Lecture 4: A. Introduction Jika suatu masalah LP hanya melibatkan 2 kegiatan (variabel keputu-san) saja, maka dapat diselesaikan dengan metode grafik. Tetapi, jika melibatkan lebih dari 2 kegiatan, maka metode grafik tidak dapat digunakan lagi, sehingga diperlukan metode simpleks (simplex method). Metode simpleks merupakan suatu cara yang lazim dipakai untuk menentukan kombinasi optimal dari tiga variabel atau lebih. Penyelesaian model Program Linear dengan metode grafik menjadi dasar pengembangan metode aljabar simpleks. Secara grafik, kita dapat mengetahui terdapat banyak tak berhingga solusi fisibel dengan melihat daerah fisibelnya. Tetapi bagaimana dengan reperesentasi solusi secara aljabar? Dalam representasi aljabar, jumlah persamaan m selalu lebih kecil atau sama dengan jumlah variabel n, yaitu m n. Karena jika m > n, maka terdapat paling sedikit m n persamaan redundant. Jika m = n dan persamaan-persamaan tersebut konsisten, maka sis-tem mempunyai solusi tunggal. Jika m < n dan persamaan-persamaan tersebut konsisten, maka sistem mempunyai tak berhingga banyak solusi. Contoh. Persamaan x = 2 mempunyai m = n = 1, sehingga mempunyai solusi tunggal. Tetapi persamaan x + y = 1 mempunyai m = 1 dan n = 2, sehingga mempunyai tak berhingga banyak solusi (garis semua titik di sepanjang x + y = 1 merupakan solusi. B. Computational Details of the Simplex Algoritm Contoh. Diberikan masalah Reddy Mikks dengan model program linear: Maksimumkan z = 5x + 4x terhadap kendala 6x + 4x 24 (bahan A) x + 2x 6 (bahan B) x + x 1 (Batas pemasaran) x 2 (Batas Permintaan) x, x 0
(a) Mengubah fungsi objektif dan batasan-batasan. Fungsi objektif diubah menjadi fungsi implisit, artinya semua c x dipindah ke ruas kiri. Misalnya fungsi tujuan z = 5x + 4x diubah menjadi z 5x 4x = 0 Pada bentuk standar, semua batasan mempunyai tanda. Ketaksamaan tersebut harus diubah menjadi kesamaan, caranya dengan menambah variabel slack (variabel tambahan yang mewakili tingkat pengangguran), yaitu s, s, s, dan s. 6x + 4x 24 menjadi 6x + 4x + s = 24 x + 2x 6 menjadi x + 2x + s = 6 x + x 1 menjadi x + x + s = 1 x 2 menjadi x + s = 2 Berdasarkan perubahan persamaan-persamaan di atas, dipero-leh bentuk standar / kanonik (siap simplex) sebagai berikut. Maksimumkan z = 5x + 4x + 0s + 0s + 0s + 0s terhadap kendala 6x + 4x + s = 24 x + 2x + s = 6 x + x + s = 1 x + s = 2 x, x, s, s, s, s 0 Untuk selanjutnya, fungsi objektif ditulis z 5x 4x = 0 Catatan: Perhatikan bahwa sistem mempunyai m = 4 persamaan dan n = 6 variabel, sehingga Karena n > m, dengan memisalkan (n m) variabel sama dengan 0, maka dapat dihitung nilai m variabel lainnya. (n m) variabel yang sama dengan 0 disebut variabel non basis, sedangkan m variabel lainya disebut variabel basis. Penyelesaian basis adalah penyelesaian yang diperoleh de-ngan mengenolkan (n m) variabel dan diperoleh nilai m variabel lainnya. Penyelesaian basis dengan semua nilai varia-bel non negatif disebut penyelesaian basis fisibel. (b) Menyusun persamaan-persamaan di dalam tabel simpleks. Setelah formulasi diubah, kemudian disusun ke dalam tabel berikut.
Tabel 4.1. Tabel simpleks iterasi 1 Iterasi metode simpleks dimulai dari titik asal (x, x ) = (0,0), sehingga Variabel nonbasic (nol): (x, x ) Variabel dasar (basic) : (s, s, s, s ). Dengan mensubstitusi (x, x ) = (0,0), diperoleh z = 0 s = 24 s = 6 s = 1 s = 2 Perhatikan pada persamaan 6x + 4x + s = 24, Karena x = 0 dan x = 0, berarti belum ada kegiatan apa-apa, sehingga terjadi pengangguran pada kendala pertama sebesar 24 satuan, atau s = 24. Nilai lain diperoleh dengan cara yang sama. (c) Memilih elemen pivot (perpotongan kolom pivot dan baris pivot Kolom pivot. Pilihlah kolom yang mempunyai nilai pada garis fungsi objektif yang bernilai negatif terbesar. Dalam hal ini, kolom x dengan nilai pada baris z sebesar 5. Baris pivot. Terlebih dahulu carilah rasio tiap-tiap baris dengan cara membagi nilai-nilai pada kolom solusi dengan nilai yang sebaris dengan kolom pivot. Rasio =. Pilihlah baris yang mempunyai rasio nonnegatif terkecil.
Rasio 24/6 =4 (min) 6/1 =6 1/-1 =-1 2/0 = Catatan: (1) Untuk masalah maksimisasi, dipilih kolom pivot dengan nilai negatif terbesar. Perhatikan fungsi objektif z = 5x + 4x Untuk memaksimumkan nilai z akan lebih cepat jika memproduksi x terlebih dahulu, karena mempunyai unit profit terbesar, yaitu 5. Karena dalam tabel simpleks fungsi objektif diubah menjadi z 5x 4x = 0, berarti dipilih koefisien dengan nilai negatif terbesar. (2) Baris pivot dipilih dengan rasio nonnegatif terkecil. Perhatikan ilustrasi secara grafik berikut. Dari gambar terlihat bahwa pada iterasi selanjutnya, solusi tetap berada pada daerah fisibel hanya jika diambil rasio dengan nilai nonnegatif terkecil.
(d) Mengubah nilai-nilai pada solusi basis (Komputasi Gauss-Jordan) Mengubah nilai-nilai baris pivot Terlebih dulu ganti leaving variable pada kolom basis dengan entering variable. Selanjutnya, nilai baris pivot diubah dengan cara membaginya dengan elemen pivot: Baris pivot baru = Baris pivot Elemen pivot Sehingga diperoleh Tukar s pada kolom basis dengan x. Baris pivot baru (x ) = Baris pivot (s ) 6 = (6 4 1 0 0 0 24) 6 = (1 Mengubah nilai-nilai selain pada baris pivot Nilai-nilai baris yang lain, selain baris pivot dapat diubah dengan rumus sebagai berikut: Baris baru = Baris lama (Koefisien kolom pivot)(baris pivot baru) Sehingga diperoleh Baris z baru = Baris z lama ( 5) Baris pivot baru = ( 5 4 0 0 0 0 0) ( 5)(1 = 0 0 0 0 20 Baris s baru = Baris s lama (1) Baris pivot baru = (1 2 0 1 0 0 6) (1)(1 = 0 1 0 0 2 Baris s baru = Baris s lama ( 1) Baris pivot baru = ( 1 1 0 0 1 0 1) ( 1)(1 = 0 0 1 0 5 Baris s baru = Baris s lama (0) Baris pivot baru = (0 1 0 0 0 1 2) (0)(1 = (0 1 0 0 0 1 2) Solusi basis baru adalah (x, s, s, s ), dengan tabel simpleks:
Tabel 4.2. Tabel simpleks iterasi 2 Rasio 6 1,5 (min) 3 2 (e) Melanjutkan perubahan-perubahan Ulangi langkah-langkah perubahan solusi basis pada langkah (d) Perubahan baru berhenti setelah pada baris fungsi objektif tidak ada yang bernilai negatif. Tabel 4.3. Tabel simpleks iterasi 3 Perhatikan pada tabel simpleks iterasi ke 3, baris pertama (z) sudah tidak ada yang bernilai negatif (semuanya positif). Sehingga tabel tersebut sudah merupakan tabel optimal, dengan solusi optimalnya adalah: Variabel Keputusan x x z Nilai Optimum 3 3/2 21 Rekomendasi Memproduksi cat eksterior 3 ton/hari Memproduksi cat interior 1,5 ton/hari Keuntungan per hari $21.000 Catatan: Dari hasil di atas diperoleh juga nilai untuk variabel-variabel slack: s = 0, s = 0, s =, dan s =.
Nilai solusi tersebut juga sekaligus menjelaskan status dari masingmasing sumber daya, yang diberikan pada tabel berikut. Sumber Daya Variabel Slack Status Bahan A Bahan B Batas Pemasaran Batas Permintaan s = 0 s = 0 s = 5/2 s = 1/2 Langka (scarce) Langka (scarce) Berlebih (abundant) Berlebih (abundant) Suatu sumber daya dikatakan langka (scarce), jika variabelvariabel dari model menggunakan seluruh kapasitas sumber daya tersebut. Dengan kata lain, tidak ada kapasitas yang menganggur, yang ditunjukkan dengan variabel slack = 0. Contoh. Semua bahan A maupun B dipakai untuk memproduksi cat eksterior dan cat interior, sehingga tidak ada bahan yang menganggur. Ditunjukkan dengan nilai s = 0 dan s = 0. Suatu sumber daya dikatakan berlebih (redundant), jika ada beberapa kapasitas sumber daya yang tidak digunakan (menganggur). Dengan kata lain, variabel slack > 0.