. Dalam hal ini, pemain koalisi BC menang. Demikian juga dengan elemen-elemen yang lain. Jadi, penyajian matriks pembayarannya bisa seperti seperti tabel pertama atau kedua. Matriks pembayaran untuk pemain koalisi AB melawan C. Pemain koalisi AB dipandang sebagai pemain baris. Pemain A, B Pemain C i/j Z1 Z2 Z3 X 1, Y 1-1 -1 2 X 1, Y 2-2 -2 4 X 2, Y 1 2-3 3 X 2, Y 2-5 0 3
Elemen a 11 = -1 diperoleh dari penjumlahan pembayaran untuk pemain A dan pemain B jika koalisi AB memilih strategi X 1,Y 1 dan pemain C memilih strategi Z 1. Jadi a 11 = -3 + 2 = -1. Demikian juga untuk elemen-elemen lain. a12 = 4-5 = -1 a32 = -1-2 = -3 a 13 = 0 + 2 = 2 a 33 = 2 + 1 = 3 a 21 = -6 + 4 = -2 a 41 = -3-2 = -5 a 22 = 2-4 = -2 a 42 = -1 + 1 = 0 a23 = 4 + 0 = 4 a43 = 4-1 = 3 a 31 = 1 + 1 = 2 Demikian juga untuk bentuk pasangan koalisi yang lain. Dalam tabel soal terlihat bahwa jumlah pembayaran untuk semua pemain dalam setiap kombinasi pemili-han strategi para pemain sama dengan nol. D. Matriks Pembayaran (Pay off Matrix) Dari matriks pembayaran yang tersedia terlihat bahwa kedua pihak (pemain) yang saling bersaing tersebut dapat menentukan strategi optimum dan nilai permainannya. Strategi optimum adalah strategi yang menjadikan seorang pemain (pihak) berada dalam posisi pilihan terbaik, tanpa memperhatikan langkah-langkah pemain pesaingnya. Pengertian posisi pilihan terbaik ini bahwa setiap penyimpangan dari strategi ini akan mengakibatkan turunnya pembayaran (pay off). Nilai permainan (value of the game) adalah rata-rata pembayaran (ekspetasi perole-han) per permainan jika kedua pihak (pemain) yang saling bersaing tersebut melakukan strategi optimum (strategi yang terbaik) mereka. Dengan kata lain, nilai permainan adalah suatu pembayaran yang bersesuaian dengan strategi optimum yang dilakukan oleh kedua pemain tersebut. Yang dimaksud dengan nilai di sini adalah nilai yang diperoleh pihak (pemain) pertama pada akhir suatu permainan. Berdasarkan nilai permainan, permainan dapat dibedakan menjadi dua jenis, yaitu: 1. Permainan dikatakan adil (fair) jika nilai permainan sama dengan nol. 2. Permainan dikatakan tidak adil (unfair) jika nilai permainan tidak sama dengan nol. E. Sejarah Singkat Perkembangan Teori Permainan Teori permainan strategi diperkenalkan untuk pertama kalinya oleh seorang ahli matematika bangsa Prancis yang bernama Emile Borel pada tahun 1921. Namun baru pada tahun 1928 John Von Neumann berhasil untuk pertama kalinya menganalisis dan menyatakan pembuktiannya, yang sekarang dikenal sebagai pembuktian dari teorema minimax, yang mencakup prinsip dasar tentang minimisasi dari kerugian (kekalahan) maximum, yang menjadi teorema dasar dalam teori permainan. Walaupun demikian, baru pada tahun 1944, kerja nyata bidang teori permainan ditampilkan dalam buku yang berjudul The Theory of Games and Economics Behavior. Buku ini ditulis oleh John Von Neumann dengan Oskar Morganstern, seorang ahli ekonomi. Pada tahun yang hampir bersamaan, yaitu pada tahun 1947, di saat Jon Von Neumann dan Oskar Morganstern sedang mempublikasikan karyanya tersebut, tampil juga pengembangan dan penggunaan program linear oleh George Dantzig. Dari sini kemudian diketemukan bahwa permasalahan dalam teori permainan dapat dirumuskan sebagai kasus khusus dari program linear
di mana bagian-bagian dari metode simpleks dalam program linear yang dikenalkan oleh George Dantzig tersebut akhirnya digunakan untuk membuktikan teorema minimax dalam teori permainan dan digunakan untuk menentukan solusi dari permainan yang berukuran besar. Sejak saat itu, teori permainan mendapatkan perhatian yang begitu besar dan digunakan pada bidang ekonomi, politik, olahraga, militer, dan bidang-bidang lainnya.