BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini akan dijelaskan mengenai latar belakang yang mendasari penelitian yang kemudian dirumuskan dalam rumusan masalah. Berdasarkan latar belakang dan rumusan masalah yang telah disusun, ditentukan tujuan penelitian agar penelitian memiliki arahan yang jelas mengenai apa saja yang ingin dicapai. Selanjutnya, pada bab ini juga akan dijelaskan mengenai manfaat penelitian, tinjauan pustaka dan sistematika penulisan tesis. 1.1. Latar Belakang Masalah biosciences dipelajari dalam mathematical biosciences. Dengan semakin berkembangnya mathematical biosciences teknik matematika tidak hanya digunakan terbatas pada masalah biologi dan medis saja, tetapi juga berkembang pada metode matematika untuk menyelesaikan masalah fisika, kimia, ekonomi dan lainnya. Mathematical epidemiology adalah salah satu cabang mathematical biosciences yang mempelajari penyebaran dan pengendalian wabah penyakit. Mempelajari model epidemi yang di dalamnya termasuk penyakit penyebab kematian pada suatu populasi total yang berubah merupakan hal penting dalam mathematical epidemiology. Hal ini dipelopori oleh Anderson dan May (Li dkk). Salah satu upaya mengontrol penyebaran wabah penyakit adalah dengan vaksinasi. Vaksinasi adalah pemberian vaksin ke dalam tubuh seseorang untuk memberikan kekebalan terhadap penyakit tersebut. Vaksinasi sering juga disebut dengan imunisasi. Vaksin pertama kali ditemukan oleh Edward Jenner tahun 1796. Vaksin adalah bahan antigenik yang digunakan untuk menghasilkan kekebalan aktif terhadap suatu penyakit sehingga dapat mencegah atau mengurangi pengaruh in- 1
2 feksi oleh organisme alami atau liar. Vaksin akan mempersiapkan sistem kekebalan manusia atau hewan untuk bertahan terhadap serangan patogen tertentu, terutama bakteri, virus, atau toksin. Vaksin juga bisa membantu sistem kekebalan untuk melawan sel-sel degeneratif (kanker). Berdasarkan hasil klinis dari Teitelbaum dan Edmunds (1999) ditunjukkan bahwa vaksin hanya memberikan imunitas sementara terhadap suatu penyakit. Adapun salah satu faktor yang mempengaruhi perilaku dinamik dari model epidemi yang dibentuk adalah laju insidensi yang digunakan. Laju insidensi adalah laju munculnya infeksi baru (Li dkk, 2010). Pada model epidemi sering kali digunakan laju insidensi bilinear βs(t)i(t), dengan S(t) dan I(t) secara berturut-turut menyatakan jumlah individu yang rentan penyakit dan jumlah individu yang terinfeksi sekaligus memiliki kemampuan untuk menginfeksi individu lain pada saat t. Laju insidensi bilinear βs(t)i(t) menunjukkan kenaikan laju kontak β sebanding dengan kepadatan populasi (Hethcote, 2000). Secara umum, laju penularan bilinear memiliki beberapa kelemahan, antara lain asumsi homogenitas pada populasi yang belum tentu valid dan pertimbangan dari efek kejenuhan. Efek kejenuhan menyatakan bahwa secara psikologis masyarakat akan merubah cara penanganan penyakit jika suatu wabah penyakit menyerang masyarakat tersebut. Pada Tesis ini digunakan laju insidensi nonlinear βs(t)i(t) ϕ(s(t)) dengan fungsi 1 ϕ(s(t)) menyatakan efek psikologis atau perubahan perilaku individu yang rentan ketika jumlah individu yang sakit meningkat. Dalam penelitian ini populasi dibagi menjadi 5 kelas yaitu kelas rentan (S) menyatakan kelas individu yang rentan terjangkit penyakit, kelas vaksinasi (V) menyatakan kelas individu yang telah mendapatkan imunitas sementara terhadap penyakit melalui imunisasi, kelas laten (E) menyatakan kelas individu yang telah terinfeksi namun belum menunjukkan gejala dan menularkan penyakit kepada individu yang lain, kelas terinfeksi (I) menyatakan kelas individu yang terinfeksi penyakit dan memiliki kemampuan untuk menularkan penyakit ke kelas rentan, kelas sembuh (R) menyatakan kelas individu yang telah mendapatkan kekebalan
3 karena pengobatan setelah terinfeksi. Vaksinasi diberikan untuk menjaga jumlah yang rentan dan yang sakit agar tidak berubah dan tertentu dalam waktu yang lama. Model ini diterapkan pada penyakit yang memiliki masa inkubasi cukup lama. Analisis tesis ini difokuskan untuk menggabungkan antara laju penularan non linear, penyusutan vaksin pencegah penyakit dan adanya masa laten menggunakan model epidemi SVEIR, ini berdasarkan pada penelitian yang telah dilakukan oleh Jianwen Jia dan Ping Li (2011). Sebagian besar hasil penelitian yang ada pada Tesis bersumber dari penelitian Jianwen Jia dan Ping Li (2011). Perilaku dinamik model SVEIR yang akan diselidiki adalah keberadaan (eksistensi) titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik, analisa kestabilan lokal masing-masing titik ekulibrium dan analisa kestabilan global dari masing-masing titik ekuilibrium tersebut. Terkait eksistensi titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik, perlu diperhatikan bilangan reproduksi dasar R 0. Pada beberapa kasus epidemi, pada saat R 0 < 1, titik ekuilibrium bebas penyakit stabil asimtotik dan tidak ada titik ekuilibrium endemik, sedangkan pada saat R 0 > 1, titik ekuilibrium bebas penyakit tidak stabil dan muncul titik ekuilibrium endemik yang stabil asimtotik. Dengan memperhatikan bilangan reproduki dasar R 0 diselidiki perilaku dinamik model SVEIR secara numerik. 1.2. Rumusan Masalah adalah: Berdasarkan uraian latar belakang, maka rumusan masalah penelitian ini 1. Bagaimana mengkonstruksi model matematika yang sesuai dengan karakteristik penyakit yang ingin dimodelkan. 2. Bagaimana mengkonstruksi nilai bilangan reproduksi dasar pada model epidemi yang dibentuk. 3. Bagaimana eksistensi titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium en-
4 demik. 4. Bagaiamana sifat kestabilan lokal dari masing-masing titik ekuilibrium. 5. Bagaimana sifat kestabilan global masing-masing titik ekuilibrium. 6. Bagaimana interpretasi biologis berdasarkan hasil analisis kestabilan untuk titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik pada model matematika penularan penyakit. 7. Bagaimana simulasi numerik pada model matematika penularan penyakit. 1.3. Tujuan Berdasarkan pada uraian latar belakang dan rumusan masalah, maka tujuan dari penelitian ini adalah: 1. Mengkonstruksi model epidemi yang sesuai dengan karakteristik penyakit. 2. Mengkonstruksi bilangan reproduksi dasar. 3. Menentukan eksistensi titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik. 4. Menganalisis kestabilan lokal dari masing-masing titik ekuilibrium. 5. Menganalisis kestabilan global dari masing-masing titik ekuilibrium. 6. Menginterpretasi secara biologis hasil analisis ketabilan untuk titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik pada model matematika penularan penyakit. 7. Mensimulasikan secara numerik model matematika penularan penyakit. 1.4. Manfaat Penelitian Secara umum manfaat dari penelitian ini adalah memberikan sumbangan terhadap perkembangan ilmu pengetahuan dan menambah wawasan pengetahuan
5 dalam bidang matematika terapan terutama bidang biomatematika. Secara khusus, penelitian ini bermanfaat dalam perkembangan model matematika pada bidang epidemiologi penyakit, serta pemberian vaksin sebagai upaya untuk pengendalian penularan penyakit. 1.5. Tinjauan Pustaka Pemodelan matematika telah memberikan kontribusi yang besar untuk memperoleh pengatahuan yang mendalam mengenai epidemiologi penyakit. Banyak penyakit seperti campak yang mengalami masa inkubasi di dalam tubuh individu sebelum individu tersebut menjadi terinfeksi dan menularkan penyakit. Model matematika dengan periode laten telah diselidiki oleh banyak peneliti, salah satunya M. Li, L.Wang (2002) dengan memeriksa kestabilan model epidemi yang membagi populasi menjadi 4 kompartemen, model epidemi SVEIR. Vaksinasi merupakan suatu metode pencegahan dan pengendalian penyebaran penyakit yang lazim digunakan. Model epidemi dengan vaksinasi juga telah diselidiki oleh L. Cai, X. Li (2009) yang mengasumsikan bahwa individu yang telah mengalami periode laten akan menjadi terinfeksi dan menularkan. Namun, artikelartikel ini mengasumsikan kekebalan yang diperoleh melalui vaksin bersifat permanen. Sejauh yang diketahui, sulit untuk mendapatkan kekebalan permanen melalui vaksinasi. Dalam penelitian ini diasumsikan kekebalan yang diperoleh melalui vaksinasi bersifat parsial yang membahas kembali jurnal yang telah ditulis oleh Jianwen Jia dan Ping Li (2011) yang membahas model epidemi SVEIR dengan imunitas parsial. Teori pada tesis ini meliputi fungsi diferensiabel kontinu, sistem persamaan diferensial, nilai eigen, kriteria kestabilan lokal titik ekuilibrium sistem persamaan diferensial biasa, linearisasi sistem persamaan diferensial biasa nonlinear, kriteria Routh-Hurwitz dan Teorema Perron-Frobenius, himpunan invarian dan fungsi Lyapunov, limit superior dan limit inferior, additive compound matriks, dan kriteria Bendixon.
6 Anton (1988) dan Perko (2001) membahas fungsi diferensiabel kontinu, selanjutnya sistem persamaan diferensial dibahas oleh Perko (2001). Nilai eigen dibahas oleh Anton (2005) dan Meyer (2000). Kriteria kestabilan lokal titik ekuilibrium sistem persamaan diferensial biasa dibahas oleh Olsder (1994). Selanjutnya, Perko (2001) membahas linearisasi sistem persamaan diferensial biasa nonlinear, Brauer (2011) membahas syarat suatu titik ekuilibrium stabil. Kriteria Routh-Hurwitz dibahas oleh Grantmacher (1959), Teorema Perron- Frobenius dibahas oleh Seneta (2006). Himpunan invarian dan fungsi Lyapunov dibahas oleh Verhaulst (1990), Agarwal dan O Regan (2008), Luenberger (1979), Wiggins (2003), Boyd (2008), Khalil (2002). Wheeden (1997) menjelaskan mengenai limit superior dan limit inferior. Additive compound matriks dibahas oleh Li dan Wang (1997). Wiggins (1990) membahas mengenai Teorema Poincare-Bendixson. 1.6. Metodologi Penelitian Penelitian ini dimulai dengan mencari dan mempelajari sumber referensi seperti jurnal-jurnal dan buku-buku terkait dengan model epidemi SV EIR yang digunakan dalam memodelkan penyakit, dilanjutkan dengan membuat asumsi-asumsi, mendefinisikan parameter-parameter yang digunakan pada model, menentukan bentuk diagram transfer model penyebaran penyakit berdasarkan asumsi-asumsi yang dibuat. Berdasarkan diagram transfer epidemi penyakit dibentuk model matematika epidemi penyakit dalam bentuk sistem persamaan diferensial. Dari model matematika penyakit yang dibentuk, diselidiki eksistensi, ketunggalan dan batasan solusi. Kemudian diselidiki titik ekuilibrium bebas penyakit, bilangan reproduksi dasar dan titik ekuilibrium endemik untuk sistem persamaan matematika yang telah dibentuk tersebut. Analisa kestabilan lokal titik ekuilibrium bebas penyakit ditunjukkan dengan linearisasi sistem menggunakan matriks Jacobian di titik ekuilibrium tersebut. Selanjutnya, dengan mencari solusi masingmasing variabel untuk waktu yang sangat lama ditunjukkan kestabilan asimtotik global dari titik ekuilibrium bebas penyakit. Sifat kestabilan titik ekuilibrium da-
7 pat dilihat melalui linearisasi sistem asal titik tersebut merupakan titik hiperbolik. Analisa kestabilan lokal titik ekuilibrium endemik dilakukan dengan menggunakan metode Hurwitz. Selanjutnya, dengan pendekatan geometris ditunjukkan kestabilan asimtotik global titik euilibrium endemik. Dalam menentukan nilai eigen dari matriks Jacobian digunakan definisi polinomial karakteristik suatu matriks. Salah satu cara yang digunakan untuk menentukan tanda bagian real nilai eigen dari polinomial karakteristik suatu matriks bernilai negatif dengan menggunakan kriteria Hurwitz. Melalui kriteria Hurwitz ditunjukkan kestabilan asimtotik lokal titik ekuilibrium endemik. Second additive compound matrix merubah bentuk model epidemi SV EIR menjadi second compound system untuk menunjukkan kestabilan global titik ekuilibrium endemik. Kemudian dilakukan simulasi numerik menggunakan program Maple untuk mengilustrasikan hasilnya dan menggunakan nilai parameter-parameter yang disesuaikan dengan bilangan reproduksi dasar untuk model epidemi SV EIR pada salah satu penyakit, yaitu penyakit campak. 1.7. Sistematika Penulisan Tesis ini terdiri atas empat bab. Bab I pendahuluan memuat latar belakang masalah, rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian, dan sistematika penulisan. Bab II landasan teori memuat dasardasar teori yang melandasi pembahasan pada Bab III. Bab III pembahasan memuat model matematika penyebaran penyakit, eksistensi, ketunggalan dan batasan solusi dari sistem persamaan diferensial yang dibentuk, mencari titik ekuilibrum bebas penyakit, bilangan reproduksi dasar, dan titik ekuilibrium endemik, kemudian dianalisa kestabilan lokal dan global dari masing-masing titik ekuilibrium. Selanjutnya diberikan simulasi numerik dengan menggunakan Maple. Bab IV penutup memuat kesimpulan hasil penelitian dan saran untuk penelitian lebih lanjut.