PERBANDINGAN METODE INTERPOLASI ABRIDGED LIFE TABLE

Transkripsi

1 PERBANDINGANN METODE INTERPOLASI ABRIDGED LIFE TABLE DAN APLIKASINYA PADA DATAA KEMATIAN INDONESIA VANI RIALITA SUPONO SEKOLAH PASCASARJANAA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009

2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Perbandingan Metode Interpolasi Abridged Life Table dan Aplikasinya pada Data Kematian Indonesia adalah karya saya sendiri dengan arahan dan bimbingan dari komisi pembimbing serta belum pernah diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan oleh pihak lain telah penulis sebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Agustus 2009 Vani Rialita Supono NIM G

3 ABSTRACT VANI RIALITA SUPONO. Comparison of Interpolation Methods in Abridged Life Table and Its Application for the Indonesian Mortality Data. Supervised by HADI SUMARNO and N. K. KUTHA ARDANA. Life table (usually complete life table) is used in insurance field to define the amount of insurance premiums. When complete life table is not available, it must be estimated from abridged life table. Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman- Pollard and Kostaki method are used to expand abridged life table of USA Then, the resulting abridged life tables are compared with empirical complete life table of USA The result shows that among four interpolation methods, the Elandt-Johnson and Heligman-Pollard are the methods that do not require standard life table. Between the two methods, the Elandt-Johnson method gives the best result. Meanwhile, the Kostaki method gives better result than Brass Logit for methods which need standard life table. Afterward, Elandt-Johnson and Kostaki method are applied to the mortality data of Indonesia The standard life table used in Kostaki method is the mortality table of Indonesia 1999, which is published by Dewan Asuransi Indonesia. Keywords: abridged life table, complete life table.

4 RINGKASAN VANI RIALITA SUPONO. Perbandingan Metode Interpolasi Abridged Life Table dan Aplikasinya pada Data Kematian Indonesia. Dibimbing oleh HADI SUMARNO dan N. K. KUTHA ARDANA. Salah satu cara untuk menyajikan data kematian suatu negara berupa jumlah penduduk yang meninggal dunia pada umur tertentu, peluang seseorang meninggal dunia sebelum mencapai umur tertentu dan angka harapan hidup seseorang umur tertentu adalah dengan life table atau tabel hayat. Tabel hayat digunakan pada bidang demografi dalam memprediksi jumlah penduduk di masa mendatang. Dalam bidang asuransi, tabel hayat digunakan untuk menentukan besar premi yang akan dibayar oleh pemegang asuransi. Selain itu, tabel hayat juga digunakan di bidang kesehatan dalam menentukan peluang seseorang dapat bertahan hidup dalam jangka waktu tertentu. Ditinjau dari interval umur, tabel hayat ada dua jenis yaitu abridged life table (tabel hayat ringkas) dan complete life table (tabel hayat lengkap). Tabel hayat ringkas adalah tabel hayat dengan interval umur penduduk dikelompokkan menurut jenjang tertentu umumnya dalam interval lima tahun. Tabel hayat lengkap adalah tabel hayat dengan umur penduduk disusun secara lengkap tahunan. Negara yang memiliki data kematian yang tidak lengkap hanya dapat menyusun tabel hayat ringkas, padahal suatu saat tabel hayat lengkap sangat diperlukan. Oleh karena itu, dibutuhkan metode yang dapat menginterpolasi tabel hayat ringkas menjadi tabel hayat lengkap. Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyusun tabel hayat lengkap berdasarkan tabel hayat ringkas diantaranya adalah metode Elandt- Johnson (1980), metode Brass Logit (1971), metode Heligman-Pollard (1980) dan metode Kostaki (2000). Berdasarkan uraian di atas peneliti mencoba mengkaji dan membandingkan metode-metode tersebut dan memilih metode yang terbaik serta mengaplikasikannya pada data kematian penduduk Indonesia. Metode yang digunakan pada penelitian ini adalah studi pustaka, data yang digunakan adalah data tabel hayat Amerika Serikat 2000 dan 2005 yang diperoleh dari Human Mortality Database ( Langkah penelitian yang dilakukan adalah mengkaji metode-metode interpolasi tabel hayat ringkas yaitu metode Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard dan Kostaki, kemudian menduga parameter dari masing-masing metode. Selanjutnya menyusun tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 berdasarkan tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 dengan menggunakan masing-masing metode tersebut. Setelah itu membandingkan keempat metode tersebut dengan tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 sebenarnya. Pendugaan parameter dilakukan dengan menggunakan software Mathematica 7.0 dan Microsoft Excel Untuk menguji kesesuaian data sebenarnya dengan data berdasarkan metode dilakukan uji kriteria MAE, RMSE, dan R 2. Berdasarkan hasil penelitian disimpulkan bahwa diantara keempat metode interpolasi tersebut memiliki karakteristik yang berbeda. Metode Elandt-Johnson dan Heligman-Pollard merupakan metode yang tidak memerlukan tabel hayat

5 yang dijadikan sebagai acuan dalam menyusun tabel hayat lengkap (tabel hayat standar). Antara kedua metode tersebut metode Elandt-Johnson memberikan hasil yang terbaik. Metode Brass Logit dan Kostaki memerlukan tabel hayat standar, tabel hayat standar yang digunakan adalah tabel hayat Amerika Serikat Metode Kostaki memberikan hasil lebih baik dibandingkan metode Brass Logit. Selanjutnya, metode Elandt-Johnson dan Kostaki diaplikasikan pada tabel hayat ringkas Indonesia 2005 yang diperoleh berdasarkan data angka harapan hidup waktu lahir SUPAS 2005 dan mengikuti pola tabel hayat Coale Demeny model Barat. Tabel hayat standar yang digunakan pada metode Kostaki adalah tabel mortalita Indonesia-II 1999 yang diterbitkan oleh Dewan Asuransi Indonesia. Metode Elandt-Johnson disarankan untuk diimplementasikan pada data kematian penduduk Indonesia karena metode Elandt-Johnson lebih sederhana dan Indonesia belum memiliki tabel hayat standar. Kata Kunci: tabel hayat ringkas, tabel hayat lengkap.

6 Hak cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2009 Hak cipta dilindungi Undang-undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber. a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik dan tinjauan suatu masalah. b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor. 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.

7 PERBANDINGAN METODE INTERPOLASI ABRIDGED LIFE TABLE DAN APLIKASINYA PADA DATA KEMATIAN INDONESIA VANI RIALITA SUPONO Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009

8 Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis : Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S.

9 Judul Tesis Nama NRP : Perbandingan Metode Interpolasi Abridged Life Table dan Aplikasinya pada Data Kematian Indonesia : Vani Rialita Supono : G Disetujui Komisi Pembimbing Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S. Ketua Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc. Anggota Diketahui Ketua Program Studi Matematika Terapan Dekan Sekolah Pascasarjana Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil Anwar Notodiputro, M.S. Tanggal Ujian: 18 Agustus 2009 Tanggal Lulus: 25 Agustus 2009

10 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat serta hidayah-nya sehingga karya ilmiah berjudul Perbandingan Metode Abridged Life Table dan Aplikasinya pada Data Kematian Indonesia berhasil diselesaikan. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S dan Bapak Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc selaku komisi pembimbing yang telah memberikan bimbingan dan motivasi dengan penuh kesabaran kepada penulis, serta Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S selaku penguji luar komisi yang telah memberikan saran dan kritiknya. Tak lupa penulis sampaikan penghargaan atas segala kerjasama dan dukungan dari Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S selaku Ketua Program Studi Matematika Terapan, Ibu Dr. Berlian Setiawaty selaku Ketua Departemen Matematika, dan Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa kepada penulis selama menempuh studi di Institut Pertanian Bogor. Akhirnya, ucapan terima kasih yang tak terhingga penulis berikan kepada Ayah, Ibu, dan seluruh keluarga atas segala pengorbanan dan dukungannya selama penulis menyelesaikan studi. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi di masa mendatang. Bogor, Agustus 2009 Vani Rialita Supono

11 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 12 Maret 1981 dari ayah Sartono dan Ibu Supriyatin. Penulis merupakan anak pertama dari empat bersaudara. Tahun 1999 penulis lulus dari SMA Negeri 26 Jakarta dan pada tahun yang sama penulis melanjutkan pendidikan sarjana pada jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Jakarta lulus tahun Pada tahun 2005, penulis menjadi Pegawai Negeri Sipil di Departemen Agama sebagai tenaga pendidik di Madrasah Tsanawiyah Negeri 21 Jakarta sampai sekarang. Pada tahun 2007 penulis masuk program magister pada Program Studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor melalui jalur Beasiswa Utusan Daerah (BUD) Departemen Agama Republik Indonesia dan menyelesaikannya pada tahun 2009.

12 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL... xiv DAFTAR GAMBAR... xv DAFTAR LAMPIRAN... xvi BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Tujuan Penelitian... 2 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Tabel Hayat Asumsi Tabel Hayat Jenis Tabel Hayat Notasi dan Fungsi dalam Tabel Hayat Interpolasi Lagrange Regresi Taklinear Metode Newton Uji Kesuaian Data Galat Mutlak (Absolute Error, AE) Rataan Galat Mutlak (Mean Absolute Error, MAE) Koefisien Determinasi (R 2 ) Akar Kuadrat Rataan Galat (Root Mean Square Error, RMSE) 9 BAB III METODE PENELITIAN Langkah-langkah Penelitian BAB IV METODE INTERPOLASI ABRIDGED LIFE TABLE DAN PEMBAHASAN 4.1 Metode Elandt-Johnson Metode Brass Logit Metode Heligman-Pollard Metode Kostaki Perbandingan antar Metode BAB V APLIKASI METODE INTERPOLASI ABRIDGED LIFE TABLE TERBAIK PADA DATA INDONESIA 5.1 Sumber Data Indonesia Aplikasi Metode Terbaik pada Data Indonesia Metode Kostaki untuk Indonesia Metode Elandt-Johnson untuk Indonesia... 37

13 BAB VI SIMPULAN DAN SARAN 5.1 Simpulan Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN... 42

14 DAFTAR TABEL Tabel Halaman 4.1 Koefisien untuk menghitung dengan Koefisien untuk menghitung dengan Nilai parameter model Heligman-Pollard Perbandingan nilai kriteria uji untuk l x masing-masing metode Nilai kriteria uji l x untuk metode tanpa standar Nilai kriteria uji l x untuk metode dengan standar... 33

15 DAFTAR GAMBAR Gambar Halaman 3.1 Diagram Alur Penelitian Plot tabel hayat ringkas Amerika Serikat Plot tabel hayat ringkas dan tabel hayat lengkap USA Kurva USA 2005 dengan metode Elandt-Johnson Kurva USA 2005 sebenarnya dan USA 2005 dengan metode Elandt-Johnson Plot pendugaan parameter pada metode Brass Logit Kurva USA 2005 dengan metode Brass Logit Kurva USA 2005 sebenarnya dan USA 2005 dengan metode Brass Logit Kurva fungsi Heligman-Pollard Kurva USA 2005 dengan metode Heligman-Pollard Kurva USA 2005 sebenarnya dan USA 2005 dengan metode Heligman-Pollard Kurva USA 2005 dengan metode Kostaki Kurva USA 2005 sebenarnya dan USA 2005 dengan metode Kostaki Hasil berdasarkan metode interpolasi tabel hayat ringkas Kurva laki-laki Indonesia berdasarkan SUPAS Kurva wanita Indonesia berdasarkan SUPAS Perbandingan kurva laki-laki dan wanita Indonesia Kurva tabel hayat ringkas Indonesia berdasarkan SUPAS Kurva tabel hayat Indonesia dengan metode Kostaki Kurva tabel hayat Indonesia dengan metode Elandt-Johnson Perbandingan kurva tabel hayat Indonesia 2005 dengan metode Kostaki dan metode Elandt-Johnson Diagram kotak nilai l x tabel hayat Indonesia 2005 dengan metode Kostaki dan metode Elandt-Johnson... 38

16 DAFTAR LAMPIRAN Lampiran Halaman 1 Tabel hayat ringkas Amerika Serikat Tabe hayat lengkap Amerika Serikat Tabel hayat ringkas Amerika Serikat Tabel hayat lengkap Amerika Serikat Proses perhitungan persamaan 4.4 dan persamaan Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan menggunakan metode Elandt-Johnson Program pendugaan parameter untuk metode Brass Logit Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan menggunakan metode Brass Logit Program pendugaan parameter pada metode Heligman-Pollard Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan menggunakan metode Heligman-Pollard Pembuktian persamaan 4.16 dan perhitungan nilai konstanta pada metode Kostaki Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan menggunakan metode Kostaki Angka Harapan Hidup Waktu Lahir penduduk Indonesia menurut propinsi dan jenis kelamin (SUPAS 2005) Tabel hayat ringkas Indonesia berdasarkan data SUPAS 2005 dan tabel hayat Coale Demeny model Barat Tabel mortalita Indonesia II sebagai tabel hayat standar untuk metode Kostaki Perhitungan nilai konstanta pada metode Kostaki untuk tabel hayat Indonesia Tabel hayat lengkap Indonesia 2005 dengan metode Kostaki Proses perhitungan persamaan 4.4 dan persamaan 4.5 untuk tabel hayat ringkas Indonesia Tabel hayat lengkap Indonesia 2005 dengan metode Elandt-Johnson Program plot kurva l x dan perbandingan nilai kriteria uji kesesuaian data Nilai numerik lima titik untuk data l x tabel hayat lengkap Indonesia 2005 berdasarkan metode Kostaki dan metode Elandt-Johnson... 94

17 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Demografi merupakan ilmu yang mempelajari tentang penduduk, khususnya pada lima aspek yaitu ukuran, distribusi geografi, komposisi, komponen perubahan (kelahiran, kematian, migrasi), serta faktor penyebab dan akibat perubahan penduduk (Siegel dan Swanson 2004). Data kematian suatu negara biasanya dinyatakan dalam bentuk life table atau tabel hayat, yang terdiri dari beberapa komponen seperti jumlah penduduk yang meninggal dunia pada umur tertentu, peluang seseorang meninggal dunia sebelum mencapai umur tertentu dan angka harapan hidup seseorang menurut umur. Tabel hayat adalah suatu tabel yang menggambarkan riwayat kematian penduduk menurut kelompok umur tertentu yang perlahan-lahan berkurang jumlahnya akibat kematian. Tabel hayat sederhana pertama kali diperkenalkan oleh John Graunt pada pertengahan abad 17 yang telah melakukan observasi dengan menggunakan data kematian London. Tabel hayat modern pertama kali diperkenalkan oleh Edmund Halley pada tahun 1693 berdasarkan data registrasi kelahiran dan kematian dari kota Breslau pada tahun dengan asumsi bahwa populasi stasioner, yang selanjutnya dikembangkan oleh Milne pada tahun 1815 (Siegel dan Swanson 2004). Tabel hayat digunakan pada bidang demografi dalam memprediksi jumlah penduduk di masa mendatang. Bidang asuransi juga menggunakan tabel hayat untuk menentukan besar premi yang akan dibayar oleh pemegang asuransi. Selain itu, tabel hayat juga digunakan di bidang kesehatan dalam menentukan peluang seseorang dapat bertahan hidup dalam jangka waktu tertentu. Ditinjau dari interval umur, tabel hayat ada dua jenis yaitu abridged life table (tabel hayat ringkas) dan complete life table (tabel hayat lengkap). Tabel hayat ringkas adalah tabel hayat dengan umur penduduk dikelompokkan menurut jenjang tertentu biasanya dalam interval lima tahun. Tabel hayat lengkap adalah tabel hayat dengan umur penduduk disusun secara lengkap dalam satu tahunan. Negara yang memiliki data kematian yang tidak lengkap hanya dapat menyusun tabel hayat ringkas, padahal suatu saat tabel hayat lengkap sangat

18 2 diperlukan seperti dalam bidang asuransi untuk menentukan besar premi asuransi yang akan dibayar oleh pemegang asuransi. Oleh karena itu, dibutuhkan metode yang dapat menyusun tabel hayat lengkap berdasarkan tabel hayat ringkas. Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyusun tabel hayat lengkap berdasarkan tabel hayat ringkas diantaranya adalah metode Elandt- Johnson (1980), metode Brass Logit (1971), metode Heligman-Pollard (1980) dan metode Kostaki (2000). Berdasarkan uraian di atas peneliti mencoba mengkaji dan membandingkan metode-metode tersebut dan memilih metode yang terbaik serta mengaplikasikannya pada data kematian penduduk Indonesia. 1.2 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah: 1. Mengkaji metode-metode interpolasi abridged life table (tabel hayat ringkas), yaitu metode Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard dan Kostaki. 2. Membandingkan metode-metode tersebut terhadap tabel hayat lengkap yang sebenarnya dan memilih metode terbaik. 3. Mengaplikasikan metode terbaik pada data kematian penduduk Indonesia.

19 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Tabel Hayat Tabel hayat menggambarkan sejarah hidup kelompok penduduk yang dimulai dengan kelahiran pada waktu yang sama dan kemudian perlahan-lahan berkurang karena kematian hingga tak ada satu pun yang tertinggal (Siegel dan Swanson 2004). 2.2 Asumsi Tabel Hayat Asumsi yang digunakan dalam penyusunan tabel hayat adalah sebagai berikut: 1. Kohort adalah sekelompok orang yang mempunyai pengalaman waktu yang sama dari suatu peristiwa tertentu (dalam hal ini lahir pada tahun yang sama). Kohort hanya berkurang berangsur-angsur karena kematian. 2. Kohort merupakan penduduk tertutup, tidak ada migrasi masuk maupun keluar. 3. Kematian penduduk mengikuti pola tertentu yang tetap menurut umur. 4. Kohort tabel hayat berasal dari suatu radiks tertentu, misalnya 1 000, atau (Wirosuhardjo 1985). 2.3 Jenis Tabel Hayat Tabel hayat ditinjau dari referensi tahun berlakunya ada dua jenis yaitu period life table dan cohort life table. Period life table adalah tabel hayat yang disusun berdasarkan data kematian menurut umur yang dikumpulkan pada satu waktu tertentu (periode 2 atau 3 tahun) dari populasi yang ada. Cohort life table adalah jenis tabel hayat yang disusun berdasarkan riwayat angka kematian dari kohort sebenarnya yang diikuti sejak lahir hingga mati. Kedua jenis tabel hayat tersebut dapat disusun ke dalam tabel hayat lengkap dan tabel hayat ringkas. Tabel hayat lengkap berisi data kematian penduduk yang disajikan dalam interval tahunan, sedangkan tabel hayat singkat berisi data kematian penduduk dikelompokkan dalam interval umur 5 tahun atau 10 tahun.

20 4 Alasan utama tabel hayat ringkas lebih sering digunakan karena data kematian penduduk yang tersedia tidak lengkap, selain itu tabel hayat ringkas sangat praktis (Siegel dan Swanson 2004). 2.4 Notasi dan Fungsi dalam Tabel Hayat Notasi dan fungsi yang digunakan dalam tabel hayat antara lain adalah: : jumlah penduduk yang bertahan hidup hingga mencapai umur tepat x : banyaknya kematian antara umur x hingga x + 1 (2.1) : banyaknya kematian antara umur x hingga x + n (2.2) : peluang seseorang tepat berumur x akan meninggal sebelum mencapai umur x : peluang seseorang tepat berumur x akan meninggal sebelum mencapai umur x + n 2.4 : total waktu yang dijalani oleh sejumlah l x antara umur x sampai x : total waktu yang dijalani oleh sejumlah l x antara umur x sampai x + n : total waktu yang akan dijalani oleh sejumlah l x mulai umur tepat x : angka harapan hidup bagi penduduk berumur x : tingkat kematian bagi penduduk berumur x

21 5 2.9 (Brown 1997) 2.5 Interpolasi Lagrange Interpolasi merupakan metode untuk menaksir data yang tidak ada atau belum diketahui nilainya di antara nilai-nilai data yang diberikan (Heath 1996). Misalkan terdapat n titik data, yaitu: (x i, y i ) i = 1, 2,,n dengan. Kemudian melewati semua titik data yang diketahui tersebut, dapat ditentukan fungsi interpolasi f sedemikian hingga, 1, 2,,. (2.10) Untuk x 1 < x k < x n, maka nilai merupakan nilai interpolasi dari x k. Fungsi interpolasi merupakan kombinasi linear dari sekumpulan fungsi basis (basis function), yang dirumuskan sebagai berikut:, 1, 2,, 2.11 dengan : fungsi basis ke-i : parameter-parameter yang akan ditentukan Salah satu fungsi interpolasi yang sering digunakan adalah fungsi polinomial karena fungsi polinomial mudah dihitung, diturunkan dan diintegralkan. Interpolasi Lagrange diterapkan untuk mendapatkan fungsi polinomial P(x) berderajat tertentu yang melewati sejumlah titik data. Misalkan sekumpulan titik data (x i, y i ) dengan i = 1, 2,, n. Bentuk umum polinomial Lagrange berderajat (n 1) yang melalui n titik berbeda adalah 2.12 dengan merupakan fungsi basis Lagrange yang dirumuskan sebagai berikut:,, 2.13

22 6 Berdasarkan definisi di atas, fungsi-fungsi memenuhi sifat 1, jika 0, jika Regresi Taklinear Bentuk sederhana dari persamaan regresi taklinear (Draper 1992) dapat dinyatakan sebagai berikut:, (2.15) dengan f adalah fungsi taklinear dari,,, merupakan vektor dari peubah bebas dan,,, adalah parameter-parameternya. Apabila ada n data amatan, maka persamaan (2.15) menjadi, u = 1, 2,, n (2.16) dengan,,,. Galat persamaan taklinear,,, diasumsikan bebas dan berdistribusi normal, dengan 0 vektor nol dan I matriks identitas, keduanya berukuran yang sesuai. Jumlah kuadrat galat untuk model taklinear didefinisikan sebagai berikut:, 2.17 Jumlah kuadrat tersebut merupakan fungsi dari. Nilai dugaan kuadrat terkecil bagi dilambangkan dengan merupakan nilai yang meminimumkan. Nilai dugaan kuadrat terkecil dapat diperoleh dengan mendiferensialkan persamaan 2.17 relatif terhadap. Ini akan menghasilkan p persamaan normal yang harus diselesaikan untuk memperoleh nilai. Persamaan normal tersebut mempunyai bentuk,, dengan i = 1, 2,, p, sedangkan besaran di dalam tanda kurung merupakan turunan dari, terhadap dengan semua diganti dengan yang berindeks sama. Persamaan-persamaan normal pada persamaan regresi taklinear tersebut akan sangat sulit diselesaikan bila parameternya lebih banyak dan modelnya lebih rumit. Oleh karena itu, untuk menentukan parameter-parameter dari persamaan taklinear diperlukan metode iterasi. Salah satu metode iterasi yang

23 7 dapat digunakan untuk menduga parameter pada persamaan taklinear adalah metode Gauss Newton Metode Gauss-Newton Pendekatan metode Gauss Newton menggunakan perkiraan linearisasi atau metode deret Taylor dari fungsi harapannya secara berulang untuk memperbaiki nilai awal bagi parameter-parameternya. Oleh karena itu, metode Gauss Newton disebut juga metode linearisasi atau metode deret Taylor (Draper 1992). Misalkan,,, adalah nilai-nilai awal bagi parameter-parameter,,,. Selanjutnya, dengan melakukan penguraian deret Taylor orde satu pada, di sekitar titik,,, akan diperoleh,,, dimisalkan,, maka persamaan (2.16) menjadi Persamaan 2.20 berbentuk linear, sehingga dengan menerapkan metode kuadrat terkecil linear dapat diduga nilai parameter-parameter dari, i = 1, 2,, p. Bila ditetapkan, (2.21)

24 8 dan (2.22) maka nilai dugaan bagi parameter-parameter,,, diberikan oleh Dengan demikian vektor akan meminimumkan jumlah kuadrat SS, 2.23 relatif terhadap, i = 1, 2,..., p, dengan. Bila merupakan nilai dugaan bagi maka dapat dituliskan bahwa, dan merupakan nilai dugaan terbaik yang telah diperbaiki bagi. Nilai dugaan yang diperoleh dari iterasi pertama akan dijadikan sebagai nilai awal bagi iterasi kedua dan seterusnya. Secara umum, penentuan hasil iterasi berikutnya dapat dituliskan sebagai berikut: (2.24) dengan,,,,,,,,. Proses iterasi ini terus dilakukan hingga solusi yang diperoleh konvergen, dengan kata lain hingga langkah iterasi ke-j dan ke-(j + 1) berlaku, 1, 2,, Dengan merupakan suatu bilangan positif yang telah ditetapkan sebelumnya (misalnya ).

25 9 2.7 Uji Kesuaian Data Untuk mengetahui kesuaian data yang diperoleh berdasarkan suatu metode tertentu terhadap data sebenarnya perlu dilakukan uji kesuaian data. Ada beberapa kriteria yang dapat dijadikan sebagai acuan diantaranya adalah: Galat Mutlak (Absolute Error, AE) Misalkan y i adalah data sebenarnya ke-i dan adalah data yang diperoleh dengan menggunakan metode tertentu sebagai nilai pendekatan untuk y i. Galat mutlak didefinisikan sebagai berikut: ; 1, 2,, (2.26) (Mathews 1992) Rataan Galat Mutlak (Mean Absolute Error, MAE) Rataan galat mutlak untuk data ke-i didefinisikan sebagai berikut: 1 ; 1, 2,, 2.27 (Mathews 1992) Koefisien Determinasi dengan y i = nilai sebenarnya, y ˆi = nilai dugaan, dan y = nilai rata-rata. Besaran R 2 menyatakan proporsi keragaman data yang dapat dijelaskan oleh model. (Agresti dan Finlay 1999) Akar Kuadrat Rataan Galat (RMSE) Misalkan y i adalah data sebenarnya ke-i dan adalah data yang diperoleh dengan menggunakan metode tertentu sebagai nilai pendekatan untuk y i. Akar kuadrat rataan galat didefinisikan sebagai berikut:

26 10 1 1, 2,, 2.29 (Mathews 1992)

27 BAB III METODE PENELITIAN Langkah-langkah Penelitian Langkah-langkah penelitian yang akan dilakukan adalah: 1. Mengkaji metode-metode interpolasi tabel hayat ringkas, yaitu metode Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard dan Kostaki. 2. Pengambilan data. Penelitian ini menggunakan data kematian berupa tabel hayat dari Negara Amerika Serikat 2000 dan 2005 yaitu tabel hayat ringkas dan tabel hayat lengkap. Tabel hayat Amerika 2000 digunakan sebagai tabel hayat standar untuk metode Brass Logit dan Kostaki. Data tabel hayat Amerika Serikat tersebut diperoleh dari Human Mortality Database pada 3. Menyusun tabel hayat lengkap berdasarkan tabel hayat ringkas dengan menggunakan metode Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard dan Kostaki. Metode Elandt-Johnson Tahapan yang dilakukan dalam menyusun tabel hayat lengkap dengan menggunakan metode Elandt-Johnson (1980) adalah: a. Untuk umur 0 74 tahun menggunakan interpolasi Lagrange berderajat lima dengan enam titik interpolan. Interpolasi Lagrange dirumuskan dalam formula b. Untuk umur di atas 74 tahun diasumsikan berdistribusi Gompertz dengan fungsi survival dengan x > 0, R > 0, 0, dan dengan umur x dan parameter a dan R. Kemudian jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap yaitu nilai ditentukan dengan menggunakan rumus: dengan 1,, 4 ; 75,80,, 15 1,, 119 ; 10

28 12 Metode Brass Logit Tahapan yang dilakukan untuk menyusun tabel hayat lengkap menggunakan metode Brass Logit adalah: a. Menduga parameter α dan β yang memenuhi hubungan linear berikut logit1 logit1 dengan : logit1 1 2 ln 1 Parameter dan diduga menggunakan metode kuadrat terkecil linear. b. Setelah diperoleh nilai parameter α dan β, kemudian ditentukan jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap dengan menggunakan rumus berikut : 1 1exp 2 logit1 Metode Heligman-Pollard Formula matematik metode Heligman-Pollard (1980) adalah: exp ln dengan adalah peluang orang tepat berumur x tahun akan meninggal sebelum mencapai umur x + 1 tahun, 1 dan A, B, C, D, E, F, G, H merupakan parameter yang bernilai positif. Tahapan penyusunan tabel hayat lengkap dengan metode Heligman-Pollard sebagai berikut: a. Menduga nilai parameter-paremeter dengan meminimumkan S 2 dengan menggunakan metode kuadrat terkecil taklinear (nonlinear least square method) dengan ; 1,

29 13 merupakan peluang seseorang tepat berumur x akan meninggal sebelum mencapai umur x + n. b. Setelah parameter-parameter tersebut diperoleh, peluang kematian pada tabel hayat lengkap dapat dihitung menggunakan formula berikut: ; 1; dengan ; exp ln Metode Kostaki Tabel hayat lengkap dapat disusun dengan menggunakan metode Kostaki, tahapan yang dilakukan pada metode ini adalah: a. Menentukan konstanta untuk setiap interval umur, dengan menggunakan rumus : ln1 ln1 b. Menghitung peluang kematian pada tabel hayat lengkap menggunakan rumus : Menganalisis tabel hayat lengkap yang diperoleh berdasarkan masing-masing metode kemudian membandingkan metode-metode tersebut dengan tabel hayat lengkap sebenarnya dengan menganalisis galatnya untuk memilih metode interpolasi tabel hayat ringkas yang terbaik. 5. Mengaplikasikan metode interpolasi tabel hayat ringkas terbaik pada data kematian penduduk Indonesia yang mengikuti pola model Barat dari tabel hayat Coale Demeny.

30 14 Langkah-langkah penelitian di atas dapat digambarkan ke dalam diagram alur sebagai berikut: Kajian Metode Elandt-Johnson Brass Logit Heligman-Pollard Kostaki Data lima tahunan Data Amerika Pendugaan Parameter Penyusunan Tabel Hayat Lengkap Data tahunan Pembandingan antar Metode Pemilihan Metode Terbaik Data Indonesia Penyusunan Tabel Hayat Lengkap Gambar 3.1 Diagram Alur Penelitian

31 BAB IV METODE INTERPOLASI ABRIDGED LIFE TABLE DAN PEMBAHASAN Berdasarkan tabel hayat ringkas Amerika Serikat tahun 2005, dapat diketahui mengenai jumlah penduduk yang bertahan hidup menurut umur tertentu pada interval umur lima tahunan, peluang penduduk umur tertentu akan meninggal dunia, angka harapan hidup penduduk umur tertentu. Kurva l x pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 dapat dilihat pada Gambar 4.1. Tabel hayat ringkas tidak dapat menentukan peluang seorang berumur 45 tahun dapat bertahan hidup hingga usia 48 tahun, karena diperlukan informasi tentang jumlah penduduk yang bertahan hidup dari lahir hingga usia 45 tahun (l 45 ) dan jumlah penduduk yang bertahan hidup dari lahir hingga usia 48 tahun (l 48 ). Oleh karena itu, diperlukan tabel hayat lengkap yang dapat memberikan informasi lebih lengkap tentang jumlah penduduk yang bertahan hidup untuk interval umur satu tahun. Perbandingan l x pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 dan l x pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dapat dilihat pada Gambar l x Gambar 4.1 Plot l x tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 Berdasarkan pengamatan pada Gambar 4.1 terlihat bahwa kurva pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 cenderung monoton turun, artinya bahwa jumlah penduduk pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 akan berkurang akibat adanya kematian penduduk. Jumlah penduduk yang bertahan hidup di Amerika Serikat berumur 60 tahun ada sekitar 87%. Umur x

32 l x l x tabel hayat lengkap l x tabel hayat ringkas Umur x Gambar 4.2 Plot l x tabel hayat lengkap dan l x tabel hayat ringkas USA 2005 Selanjutnya data pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 akan digunakan sebagai alat untuk membandingkan keempat metode interpolasi tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005, yaitu dengan cara menyusun tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 berdasarkan tabel hayat ringkas Amerika Serikat Ada beberapa metode interpolasi tabel hayat ringkas yang dapat digunakan untuk menyusun tabel hayat lengkap berdasarkan tabel hayat ringkas, diantaranya adalah metode Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard dan Kostaki. 4.1 Metode Elandt-Johnson Elandt-Johnson (1980) menyatakan bahwa tabel hayat lengkap dapat disusun berdasarkan tabel hayat ringkas dengan menggunakan formula smoothing dari tiga skema interpolasi menurut umur tertentu, yaitu umur bayi dan anak-anak (0-10 tahun), umur remaja dan dewasa (10-74 tahun) serta umur di atas 74 tahun. Untuk interval umur 0-74 tahun, metode Elandt-Johnson menggunakan formula enam titik interpolasi Lagrange, menyatakan bahwa jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari tabel hayat ringkas. 4.1

33 17 Berdasarkan persamaan 4.1, koefisien yang digunakan untuk menghitung pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dapat diperoleh dengan menggunakan fungsi basis interpolasi Lagrange pada persamaan 4.1 yaitu: ; 1, 2,,6 4.2 Nilai koefisien yang diperoleh berdasarkan persamaan 4.2 diberikan pada Tabel 4.1 (0 10) dan Tabel 4.2 (1074). Tabel 4.1 Koefisien untuk menghitung dengan 010 A l 1 A l 5 A l 10 A l 15 A l 20 A l 25 C l C l C l C l C l C l C l C l C l C l Perhitungan nilai pada interval umur 0 10 tahun menggunakan enam titik interpolan yaitu x 1 = 1, x 2 = 5, x 3 = 10, x 4 = 15, x 5 = 20 dan x 6 = 25. Misalkan untuk x = 2 maka untuk menghitung C l 2 menggunakan persamaan 4.1, sehingga diperoleh: Perhitungan dilakukan dengan cara yang sama sampai x =

34 18 Tabel 4.2 Koefisien untuk menghitung dengan A l 5m-10 A l 5m-5 A l 5m A l 5m+5 A l 5m+10 A l 5m+15 C l 5m C l 5m C l 5m C l 5m C l 5m dengan: A l 5m+j C l 5m+i : jumlah penduduk yang bertahan hidup pada umur 5m+j dari tabel hayat ringkas dengan j = -10, -5, 0, 5, 10, 15 : jumlah penduduk yang bertahan hidup pada umur 5m+i untuk menaksir tabel hayat lengkap dengan i = 1,, 5 m = 2, 3,..., 14 Berdasarkan Tabel 4.2 perhitungan nilai dengan menggunakan m = Perhitungan nilai untuk 1274 dilakukan dengan cara yang sama seperti perhitungan untuk nilai di atas, hingga diperoleh jumlah penduduk yang bertahan hidup mencapai umur tepat x pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan metode Elandt-Johnson untuk 074 (lihat Lampiran 6). Interpolasi terakhir untuk umur di atas 74 tahun diasumsikan berdistribusi Gompertz, dengan fungsi survival sebagai berikut: (4.3) dengan x > 0, R > 0, 0, dan untuk umur x dan parameter a dan R. Langkah awal dalam metode ini adalah menentukan logaritma dari rasio nilai yang berdekatan, cara ini akan menghasilkan parameter dan untuk umur x. Nilai penduga untuk dan, yaitu dan dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan 4.4. Proses perhitungan akan berhenti pada saat dan

35 19 untuk ω10, dengan ω adalah umur tertua pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 (lihat Lampiran 1). 10 dengan log log 75, 80,, ω 10 (4.4) Setelah menentukan nilai dan, maka fungsi survival Gompetz pada persaman 4.3 menjadi: 1,, 4 ; 75, 80,, ω 15 dengan (4.5) 1,, 119 ω ; ω 10 Kemudian jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 yakni untuk umur di atas 74 tahun dapat dihitung menggunakan persamaan 4.6. dengan 1,, 4 ; 75, 80,, ω 15 1,, 119 ω ; ω Hasil perhitungan dan dengan menggunakan persamaan 4.4 dan 4.5 dapat dilihat pada Lampiran 5. Selanjutnya tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan menggunakan metode Elandt-Johnson dapat disusun berdasarkan persamaan 4.1 dan 4.6 (lihat Lampiran 6). Kurva pada tabel hayat lengkap dengan metode Elandt-Johnson disajikan ke dalam Gambar 4.3. l x Umur x Gambar 4.3 Kurva l x USA 2005 dengan metode Elandt-Johnson

36 20 Perbandingan kurva l x pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 sebenarnya dengan l x pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 berdasarkan metode Elandt-Johnson dapat dilihat pada Gambar 4.4. R 2 1. l x l x Asli l x Elandt Johnson Umur x Gambar 4.4 Kurva l x USA 2005 sebenarnya dan l x metode Elandt-Johnson Pada Gambar 4.4, kurva l x pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan metode Elandt-Johnson memiliki perbedaan yang kecil sehingga nilai koefisien determinasi (R 2 ) Metode Brass Logit Brass (1971) menemukan suatu hubungan linear antara fungsi dari l x dan fungsi s l x yaitu: s logit(1 l ) = α+ βlogit(1 l ) (4.7) x x dengan 1 1 l x logit(1 lx ) = ln 2 lx l merupakan jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat s x standar, sedangkan α dan β adalah parameter yang masing-masing menyatakan perubahan level kematian dari tabel hayat standar dan β menyatakan slope kematian. Perubahan nilai β berhubungan dengan distribusi umur yang berbeda yaitu apakah kematian umur anak-anak lebih banyak atau lebih sedikit dibandingkan dengan kematian umur dewasa. Jika nilai β > 1 berarti kematian

37 21 umur anak-anak lebih rendah dibandingkan dengan kematian umur dewasa, sebaliknya bila β < 1 berarti kematian umur anak-anak lebih tinggi dibandingkan dengan kematian umur dewasa. Perubahan nilai α dan β pada persamaan 4.7 dapat digunakan untuk memprediksi angka kematian di masa depan. Metode Brass Logit sangat bergantung pada penentuan tabel hayat standar yang akan digunakan, oleh karena itu sebelum tabel hayat standar digunakan untuk menyusun tabel hayat lengkap terlebih dahulu perlu diadakan pengujian linearitas antara logit (1 - l x ) terhadap logit (1 - S l x ) menggunakan persamaan 4.7. Pada penelitian ini tabel hayat yang dijadikan sebagai standar (tabel hayat standar) adalah tabel hayat Amerika Serikat Nilai dugaan parameter α dan β ditentukan menggunakan metode kuadrat terkecil linear dengan bantuan software Mathematica 7.0. Berdasarkan hasil perhitungan diperoleh nilai dugaan parameter α = (SE ) dan β = (SE ), R 2 = yang berarti pemilihan tabel hayat standar sudah tepat. Hubungan linear antara nilai logit dari l x pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 dengan nilai logit l x tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2000 dapat dilihat pada Gambar x 4.5. logit1 l logit1 S l x 2 4 R 2 = α = ; β = Gambar 4.5 Plot pendugaan parameter pada metode Brass Logit Berdasarkan hasil perhitungan di atas, besarnya nilai β = < 1, artinya angka kematian penduduk Amerika Serikat 2005 usia anak-anak lebih

38 22 tinggi dibandingkan dengan usia dewasa. Parameter β yang nilai mendekati 1 menunjukkan bahwa perubahan kurva l x pada tabel hayat Amerika Serikat 2005 tidak berubah drastis dari tabel hayat standar yang dipilih yaitu tabel hayat Amerika Serikat Jumlah penduduk yang bertahan hidup dari tabel hayat lengkap dapat diturunkan dari persamaan 4.7 dan persamaan 4.8, sehingga diperoleh persamaan 4.9. Bukti: l x 1 = 1+ exp 2 + logit 1 S ( α β ( l x )) S ( lx ) = α + β ( lx ) logit 1 logit l ln x = α + β logit 1 2 lx S ( lx ) ( α β ( lx )) 1 l ln x = 2 + logit 1 S lx ( α β ( lx )) 1 l x = exp 2 + logit 1 S l x ( α β ( lx )) 1 1 = exp 2 + logit 1 S l x 1 l l x x ( α β ( l )) = 1+ exp 2 + logit 1 S x 1 = 1+ exp 2 + logit 1 S ( α β ( lx )) (4.9) Berdasarkan perhitungan parameter α dan β di atas, persamaan 4.9 menjadi l x 1 = 1+ exp logit 1 S ( ( lx )) (4.10)

39 23 Nilai l x pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan metode Brass Logit diperoleh dengan mensubtitusi nilai S l x yaitu jumlah penduduk umur tertentu yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2000 (tabel hayat standar). Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan menggunakan metode Brass Logit dapat dilihat pada Lampiran 8. Kurva l x pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 berdasarkan metode Brass Logit dapat dilihat pada Gambar 4.6, sedangkan perbandingan l x tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 sebenarnya dan l x pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan metode Brass Logit dapat dilihat pada Gambar 4.7. l x x Umur Gambar 4.6 Kurva l x USA 2005 dengan metode Brass Logit R l x l x Asli l x Brass logit Umur x Gambar 4.7 Kurva l x USA 2005 sebenarnya dan l x metode Brass Logit

40 24 Kurva l x tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan metode Brass Logit mengikuti pola kurva l x tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 sebenarnya, kecuali pada umur sekitar 50 tahun ke atas nilai l x pada umur tersebut berbeda jauh dari nilai l x sebenarnya. 4.3 Metode Heligman-Pollard Heligman-Pollard (1980) menyatakan bahwa penyebab kematian dapat dibagi menjadi tiga masa yaitu pengaruh masa bayi dan anak-anak, akibat kematian pada umur remaja dan tingkat kematian usia lanjut. Adapun fungsi matematika dari formula Heligman-Pollard adalah exp ln 4.11 dengan adalah peluang orang tepat berumur x tahun akan meninggal sebelum mencapai umur x + 1 tahun, 1 dan A, B, C, D, E, F, G, H merupakan parameter yang bernilai positif. Kurva dari persamaan 4.11 dapat dilihat pada Gambar kematian bayi akibat kecelakaan kurva Gompertz kematian total Gambar 4.8 Kurva fungsi Heligman-Pollard

41 25 Komponen pertama pada persamaan 4.11 menunjukkan bahwa umur bayi dan anak-anak merupakan fungsi eksponensial menurun. Hal ini menggambarkan bahwa menurunnya kematian masa bayi dan anak-anak berumur kurang dari 10 tahun. Komponen ini mempunyai tiga parameter yaitu parameter A hampir sama atau mendekati nilai yang menyatakan level kematian pada usia anak-anak, parameter B menyatakan letak umur kematian bayi, sedangkan parameter C menyatakan angka kematian yang menurun pada masa anak-anak. Semakin tinggi nilai parameter C maka angka kematian menurun dengan cepat yang ditandai dengan kenaikan umur. Ketika parameter B = 0, maka 0.5 untuk semua nilai parameter A dan C. Semakin tinggi nilai parameter B, maka akan mendekati. Dengan demikian, parameter B menyatakan letak kematian bayi dengan interval umur,. Komponen kedua pada persamaan 4.11 merupakan fungsi yang serupa dengan fungsi kepekatan lognormal yang menggambarkan kematian akibat kecelakaan yang terjadi pada masa pertengahan hidup atau masa remaja. Komponen ini memiliki tiga parameter yaitu parameter D, parameter E, parameter F. Komponen terakhir pada persamaan 4.11 merupakan fungsi eksponensial Gompertz yang menyatakan peningkatan kematian pada umur dewasa dan misalnya tanda-tanda kematian. Parameter G menunjukkan level awal tanda kematian sedangkan parameter H menyatakan kenaikan angka kematian. Misalkan fungsi pada sisi kanan persamaan 4.11 dinyatakan sebagai ;, yaitu suatu fungsi dari variabel umur x dan merupakan parameterparameter yang terdapat pada persamaan 4.11, sehingga formula Heligman- Pollard pada persamaan 4.11 menjadi: ; 4.12 karena 1 maka persaman 4.11 menjadi: ; 1; 4.13

42 26 Berdasarkan hubungan Bukti: Model peluang kematian untuk tabel hayat ringkas berdasarkan formula Heligman-Pollard menjadi: 1 1 ; 1, 4.15 Parameter pada formula Heligman-Pollard dapat dihitung dengan menggunakan metode kuadrat terkecil taklinear (nonlinear least square), yaitu dengan meminimumkan S Berdasarkan hasil perhitungan persamaan 4.16 menggunakan software Mathematica 7.0 diperoleh nilai parameter-parameter yang terdapat pada formula Heligman-Pollard dapat dilihat pada Tabel 4.3.

43 27 Tabel 4.3 Nilai parameter model Heligman-Pollard Parameter Nilai Keterangan A Representasi dari B Representasi letak C 0.08 Representasi laju penurunan kematian bayi D Representasi besarnya kematian akibat kecelakaan E Representasi sebaran usia terjadinya kecelakaan F Representasi usia maksimum terjadinya kematian akibat kecelakaan G Representasi level kematian pada usia lanjut H Representasi laju peningkatan kematian Kemudian dengan mensubtitusi nilai penduga parameter-parameter yang telah diperoleh pada Tabel 4.3 ke dalam persamaan 4.13 akan menghasilkan peluang penduduk berumur tertentu akan meninggal sebelum satu tahun yang akan datang ( q x) dengan metode Heligman-Pollard. Setelah nilai q x diperoleh, nilai l x dapat dihitung dengan menggunakan hubungan dengan fungsi q x yaitu: ( ) l = q l ; x = 0,1, 2,..., ω (4.17) x+ 1 1 x x dengan ω merupakan umur tertua pada tabel hayat ringkas dan l 0 = Bukti Berdasarkan persamaan 2.3 q x l l l = = 1 l l x x+ 1 x+ 1 x lx+ 1 = 1 qx lx l = q l x ( 1 ) x+ 1 x x Hasil aproksimasi tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 berdasarkan tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 dengan metode Heligman-Pollard dapat

44 28 dilihat pada Lampiran 10. Kurva l x tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan metode Heligman-Pollard dapat dilihat pada Gambar 4.9, dan perbandingannya dengan l x tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 sebenarnya diberikan pada Gambar l x x Umur Gambar 4.9 Kurva l x USA 2005 dengan metode Heligman-Pollard R l x l x Asli l x Heligman Pollard Umur x Gambar 4.10 Kurva l x USA 2005 sebenarnya dan l x metode Heligman-Pollard Pola kurva l x tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan metode Heligman-Pollard mengikuti pola l x tabel hayat Amerika Serikat 2005 sebenarnya. Metode Heligman-Pollard dapat menduga data sebenarnya dengan baik.

45 Metode Kostaki Kostaki (2000) menemukan suatu teknik nonparametric sederhana untuk menyusun tabel hayat lengkap dari tabel hayat ringkas, dimana nilai peluang kematian pada tabel hayat ringkas dihubungkan dengan peluang kematian tabel hayat lengkap yang dianggap sebagai tabel hayat standar. Hipotesis metode ini adalah bahwa pada setiap interval umur,, laju kematian dari tabel hayat ringkas merupakan perkalian suatu konstanta dengan laju kematian dari tabel hayat standar pada interval umur yang sama, yakni: 4.18 Oleh karena itu, konstanta untuk setiap interval umur, dapat dihitung menggunakan: dengan : ln1 ln : peluang seseorang tepat berumur x meninggal sebelum mencapai umur x + n : peluang seseorang tepat berumur x meninggal sebelum mencapai umur x + 1 pada tabel hayat standar Peluang kematian tabel hayat lengkap dapat dihitung menggunakan rumus: dengan: untuk 1, 4 untuk 5, 9 untuk 10, 14 untuk 105, 109 Tabel hayat standar yang digunakan pada metode Kostaki sama seperti tabel hayat standar untuk metode Brass Logit yaitu tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2000 (Lampiran 4). Bukti persamaan 4.19 dan hasil perhitungan konstanta

46 30 diberikan pada Lampiran 11, sedangkan tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 yang dihasilkan dengan menggunakan metode Kostaki diberikan pada Lampiran 12. Kurva l x pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan metode Kostaki dapat dilihat pada Gambar l x Umur Gambar 4.11 Kurva l x USA 2005 dengan metode Kostaki x R l x l x Asli l x Kostaki Umur x Gambar 4.12 Kurva l x USA 2005 sebenarnya dan l x metode Kostaki Berdasarkan Gambar 4.12 terlihat bahwa kurva l x tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan metode Kostaki mengikuti pola l x tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 sebenarnya yang ditandai dengan besarnya nilai R 2 yang mendekati 1.

47 Perbandingan antar Metode Untuk mengetahui metode terbaik dari metode interpolasi tabel hayat ringkas di atas, digunakan beberapa kriteria uji diantaranya dengan menentukan nilai dari rataan galat mutlak (MAE), koefisien determinasi (R 2 ), akar kuadrat rataan galat (RMSE) dari untuk masing-masing metode interpolasi tersebut. Perbandingan nilai kriteria uji dari nilai pada tabel hayat dengan metode Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard dan Kostaki dapat dilihat pada Tabel 4.4. Tabel 4.4 Perbandingan nilai kriteria uji untuk nilai l x dari masing-masing metode Elandt-Johnson Brass Logit Heligman-Pollard Kostaki MAE RMSE R Berdasarkan Tabel 4.4, metode Elandt-Johnson mempunyai nilai MAE, RMSE terendah dibandingkan ketiga metode lainnya. Keempat metode memiliki nilai R 2 yang mendekati 1, jadi keempat metode dapat dikatakan sesuai dengan data yang sebenarnya. Berdasarkan nilai kriteria uji di atas metode Elandt-Johnson merupakan metode interpolasi tabel hayat ringkas terbaik. Kurva perbandingan nilai tabel hayat lengkap berdasarkan metodemetode tersebut dapat dilhat pada Gambar 4.13 di bawah ini.

48 32 l x l x Asli l x Elandt l x Brass l x Heligman Umur x l x Kostaki Gambar 4.13 Hasil l x berdasarkan metode interpolasi tabel hayat ringkas Berdasarkan Gambar 4.13, keempat metode interpolasi tabel hayat ringkas mempunyai pola yang sama. Kurva akan menurun sejalan dengan bertambahnya umur. Untuk nilai l x dengan metode Elandt-Johnson dan Kostaki tidak berbeda jauh, sedangkan metode Brass Logit dan Heligman-Pollard terlihat berbeda saat umur dewasa. Keempat metode interpolasi tabel hayat ringkas yang telah dibahas di atas memiliki karakteristik yang berbeda. Metode Elandt-Johnson dan Heligman- Pollard tidak memerlukan tabel hayat standar, sedangkan metode Brass Logit dan Kostaki memerlukan tabel hayat standar. Oleh karena itu, perlu diperhatikan metode mana yang terbaik untuk metode yang memerlukan tabel hayat standar dan metode yang tidak memerlukan tabel hayat standar. Nilai kriteria uji l x untuk metode yang tidak memerlukan tabel hayat standar diberikan pada Tabel 4.5 di bawah ini. Tabel 4.5 Nilai kriteria uji l x untuk metode tanpa standar Elandt-Johnson Heligman-Pollard MAE RMSE R

49 33 Berdasarkan Tabel 4.5 metode Elandt-Johnson memiliki nilai MAE dan RMSE terkecil dan nilai R 2 terbesar dibandingkan dengan metode Heligman- Pollard. Metode Elandt-Johnson adalah metode terbaik untuk metode interpolasi tabel hayat ringkas yang tidak memerlukan tabel hayat standar. Nilai kriteria uji l x untuk metode interpolasi tabel hayat ringkas yang memerlukan tabel hayat standar yaitu metode Brass Logit dan Kostaki dapat dilihat pada Tabel 4.6 di bawah ini. Tabel 4.6 Nilai kriteria uji l x untuk metode dengan standar Brass Logit Kostaki MAE RMSE R Tabel 4.6 di atas menunjukkan bahwa metode Kostaki memiliki nilai MAE dan RMSE terendah serta nilai R 2 tertinggi dibandingkan dengan metode Brass Logit. Berdasarkan nilai kriteria uji pada Tabel 4.6, metode Kostaki merupakan metode terbaik untuk metode interpolasi tabel hayat ringkas yang memerlukan tabel hayat standar.

50 BAB V APLIKASI METODE INTERPOLASI ABRIDGED LIFE TABLE TERBAIK PADA DATA KEMATIAN INDONESIA 5.1 Sumber Data Indonesia Data penduduk Indonesia diperoleh dari BPS berdasarkan hasil SUPAS (Survei Penduduk Antar Sensus) terakhir tahun 2005, data Indonesia yang digunakan adalah data angka harapan hidup waktu lahir menurut jenis kelamin (lihat Lampiran 13). Angka harapan hidup saat lahir untuk wanita dan laki-laki Indonesia berdasarkan SUPAS 2005 berturut-turut adalah 71.1 dan 67.1 (BPS 2006). Berdasarkan angka harapan hidup waktu lahir tersebut dan mengacu pada tabel hayat Coale Demeny model Barat, akan diketahui letak level kematian Indonesia menurut jenis kelamin. Level kematian untuk wanita Indonesia adalah 21.44, sedangkan laki-laki adalah Kemudian tabel hayat ringkas Indonesia menurut jenis kelamin yang mengacu pada tabel hayat Coale Demeny model Barat dapat disusun dengan menggunakan interpolasi linear. Tabel hayat ringkas Indonesia menurut jenis kelamin berdasarkan tabel hayat Coale-Demeny model Barat dapat dilihat pada Lampiran 14. Setelah tabel hayat ringkas Indonesia menurut jenis kelamin diperoleh, maka tabel hayat ringkas Indonesia untuk kedua jenis kelamin (total) dapat diperoleh dengan menggabungkan jumlah penduduk yang bertahan menurut jenis kelamin. Aplikasi pada data kematian Indonesia hanya diterapkan untuk penduduk total Indonesia. Kurva jumlah penduduk yang bertahan hidup berdasarkan tabel hayat ringkas Indonesia menurut jenis kelamin laki-laki dan wanita dapat dilhat pada Gambar 5.1 dan Gambar 5.2, sedangkan perbandingan kurva jumlah penduduk yang bertahan hidup untuk laki-laki dan wanita dapat dilihat pada Gambar 5.3.

51 35 l x x Umur Gambar 5.1 Kurva l x laki-laki Indonesia berdasarkan SUPAS 2005 l x x Umur Gambar 5.2 Kurva l x wanita Indonesia berdasarkan SUPAS l x l x laki laki l x wanita Umur x Gambar 5.3 Perbandingan kurva l x laki-laki dan wanita Indonesia

52 36 Berdasarkan Gambar 5.3 dapat dilihat bahwa jumlah penduduk wanita Indonesia menurut SUPAS 2005 yang bertahan hidup lebih tinggi dibandingkan dengan laki-laki, hal ini dapat dilihat dari nilai angka harapan hidup wanita Indonesia lebih tinggi dari laki-laki. Tabel hayat Indonesia 2005 diperoleh dari gabungan tabel hayat laki-laki dan wanita Indonesia (Lampiran 14). Jumlah penduduk Indonesia yang bertahan hidup pada tabel hayat Indonesia dapat dilihat pada Gambar 5.4 di bawah ini. l x x Umur Gambar 5.4 Kurva l x tabel hayat ringkas Indonesia SUPAS Aplikasi Metode Terbaik pada Data Penduduk Indonesia Berdasarkan pembahasan di atas, bila negara memiliki tabel hayat standar maka metode interpolasi tabel hayat ringkas yang terbaik adalah metode Kostaki. Namun jika negara belum memiliki tabel hayat standar dapat menggunakan metode Elandt-Johnson. Kedua metode terbaik tersebut diaplikasikan pada data kematian Indonesia yang diperoleh mengikuti tabel hayat model Barat Coale Demeny Metode Kostaki untuk Indonesia Metode Kostaki merupakan metode interpolasi tabel hayat ringkas yang memerlukan tabel hayat standar, pada penelitian tabel hayat standar yang digunakan adalah tabel mortalita Indonesia-II 1999 yang diterbitkan oleh Dewan Asuransi Indonesia (Lampiran 15). Tabel hayat lengkap Indonesia 2005 dengan

53 37 menggunakan metode Kostaki diberikan pada Lampiran 17. Kurva l x pada tabel hayat lengkap Indonesia 2005 dengan metode Kostaki dapat dilihat pada Gambar 5.5. l x l x Ind dengan Kostaki A l x Indonesia x Umur Gambar 5.5 Kurva l x tabel hayat Indonesia 2005 dengan metode Kostaki Metode Elandt-Johnson untuk Indonesia Tabel hayat lengkap Indonesia SUPAS 2005 diberikan pada Lampiran 19. Kurva l x tabel hayat lengkap Indonesia 2005 dengan metode Elandt-Johnson dapat dilihat pada Gambar 5.6. l x l x Ind dengan Elandt A l x Indonesia x Umur Gambar 5.6 Kurva l x tabel hayat Indonesia 2005 dengan metode Elandt-Johnson Untuk mengetahui sejauh mana perbedaan hasil yang diperoleh dengan metode Kostaki dan Elandt-Johnson, berikut ditampilkan gambar perbandingan kurva l x tabel hayat Indonesia dengan kedua metode.

54 38 l x A l x Indonesia l x Kostaki l x Elandt Johnson x Umur Gambar 5.7 Perbandingan kurva l x tabel hayat Indonesia 2005 dengan metode Kostaki dan metode Elandt-Johnson metode Kostaki metode Elandt Johnson Gambar 5.8 Diagram kotak nilai l x tabel hayat Indonesia 2005 dengan metode Kostaki dan metode Elandt-Johnson Berdasarkan diagram kotak pada Gambar 5.8, terlihat bahwa kedua metode mempunyai sebaran yang hampir sama dengan median Nilai numerik kelima titik untuk data l x pada tabel hayat lengkap Indonesia 2005 berdasarkan metode Kostaki dan metode Elandt-Johnson dapat dilihat pada Lampiran 21. Metode Elandt-Johnson disarankan untuk diimplementasikan pada data kematian penduduk Indonesia karena metode Elandt-Johnson lebih sederhana dan Indonesia belum mempunyai tabel hayat standar.

55 BAB VI SIMPULAN DAN SARAN 6.1 Simpulan Berdasarkan pembahasan di atas dapat disimpulkan sebagai berikut: 1. Metode Elandt-Johnson menggunakan tiga skema interpolasi menurut umur yaitu interpolasi Lagrange untuk umur 0 tahun hingga 74 tahun, sedangkan untuk umur 74 tahun ke atas diasumsikan berdistribusi Gompertz. Metode Heligman-Pollard menyatakan bahwa penyebab kematian dapat dibagikan menurut tiga masa yaitu anak-anak, remaja dan usia lanjut. Metode Elandt- Johnson dan Heligman-Pollard tidak memerlukan tabel hayat standar. Diantara kedua metode tersebut, metode Elandt-Johnson memberikan hasil yang lebih baik. 2. Metode Brass Logit mejelaskan bahwa terdapat hubungan linear antara fungsi dari tabel hayat standar dengan tabel hayat lainnya yaitu logit1 logit1. Metode Kostaki menyatakan bahwa laju kematian pada tabel hayat ringkas merupakan perkalian konstanta dengan laju kematian tabel hayat standar yaitu. Untuk negara yang sudah memiliki tabel hayat standar dapat menggunakan metode Brass Logit dan metode Kostaki. Diantara kedua metode tersebut, metode Kostaki merupakan metode terbaik. 3. Metode Elandt-Johnson dan Kostaki diaplikasikan pada tabel hayat ringkas Indonesia. Metode Elandt-Johnson disarankan untuk diimplementasikan pada data kematian penduduk Indonesia, karena metode Elandt-Johnson lebih sederhana dan Indonesia belum mempunyai tabel hayat standar. 6.2 Saran Untuk penelitian berikutnya, dapat dikembangkan untuk model kontinu dari tabel hayat.

56 DAFTAR PUSTAKA Agresti A, Barbara F Statistical Methods for the Social Sciences. Ed. Ke-2. California: Dellen Publishing Company. Baili P Comparison of four methods for estimating complete life table from abridged life table using mortality data supplied to EUROCARE-3. Mathematical Population Studies 12: BPS Estimasi Parameter Demografi Fertilitas, Mortalitas dan Migrasi. Hasil Survei Penduduk antar Sensus Jakarta. Brass W On the scale of mortality.in W. Brass (Ed.). Biological aspect of Demography. London: Taylor and Francis. Brown RL Introduction to the Mathematics of Demography. ACTEX Publication, Inc. Coale AJ, Paul D Regional Model Life Tables and Stable Population. Ed ke-2. New York: Academic Press. Draper NR Analisis Regresi Terapan. Bambang Sumantri,penerjemah, Jakarta: Gramedia. Terjemahan dari Appllied Regression Analysis. Elandt-Johnson RC, Johnson NL Survival Models and Data Analysis New York: Wiley Series. Heath MT Scientific Computing an Introductory Survey. New York: McGraw-Hill. Heligman L, Pollard JH The Age Pattern of Mortality. Journal of the Institute of Actuaries 107 part 1: Kostaki, A The Heligman-Pollard formula as a tool for expanding an abridged life table. Journal of Official Statistics. 7(3): Kostaki, A, Panousis V Expanding an abridged life table. J. Demographic Research. 5(1): Mathews JH Numerical Methods for Mathematics, Science, and Engineering. London: Prentice-Hall. Siegel JS, Swanson DA The Methods and Materials of Demography. USA: Elsevier Inc. Tim penyusun tabel mortalita Indonesia Tabel Mortalita Indonesia-II. Jakarta: Dewan Asuransi Indonesia.

57 41 USA life table. Human Mortality Database. Wirosuhardjo K, Munir R, Kusumosuwidho S, Kartoyo A, Muliakusuma S Kamus Istilah Demografi. Jakarta: Pusat Pembinaan dan Pengembangan Bahasa.

58 LAMPIRAN

59 43 Lampiran 1 Tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2005 x nm x nq x l x nd x nl x T x ė x Sumber :

60 44 Lampiran 2 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 x m x q x l x d x L x T x ė x

61 45 Lanjutan x m x q x l x d x L x T x ė x

62 46 Lanjutan x m x q x l x d x L x T x ė x Sumber:

63 47 Lampiran 3 Tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2000 x nm x nq x l x nd x nl x T x ė x Sumber:

64 48 Lampiran 4 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2000 x m x q x l x d x L x T x ė x

65 49 Lanjutan x m x q x l x d x L x T x ė x

66 50 Lanjutan x m x q x l x d x L x T x ė x Sumber:

67 51 Lampiran 5 Proses perhitungan persamaan 4.4 dan persamaan 4.5 Proses perhitungan persamaan 4.4 x log log Proses perhitungan persamaan 4.5 x x

68 52 Lampiran 6 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan menggunakan metode Elandt-Johnson x m x q x l x d x L x T x ė x

69 53 Lanjutan x m x q x l x d x L x T x ė x

70 54 Lanjutan x m x q x l x d x L x T x ė x

71 55

72 56 Lampiran 8 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan menggunakan metode Brass Logit x m x q x l x d x L x T x ė x

73 57 Lanjutan x m x q x l x d x L x T x ė x

74 58 Lanjutan x m x q x l x d x L x T x ė x

75 59

76 60 Lampiran 10 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan menggunakan metode Heligman-Pollard x m x q x l x d x L x T x ė x

77 61 Lanjutan x m x q x l x d x L x T x ė x

78 62 Lanjutan x m x q x l x d x L x T x ė x

79 63 Lampiran 11 Bukti persamaan 4.19 dan proses perhitungan nilai konstanta pada metode Kostaki Diketahui: Akan dibuktikan Bukti ln1 ln ln1 ln ln ln ln ln ln1 ln 1 ln1 ln 1 Berdasarkan persamaan 4.16 di atas, proses perhitungan nilai konstanta dijelaskan di bawah ini: Untuk x = 0 dan n = 1 ln1 ln1 ln ln

80 64 Untuk x = 1 dan n = 4 ln1 ln1 ln1 ln1 ln1 ln1 ln Perhitungan n K x dilanjutkan dengan cara yang sama seperti di atas untuk x = 5, 10, 15,..., 105 dan n = 5. Hasil perhitungan lengkap dapat dilihat pada tabel berikut: x nkx

81 65 Lampiran 12 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2005 dengan menggunakan metode Kostaki x m x q x l x d x L x T x ė x

82 66 Lanjutan x m x q x l x d x L x T x ė x

83 67 Lanjutan x m x q x l x d x L x T x ė x

84 68 Lampiran 13 Angka Harapan Hidup Waktu Lahir penduduk Indonesia menurut propinsi dan jenis kelamin (SUPAS 2005) Kode Jenis Kelamin Propinsi Propinsi Laki-laki Perempuan Total 11 Nangroe Aceh Darussalam Sumatera Utara Sumatera Barat Riau Jambi Sumatera Selatan Bengkulu Lampung Bangka Belitung Kepulauan Riau DKI Jakarta Jawa Barat Jawa Tengah DI Yogyakarta Jawa Timur Banten Bali Nusa Tenggara Barat Nusa Tenggara Timur Kalimantan Barat Kalimantan Tengah Kalimantan Selatan Kalimantan Timur Sulawesi Utara Sulawesi Tengah Sulawesi Selatan Sulawesi Tenggara Gorontalo Maluku Maluku Utara Papua INDONESIA Sumber: BPS 2006

85 69 Lampiran 14 Tabel hayat ringkas Indonesia berdasarkan data SUPAS 2005 dan tabel hayat Coale Demeny model Barat Wanita x 1000 n q x nd x 1000 n m x l x nl x T x ė x Sumber: Coale Demeny 1983

86 70 Laki-laki x 1000 n q x nd x 1000 n m x l x nl x T x ė x Sumber: Coale Demeny 1983

87 71 Total x 1000 n q x 1000 n m x nd x l x nl x T x ė x

88 72 Lampiran 15 Tabel Mortalita Indonesia II sebagai tabel hayat standar untuk metode Kostaki Wanita x l x d x q x p x e x

89 73 Lanjutan x l x d x q x p x e x

90 74 Lanjutan x l x d x q x p x e x Sumber: Dewan Asuransi Indonesia 1999

91 75 Laki-laki x l x d x q x p x e x

92 76 Lanjutan x l x d x q x p x e x

93 77 Lanjutan x l x d x q x p x e x Sumber: Dewan Asuransi Indonesia 1999

94 78 Total x l x d x q x p x e x

95 79 Lanjutan x l x d x q x p x e x

96 80 Lanjutan x l x d x q x p x e x

97 81 Lampiran 16 Perhitungan nilai nkx pada metode Kostaki untuk tabel hayat Indonesia x nkx

98 82 Lampiran 17 Tabel hayat lengkap Indonesia 2005 dengan metode Kostaki x m x q x l x d x L x T x ė x

99 83 Lanjutan x m x q x l x d x L x T x ė x

100 84 Lanjutan x m x q x l x d x L x T x ė x

101 85 Lampiran 18 Proses Perhitungan persamaan 4.4 dan 4.5 untuk data Indonesia Proses perhitungan persamaan 4.4 x log log Proses perhitungan persamaan 4.5 x

102 86 Lampiran 19 Tabel hayat lengkap Indonesia 2005 dengan metode Elandt-Johnson x m x q x l x d x L x T x ė x

103 87 Lanjutan x m x q x l x d x L x T x ė x

104 88 Lanjutan x m x q x l x d x L x T x ė x

105 89

106 90

107 91

108 92

109 93

110 94 Lampiran 21 Nilai numerik lima titik untuk data l x pada tabel hayat lengkap Indonesia 2005 berdasarkan metode Kostaki dan metode Elandt- Johnson Kostaki Elandt-Johnson Min Q Q 2 = median Q Max