4 Oleh : Debrina Puspita Andriani, ST., M.Eng Teknik Industri Universitas Brawijaya e-mail : debrina@ub.ac.id www.debrina.lecture.ub.ac.id
O 1. Gradien a. Gradien Aritmatik b. Gradien Geometrik 2. Bunga Nominal vs Bunga Efektif 3. Majemuk Kontinyu 4. Pemajemukan Kontinyu untuk Aliran Kas Diskrit 5. Pemajemukan Kontinyu untuk Aliran Kas Kontinyu U T L I N E ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 2
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 3
1. GRADIEN ARITMATIK 1 A G i A G n ( 1+ i) n ( A/ G, i, n) 1 ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 4
GRADIEN ARITMATIK CONTOH 1 (1) Seseorang berencana untuk menyimpan pemasukannya per tahun sebesar $1000 dan dapat menaikkan pemasukannya sebesar $200/tahun selama 9 tahun berikutnya. Rangkaian cashflow bermula pada akhir tahun pertama, dan jumlah tabungan terakhir akan terjadi pada akhir tahun kesepuluh Bila bunga adalah 8% per thn, berapa annual worth yang setara yang dimulai pada akhir tahun 1 dan berakhir pada tahun 10, dimana annual worth tsb memperhitungkan adanya rangkaian gradien/kenaikan pemasukan $200/thn? ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 5
GRADIEN ARITMATIK CONTOH 1 (2) SOLUSI : " 1 A $1.000 + $200 0, 08 10 $ # $ 1+ 0, 08 ( ) 10 1 " A $1.000 + $200 12, 5 10 % $ ' # 1,1589& [ ] [ ] A $1.000 + $200 12, 5 8, 6287 A $1.000 + $200 3,8713 A $1.000 + $774, 2628 A $1.774 % ' &' Atau dengan Tabel A $1000 + $200(A / G,i, n) A $1000 + $200(A / G,8%,10) A $1000 + $200(3.8713) A $1.774, 26 ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 6
GRADIEN ARITMATIK CONTOH 2 (1) Bunga 9% per tahun Tentukan annual worth yang ekivalen ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 7
GRADIEN ARITMATIK CONTOH 2 (2) SOLUSI : A $5.000 - $600 ( ) A / G,9%,6 A $5.000 - $600 ( ) 2,2498 A $5.000 - $1.350 A $3.650 ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 8
GRADIEN ARITMATIK P G i " $ # $ (1+ i) N 1 i(1+ i) N ( ) P G P / G,i%, N N ( ) N i 1+ i % ' &' F G i " $ # $ (1+ i) N 1 i(1+ i) N F G F / G,i%, N ( ) N ( ) N i 1+ i % ' &' 1+ i ( ) N ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 9
GRADIEN ARITMATIK ( G / P,i%, N) ( G / A,i%, N) ( A / P,i%, N) ( G / F,i%, N) ( G / P,i%, N) ( P / F,i%, N) ( G / A,i%, N) ( G / F,i%, N) ( F / A,i%, N) Dan seterusnya. ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 10
HUBUNGAN P, F, A DENGAN G A (A/G, i%, N) (G/A, i%, N) (P/G, i%, N) P G (G/P, i%, N) (G/F, i%, N) (F/G, i%, N) F ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 11
2. GRADIEN GEOMETRIK ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 12
GRADIEN GEOMETRIK P F 1 1+ g P F 1 1+ g g' 1+ i 1+ g 1 "( 1+ g' ) n 1% $ ' # $ g' ( 1+ g' ) n &' ( P / A, g', n) Catatan! g' > 0 P g' 0 P g' < 0 P F1 1+ g F1 1+ F1 1+ g [ P / A, g', n] n g n ( 1+ g' ) 1 ( ) n g' 1+ g' ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 13
SOAL TUGAS 1. Pemasukan dari suatu usaha tertentu diestimasi akan naik 7% per tahun dari dasar tahun pertama sebesar $360.000. Berapa harga saat ini dari 10 tahun pemasukan tersebut dengan suku bunga 15%? 2. Pemasukan dari aktivitas tertentu dihitung naik 10% per tahun dari awal tahun pertama $10.000. Berapa harga saat ini dari 10 tahun pemasukan tersebut dengan tingkat suku bunga 10%? 3. Gaji lulusan terakhir diharapkan meningkat 12% per tahun dari awal $52.000 untuk 5 tahun berikutnya. Bila tingkat suku bunga diambil 10% selama periode tersebut, berapa harga saat ini atas pendapatan tersebut? ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 14
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 15
BUNGA NOMINAL VS BUNGA EFEKTIF Muncul karena adanya pertimbangan frekuensi majemuk Tingkat suku bunga efektif adalah tingkat suku bunga aktual yang digunakan bila periode pemajemukannya kurang dari satu tahun Tingkat suku bunga nominal dinyatakan atas dasar per tahun dan ditentukan dengan mengalikan tingkat suku bunga aktual (efektif) per periode bunga dengan jumlah periode majemuk per tahun Perhitungan tingkat bunga nominal mengabaikan nilai uang dari waktu ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 16
TINGKAT SUKU BUNGA NOMINAL DAN EFEKTIF r tingkat suku bunga nominal per tahun i tingkat suku bunga efektif dalam interval waktu (per periode pemajemukan) l jangka interval waktu (dalam tahun) m timbal balik dari jangka periode majemuk/jumlah pemajemukan (dalam tahun) c jumlah periode yang dimajemukkan dalam interval waktu (c l x m) ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 17
TINGKAT SUKU BUNGA NOMINAL r i x m ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 18
TINGKAT SUKU BUNGA EFEKTIF i eff (1 + i) m 1 i eff (1 + r/m) m 1 ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 19
Jumlah Pemajemukan/ tahun (m) Tingkat bunga Nominal (r)% 1 15 2 15 12 15 365 15 Tingkat bunga efektif i eff % TINGKAT SUKU BUNGA NOMINAL DAN EFEKTIF ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 20
TINGKAT SUKU BUNGA EFEKTIF Dengan pendekatan lain, tingkat bunga efektif dapat dihitung dari i eff F P P i eff F P 1 # F P(1+ i eff ) n i eff F & N $ % P ' ( 1 ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 21 1
CONTOH (1) Seorang karyawan meminjam uang Rp. 3 juta dan dia harus mengembalikan pinjaman tersebut 6,5 tahun lagi sebesar 4,5 juta. Bila periode pemajemukan adalah 6 bulan, berapakah besarnya bunga efektif tahunan dari pinjaman tersebut? ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 22
JAWAB 1! i eff F $ N " # P % & 1! i eff 4, 5 $ " # 3 % & 1 6,5 1 i eff 1, 5 1 6,5 1 i eff 1, 0644 1 i eff 0, 0644 6, 44% setahun ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 23
JAWAB Atau juga bisa dengan cara 1! i F $ n " # P % & 1! i 4, 5 $ " # 3 % & 1 13 1 i 1, 5 1 13 1 i 1, 0317 1 0,0317 2 0,0634 1 0,0634 2 i 0, 0317 3,17% per 6 bln i 0,0644 6,44% r r i 1 + r m m i 1 + i 1,0644 1 2 1 setahun ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 24
CONTOH (2) Apabila seseorang menabung sebanyak Rp. 1 juta sekarang, Rp. 3 juta untuk 4 tahun dari sekarang, dan Rp 1,5 juta untuk 6 tahun dari sekarang dengan tingkat bunga 12% per tahun dan dimajemukkan tiap 6 bulan, berapa uang yang ia miliki 10 tahun dari sekarang? ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 25
CONTOH Maka F Rp. 1 juta (F/P, 12,36%, 10) + Rp. 3 juta (F/P, 12,36%, 6) + Rp. 1,5 juta (F/P, 12,36%, 4) Rp. 11,6345 juta ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 26
CONTOH Cara lain F Rp. 1 juta [F/P, 12/2%, 2(10)] + Rp. 3 juta [F/P, 12/2%, 2(6)] + Rp. 1,5 juta [F/P, 12/2%, 2(4)] Rp. 1 juta (F/P, 6%, 20) + Rp. 3 juta (F/P, 6%, 12) + Rp. 1,5 juta (F/P, 6%, 8) Rp. 11,6345 juta ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 27
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 28
BUNGA SETAHUN EFEKTIF UNTUK MAJEMUK TERUS- MENERUS # i eff lim 1+ r & % m $ m ( ' m * # i eff lim 1+ r &,% ( m +, $ m ' # lim 1+ r & r % (m e m $ m ' 1 m r - /./ r 1 i eff e r 1 e 2,71828 ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 29
ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 30
Single Payment Compound Amount Factor Single Payment Present Worth Factor Uniform Series Compound Amount Factor Uniform Series Sinking Fund Factor Uniform Series Present Worth Factor Uniform Series Capital Recovery Factor Gradien Aritmatik & Gradien Geometrik PEMAJEMUKAN KONTINYU UNTUK ALIRAN KAS DISKRIT ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 31
SINGLE PAYMENT COMPOUND AMOUNT FACTOR F P(e rn ) ( ) F P F / P,r%, N ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 32
SINGLE PAYMENT PRESENT WORTH FACTOR! P F 1 # " e rn $ & % P F ( P / F,r%, N) ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 33
UNIFORM SERIES COMPOUND AMOUNT FACTOR " F A ern 1% $ # e r ' 1 & F A( F / A,r%, N) ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 34
UNIFORM SERIES SINKING FUND FACTOR " A F er 1 % $ # e rn ' 1& A F ( A / F,r%, N) ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 35
UNIFORM SERIES PRESENT WORTH FACTOR " P A$ # " P A$ # $ 1 e rn e r 1 e rn % ' & e rn % 1 ' ( e r 1) &' P A P / A,r%, N ( ) ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 36
UNIFORM SERIES CAPITAL RECOVERY FACTOR " A P er 1 $ # 1 e rn % ' & " A P ern e r 1 $ # $ e rn 1 ( ) % ' &' A P A / P,r%, N ( ) ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 37
GRADIEN ARITMATIK " A G 1 $ # e r 1 N % e rn ' 1& A G( A / G,r%, N) ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 38
GRADIEN GEOMETRIK ( ( )) g' 1+ er 1 1+ g ( ) 1 g' " P F 1 $ # er ( 1+ g) 1 P / A, g', N ( ) 1+ g % ' & ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 39
CONTOH Seorang pelajar menabung setiap akhir tahun dengan jumlah Rp 60.000 per tahun. Bila tingkat bunga sebesar 10% dan dibungakan secara kontinyu, hitunglah tingkat bunga efektif dan nilai awal (P) dari semua tabungannya! ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 40
JAWAB i e r 1 Tingkat bunga efektif i i e 0,10 1 0,1052 10,52% Nilai P P e Rp60.000 rn e rn 1 ( r e 1) P P P Rp60.000 e Rp60.000 Rp360.624 e 0,10 10 0,10 10 ( 6,0104) 1 ( 0,10 e 1) ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 41
42 ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.A C.ID
UNIFORM SERIES COMPOUND AMOUNT FACTOR F F A A e rn r 1 ( ) F / A, r, n ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 43
UNIFORM SERIES SINKING FUND FACTOR r A F e rn 1 A F ( ) A / F, r, n ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 44
UNIFORM SERIES PRESENT WORTH FACTOR P A e rn re rn 1 P A ( ) P / A, r, n ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 45
UNIFORM SERIES CAPITAL RECOVERY FACTOR A P e re rn rn 1 A ( ) P A / P, r, n ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 46
PEMBAYARAN TUNGGAL DAN SERAGAM DAN KONTINYU HANYA DALAM PERIODE N SAJA P F e rn re 1 F P e re rn 1 P F e rn re r ( ) e r 1 F P e rn ( ) e r 1 re r ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 47
SOAL TUGAS Misalkan pengeluaran sebuah instansi terjadi secara kontinyu dengan total $10.000. Bunga uang dimajemukkan secara kontinyu dengan tingkat bunga 15% per tahun. Bila kita mengambil waktu studi 5 tahun, berapakah: Nilai awal (P) Nilai pada tahun kelima (F) dari seluruh pengeluaran tersebut? ENGINEERING ECONOMY - WWW.DEBRINA.LECTURE.UB.AC.ID 48