BAHAN KULIAH Konsep Probabilitas Probabilitas Diskrit dan Kontinyu
Soal UTS periode November 00 Mata Kuliah : Statistika & Probabilitas Waktu : 0 menit. Suatu sistem pipa seperti ditunjukkan pada gambar di bawah ini, mempunyai 8 buah katup dan tersusun atas tingkat. Probabilitas bahwa semua katup bekerja = 0.80, kecuali pada katup ke dan 7 = 0.90. Sistem ini akan bekerja jika ketiga tingkatnya berjalan dengan baik. Jika seluruh unit dalam setiap tingkat saling bebas, hitunglah probabilitas bahwa sistem tersebut akan berjalan dengan baik. 5 7 8 I II III
. Jika adalah variabel yang menyatakan tinggi muka air dalam suatu tampungan (dalam m), dengan fungsi kepadatan probabilitas sebagai berikut, f() = (0.5-)............ untuk = 0................... untuk yang lain a. Tentukan nilai b. Tentukan distribusi kumulatifnya c. Gambarkan grafik probabilitas density functionnya d. Tentukan probabilitas bahwa muka air ada diatas.5 m e. Hitung P(.5.5) f. Hitung rata-rata dan variannya.
. DISTRIBUSI POISSON untuk mengamati jumlah kejadian-kejadian khusus yg terjadi dalam satu satuan waktu atau ruang. p(; ) e!, untuk 0,,,... μ = rata-rata banyaknya hasil percobaan dalam satu satuan unit e =,788... = 0
Jawab : Diketahui : P() = 0.8, P() = 0.8, P() = 0.9, P() = 0.8, P(5) = 0.8, P() = 0.8, P(7) = 0.9, P(8) = 0.8. Misal probabilitas di tingkat I terdiri dari Ia dan Ib maka, P(Ia) = P()P() = P()+P()- P()P() = 0.8 + 0.8-0.80.8 = 0.9 P(Ib) = P()P() = P()P() = 0.9 0.8 = 0.7 P(I) = P(Ia)P(Ib) = P(Ia)+P(Ib)- P(Ia)P(Ib) = 0.9 + 0.7-0.90.7 = 0.9888 P(II) = P(5)P() = P(5)P() = 0.8 0.8 = 0. P(III) = P(7)P(8) = P(7)+P(8)- P(7)P(8) = 0.9 + 0.8-0.90.8 = 0.98 Probabilitas aliran berjalan dengan baik P(I) P(II) P(III) = 0.9888 0. 0.98 = 0.075
. a). f() = (0.5-)............ untuk b). α α α 0.5 α d 0.5 α d 0.5 α 0.5 - atau.5-0.5 0 F 7 t t t 0.5 dt 0.5t dt t f F
f() c) Graph of Probability Density Function 7 5 f ( = 0) f ( = ).5 f ( = ) 0 f ( = ).5 0 0
0.75 *0.079.5.5.0.5.5.5.5 5.5 9 7.5.5.5 0.5 }d ) f{(0.5.5.5 d).
0.5 *0.0008.5.5 0.85.5.5.0.5.5.75.5.5 5.5.5.5.5.5.5.5 0.5 }d ) f{(0.5.5.5.5.5 80 0.5 d - 0.5 d - 0.5 d 0.5 -. d f μ e). f).
0. 0. 0... 0 8 0 8 d - 0.5 d - 0.5 d 0.5- - d f - μ σ 5 5
SOAL-SOAL DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT. Direktur suatu perusahaan negara menyatakan bahwa 0% dari peserta tes calon tenaga kerja akan diterima sebagai pegawai di perusahaan tersebut. Dari orang peserta tes diambil secara random/acak, berapa probabilitasnya : a) orang akan lulus, b) Paling banyak 8 orang akan lulus, c) Paling sedikit 5 orang akan lulus, d) sampai 9 orang yang lulus.. Diketahui bahwa % dari hasil produksi baut dari mesin X tidak memenuhi standar. Dalam sampel acak sebanyak 00 baut produksi mesin tsb., hitunglah probabilitas bahwa : a) Semua baut adalah baik b) Dua atau kurang baut tidak memenuhi syarat, c) Dua atau lebih baut tidak memenuhi syarat.
. Diketahui : n = ; p = 0% = 0,; q = - 0, = 0, a) P(=)! 0 0, 0,! ( )! 0,59 b) P(8) =p(=0)+p(=)+p(=)+.p(=8) = 0,0008+0,007+0,07+..+0.098 =0,97 c) P(5) = - [p( )]= = -[p(=0)+p(=)+p(=)+p(=)] = -0,79=0,707 c) P(9) =p(=)+p(=5)+ +p(=9) = 0,59+0,0+ +0,008 = 0,858
. Diketahui : μ =% 00 = a) P(=0) e =,788... 0 e 0! 0,098 b) P( )=p(=0)+p(=)+p(=) = 0,098 + 0,9 + 0,0 = 0, c) P( )= [p( =0)+p(=)] = - 0,098 + 0,9 = 0,8008
Debit puncak sungai Kaligarang untuk periode ulang 5 tahun adalah 57 m /detik. Tentukan dalam waktu 0 tahun peluang debit banjir tersebut,.tidak terjadi,.terjadi kali,.hitung rata-rata dan standar deviasinya.
Dalam suatu Daerah Pengaliran Sungai (DPS) dibangun sebuah waduk pengendali banjir dengan umur 00 tahun. Berapa peluang terjadinya banjir 5 m /detik dengan periode ulang 00 tahun selama umur waduk tersebut, bila ditentukan dengan distribusi Poisson. Periode ulang banjir 00 tahun, maka peluang terjadinya banjir adalah : P 0,005 T 00 N 00 tahun berdasarkan rumus, maka μ sehingga : P(R) P() R μ e R! μ 0,5,788! NP 00 0,005 0,5 0,5 0,08 Artinya dalam DPS tsb, Waduk Pengendali Banjir dg umur bangunan 00 tahun, selama periode umur tsb akan terjadi banjir periode 00 tahun dg peluang 0,80 %.
Bila diketahui frekuensi gempa bumi besar setiap tahun diseluruh dunia merupakan variabel random dengan distribusi yang mendekati distribusi normal, mempunyai rata-rata (μ) = 0,8 dan simpangan baku (σ) =,5 ; hitunglah probabilitasnya bahwa akan terjadi : 8 kali gempa bumi besar dalam suatu tahun tertentu. Paling sedikit kali Dari 0 sampai 5 kali
Penyelesaian : Gunakan pendekatan distribusi normal : Diketahui : = 0.8 =.5 Probabilitas terjadi 8 kali gempa bumi : Z = (8.5-0.8)/.5 =...., luasnya =... a... Z = (7.5-0.8)/.5 =...., luasnya =...b... Luas 7.5 sampai dengan 8.5 = a - b Lihat tabel luasnya..... Probabilitas paling sedikit kali A = (.5-0.8)/.5 = 0. Luasnya = 0.0 Maka luas.5 ke kanan = 0.5-0.0 = 0. Probabilitas dari 0 sampai 5 kali : Z = (9.5-0.8)/.5 = - 0.9...., luasnya = 0. Z = (5.5-0.8)/.5 =.0...., luasnya = 0.508 Maka luas
Jika data tersebut diatas merupakan sampel yang berdistribusi normal, Berikut adalah data uji kuat tekan beton dalam kg/cm.. Hitunglah nilai rata-rata dan standar deviasi data tersebut.. Berapakah probabilitas nilai kuat beton lebih dari 5 kg/cm.. Jika disyaratkan bahwa nilai kuat tekan beton 5 kg/cm harus mencapai lebih dari 80%, maka berdasarkan hasil uji itu, apakah syarat tersebut dipenuhi?. Berapakah nilai kuat tekan beton dengan probabilitas 80% tersebut. 5. Hitunglah probabilitas kekuatan beton antara 0 kg/cm - 75 kg/cm Catatan : a,b,c dan d adalah NIM saudara dengan urutan sebagai berikut, misalnya NIM LA 005, maka a =, b =, c = 5, d =
No. Benda Uji Kuat Tekan (kg/cm ) 7d 0 a 9c 5 8b 00 7 90 8 9 0 0 90