BAB 2 PENJUMLAHAN VEKTOR A. Kompetensi Dasar dan Indikator 1.1 Menyadari kebesaran Tuhan yang menciptakan dan mengatur alam jagad raya melalui pengamatan fenomena alam fisis dan pengukurannya. 2.1 Menunjukkan perilaku ilmiah (memiliki rasa ingin tahu; objektif; jujur; teliti; cermat; tekun; hati-hati; bertanggung jawab; terbuka; kritis; kreatif; inovatif dan peduli lingkungan) dalam aktivitas sehari-hari sebagai wujud implementasi sikap dalam melakukan percobaan, melaporkan, dan berdiskusi. Indikator: 2.1.1 Menunjukkan sikap ingin tahu dalam belajar 2.1.2 Menunjukkan sikap jujur dalam belajar 2.1.3 Menunjukkan sikap teliti dalam belajar 2.1.4 Menunjukkan sikap tanggung jawab dalam belajar 2.2 Menghargai kerja individu dan kelompok dalam aktivitas sehari - hari sebagai wujud implementasi melaksanakan percobaan dan melaporkan hasil percobaan. 2.2.1 Menunjukkan sikap kerjasama dalam belajar 3.2 Menerapkan prinsip penjumlahan vektor (dengan pendekatan geometri). Indikator: 3.2.1 Menjelaskan cara penjumlahan vektor dengan metode segitiga 3.2.2 Melukiskan penjumlahan vektor dengan metode segitiga 3.2.3 Menjelaskan cara penjumlahan vektor dengan metode jajargenjang 3.2.4 Melukiskan penjumlahan vektor dengan metode jajargenjang 3.2.5 Menjelaskan cara penjumlahan vektor dengan metode poligon 3.2.6 Melukiskan penjumlahan vektor dengan metode poligon 3.2.7 Menjelaskan cara penjumlahan vektor dengan metode analisis 3.2.8 Melukiskan penjumlahan vektor dengan metode analisis 3.2.9 Menerapkan persamaan penjumlahan dua buah vektor yang membentuk sudut untuk menyelesaikan masalah dalam soal. 3.2.10 Menentukan arah resultan vektor 3.2.11 Menyebutkan tiga penerapan vektor dalam kehidupan hari-hari 4.1 Menyajikan hasil pengukuran besaran fisis dengan menggunakan peralatan dan teknik yang tepat untuk penyelidikan ilmiah. Indikator: 4.1.1 Mengolah data percobaan resultan gaya. 4.1.2 Menemukan bahwa nilai penjumlahan vektor dapat dihitung dengan menggunakan rumus kosinus menggunakan metode jajargenjang. 4.1.3 Melukiskan hasil percobaan resultan gaya dengan metode jajargenjang. 4.1.4 Menyimpulkan hasil percobaan resultan gaya. 4.2 Merencanakan dan melaksanakan percobaan untuk menentukan resultan vektor
Indikator: 4.2.1 Melakukan percobaan resultan gaya. B. Materi Pembelajaran Fakta 1. Seorang pemanah menarik anak panah dari busurnya. 2. Ketika penerjun payung menjatuhkan diri dari pesawat. 3. Perahu menyebrangi sungai. Gambar 2.1 Seorang pemanah menarik anak panah dari busurnya dan ketika penerjun payung menjatuhkan diri dari pesawat. 1. Konsep Besaran vektor Besaran vektor adalah besaran yang nilai besar dan mempunyai arah. Contoh dari besaran vektor adalah perpindahan, gaya, kecepatan, dsb. 2. vektor vektor berbeda dengan penjumlahan biasa. Perbedaan tersebut karena vektor memiliki besar dan arah. vektor dapat dilakukan dengan metode segitiga, jajargenjang, pologon, dan analisis. Prinsip 1. vektor berbeda dengan penjumlahan biasa. 2. Cara untuk menggambarkan penjumlahan vektor, yaitu dengan metode segitiga, jajargenjang, poligon, dan analisis. 3. Menentukan Resultan (R) dari dua vektor yang arahnya sembarang dan membentuk sudut, dapat menggunakan rumus kosinus.
RANGKUMAN MATERI VEKTOR Pengerti an Pengurai an Sejajar Dan Berlawanan Notasi Dan Gambar Besar Satuan Operasi Penjumlaha n Perkalian Perkalia n Dot Perkalian Cross Dua Buah yang Membentuk Sudut dengan Metode Geometri dengan Metode Segitiga dengan Metode Jajargenjang dengan Metode Poligon dengan Metode Analisis 3
PENJUMLAHAN VEKTOR Gambar 2.2 yang digunakan untuk Sistem Navigasi Pesawat Terbang Apakah vektor itu? Apa penerapan vektor dalam kehidupan di dunia ini? Sebenarnya banyak penerapan vektor dalam kehidupan sehari hari, diantaranya adalah orang memanah, dan perahu yang berlayar detengah laut. Namun, tahukah kalian bahwa ternyata vektor memberikan manfaat yang besar dalam kehidupan. Dalam navigasi, vektor berpengaruh besar terhadap keberadaan suatu lokasi ditinjau dari tempat yang bergerak (kendaraan atau lainnya). Teknologi ini disebut Global Positioning System (GPS). Dimana sistem ini memberitahukan lokasi di permukaan bumi walaupun tempatnya bergerak. Sehingga, suatu kendaraan dapat diketahui keberadaannya dan dimana lokasi tujuannya. Karena itu, vektor sangat berperan penting dalam navigasi, contohnya adalah vektor yang digunakan untuk Sistem Navigasi Pesawat Terbang. Banyak manfaat yang diberikan dari pembelajaran vektor. Untuk memahami vektor lebih lanjut dan bagaimana operasi penjumlahan vektor, perhatikan penjabaran berikut ini. A A. Operasi Seperti operasi aljabar, dua atau lebih vektor dapat kita operasikan. Operasi vektor ini antara lain penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Namun ada sedikit perbedaan antara operasi aljabar dengan operasi vektor. Untuk memahaminya, perhatikan cerita berikut. Seseorang melakukan perjalanan dari kota A menuju kota C yang berada di sebelah barat laut kota A. Ia mengambil jalan memutar lewat kota B yang berada di sebelah barat kota A dan disebelah selatan kota C. Perjalanan orang tersebut dari kota A ke kota C dapat digambarkan dalam bentuk vektor. Jika jarak antarkota diketahui, kita juga bisa menghitung perpindahan orang tersebut dengan operasi penjumlahan vektor. Bagaimana bentuk penjumlahan vektor ini? Untuk lebih jelasnya simaklah penjelasan di bawah ini! 4
1. 1 Berdasarkan cerita di atas, misalkan jarak dari kota A ke kota B (kita sebut AB) adalah 80 km dan jarak dari kota kota B ke kota C (kita sebut BC) adalah 60 km. Berapakah besar perpindahan orang tersebut dari kota A ke kota C? Gambar 2.3 Perjalanan seseorang dari kota A ke kota B dilanjutkan ke kota C jika digambarkan dengan vektor Untuk menghitung perpindahan orang dari kota A menuju kota C, sama juga kita menghitung panjang AC pada segitiga siku-siku ABC. Padahal kita tahu bahwa perpindahan termasuk besaran vektor, sehingga perpindahan dari A ke C dapat dihitung dengan dalil phytagoras. Dari cerita tersebut, dapat diambil kesimpulan bahwa penjumlahan vektor berbeda dengan penjumlahan biasa. Dalam penjumlahan aljabar biasa 80 km + 60 km, hasilnya 140 km. Untuk penjumlahan vektor, 80 km + 60 km hasilnya belum tentu 140 km. Perbedaan penjumlahan aljabar biasa dengan dengan penjumlahan vektor disebabkan karena selain mempunyai besar, vektor mempunyai arah. Ada beberapa cara untuk menggambarkan penjumlahan vektor, yaitu dengan metode segitiga, jajargenjang, poligon, dan analisis. Bagaimankah kita menggambarkan penjumlahan vektor dengan metode metode segitiga, jajargenjang, poligon, dan analitis. 2 2. a dengan Metode Geometri dengan Metode Segitiga Gambar 2.4 a, b, c, dan d Jika diketahui vektor a, b, c, dan d seperti Gambar 2.3, maka cara menggambarkan hasil vektor a + c dengan metode segitiga dapat mengikuti langkah berikut. 1. Gambarlah vektor a. 2. Gambarlah vektor c dengan titik tangkap atau pangkalnya berada di ujung vektor a. 3. Gambarlah sebuah vektor dimulai dari titik tangkap atau pangkal vektor a dan berakhir di ujung vektor c. ini merupakan vektor hasil penjumlahan a + c atau disebut resultan vektor yang dilambangkan dengan R. Gambar 2.4 Langkah menjumlahkan vektor dengan metode segitiga a.b 5 dengan Metode Jajargenjang
Jika diketahui vektor a, b, c, dan d seperti Gambar 2.3, maka cara menggambarkan hasil vektor a + c dengan metode jajargenjang dapat mengikuti langkah berikut. 1. Gambarlah vektor a. 2. Gambarlah vektor c dengan titik tangkap atau pangkalnya berimpit dengan titik tangkap vektor a. 3. Buatlah garis yang sejajar vektor a yang dimulai dari ujung vektor c, kemudian buatlah garis yang sejajar vektor c yang dimulai dari ujung vektor a sehingga membentuk sebuah jajargenjang. 4. Buatlah sebuah vektor yang dimulai dari titik tangkap kedua vektor dan berakhir di perpotongan garis pada langkah nomor 3. ini merupakan resultan dari penjumlahan a + c. Gambar 2.5 Langkah menjumlahkan vektor dengan metode jajargenjang. c dengan Metode Poligon Jika diketahui vektor a, b, c, dan d seperti Gambar 2.3, maka cara menggambarkan hasil vektor a + c + b + d dengan metode poligon dapat mengikuti langkah berikut. 1. Gambarlah vektor a. 2. Gambarlah vektor c dengan titik tangkap atau pangkalnya berada di ujung vektor a. 3. Gambarlah vektor b dengan titik tangkap atau pangkalnya berada di ujung vektor c. 4. Gambarlah vektor d dengan titik tangkap atau pangkalnya berada di ujung vektor b. 5. Gambarlah sebuah vektor yang dimulai dari titik tangkap atau pangkal vektor a dan berakhir di ujung vektor d. ini merupakan resultan dari penjumlahan vektor a + c + b + d. Gambar 2.6 Langkah menjumlahkan vektor dengan metode poligon. d dengan Metode Analisis 6
Untuk menggambarkan penjumlahan vektor dengan metode analisis, kita harus bisa menggambarkan penguraian vektor terlebih dahulu. dapat diuraikan ke dalam komponen-komponennya, baik komponen pada sumbu x maupun sumbu y. 1. Gambarlah bidang koordinat kartesius. Kemudian, gambar vektor a, b dan c pada bidang koordinat tersebut dengan pangkal vektor berada di pusat koordinat. 2. Uraikan vektor a, b dan c ke dalam komponen sumbu x dan sumbu ( a x, a y b x, b y, c x, c y ) 3. Jumlahkan semua komponen vektor pada sumbu x ( R x ) dan sebuah komponen pada sumbu y ( Ry ). Dari Gambar 2.7 kita bisa menuliskan dalam bentuk persamaan: R R Gambar 2.7 Langkah menjumlahkan vektor dengan metode poligon. x ax cx y ay cy Dari kedua persamaan tersebut, besar dan arah resultan vektor dapat dicari dengan persamaan: R ( R x ) 2 ( R y ) 2 R tan R y x Gambar berikut ini menunjukkan pengurangan vektor yang geometri dengan menggunakan metode jajargenjang dan metode poligon (segitiga). -B A B -B R=A-B A Cara segitiga R=A-B -B A Cara jajargenjang Gambar 2.8 Pengurangan vektor menggunakan cara geometri 3 Dua Buah yang Membentuk Sudut 7
Tinjau dua buah vektor masing-masing A dan B yang mempunyai titik pangkal yang berhimpit. Sudut yang dibetuk oleh dua buah vektor tersebut adalah dan sudut antara vektor resultan (R) dengan vektor A adalah, seperti pada Gambar 1.5 di bawah. Gambar 2.9 Menentukan resultan dua buah vektor secara analitis Cara menentukan Resultan (R) dari dua vektor yang arahnya sembarang dan membentuk sudut, dapat menggunakan rumus kosinus. Menurut aturan cosinus sebagai berikut. R 2 A 2 B 2 2 A B cos (180 ) R 2 A 2 B 2 2 AB ( cos ) R 2 A 2 B 2 2 AB cos R A 2 B 2 2 AB cos Dengan: R = besar vektor resultan R A = Besar vektor A B = Besar vektor B = sudut apit antara A dan B Persamaan di atas berlaku untuk R = A + B, sedangkan untuk R = A B, berlaku persaman berikut. R R Contoh Soal A2 B 2 2 A2 B 2 2 AB cos (180 o ) AB cos Dua buah vektor gayamemiliki F1 dan F2besar masing-masing 4 N dan N, memiliki titik pangkal Sebuah vektor dan arah. besarnya Arah resultan (R)5dapat ditentukan oleh sudut merupakan berimpit. resultan vektor ini jika sudut apityang antara kedua vektor antara R danhitunglah A atau Rnilai dandan B. arah Misalkan sudut sudut dibentuk R dan A, 0 maka tersebut dengan adalah menggunakan 60. aturan sinus pada segitiga akan diperoleh: B Diketahui: R sin F1 = 4 sin( N; 180 F 2 )= 5 N; B gaya MencariRresultan sin sin α = 600; B sinresultan sin arah Mencari terhadap F1 R Dengan menggunakan persamaan tersebut, maka besar sudut dapat diketahui. Jadi, nilai vektor adalah N dengan arah 33,67o terhadap vektor F1. 8
4Penerapan dalam Kehidupan No Gambar Penjelasan 1 Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik anak panah dari busurnya, sebenarnya arah gerak anak panah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua unjung busur tersebut. 2 Ketika penerjun menjatuhkan diri dari kapal, tempat ia jatuh tidak tepat di bawah kapal, tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin 3 Sistem vektor yang dikalibrasikan dengan komputer navigasi pesawat, pilot dapat memantau arah tujuan pendaratan pesawat. Jadi, tidak pernah sebuah pesawat nyasar ke lain tempat. Alat navigasi ini disebut dengan Radar. Radar inilah yang sebenarnya merupakan alat untuk 9 mengetahui kecepatan pesawat. Karena pada radar dilengkapi oleh besarnya kecepatan dan arah yang sesuai dengan konsep besaran vektor.
No Gambar Penjelasan 4 Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan grafis. Dalam software komputer seperti AutoCAD, Google SketchUp dll, terdapat penghitungan vektor yang terkomputerisasi. Program tersebut berfungsi sebagai penggambar rancangan bangunan 3D sebelum membangun bangunan sebenarnya. Dalam progeam tersebut terdapat tiga sumbu, sumbu X, sumbu Y dan sumbu Tegak (3 dimensional). 5 Saat perahu menyebrangi sungai, makan kecepatan perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air. 10
LATIHAN SOAL PENJUMLAHAN VEKTOR Gambar berikut untuk menjawab soal nomor 2, 4, 6, dan 8. 1. Jelaskan cara menggambarkan penjumlahan vektor dengan metode segitiga! 2. Tentukan resultan a b dengan metode segitiga! 3. Jelaskan cara menggambarkan penjumlahan vektor dengan metode jajargenjang! 4. Tentukan resultan a d dengan metode jajargenjang! 5. Jelaskan cara menggambarkan penjumlahan vektor dengan metode poligon! 6. Tentukan resultan a b c dengan metode poligon! 7. Jelaskan cara penjumlahan vektor dengan metode analisis! 8. Gambarkan resultan a b c d dengan metode analisis! 9. Dua buah gaya masing-masing 10 N dan 15 N membentuk sudut 60o. Tentukan besar resultan kedua gaya tersebut! 10. Dua buah vektor, masing-masing besarnya 8 N dan 6 N. Tentukan sudut yang dibentuk oleh titik pangkalnya jika resultan gaya bernilai 124 N! 11. Dua buah vektor gaya F1 dan F2 masing-masing besarnya 4 N dan 5 N, memiliki titik pangkal berimpit. Tentukan arah resultan vektor ini jika sudut apit antara kedua vektor tersebut adalah 60o! 12. Jelaskan 3 penerapan vektor dalam kehidupan yang kalian ketahui! 11
DAFTAR PUSTAKA Nufus dan Furqon. 2009. Fisika SMA/MA Kelas X BSE. Jakarta: Pustaka Insan Madani. Sunardi dan Siti. 2013. Fisika untuk SMA/MA Kelas X Peminatan Kurikulum 2013. Bandung: Penerbit Yrama Widya. Widodo, Tri. 2009. Fisika SMA/MA Kelas X BSE. Jakarta: Mefi Caraka.