BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Penelitian Alam semesta memiliki beragam fenomena dan kejadian alam yang sebagian besar masih menjadi misteri bagi umat manusia. Secara garis besar, ilmu fisika bermaksud menjelaskan fenomena-fenomena alam tersebut melalui perumusan hukum-hukum fisika yang sebagian besar diungkapkan dalam bahasa matematika. Uniknya, sebagian besar atau bahkan hampir seluruh hukum fisika dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan diferensial. Karena itulah persamaan diferensial memiliki kedudukan yang sangat penting dalam ilmu fisika. Salah satu bentuk persamaan diferensial yang cukup penting ialah persamaan bahang (heat equation) yang lazim digunakan sebagai prototipe untuk persamaan diferensial tipe parabolik. Oleh sebab itu, secara umum metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan bahang dapat juga diterapkan untuk menyelesaikan persamaan diferensial tipe parabolik. Dalam khazanah ilmu matematika, ada banyak cara untuk menemukan jawaban persamaan diferensial. Metode untuk menemukan jawaban persamaan diferensial hingga saat ini masih terus aktif dikaji oleh para ilmuwan dengan tujuan agar diperoleh metode yang efektif dan efisien yang bisa diterapkan untuk berbagai jenis persamaan diferensial. Salah satu cara yang cukup populer untuk mencari jawaban persamaan diferensial ialah metode pemisahan variabel. Metode lain yang juga banyak digunakan antara lain: metode deret, metode variasional, metode transformasi integral, dan metode numerik langsung (Arfken dan Weber, 2005). Dewasa ini ranah kajian ilmu fisika juga semakin bertambah luas. Hal tersebut ditandai dengan semakin banyaknya hukum-hukum fisika yang pada awalnya dirumuskan untuk ruang datar mulai diperumum dan diperluas perumusannya untuk ruang-ruang melengkung. Dalam konteks lokal, ruang melengkung memang bisa dianggap seperti ruang datar. Namun, dalam konteks global, kelengkungan ruang menjadi semakin kentara sehingga mau tidak mau harus diikutkan dalam formalisme perumusan hukum-hukum fisika. Demikian pula teori perambatan bahang klasik, yang hanya meninjau perambatan bahang di ruang datar, perlu diperumum untuk ruang melengkung agar penerapannya bisa lebih luas. 1
2 Kernel integral sebagai salah satu kelas dalam metode transformasi integral terbukti memiliki keunggulan-keunggulan yang tidak dijumpai di metode-metode lainnya, semisal di metode numerik langsung (Lampiran A). Dalam penelitian ini akan dikaji metode kernel integral untuk mencari jawaban persamaan diferensial di ruang melengkung dan tersambung. Karena persamaan diferensial yang akan diselesaikan adalah persamaan bahang, maka kernel integral untuk persamaan diferensial tersebut dinamakan kernel bahang (heat kernel). 1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang di atas, dapat dirumuskan beberapa masalah: 1. Bagaimanakah rumusan perambatan bahang pada keragaman? 2. Bagaimanakah simulasi proses perambatan bahang pada keragaman? 1.3 Batasan Masalah Agar pembahasan lebih terarah, perlu dikemukakan beberapa batasan: 1. Objek tempat tersebarnya bahang dianggap memiliki konduktivitas bahang yang sama dan konstan di seluruh permukaannya. 2. Keragaman yang ditinjau adalah keragaman Riemannian berupa torus dan silinder, juga jumlahan sambung keduanya. 3. Syarat batas yang akan dibahas hanyalah syarat batas homogen karena menimbang alasan yang ada di Lampiran B. 1.4 Tujuan Penelitian Penelitian dalam Tesis ini bertujuan untuk: 1. Merumuskan perambatan bahang pada keragaman berupa torus dan silinder, juga jumlahan sambung keduanya melalui kernel bahang. 2. Mensimulasikan proses perambatan bahang pada keragaman menggunakan program komputer. 1.5 Tinjauan Pustaka Menurut banyak peneliti, ilmuwan pertama yang dinilai sukses mengusulkan metode umum untuk menghitung kernel bahang pada keragaman Riemannian yang kompak
3 ialah Minakshisundaram dengan menggunakan metode yang disebut sebagai metode parametrix (Minakshisundaram dan Pleijel, 1949). Metode parametrix ini selanjutnya diperbaiki dan disempurnakan antara lain oleh Cheeger dan Yau (1981), Chavel (1984), Berline et al. (1996), dan Rosenberg (1997). Seiring dengan semakin berkembangnya penelitian tentang teori persamaan parabolis, Nash (1958) dan Aronson (1967) berhasil menunjukkan bahwa jawaban fundamental untuk persamaan parabolis dapat dikonstruksi menggunakan estimasi a priori tanpa melalui parametrix. Metode yang diusulkan Nash dan Aronson terbukti dapat digunakan untuk analisis di ruang yang lebih umum. Namun, perlu diketahui bahwa hasil yang diperoleh dari metode ini belumlah bersifat simetris sebagaimana hasil yang diperoleh dari metode parametrix. Simetrisasi kernel bahang yang diperoleh dari metode Nash dan Aronson berhasil dirumuskan oleh Yan (1988). Untuk ruang yang sangat umum, kernel bahang menjadi sangat sulit untuk dihitung. Para peneliti kemudian mulai mengkaji sifat-sifat keterbatasan (boundedness) bagi kernel bahang. Aronson (1967) mengklaim adanya batas (bound) bagi solusi fundamental untuk persamaan yang bersifat parabolis. Cheng et al. (1981) kemudian mengklarifikasi akan adanya batas atas untuk kernel bahang pada kergaman Riemannian yang kompak sekaligus menunjukkan cara menghitung estimasinya. Puncaknya adalah ketika Li dan Yau (1986) berhasil membuktikan bahwa kernel bahang pada keragaman yang lengkap dengan kelengkungan Ricci yang tak negatif memiliki batas atas dan batas bawah. Estimasi kernel bahang pada keragaman tersebut dapat diperoleh dengan mengkaji sifat-sifat fungsi pembatasnya. Setelah itu, Grigor yan (1997) berhasil menunjukkan adanya batas atas bagi kernel bahang untuk sembarang keragaman. Untuk kernel bahang pada keragaman tertentu, semisal keragaman berupa bola, juga banyak dikaji oleh para peneliti. Shtykov dan Vassilevich (1994) memaparkan analisisnya untuk ekspansi asimtotik kernel bahang pada permukaan bola yang terdeformasi. Bordag et al. (1995) menghitung ungkapan kernel bahang pada bola berdimensi D dengan koefisien ekspansi kernel bahang secara eksplisit dihitung untuk D = 3, 4, 5. Nagase (2010) menunjukkan bahwa kernel bahang pada permukaan bola dapat dinyatakan dalam fungsi-fungsi elementer beserta relasi rekursi antar fungsi-fungsi tersebut. Ghosh et al. (2013) menghitung kernel bahang pada permukaan bola dalam ekspresi matematik tertutup (close form) sebagai analogi bagi kernel bahang pada permukaan datar yang besifat Gaussian. Banyak peneliti lain yang juga ikut ambil bagian dalam mengembangkan berbagai metode untuk mengkonstruksi kernel bahang. Strichartz (1983) memberikan
4 metode lain untuk mengonstruksi kernel bahang, yaitu melalui analisis kelicinan (smoothness) P t f. Grigor yan dan Saloff-Coste (1999) menyampaikan metode estimasi untuk mengkonstruksi kernel bahang pada jumlahan sambung keragaman. Shamarova (2007) menggunakan metode pendekatan untuk menentukan aproksimasi kernel bahang pada keragaman Riemannian, yaitu menggunakan metode pendekatan Smolyanov-Weizsäcker. Davies (2007) menggunakan metode analisis fungsi untuk mencari kaitan antara estimasi kernel bahang dengan ketaksamaan fungsional tertentu. Jones (2008) menyatakan kernel bahang dalam forma diferensial untuk mencari jawaban persamaan bahang pada keragaman Riemann yang tak kompak. Calin et al. (2011) menunjukkan penggunaan metode geometris untuk menghitung kernel bahang pada keragaman. Aplikasi kernel bahang terbukti sangat luas dan tidak hanya berkaitan dengan fenomena yang melibatkan bahang. Bülow (2004) menerapkan kernel bahang pada permukaan bola untuk menghaluskan (smoothing) data yang berupa permukaan tiga dimensi. Lafferty dan Lebanon (2005) memperluas penggunaan kernel bahang pada keragaman statistik untuk dimanfaatkan dalam ilmu komputer. Selain itu, Vassilevich (2004) juga mencoba memperluas penerapan kernel bahang untuk ruang yang tak komutatif. Ghadirian et al. (2010) menggunakan ekspansi kernel bahang untuk memodelkan difusi pada volume yang dibatasi oleh permukaan bola dengan syarat batas tertentu. Feng (2012) menggunakan analisis kernel bahang untuk suatu proses stokastik yang dikenal dengan sebutan proses Ornstein-Uhlenbeck. Adapun dalam penelitian ini, kernel bahang akan dihitung dengan mengikuti metode yang dikemukakan oleh Grigor yan (2009) dan Calin et al. (2011) untuk keragaman berupa silinder dan torus, serta jumlahan sambung keduanya. 1.6 Metode Penelitian Penelitian ini bersifat teoretis matematis melalui metode kajian literatur. Hitunganhitungan yang panjang dan prosedural diselesaikan dengan bantuan perangkat lunak komputasi simbolik semisal Maxima dan Maple. Persamaan-persamaan yang didapat kemudian dibuat simulasi numerik beserta visualisasinya menggunakan Python (beserta modul tambahan lain yang mendukung, antara lain: numpy dan scipy untuk analisis data numerik, matplotlib untuk menggambar dua dimensi, dan mayavi untuk menggambar tiga dimensi).
5 1.7 Sistematika Penulisan Penulisan Tesis ini mengikuti urutan bab sebagai berikut: Bab I berisi pendahuluan yang melatarbelakangi penelitian, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, tinjauan pustaka, dan metode penelitian. Bab II berisi teori dasar tentang persamaan bahang dan keragaman Riemann. Bab III berisi bahasan utama dalam penelitian ini, yakni pembahasan tentang kernel bahang beserta cara-cara untuk memperoleh ungkapan kernel bahang pada keragaman. Selain itu juga disajikan visualisasi sebaran bahang yang diperoleh dari simulasi numerik menggunakan kernel bahang. Bab IV berisi simpulan dan saran. Lampiran A berisi tambahan keterangan tentang metode numerik langsung. Lampiran B berisi tambahan keterangan tentang syarat batas tak homogen. Lampiran C berisi kode sumber (source codes) untuk sebagian simulasi numerik yang dilakukan dalam penelitian ini yang ditulis dalam bahasa Python dengan dialek versi 2.x.