Diusulkan oleh: Nama : Pita Suci Rahayu Nim : 1384202092 Kelas/Semester: C/1
BARISAN DAN DERET Barisan bilangan adalah himpunan bilangan yang diurutkan menurut suatu aturan/pola tertentu yang dihubungkan dengan tanda,. Jika pada barisan tanda, diganti dengan tanda +, maka disebut deret.. Masing-masing bilangan itu disebut suku-suku barisan, setiap suku diberi nama sesuai dengan nomor urutnya. Secara umum barisan bilangan dapat ditulis: U 1, U 2, U 3,, U n. dengan U n sering disebut f(n) yang menyatakan suku ken, nεa. Sedangkan untuk deret bilangan dapat di tulis : U 1 + U 2 + U 3 + + U n. 1.1. BARISAN ARITMETIKA Barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang setiap suku, kecuali suku pertama, diperoleh dari suku sebelumnya ditambah dengan bilangan tetap. Suatu barisan U 1,U 2, U 3., U n dinamakan barisan aritmatika jika dua suku yang berurutan mempunyai selisih yang konstan ( tetap )/ sama. Selisih tersebut dinamakan beda ( b). Barisan aritmatika disebut juga barisan hitung. Rumus suku ke-n barisan aritmatika: Un = a + ( n - 1 )b a = suku pertama b = beda n = banyak suku Rumus beda pada barisan aritmatika: b = U n U n-1 U n = Suku ke-n U n-1 = suku ke-(n-1) PITA SUCI RAHAYU / IC /PEND.MATEMATIKA Page 1
1.2. DERET ARITMATIKA 1.2.1. Deret Bilangan Deret adalah penjumlahan dari suku suku yang berurutan suatu barisan. Jumlah n suku pertama suatu barisan dilambangkan dengan S n. S n = U 1 + U 2 + U 3 +... +U n = n U I i=1 Dari rumus S n tersebut diperoleh : U n = S n S n-1 1.2.2. Deret Aritmatika Deret aritmatika adalah penjumlahan berurut suku suku suatu barisan aritmatika. Deret aritmatika disebut juga deret hitung karena perbedaaan antar sukunya dihitung berdasar operasi penjumlahan. Rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika: S n = n 2 (a + U n ) Atau S n = n (2a + n 1 b) 2 a = suku banyak S n = jumlah n suku pertama b = banyak suku U n = suku ke-n n = banyak suku Suku ke-n barisan aritmatika juga dapat dihitung dengan rumus : U n = S n S n-1 Rumus suku tengah barisan aritmatika jika n ganjil: U t = 1 2 (U 1 + U 2t 1 ) PITA SUCI RAHAYU / IC /PEND.MATEMATIKA Page 2
U 2t -1 = suku terakhir dari barisan aritmatika dengan n ganjil (U n ) U t = suku tengah 2.1. BARISAN DAN DERET GEOMETRI 2.1.1. Barisan Geometri Barisan Geometri adalah barisan bilangan dengan perbandingan setiap suku dengan suku sebelumnya selalu sama. Perbandingan setiap dua suku berurutan tersebut disebut rasio (r). bentuk umum sukuke-n barisan geometri dituliskan sebagai berikut. Rumus suku ke-n barisan geometri : Un = suku ke-n n = banyak suku U n = ar n-1 a = suku pertama 2.2.2. Deret Geometri r = rasio ( perbandingan dua suku berurutan ) Deret geometri adalah penjumlahan berurut suku suku suatu barisan geometri. Rumus jumlah n suku pertama deret geometri S n = (1 rn ) (1 r) Untuk r < 1, atau S n = a rn 1 (r 1) Untuk r > 1 Selain itu berlaku juga : S n S n-1 = U n PITA SUCI RAHAYU / IC /PEND.MATEMATIKA Page 3
Rumus suku tengah barisan geometri, jika n ganjil : U t = suku tengah U t U 1. U` 2t 1 U 1 = suku pertama U 2t 1 = suku terakhir Deret geometri yang jumlah sukunya tak berhingga dinamakan deret geometri tak hingga. Deret geometri tak hingga yamg mempunyai limit jumlah disebut deret konvergen. Deret yang bukan konvergen disebut deret divergen. Syarat deret geometri konvergen : -1 < r < 1 atau r < 1. Rumus jumlah n suku pertama deret geometri tak hingga : S n a 1 r untuk r < 1 Jika r > 1 maka deret geometri divergen. PITA SUCI RAHAYU / IC /PEND.MATEMATIKA Page 4
Contoh soal : 1. Suku ke-4 dan suku ke-9 suatu barisan aritmatika berturut-turut 210 dan 250. Suku ke-30 barisan aritmatika tersebut adalah ( Ujian Nasional 2010/2011 ) Jawab : Suku ke-n barisan aritmatika = U n = a + ( n 1 )b. U 4 = 210 a + 3b = 210 a = 210 3b U 9 = 250 a + 8b = 250 (210-3b) +8b = 250 5b = 40 b = 8 a = 210 3b = 210 3. 8 = 186 U30 = a + 29b = 186 + 29.(8) = 418. 2. Dalam suatu upacara bendera Banyak siswa pada baris pertama di madrasah ibtidaiyah 20. Banyak siswa pada baris di belakangnya 4 lebih banyak siswa pada baris didepanya. banyak siswa pada baris ke-15 adalah ( Ujian Nasional 2008/2009 ) Jawab : Banyak siswa pada setiap baris membentuk barisan aritmatika dengan a = 20 dan b = 4 banyak siswa pada baris ke-15 adalah U 15 = a + ( 15 1 )b = 20 + 14 x 4 = 76 3. Suku kedua dan kelima suatu barisan geometri berturut turut 2 dan 54. Suku keempat barisan geometri tersebut adalah PITA SUCI RAHAYU / IC /PEND.MATEMATIKA Page 5
Jawab : Barisan geometri dengan U 2 = 2 dan U 5 = 54 U 5 = 54 U 2 2 ar 4 ar = 27 r 3 = 27 r = 3 U 2 = 2 v a. 3 = 2 a = 2 3 suku keempat U 4 a r 3 = 2 3 x 33 = 18 4. Segulung Kabel yang panjangnya 29 m dipotong menjadi 20 bagian. Panjang kabel membentuk deret aritmatika. Jika panjang potongan kabel terpendek 12 cm. panjang potongan kabel terpanjang cm. Jawab : Deret aritmatika a = U 1 = 12 cm dan n = 20 S 20 = 20 m = 2.900 cm Sn = n 2 ( a + U n ) panjang potongan kabel terpanjang = nilai suku ke-20 S 20 = 20 2 ( a + U 20 ) 2.900 = 10 ( 12 + U 20 ) 290 = 12 + U 20 PITA SUCI RAHAYU / IC /PEND.MATEMATIKA Page 6
U 20 = 278 Jadi panjang potongan kabel terpanjang = nilai 278 cm. 5. Dari suatu deret geometri diketahui suku keduanya 12 dan suku keempatnya 108. Jumlah n suku ppertamanya 4.372 dan rasio positif. Suku keberapakan suku tengah deret tersebut Jawab : U 4 = 108 U 2 12 a r t = n+1 2 ar = 9 a r = 9 r = 3 U 2 = 12 ar = 12 3a = 12 a = 4 = 7+1 2 = 4 S n = a (rn 1 ) r 1 4.372 = 4 (3n 1 ) 3 1 4.372 = 4 (3n 1 ) 2 4.372 = 2(3 n 1) 2.18 = 3 n 1 3 n = 3 7 n = 7 Jadi, suku tengahnya merupakan suku ke-4 PITA SUCI RAHAYU / IC /PEND.MATEMATIKA Page 7
PITA SUCI RAHAYU / IC /PEND.MATEMATIKA Page 8