Penyelesaian Masalah Nilai Batas Persamaan Diferensial Mathieu Hill

JURNAL FOURIER Oktober 13, Vol., No., 91-13 ISSN 5-763X Penyelesaian Masalah Nilai Batas Persamaan Diferensial Mathieu Hill Santosa, Muhammad Wakhid Musthofa, dan Malahayati Program Studi Matematika Fakultas Sains dan eknologi, UIN Sunan Kalijaga, Jl. Marsda Adisucipto No. 1 Yogyakarta, Indonesia Korespondensi; Santosa, Email: santosa_bumen@yahoo.co.id Abstrak Berbagai masalah fisis dan geometri yang melibatkan a fungsi atau lebih peubah bebas sangat berkaitan dengan persamaan diferensial. Salah satu analisis fisis tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan diferensial. Ilmuwan matematika yang bernama George W. Hill dan Mathieu meneliti tentang getaran pada penlum gantung yang bisa dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial Mathieu-Hill. Persamaan diferensial Mathieu-Hill adalah persamaan diferensial orde a yang didalam fungsi tersebut terdapat fungsi periodik. Persamaan diferensial Mathieu-Hill dapat diselesaikan dengan menggunakan metode aljabar matriks. Pada tahun 5 sudah diteliti tentang solusi dari persamaan diferensial Mathieu-Hill. Penelitian ini menjelaskan tentang penyelesaian masalah nilai batas pada persamaan diferensial Mathieu Hill yang akan manghasilkan suatu solusi dalam bentuk persamaan periodik. Untuk lebih memahami penyelesaian masalah nilai batas pada persamaan diferensial Mathieu-Hill diberikan salah satu contoh aplikasinya dalam menghitung getaran pada mesin lokomotif kereta yang dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial Hill-Meissner. Kata Kunci: Abstract A variety of physical and geometrical problems involving two functions or more independent variables are closely related to differential equations. One such physical analysis can be expressed in terms of differential equations. Mathematical scientists named George W. Hill and Mathieu examined the vibrations of penlum that can be modeled in Mathieu-Hill differential equations. Mathieu-Hill differential equation is a second-order differential equation in which there is a periodic function. Mathieu-Hill differential equations can be solved by using matrix algebra method. In 5 it has been studied about the solution of Mathieu-Hill differential equation. his research explains the solution of boundary value problems to Mathieu Hill differential equations which will proce a solution in the form of periodic equations. o better understand problem-solving the boundary value of the Mathieu-Hill differential equation is given one example of its application in calculating vibrations in rail locomotive engines modeled in the form of Hill-Meissner differential equations. Keywords Pendahuluan Berbagai masalah fisis yang melibatkan a fungsi atau lebih peubah bebas sangat berkaitan dengan persamaan diferensial. Masalah fisis yang paling sederhana dapat dimodelkan dengan persamaan diferensial biasa, sedangkan masalah fisis yang lebih komplek seperti mekanika fluida, teori elekromagnetik, dan sebagainya merupakan masalah-masalah fisis yang harus dimodelkan dengan persamaan diferensial parsial. Salah satu analisis matematis dari masalah fisis tersebut dapat menghasilkan suatu persamaan diferensial yang dapat disederhanakan ke bentuk umum berikut, d y + F(t)y = ; dengan t (1) 13 JURNAL FOURIER Versi online via www.fourier.or.id

9 Santosa, et.al dan F(t) suatu fungsi periodik bernilai tunggal, dengan periode pokok. Persamaan (1) disebut persamaan diferensial Mathieu-Hill [1] (Pipes, 1991:911). Persamaan Mathieu-Hill ini ditemukan oleh ilmuwan yang bernama Mathieu dan George W. Hill. Woro Raharjanti [] sudah meneliti tentang penyelesaian persamaan diferensial Mathieu-Hill, dalam penelitiannya Woro Raharjanti sudah menuliskan gambaran umum persamaan umum diferensial Mathieu-Hill beserta solusinya. Penulis tertarik untuk melanjutkan penelitian tersebut dengan menambahkan persamaan syarat batas pada persamaan diferensial Mathieu-Hill. Penulis menambahkan persamaan syarat batas bertujuan untuk menghilangkan konstanta pada penyelesaian umum persamaan diferensial Mathieu- Hill. Suatu persamaan diferensial bersama dengan kondisi-kondisi tambahan terhadap fungsi yang dicari dan turunannya, yang semuanya diberikan pada nilai variabel bebas yang sama maka disebut permasalahan diferensial dengan nilai awal. Jika kondisi-kondisi tambahan diberikan untuk lebih dari satu nilai variabel bebas maka disebut permasalahan diferensial dengan nilai batas. Penelitian ini akan menyajikan langkah-langkah penyelesaian persamaan (1) yang terikat oleh syaratsyarat nilai batas yang ditentukan. Penyelesaian persamaan diferensial akan lebih mudah dan cepat apabila digunakan suatu alat bantu seperti komputer. Saat ini perkembangan perangkat lunak komputer yang berbasis matematika sangatlah pesat. Hal ini terbukti dengan munculnya perangkat lunak yang dapat digunakan untuk kepentingan pengembangan matematika maupun penerapannya. Salah satu perangkat lunak yang dikembangkan untuk kepentingan Sistem Komputer Aljabar (Computer Algebaric System) adalah Maple. Maple banyak digunakan oleh para ilmuwan untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan matematika, karena Maple merupakan perangkat lunak yang lengkap dan komunikatif pada jenisnya. Permasalahan yang dapat diselesaikan dengan Maple merupakan permasalahan matematika murni, seperti aljabar, geometri, kalkulus, matematika diskret, dan statistika. Dengan kemajuan teknologi tersebut penulis tertarik untuk menggunakan Maple dalam menghitung masalah nilai batas pada persamaan diferensial Mathieu-Hill. Penyelesaian Persamaan Diferensial Mathieu-Hill Diberikan persamaan diferensial Mathieu-Hill d y + F(t)y = () Pada selang t apabila dinyatakan dalam nilai-nilai awal untuk y(t) dan. Akan ditunjukkan bahwa solusi dari persamaan () adalah y(t) = A sin F(t) t + B cos F(t) t (3) Dengan A dan B adalah suatu konstanta. Bentuk umum persamaan diferensial homogen orde kea adalah a d y + b + cy = (4) Dari persamaan () diperoleh a = 1, b =, dan c = F(t). Misal akar-akar dari persamaan () adalah t 1 dan t sehingga: t 1 = i F(t) dan t = i F(t) JURNAL FOURIER (13) 91-13 www.fourier.or.id

Penyelesaian Masalah Nilai Batas Persamaan Diferensial Mathieu Hill 93 Sehingga solusi umumnya adalah: Missal: A = (c 1 c ) dan B(c 1 + c ). Jadi penyelesaian dari persamaan (3) adalah y = (c 1 + c ) cos F(t) t + (c 1 c )i sin F(t) t y(t) = A sin F(t) t + B cos F(t) t Fungsi y(t) dan = v(t) dapat ditulis dalam bentuk: Missal: u = F(t), sehingga y(t) = A sin F(t) t + B cos F(t) t (5) y(t) = A sin u t + B cos u t (6) v(t) = A Persamaan (6) dan (7) bisa dituliskan dalam bentuk matriks: Dari persamaan (8) dimisalkan: cos u t B sin u t (7) [ y(t) sin ut cos ut ] = [ v(t) cos u t sin u t] [A B ] (8) w = [ sin ut cos ut cos u t sin u t] (9) Determinan Wronskian dari persamaan tersebut adalah suatu tetapan pada selang pokok t, yaitu: sin ut w = cos u t cos ut = sin u t Jika sin F(t) t dan cos F(t) t adalah a solusi bebas linear karena w, jadi matriks (9) mempunyai invers. Sehingga invers dari matriks (9) adalah w 1 = 1 [ sin ut cos ut cos u t sin u t ] (1) Pada t =, nilai y(t) dan v(t) dinotasikan sebagai y dan v. Dengan demikian persamaan (8) menjadi: [ y 1 v ] = [ ] [A B ] www.fourier.or.id JURNAL FOURIER (13) 91-13

94 Santosa, et.al Sehingga diperoleh [ A B ] = 1 Substitusi [ A ] pada persamaan (11) ke persamaan (8) B [ 1 ] [y v ] (11) sin ut Pada akhir periode t =, persamaan (1) berubah menjadi: Pada akhir periode kea dari perubahan F(t) diperoleh [ y cos ut v ] = [ y ] [ t sin u t cos ut v ] (1) sin u [ y cos u v ] = [ y ] [ sin u cos u v ] (13) sin u [ y cos u v ] = [ sin u cos u ] Demikian juga dapat dilihat pada akhir periode ke-n, berlaku sin u [ y cos u v ] = n [ sin u cos u ] Perhatikan persamaan (), jika dilakukan perubahan variabel dengan bentuk τ = t n, dengan τ dan n =,1,,3, maka diperoleh d y dτ n [ y v ] [ y v ] + F(τ)y = dengan F(n + τ) = F(τ). Selanjutnya penyelesaian dalam selang ke n + 1 diperoleh sin uτ [ y cos uτ v ] = [ y ] [ n+τ sin u τ cos uτ v ] n (14) Persamaan (14) merupakan penyelesaian persamaan Mathieu-Hill pada sembarang waktu t > yang dinyatakan dalam syarat-syarat awal dan a penyelesaian bebas linear persamaan hill dalam selang pokok t. JURNAL FOURIER (13) 91-13 www.fourier.or.id

Penyelesaian Masalah Nilai Batas Persamaan Diferensial Mathieu Hill 95 Penyelesaian Masalah Nilai Batas Persamaan Diferensial Mathieu-Hill Berikut ini akan dibahas solusi dari persamaan diferensial Mathieu-Hill jika diberikan nilai batasnya. Diketahui persamaan diferensial Mathieu-Hill sebagai berikut. Dengan: y : Sumbu vertical F(t) : Fungsi periodik terhadap t t : Waktu d y + F(t)y = ; dengan t Penyelesaian umum dari persamaan Mathieu-Hill adalah y(t) = A sin F(t) t + B cos F(t) t Dengan memisalkan u = F(t), diperoleh persamaan (6) dan (7). Diberikan masalah nilai batas a 1 y() + b 1 () = a y() + b () = (15a) (15b) Saat y() = A sin a + B cos a () = A cos u B sin u (16b) (16a) Substitusi persamaan (16) ke (15), diperoleh a 1 B + b 1 A = a (A sin u + B cos u ) + b (A cos u B sin u ) = (17b) (17a) Untuk menyelesaikan persamaan (17) gunakan integral. Dari persamaan () kita rubah ke bentuk persamaan: Dengan y =. L[y] = [y ] Diberikan v dan w adalah kontinu pada t dan v = dv, w = dw L[v]w sehingga: vl[w] = [v (t)w(t) v(t)w (t)] (18) Ambil persamaan sebelah kanan dengan mengasumsikan b 1 dan b pada persamaan (15) maka persamaan (18) menjadi: [v (t)w(t) v(t)w (t)] = www.fourier.or.id JURNAL FOURIER (13) 91-13

96 Santosa, et.al Dari persamaan (18) diperoleh: {L[v]w vl[w]} = v dan w adalah fungsi real yang didefinisikan sebagai inner prok dengan interval, jadi dipunyai Jika v = θ m dan w = θ n maka diperoleh Dengan (v, w) = v(t)w(t) t y = θ m (x)θ n (x) dx = δ mn, jika m n δ mn = {, jika m = n (19) Dari persamaan (17) diambil: B + A = B = A () (A sin u + B cos u )B + (A Dari persamaan () substitusi ke persamaan (1) diperoleh cos u B sin u ) = (1) y(t) (A + A ) sin u = () Jika (A + A ) = maka sin u dan sebaliknya jika (A + A ) maka sin u =. Jadi diperoleh: y(t) (A + A ) sin u t = (3) Karena penyelesaian umum dari persamaan diferensial Mathieu-Hill berbentuk tunggal maka Substitusikan persamaan (3) ke persamaan (4) y = (y(t)) = (4) (A + A ) = ( ) cos ut 1 (5) Substitusi persamaan (5) ke persamaan (3) JURNAL FOURIER (13) 91-13 www.fourier.or.id

Penyelesaian Masalah Nilai Batas Persamaan Diferensial Mathieu Hill 97 y(t) = sin ut 1 ( cos ut) (6) Selanjutnya penyelesaian dalam selang ke n 1 diperoleh (A + A ) = ( (τ+n) ) τ+n n cos ut 1 (7) Substitusi persamaan (7) ke persamaan (3), diperoleh y(t) = (τ+n) sin ut 1 τ+n (n cos ut) (8) Jadi solusi dari persamaan diferensial Mathieu-Hill pada interval dengan t nilai batas Adalah a 1 y() + b 1 () = a y() + b () = y(t) = (τ+n) sin ut 1 τ+n (n cos ut) (9) Dengan n = 1,,3, Aplikasi Masalah Nilai Batas pada Persamaan Diferensial Hill-Meissner Salah satu contoh penggunaan diferensial Mathieu-Hill dalam kehipan sehari hari adalah menghitung getaran dalam mesin lokomotif kereta yang bisa dimodelkan dalam persamaan diferensial Hill-Messiner (Gambar 1). Gambar 1 Mesin lokomotif. www.fourier.or.id JURNAL FOURIER (13) 91-13

98 Santosa, et.al Getaran pada mesin lokomotif dapat digambarkan dalam penlum sederhana seperti Gambar. Gambar Penlum. Keterangan: y : sumbu vertikal x : sumbu horizontal θ : sut simpangan l : panjang tali m : massa benda g : gravitasi Dengan langkah yang sama untuk mencari persamaan () maka diperoleh Dengan d y + (α + β cos t)y = A=amplitude dan I=momen inersia. α = mla, β = mlg I Iw Misalkan F(t) = cos t, maka diperoleh persamaan diferensial Hill-Meissner sebagai berikut: d y + (α + βf(t))y = Persaamaan Hill-Meissner dirumuskan sebagai berikut: Dengan syarat batas: d y + (α + βf(t))y =, t n (3) y 1 () = y () (31) 1 () = dx dx () (3) JURNAL FOURIER (13) 91-13 www.fourier.or.id

Penyelesaian Masalah Nilai Batas Persamaan Diferensial Mathieu Hill 99 Dengan adalah periode dan Sehingga persamaan (3) menjadi: F(t) = { 1, t 1, t F(t + ) = F(t) d y + (α + β)y = ; t (33) d y + (α β)y = ; t (34) Solusi dari persamaan (33) dan (34) untuk α + β > dan α β > adalah y 1 (t) = A sin α + βt + B cos α + βt ; t (35) y (t) = C sin α βt + D cos α βt ; t (36) Sedangkan untuk α + β > dan α β < solusinya adalah y 1 (t) = A sin α + βt + B cos α + βt ; t (37) Berikut grafik persamaan Hill-Meissner y (t) = C exp( α βt) + D exp( α βt) ; t (38) Gambar 3 Grafik periodik persamaan Hill-Meissner. Untuk mencari α dan β fungsi y 1 (t) dan y (t) diturunkan terlebih dahulu, untuk α + β > dan α β > diperoleh: 1 (t) = A α + β cos α + βt B α + β sin α + βt (39) dx (t) = C α β cos α βt D α β sin α βt (4) dx Substitusikan persamaan (35), (36), (39), dan (4) ke persamaan (31) dan (3) sehingga diperoleh: www.fourier.or.id JURNAL FOURIER (13) 91-13

1 Santosa, et.al B C sin (α β) D cos (α β) = (41) A (α + β) C (α β) cos (α β) + D (α β) cos (α β) = (4) Pada saat y 1 () = y () dan 1 () = () diperoleh: dx dx A sin (α+β) A (α + β) cos (α+β) + B cos (α+β) B (α + β) sin (α+β) C sin (α+β) D cos (α β) = (43) C (α β) cos (α+β) + D (α β) sin (α β) = (44) Susun persamaan (41), (4), (43), dan (44) menjadi matriks. Diperoleh bentuk berikut: Sistem (45) mempunyai penyelesaian nontrivial jika dan hanya jika determinannya adalah nol, sehingga (45) Determinannya adalah (46) (47) JURNAL FOURIER (13) 91-13 www.fourier.or.id

Penyelesaian Masalah Nilai Batas Persamaan Diferensial Mathieu Hill 11 Jika α = maka akan diperoleh β = 1.5 1.5. jadi diperoleh α =, β =, dan β =. Substitusikan nilai α = dan β = 1.5 ke persamaan (37) dan (38), diperoleh y 1 (t) = A sin 1.5 t + B cos 1.5 t ; t (49) y (t) = C exp ( 1.5 1.5 t) + D exp ( t) ; t (5) Jadi solusi umum dari persaman (3) adalah y(t) = A sin 1.5 t + B cos 1.5 t ; t n (51) Gunakan persamaan (6) untuk menyelesaiakan persamaan y(t) pada interval t. y(t) = sin 1.5 t ( cos 1.5 t ) cos 1.5 t 1 = sin 5 5 Jadi penyelesaian untuk persamaan y(t) pada batas t adalah: y(t) = sin 3 t ( 5 sin 5) 1 (5) Visualisasi grafik persamaan Differensial Hill-Meissner Berikut akan ditampilkan grafik dari persamaan diferensial Hill-Meissner, karena fungsi dari persaamaan (5) sangat rumit untuk digambarkan maka penulis menggunakan aplikasi Program Maple sehingga akan lebih mudah untuk menggambarnya. Inputkan persamaan (5) pada Program Maple, kemudian masukan batas-batasnya maka diperoleh hasil sebagai berikut: restart; y(t) = sin 3 t ( 5 sin( 5)) 1 y: = t sin ( 1.5 t) sin( 5) 5 www.fourier.or.id JURNAL FOURIER (13) 91-13

1 Santosa, et.al plot (y(t), t =,,, title = "gambar"); Gambar 4 Grafik masalah nilai batas pada diferensial Hill-Meissner. Dari Gambar 4 bisa disimpulkan bahwa persamaan diferensial Hill-Meissner memiliki: 1. Panjang gelombang (λ) sebesar. Amplitude (A) sebesar 1 satuan 3. Periode () sebesar 4. Frekuensi gelombang (f) sebesar 1 Kesimpulan Dari hasil pembahasan pada penelitian ini, kesimpulan yang dapat diambil adalah sebagai berikut: 1. Bentuk persamaan Mathieu-Hill adalah d y + F(t)y = pada interval t. Dengan metode matriks diperoleh penyelesaian persamaan diferensial Mathieu-Hill pada sembaran t > yang dinyatakan dalam nilai awal untuk y(t) dan (t) = v(t) dengan a penyelesaian bebas linear dan u = f(t) adalah: Pada saat t = Pada saat t = JURNAL FOURIER (13) 91-13 www.fourier.or.id

Demikian juga dapat dilihat pada akhir periode ke-n, berlaku Penyelesaian Masalah Nilai Batas Persamaan Diferensial Mathieu Hill 13. Penyelesaian masalah nilai batas diferensial Mathieu-Hill dengan batas a 1 y() + b 1 () = a y() + b () = Adalah y(t) = (τ+n) sin ut 1 τ+n (n cos ut) Penginterpretasian hasil output dari program Maple identik dengan penyelesaian dengan penghitungan manual. Namun penghitungan dengan manggunakan Maple akan lebih akurat dan lebih mudah dalam menggambar grafik penyelesaiaannya. Referensi [1] Pipes, Louis A. 1991. Matematika erapan: untuk Para Insinyur dan Fisikawan. Yogyakarta: Gajah Mada University Press. Rochmad. [] Raharjanti, Woro. 7. Penyelesaian Persamaan Diferensial Jenis Mathieu-Hill. Semarang: UNES. www.fourier.or.id JURNAL FOURIER (13) 91-13