Fadly Ramadhan, Thresye, Akhmad Yusuf

ISSN: 978-44 Vol.0 No. (06) Hal.8-7 DETERMINAN MATRIKS DENGAN ELEMEN BILANGAN FIBONACCI ORDER- YANG DIGENERALISASI Fadly Ramadhan, Thresye, Akhmad Yusuf Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Email : fadlyramadhan04@gmail.com ABSTRAK Bilangan Fibonacci didefinisikan sebagai barisan bilangan yang suku-sukunya merupakan penjumlahan dua suku sebelumnya. Penelitian sebelumnya menjelaskan tentang bilangan Fibonacci yang digeneralisasi hingga order-. Selanjutnya bilangan Fibonacci tersebut dibentuk dalam matriks berukuran yang akan ditentukan nilai determinannya. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui bentuk barisan Fibonacci order- yang digeneralisasi, kemudian mengetahui bentuk matriks persegi yang elemennya berupa bilangan Fibonacci order- yang digeneralisasi dan membuktikan teorema untuk menentukan determinan dari matriks persegi yang elemennya berupa bilangan Fibonacci order- yang digeneralisasi. Hasil dari penelitian ini adalah diperoleh bentuk barisan dari bilangan Fibonacci order- yang digeneralisasi, diperoleh bentuk matriks persegi yang elemennya berupa bilangan Fibonacci order- yang digeneralisasi dan diperoleh determinan dengan 4 kondisi yang berbeda. Kata Kunci : Bilangan Fibonacci, bilangan Fibonacci order- yang digeneralisasi, matriks. ABTRACT Fibonacci numbers are defined as a sequence of numbers that of his family is the sum of the previous two terms. Previous research describes the generalized order-k Fibonacci numbers. Furthermore, Fibonacci numbers are formed in a matrix of size k k to be determined the value of the determinant. The purpose of this study was to determine the shape ranks of the generalized order-k Fibonacci numbers, then knowing the form of a square matrix whose elements form Fibonacci numbers of order-k generalized and proving theorems to determine the determinant of a square matrix whose elements form of the generalized order-k Fibonacci numbers. The results of this study are obtained form the sequence of the generalized order-k Fibonacci numbers, obtained form a square matrix whose elements form of the generalized order-k Fibonacci numbers and the determinant obtained with 4 different conditions. Keywords: Fibonacci numbers, the generalized order-k Fibonacci numbers, matrix.. PENDAHULUAN Karaduman [] menjelaskan tentang bilangan Fibonacci yang digeneralisasi hingga order-. Dalam penelitian tersebut, bilangan Fibonacci yang digeneralisasi hingga order- hanya ditunjukaan untuk kondisi nn > 0, dengan syarat batas yang telah ditentukan. Karaduman [] mengembangkan penelitiannya mengenai bilangan Fibonacci yang digeneralisasi hingga order-. Dalam penelitian ini, bilangan Fibonacci yang digeneralisasi hingga order- tidak hanya ditunjuan untuk kondisi nn > 0, dengan syarat batas yang telah ditentukan. Selanjutnya bilangan Fibonacci tersebut dibentuk dalam matriks berukuran yang akan ditentukan nilai determinannya. 8

ISSN: 978-44 Vol.0 No. (06) Hal.8-7. TINJAUAN PUSTAKA. Matriks Berikut diberikan definisi matriks : Definisi. [] Sebuah matriks adalah susunan segiempat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks.. Determinan Matriks Berikut diberikan definisi dari determinan matriks, dan beberapa teorema mengenai determinan. Definisi.. [] Misalkan AA adalah matriks persegi. Fungsi determinan dinyatakan oleh det, dan didefinisikan dddddd(aa) sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari AA. Jumlah dddddd (AA) dinamakan determinan AA. Teorema.. Anggap AA adalah suatu matriks nn nn. a) Jika BB adalah matriks yang dihasilkan ketika suatu baris tunggal atau kolom tunggal dari AA dikalikan dengan suatu skalar, maka dddddd(bb) = (AA). b) Jika BB adalah matriks yang dihasilkan ketika dua baris atau dua kolom dari AA dipertukarkan, maka dddddd(bb) = dddddd (AA). c) Jika BB adalah matriks yang dihasilkan ketika suatu penggandaan dari suatu baris AA ditambahkan pada baris lainnya atau jika suatu penggandaan suatu kolom ditambahkan pada kolom lainnya, maka dddddd(bb) = dddddd (AA). Bilangan Fibonacci Order- yang Digeneralisasi Karaduman [] mendefinisikan barisan dari bilangan Fibonacci order- yang digeneralisasi dengan bentuk gg nn = cc jj jj jj= uuuuuuuuuu nn > 0 dddddd () Bentuk diatas hanya berlaku untuk nn > 0, sedangkan untuk nn 0 dapat menggunakan syarat batas, berikut: ; = nn gg nn = uuuuuuuuuu nn 0 0 ; uuuuuuuuuu yyyyyyyy llllllll dimana cc jj, jj adalah koefisien konstan dengan, nn bilangan bulat dan merupakan bentuk ke-nn dari barisan ke-.. METODE PENELITIAN Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur. Adapun prosedur pada penelitian ini adalah mengumpulkan dan mengkaji bahan-bahan yang berkaitan dengan matriks, determinan, bilangan Fibonacci, dan barisan dari bilangan Fibonacci order- yang digeneralisasi. Kemudian memahami bentuk barisan dari bilangan Fibonacci order- yang digeneralisasi. Selanjutnya, memahami bentuk matriks persegi yang elemennya 9

ISSN: 978-44 Vol.0 No. (06) Hal.8-7 berupa barisan dari bilangan Fibonacci order- yang digeneralisasi. Kemudian membuktikan teorema untuk menentukan determinan dari matriks persegi yang elemennya berupa bilangan Fibonacci order- yang digeneralisassi dan membuat kesimpulan penelitian. 4. HASIL DAN PEMBAHASAN Karaduman [] mendefinisikan bentuk matrik GG nn berukuran dengan elemennya berupa bilangan Fibonacci order- yang digeneralisasi,sebagai berikut GG nn = () + + + + + + + + + + Bentuk matriks GG nn pada persamaan () dapat disederhanakan ke dalam bentuk matriks yang berukuran, yaitu GG nn = + + untuk Berdasarkan bentuk matriks GG nn pada persamaan () dapat dibentuk suatu matriks yang lebih besar dari GG nn yaitu matriks GG nn+, yang merupakan perkalian antara matriks GG nn dengan matriks AA sebagai berikut cc cc cc cc cc 0 0 0 0 GG nn+ = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + + () cc cc cc cc cc 0 0 0 0 dengan AA = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Persamaan () dapat digeneralisasi ke dalam persamaan matriks dengan bentuk GG nn+ = AAGG nn (4) 0

ISSN: 978-44 Vol.0 No. (06) Hal.8-7 Dengan melakukan ekspansi pada persamaan (4) diperoleh GG nn = AA nn (5) Teorema 4. Jika cc jj = dan GG nn berbentuk Maka dengan GG nn = + + + + + + + + dddddd GG nn = ( )nn ; jjjjjjjj ggeeeeeeee ; jjjjjjjj gggggggggggg gg nn = cc jj jj jj= uuuuuuuuuu nn > 0 dddddd + + dan syarat batas ; = nn gg nn = uuuuuuuuuu nn 0. 0 ; uuuuuuuuuu yyyyyyyy llllllll Bukti: Diketahui GG nn = AA nn pada persamaan (5), maka untuk menentukan determinan dari matriks GG nn maka cukup ditunjuan dengan menentukan determinan dari matriks AA nn. Diketahui matriks AA sebagai berikut cc cc cc cc cc 0 0 0 0 AA = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Selanjutnya akan ditentukan determinan dari matriks AA, cc cc cc cc cc 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 AA = = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cc cc cc cc cc dddddd (AA) = ( ) c k Diketahui bahwa cc jj = maka dddddd (AA) = ( ) Sedemikian sehingga dddddd GG nn = (ddddddaa) nn = ( ) nn untuk genap dddddd GG nn = (ddddddaa) nn = untuk ganjil sehingga terbukti bahwa

ISSN: 978-44 Vol.0 No. (06) Hal.8-7 dddddd GG nn = ( )nn ; jjjjjjjj gggggggggg ; jjjjjjjj gggggggggggg Selanjutnnya berdasarkan persamaan () jika kondisi nn > 0 diabaikan dimisalkan sebagai gg mm, maka barisan dari bilangan Fibonacci order- yang digeneralisasi menjadi = cc jj jj jj= uuuuuuuuuu (6) dengan syarat batas ; = mm = uuuuuuuuuu mm 0 0 ; uuuuuuuuuu yyyyyyyy llllllll dengan syarat awal gg 0 =, gg =, dan, mm merupakan bilangan bulat. Bentuk pada persamaan (6) berlaku jika mm. Karaduman [] berdasarkan bentuk matriks GG nn pada persamaan (), maka bentuk matriks GG mm memilik bentuk yang serupa dengan matriks GG nn, sebagai berikut gg mm GG mm = + + + + + + + + + + (7) Bentuk matriks GG mm pada persamaan (7) dapat disederhanakan ke dalam bentuk matriks yang berukuran, yaitu GG mm = + + untuk (8) Berdasarkan bentuk matriks GG mm pada persamaan (8) dapat dibentuk suatu matriks yang lebih besar dari GG mm yaitu matriks GG mm+, GG mm+ = GG mm+ + + untuk (9) Matriks GG mm+ pada persamaan (9) dapat dituliskan sebagai perkalian matriks AA dengan matriks GG mm pada persamaan (8)

ISSN: 978-44 Vol.0 No. (06) Hal.8-7 cc cc cc cc cc 0 0 0 0 GG mm+ = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + + untuk (0) cc cc cc cc cc 0 0 0 0 dengan AA = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Persamaan (0) dapat digeneralisasi ke dalam persamaan matriks dengan bentuk GG mm+ = AAGG mm () Dengan melakukan ekspansi pada persamaan () diperoleh GG mm = AA mm GG () Teorema 4. Jika cc jj = dan GG mm berbentuk gg mm GG mm = + + + + Maka + + + + + + dddddd GG mm = ( )mm ; jjjjjjjj gggggggggg ; jjjjjjjj gggggggggggg Bukti: Diketahui GG mm = AA mm GG pada persamaan (), untuk menentukan determinan dari matriks GG mm maka cukup ditunjuan dengan menentukan determinan dari matriks AA mm dan determinan dari matriks GG. Berdasarkan bukti dari teorema (.) diketahui bahwa dddddd (AA) = ( ) c k, sehinggga dddddd (AA mm ) = (dddddd (AA)) mm = (( ) c k ) mm. Selanjutnya akan dibuktikan determinan dari matriks GG.

gg gg gg gg gg gg 0 gg 0 gg 0 gg 0 gg 0 GG = gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg 0 gg 0 gg 0 gg 0 = 0 gg gg gg 0 0 0 gg gg 0 0 0 gg Determinan dari matriks GG adalah sebagai berikut gg gg gg gg gg gg 0 gg 0 gg 0 gg 0 GG = 0 gg gg gg 0 0 0 gg gg 0 0 0 gg dddddd(gg ) = ( ) cc Diketahui bahwa cc jj = maka (dddddd (AA)) mm = (( ) ) mm dan dddddd(gg ) = ( ) sehingga terbukti bahwa dddddd GG mm = ( )mm ; jjjjjjjj gggggggggg ; jjjjjjjj gggggggggggg Teorema 4. Jika GG nn berbentuk GG nn = maka dimana + + + + + + + + dddddd GG nn = ( )nn (cc ) nn (cc ) nn Jurnal Matematika Murni dan Terapan εpsilon ISSN: 978-44 Vol.0 No. (06) Hal.8-7 + + ; jjjjjjjj gggggggggg ; jjjjjjjj gggggggggggg 4

dengan syarat batas = gg nn = cc jj jj jj= ; = nn 0 ; uuuuuuuuuu yyyyyyyy llllllll Jurnal Matematika Murni dan Terapan εpsilon ISSN: 978-44 Vol.0 No. (06) Hal.8-7 uuuuuuuuuu nn > 0 dddddd uuuuuuuuuu nn 0. Bukti: Diketahui GG nn = AA nn pada persamaan (5), untuk menentukan determinan dari matriks GG nn maka cukup ditunjuan dengan menentukan determinan dari matriks AA nn. Diketahui matriks AA sebagai berikut cc cc cc cc cc 0 0 0 0 AA = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Selanjutnya akan ditentukan determinan dari matriks AA, cc cc cc cc cc 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 AA = = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cc cc cc cc cc dddddd (AA) = ( ) c k Sehingga, dddddd GG nn = (ddddddaa) nn = ( ) nn (cc ) nn untuk genap dddddd GG nn = (ddddddaa) nn = (cc ) nn untuk ganjil sehingga terbukti bahwa dddddd GG nn = ( )nn (cc ) nn (cc ) nn Teorema 4.4 Jika GG mm berbentuk GG mm = ; jjjjjjjj gggggggggg ; jjjjjjjj gggggggggggg + + + + + + + + + + 5

ISSN: 978-44 Vol.0 No. (06) Hal.8-7 Maka dddddd GG mm = ( )mm (cc ) mm (cc ) mm ; jjjjjjjj gggggggggg ; jjjjjjjj gggggggggggg Bukti: Diketahui GG mm = AA mm GG pada persamaan (), untuk menentukan determinan dari matriks GG mm maka cukup ditunjuan dengan menentukan determinan dari matriks AA mm dan determinan dari matriks GG. Berdasarkan bukti dari teorema (.) diketahui bahwa dddddd (AA) = ( ) c k, sehinggga dddddd (AA mm ) = (dddddd (AA)) mm = (( ) c k ) mm. Selanjutnya akan dibuktikan determinan dari matriks GG. gg gg gg gg gg gg 0 gg 0 gg 0 gg 0 gg 0 GG = gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg gg 0 gg 0 gg 0 gg 0 = 0 gg gg gg 0 0 0 gg gg 0 0 0 gg Determinan dari matriks GG adalah sebagai berikut gg gg gg gg gg gg 0 gg 0 gg 0 gg 0 GG = 0 gg gg gg 0 0 0 gg gg 0 0 0 gg dddddd(gg ) = ( ) cc Karena diketahui GG mm = AA mm GG, maka dddddd (GG mm ) = (( ) cc ) mm (( ) cc ) dddddd (GG mm ) = (( ) cc ) mm dddddd (GG mm ) = (( ) ) mm (cc ) mm sehingga terbukti bahwa dddddd GG mm = ( )mm (cc ) mm ; jjjjjjjj gggggggggg (cc ) mm ; jjjjjjjj gggggggggggg 6

ISSN: 978-44 Vol.0 No. (06) Hal.8-7 5. KESIMPULAN Kesimpulan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:. Bentuk barisan dari bilangan Fibonacci order- yang digeneralisasi adalah gg nn = cc jj jj jj= uuuuuuuuuu nn > 0 dddddd dengan syarat batas ; = nn gg nn = uuuuuuuuuu nn 0 0 ; uuuuuuuuuu yyyyyyyy llllllll dimana cc jj, jj adalah koefisien konstan dengan, nn bilangan bulat dan merupakan bentuk ke-nn dari barisan ke-.. Bentuk matriks persegi yang elemennya berupa bilangan Fibonacci order- yang digeneralisasi adalah gg nn GG nn = + + + + + + gg nn + + + +. Determinan yang ditentukan dari 4 teorema dalam penelitian ini dengan beberapa kasus sebagai berikut a. Untuk matriks GG nn dengan cc jj = diperoleh dddddd GG nn = ( )nn ; jjjjjjjj gggggggggg ; jjjjjjjj gggggggggggg b. Untuk matriks GG mm dengan cc jj = diperoleh dddddd GG mm = ( )mm ; jjjjjjjj gggggggggg ; jjjjjjjj gggggggggggg c. Untuk matriks GG nn dengan cc jj diperoleh dddddd GG nn = ( )nn (cc ) nn ; jjjjjjjj gggggggggg (cc ) nn ; jjjjjjjj gggggggggggg d. Untuk matriks GG mm dengan cc jj diperoleh dddddd GG mm = ( )mm (cc ) mm ; jjjjjjjj gggggggggg (cc ) mm ; jjjjjjjj gggggggggggg 5. DAFTAR PUSTAKA [] Anton, Howard. 000. Dasar-dasar Aljabar Linier. Edisi 7 Jilid. Interaksara, Batam. [] Karaduman, Erdal. 004. An Aplication of Fibonacci Numbers in Matrices. Applied Mathematics and Computation. 47: 90-908. [] Karaduman, Erdal. 005. On Determinants of Matrices With General Fibonacci Numbers Entries. Applied Mathematics and Computation. 67: 670-676. 7