1.1 Latar Belakang BAB I PENDAHULUAN Demografi merupakan ilmu yang mempelajari tentang penduduk, khususnya pada lima aspek yaitu ukuran, distribusi geografi, komposisi, komponen perubahan (kelahiran, kematian, migrasi), serta faktor penyebab dan akibat perubahan penduduk (Siegel dan Swanson 2004). Data kematian suatu negara biasanya dinyatakan dalam bentuk life table atau tabel hayat, yang terdiri dari beberapa komponen seperti jumlah penduduk yang meninggal dunia pada umur tertentu, peluang seseorang meninggal dunia sebelum mencapai umur tertentu dan angka harapan hidup seseorang menurut umur. Tabel hayat adalah suatu tabel yang menggambarkan riwayat kematian penduduk menurut kelompok umur tertentu yang perlahan-lahan berkurang jumlahnya akibat kematian. Tabel hayat sederhana pertama kali diperkenalkan oleh John Graunt pada pertengahan abad 17 yang telah melakukan observasi dengan menggunakan data kematian London. Tabel hayat modern pertama kali diperkenalkan oleh Edmund Halley pada tahun 1693 berdasarkan data registrasi kelahiran dan kematian dari kota Breslau pada tahun 1687-1691 dengan asumsi bahwa populasi stasioner, yang selanjutnya dikembangkan oleh Milne pada tahun 1815 (Siegel dan Swanson 2004). Tabel hayat digunakan pada bidang demografi dalam memprediksi jumlah penduduk di masa mendatang. Bidang asuransi juga menggunakan tabel hayat untuk menentukan besar premi yang akan dibayar oleh pemegang asuransi. Selain itu, tabel hayat juga digunakan di bidang kesehatan dalam menentukan peluang seseorang dapat bertahan hidup dalam jangka waktu tertentu. Ditinjau dari interval umur, tabel hayat ada dua jenis yaitu abridged life table (tabel hayat ringkas) dan complete life table (tabel hayat lengkap). Tabel hayat ringkas adalah tabel hayat dengan umur penduduk dikelompokkan menurut jenjang tertentu biasanya dalam interval lima tahun. Tabel hayat lengkap adalah tabel hayat dengan umur penduduk disusun secara lengkap dalam satu tahunan. Negara yang memiliki data kematian yang tidak lengkap hanya dapat menyusun tabel hayat ringkas, padahal suatu saat tabel hayat lengkap sangat
2 diperlukan seperti dalam bidang asuransi untuk menentukan besar premi asuransi yang akan dibayar oleh pemegang asuransi. Oleh karena itu, dibutuhkan metode yang dapat menyusun tabel hayat lengkap berdasarkan tabel hayat ringkas. Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyusun tabel hayat lengkap berdasarkan tabel hayat ringkas diantaranya adalah metode Elandt- Johnson (1980), metode Brass Logit (1971), metode Heligman-Pollard (1980) dan metode Kostaki (2000). Berdasarkan uraian di atas peneliti mencoba mengkaji dan membandingkan metode-metode tersebut dan memilih metode yang terbaik serta mengaplikasikannya pada data kematian penduduk Indonesia. 1.2 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah: 1. Mengkaji metode-metode interpolasi abridged life table (tabel hayat ringkas), yaitu metode Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard dan Kostaki. 2. Membandingkan metode-metode tersebut terhadap tabel hayat lengkap yang sebenarnya dan memilih metode terbaik. 3. Mengaplikasikan metode terbaik pada data kematian penduduk Indonesia.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Tabel Hayat Tabel hayat menggambarkan sejarah hidup kelompok penduduk yang dimulai dengan kelahiran pada waktu yang sama dan kemudian perlahan-lahan berkurang karena kematian hingga tak ada satu pun yang tertinggal (Siegel dan Swanson 2004). 2.2 Asumsi Tabel Hayat Asumsi yang digunakan dalam penyusunan tabel hayat adalah sebagai berikut: 1. Kohort adalah sekelompok orang yang mempunyai pengalaman waktu yang sama dari suatu peristiwa tertentu (dalam hal ini lahir pada tahun yang sama). Kohort hanya berkurang berangsur-angsur karena kematian. 2. Kohort merupakan penduduk tertutup, tidak ada migrasi masuk maupun keluar. 3. Kematian penduduk mengikuti pola tertentu yang tetap menurut umur. 4. Kohort tabel hayat berasal dari suatu radiks tertentu, misalnya 1 000, 10 000 atau 100 000 (Wirosuhardjo 1985). 2.3 Jenis Tabel Hayat Tabel hayat ditinjau dari referensi tahun berlakunya ada dua jenis yaitu period life table dan cohort life table. Period life table adalah tabel hayat yang disusun berdasarkan data kematian menurut umur yang dikumpulkan pada satu waktu tertentu (periode 2 atau 3 tahun) dari populasi yang ada. Cohort life table adalah jenis tabel hayat yang disusun berdasarkan riwayat angka kematian dari kohort sebenarnya yang diikuti sejak lahir hingga mati. Kedua jenis tabel hayat tersebut dapat disusun ke dalam tabel hayat lengkap dan tabel hayat ringkas. Tabel hayat lengkap berisi data kematian penduduk yang disajikan dalam interval tahunan, sedangkan tabel hayat singkat berisi data kematian penduduk dikelompokkan dalam interval umur 5 tahun atau 10 tahun.
4 Alasan utama tabel hayat ringkas lebih sering digunakan karena data kematian penduduk yang tersedia tidak lengkap, selain itu tabel hayat ringkas sangat praktis (Siegel dan Swanson 2004). 2.4 Notasi dan Fungsi dalam Tabel Hayat Notasi dan fungsi yang digunakan dalam tabel hayat antara lain adalah: : jumlah penduduk yang bertahan hidup hingga mencapai umur tepat x : banyaknya kematian antara umur x hingga x + 1 (2.1) : banyaknya kematian antara umur x hingga x + n (2.2) : peluang seseorang tepat berumur x akan meninggal sebelum mencapai umur x + 1 2.3 : peluang seseorang tepat berumur x akan meninggal sebelum mencapai umur x + n 2.4 : total waktu yang dijalani oleh sejumlah l x antara umur x sampai x + 1 1 2 1 2 2.5 : total waktu yang dijalani oleh sejumlah l x antara umur x sampai x + n 2 2 2.6 : total waktu yang akan dijalani oleh sejumlah l x mulai umur tepat x : angka harapan hidup bagi penduduk berumur x 2.7 2.8 : tingkat kematian bagi penduduk berumur x
5 2.9 (Brown 1997) 2.5 Interpolasi Lagrange Interpolasi merupakan metode untuk menaksir data yang tidak ada atau belum diketahui nilainya di antara nilai-nilai data yang diberikan (Heath 1996). Misalkan terdapat n titik data, yaitu: (x i, y i ) i = 1, 2,,n dengan. Kemudian melewati semua titik data yang diketahui tersebut, dapat ditentukan fungsi interpolasi f sedemikian hingga, 1, 2,,. (2.10) Untuk x 1 < x k < x n, maka nilai merupakan nilai interpolasi dari x k. Fungsi interpolasi merupakan kombinasi linear dari sekumpulan fungsi basis (basis function), yang dirumuskan sebagai berikut:, 1, 2,, 2.11 dengan : fungsi basis ke-i : parameter-parameter yang akan ditentukan Salah satu fungsi interpolasi yang sering digunakan adalah fungsi polinomial karena fungsi polinomial mudah dihitung, diturunkan dan diintegralkan. Interpolasi Lagrange diterapkan untuk mendapatkan fungsi polinomial P(x) berderajat tertentu yang melewati sejumlah titik data. Misalkan sekumpulan titik data (x i, y i ) dengan i = 1, 2,, n. Bentuk umum polinomial Lagrange berderajat (n 1) yang melalui n titik berbeda adalah 2.12 dengan merupakan fungsi basis Lagrange yang dirumuskan sebagai berikut:,, 2.13
6 Berdasarkan definisi di atas, fungsi-fungsi memenuhi sifat 1, jika 0, jika 2.14 2.6 Regresi Taklinear Bentuk sederhana dari persamaan regresi taklinear (Draper 1992) dapat dinyatakan sebagai berikut:, (2.15) dengan f adalah fungsi taklinear dari,,, merupakan vektor dari peubah bebas dan,,, adalah parameter-parameternya. Apabila ada n data amatan, maka persamaan (2.15) menjadi, u = 1, 2,, n (2.16) dengan,,,. Galat persamaan taklinear,,, diasumsikan bebas dan berdistribusi normal, dengan 0 vektor nol dan I matriks identitas, keduanya berukuran yang sesuai. Jumlah kuadrat galat untuk model taklinear didefinisikan sebagai berikut:, 2.17 Jumlah kuadrat tersebut merupakan fungsi dari. Nilai dugaan kuadrat terkecil bagi dilambangkan dengan merupakan nilai yang meminimumkan. Nilai dugaan kuadrat terkecil dapat diperoleh dengan mendiferensialkan persamaan 2.17 relatif terhadap. Ini akan menghasilkan p persamaan normal yang harus diselesaikan untuk memperoleh nilai. Persamaan normal tersebut mempunyai bentuk,, 0 2.18 dengan i = 1, 2,, p, sedangkan besaran di dalam tanda kurung merupakan turunan dari, terhadap dengan semua diganti dengan yang berindeks sama. Persamaan-persamaan normal pada persamaan regresi taklinear tersebut akan sangat sulit diselesaikan bila parameternya lebih banyak dan modelnya lebih rumit. Oleh karena itu, untuk menentukan parameter-parameter dari persamaan taklinear diperlukan metode iterasi. Salah satu metode iterasi yang
7 dapat digunakan untuk menduga parameter pada persamaan taklinear adalah metode Gauss Newton. 2.6.1 Metode Gauss-Newton Pendekatan metode Gauss Newton menggunakan perkiraan linearisasi atau metode deret Taylor dari fungsi harapannya secara berulang untuk memperbaiki nilai awal bagi parameter-parameternya. Oleh karena itu, metode Gauss Newton disebut juga metode linearisasi atau metode deret Taylor (Draper 1992). Misalkan,,, adalah nilai-nilai awal bagi parameter-parameter,,,. Selanjutnya, dengan melakukan penguraian deret Taylor orde satu pada, di sekitar titik,,, akan diperoleh,,, dimisalkan,, maka persamaan (2.16) menjadi 2.19 2.20 Persamaan 2.20 berbentuk linear, sehingga dengan menerapkan metode kuadrat terkecil linear dapat diduga nilai parameter-parameter dari, i = 1, 2,, p. Bila ditetapkan, (2.21)
8 dan (2.22) maka nilai dugaan bagi parameter-parameter,,, diberikan oleh Dengan demikian vektor akan meminimumkan jumlah kuadrat SS, 2.23 relatif terhadap, i = 1, 2,..., p, dengan. Bila merupakan nilai dugaan bagi maka dapat dituliskan bahwa, dan merupakan nilai dugaan terbaik yang telah diperbaiki bagi. Nilai dugaan yang diperoleh dari iterasi pertama akan dijadikan sebagai nilai awal bagi iterasi kedua dan seterusnya. Secara umum, penentuan hasil iterasi berikutnya dapat dituliskan sebagai berikut: (2.24) dengan,,,,,,,,. Proses iterasi ini terus dilakukan hingga solusi yang diperoleh konvergen, dengan kata lain hingga langkah iterasi ke-j dan ke-(j + 1) berlaku, 1, 2,,. 2.25 Dengan merupakan suatu bilangan positif yang telah ditetapkan sebelumnya (misalnya 0.000001).
9 2.7 Uji Kesuaian Data Untuk mengetahui kesuaian data yang diperoleh berdasarkan suatu metode tertentu terhadap data sebenarnya perlu dilakukan uji kesuaian data. Ada beberapa kriteria yang dapat dijadikan sebagai acuan diantaranya adalah: 2.7.1 Galat Mutlak (Absolute Error, AE) Misalkan y i adalah data sebenarnya ke-i dan adalah data yang diperoleh dengan menggunakan metode tertentu sebagai nilai pendekatan untuk y i. Galat mutlak didefinisikan sebagai berikut: ; 1, 2,, (2.26) (Mathews 1992) 2.7.2 Rataan Galat Mutlak (Mean Absolute Error, MAE) Rataan galat mutlak untuk data ke-i didefinisikan sebagai berikut: 1 ; 1, 2,, 2.27 (Mathews 1992) 2.7.4 Koefisien Determinasi 1 2.28 dengan Besaran R 2 model. y i = nilai sebenarnya, y ˆi = nilai dugaan, dan y = nilai rata-rata. menyatakan proporsi keragaman data yang dapat dijelaskan oleh (Agresti dan Finlay 1999) 2.7.5 Akar Kuadrat Rataan Galat (RMSE) Misalkan y i adalah data sebenarnya ke-i dan adalah data yang diperoleh dengan menggunakan metode tertentu sebagai nilai pendekatan untuk y i. Akar kuadrat rataan galat didefinisikan sebagai berikut:
10 1 1, 2,, 2.29 (Mathews 1992)