olume 9 Nomor Desember 05
Jurnl Ilmu Mtemtik erpn Desember 05 olume 9 Nomor Hl 89 96 ALGORIMA UNUK MENENUKAN KEKOPOSIIFAN MARIKS SIMERIS BERUKURAN n = 3 4 5 Berny Pebo omsouw Jurusn Mtemtik FMIPA Universits Pttimur Jl Ir M Putuhen Kmpus Unptti Pok-Ambon Indonesi e-mil: peboberny@gmilcom Abstrk Mtriks kopositif merupkn mtriks simetris yng memenuhi sift tertentu Mtriks ini dpt digunkn dlm menyelesikn mslh pemrogrmn kudrtik mslh kombintorik persmn diferensil Dlm penelitin ini kn dibentuk beberp lgoritm untuk memeriks kekopositifn sutu mtriks simetris yng berukurn n = 3 n = 4 n = 5 Kt Kunci: Algoritm mtriks kopositif mtriks simetris AN ALGORIHM O DEERMINE HE COPOSIIIY OF A SYMMERIC MARIX OF ORDER n = 3 4 5 Abstrct Copositive mtrix is symmetric mtrix which stisfy some certin conditions his mtrix cn be pplied in solving qudrtics progrmming combintoril nd differentil eqution In this pper some lgorithms will be formed to verify the copositivity of symmetric mtrix of order n = 3 n = 4 nd n = 5 Keywords: Algorithm copositive mtrix symmetric mtrix Pendhulun eori mtriks meminkn pern yng sngt penting bik dri segi pengembngn teori mupun terpnny dlm menyelesikn mslh mtemtik Pd st ini bnyk enis mtriks yng telh dikembngkn diteliti Slh stu contohny dlh mtriks kopositif Konsep mtriks kopositif pertm kli dikemukkn oleh Motzkin (95) Mtriks kopositif dlh mtriks simetris yng memenuhi sift tertentu Beberp penelitin telh dilkukn untuk membhs sift-sift dsr krkteristik dri mtriks kopositif Selin itu dlm beberp penelitin telh dibhs ug penerpn mtriks kopositif dlm mslh pemrogrmn kudrtik mslh kombintorik mupun persmn diferensil [ [] [] [3] [4]] Nmun kenytn yng dihdpi dlh tidklh mudh menentukn pkh sebuh mtriks simetris merupkn mtriks kopositif tu bukn Oleh kren itu dlm penelitin ini kn dibentuk lgoritm berdsrkn teorem-teorem yng d untuk memeriks kekopositifn sebuh mtriks inun Pustk Penelitin tentng mtriks kopositif dimuli oleh Motzkin [5] dlm tulisnny yng berudul Copositive Qudrtic Forms Setelh itu bnyk penelitin yng dilkukn untuk menentukn kriteri dri sebuh mtriks kopositif Slh stuny dilkukn oleh Andersson dkk [6] dlm penelitinny yng berudul Criteri for copositive mtrices using simplices nd brycentric coordintes Dlm penelitin ini diberikn teorem yng memut kriteri untuk memeriks kekopositifn sebuh mtriks Definisi Mtriks n AM diktkn simetris ik berlku A A 89
90 omsouw Algoritm untuk Menentukn Kekopositifn Mtriks Simetris Berukurn n = 3 4 5 Definisi ektor n x diktkn tk negtif ik berlku i 0 x untuk i = n Contoh ektor x (0) dlh vektor tk negtif AM n ( ) Definisi 3 Diberikn mtriks Submtriks utm dri A dlh submtriks yng diperoleh dengn cr menghpus bris ke-i kolom ke-i dri mtriks A Contoh Diberikn mtriks 3 A 4 5 Submtriks utm dri A dlh 3 5 A 4 5 5 3 A 3 A3 4 Definisi 4 Mtriks simetris AMn diktkn kopositif (copositive) ik untuk setip vektor tk negtif n x berlku tk negtif x x Ax 0 n Segkn A diktkn kopositif tegs (strictly copositive) ik untuk setip vektor berlku x Ax 0 eorem berikut ini dri Hdeler [5] yng memut kriteri mtriks kopositif berukurn n = eorem Diberikn mtriks simetris i 0 0 ; A Mtriks A diktkn kopositif ik hny ik ii 0 tu 0 ; segkn mtriks A diktkn kopositif tegs ik memenuhi i 0 0 ; ii 0 tu 0 Contoh 3 Mtriks kopositif 3 A dlh mtriks kopositif tegs segkn mtriks B 0 3 3 dlh mtriks 3 Hsil Pembhsn Dlm teorem berikut Anderson [6] membhs syrt yng hrus dipenuhi gr mtriks simetris berukurn n = 3 dpt diktkn sebgi mtriks kopositif tu kopositif tegs
Brekeng: Jurnl Ilmu Mtemtik erpn Desember 05 olume 9 Nomor Hl 89 96 9 eorem Diberikn mtriks simetris A i 0 ii untuk i = 3; ii y 0 y 33 3 0 y3 33 3 0 ; 3 3 3 3 33 iii 33 33 3 3 yyy 3 0 Segkn mtriks A diktkn kopositif tegs ik hny ik i 0 ii untuk i = 3; ii y 0 y 33 3 0 y3 33 3 0 ; iii 33 33 3 3 yyy 3 0 Mtriks A diktkn kopositif ik hny ik Berdsrkn eorem dpt dibentuk lgoritm untuk menentukn pkh mtriks simetris merupkn mtriks kopositif tu bukn Algoritm yng dibentuk dlm penelitin ini kn menghsilkn kelurn berup nili h = h = tu h = 3 dengn penelsn sebgi berikut: i Jik h = mk mtriks simetris yng diperiks buknlh mtriks kopositif; ii Jik h = mk mtriks simetris yng diperiks dlh mtriks kopositif; iii Jik h = 3 mk mtriks simetris yng diperiks dlh mtriks kopositif tegs Algoritm Diberikn mtriks simetris A 3 3 3 3 33 ) Periks pkh d elemen digonl tu ii yng bernili negtif Jik d ii 0 mk Jik tidk d ii yng negtif mk lnut ke lngkh ) Hitung y ; y 33 ; 3 y3 33 ; 3 yyy 33 33 3 3 3 h berhenti 3) Jik d slh stu dri nili y y y 3 yng bernili negtif mk h = berhenti Jik tidk lnut ke lngkh 4 4) Jik d slh stu dri nili y y y 3 yng bernili nol mk h = Jik tidk mk h 3
9 omsouw Algoritm untuk Menentukn Kekopositifn Mtriks Simetris Berukurn n = 3 4 5 Contoh 4 Diberikn mtriks simetris 5 A 9 6 Dengn menggunkn Algoritm diperoleh kelurn h 3 Hl ini berrti A dlh mtriks kopositif tegs Untuk mtriks simetris dengn ukurn Anderson [6] menggunkn pendektn prtisi mtriks untuk memeriks pkh mtriks yng diberikn merupkn mtriks kopositif tu bukn n 4 eorem 3 Diberikn mtriks simetris AM n ( ) A s s A dibentuk mtriks BA ss dengn s Jik vektor s tk negtif ( 0) mk Mtriks A diprtisi mendi s i A dlh mtriks kopositif ik hny ik 0 A kopositif; ii A dlh mtriks kopositif tegs ik hny ik 0 A kopositif tegs Jik vektor s tk positif ( s 0) mk i A dlh mtriks kopositif ik hny ik 0 B kopositif; ii A dlh mtriks kopositif tegs ik hny ik 0 B kopositif tegs 3 n eorem 3 hny dpt diterpkn pd st vektor s tk negtif tu tk positif Jik tidk keduny mk teorem ini tidk dpt diterpkn seperti terliht pd contoh berikut Contoh 5 3 5 Diberikn mtriks simetris A 9 3 6 5 s Mtriks A diprtisi mendi A dengn s s A A 9 3 6 erliht bhw s bukn vektor tk negtif mupun tk positif sehingg teorem tidk bis digunkn Untuk mengtsi mslh ini mk Anderson memperkenlkn simplex stndr polihedron yng didefinsikn sebgi berikut n n Pu u ( u un) 0 ui P up s u 0 i
Brekeng: Jurnl Ilmu Mtemtik erpn Desember 05 olume 9 Nomor Hl 89 96 93 P Selnutny polihedron dibgi mendi simplex s i sebnyk t msing msing simplex s i memiliki i i i verteks n mislkn dengn dlh vektor yng elemen ke-k sm dengn bernili nol untuk elemen linny sert verteks linny dlh i e k mk dpt dibentuk mtriks W sebgi berikut Segkn elemen ke-m vektor e k i i i ku ku ku n 3 n ek W ku i ku ku n dengn u u un \ k dihitung dengn rumus g ik m f; f g ( ) m f ik mg dengn syrt f g; 0 untuk linny Dengn menggunkn mtriks W mk dpt diperiks mtriks simetris berukurn n = 4 n = 5 yng diperlihtkn dlm du lgoritm berikut ini Algoritm Diberikn mtriks simetris A 3 4 3 4 3 3 33 34 4 4 34 44 ) Periks pkh d elemen digonl tu ii yng bernili negtif Jik d ii 0 mk Jik tidk d ii yng negtif mk lnut ke lngkh ) Bentuk submtriks utm A 3 4 3 33 34 4 34 44 A 3 4 3 33 34 4 34 44 A 4 3 4 4 4 44 h A 3 4 3 3 3 33 berhenti 3) Gunkn lgoritm untuk memeriks submtriks A A A 3 A 4 Jik d submtriks yng tidk kopositif mk h berhenti Jik tidk lnut ke lngkh 4 s 4) Prtisi mtriks A mendi A dengn s 3 s A A 4 bnykny elemen negtif (dimislkn dengn d) pd vektor s 3 4 3 33 34 4 34 44 sert hitung 5) Jik d = 0 mk periks pkh = 0 tu A kopositif Jik y mk h berhenti Jik tidk mk lnut ke lngkh 6 6) Jik d = 0 0 A kopositif tegs mk h = 3 berhenti Jik tidk lnut ke lngkh 7 7) Jik d = mk tentukn nili k berdsrkn posisi elemen yng bernili negtif ykni k e ku ) Bentuk mtriks W u v 3 \ k k kv
94 omsouw Algoritm untuk Menentukn Kekopositifn Mtriks Simetris Berukurn n = 3 4 5 b) Jik kopositif mk h = berhenti c) Jik 0 kopositif tegs A ug kopositif tegs mk h = 3 berhenti Jik tidk lnut ke lngkh 8 8) Jik d = mk tentukn nili i berdsrkn posisi du elemen yng bernili negtif ykni i ) Bentuk mtriks W e e i ik W e ik k b) Jik keduny kopositif mk h = berhenti c) Jik mtriks A ketigny mtriks kopositif tegs mk berhenti Jik tidk lnut ke lngkh 9 0 9) ) Jik d = 3 B kopositif mk h = b) Jik d = 3 B kopositif tegs mk h = 3 0 h 3 Algoritm 3 Diberikn mtriks simetris A 3 4 5 3 4 5 3 3 33 34 35 4 4 34 44 45 5 5 35 45 55 ) Periks pkh d elemen digonl tu ii yng bernili negtif Jik d ii 0 mk Jik tidk d ii yng negtif mk lnut ke lngkh h berhenti ) Hitung bnykny elemen negtif (dimislkn dengn d) dri bris pertm mtriks A Jik d 0 d tu d 4 mk lnut ke lngkh 4 3) Periks pkh bris lin yng bnykny elemen negtif sm dengn 0 tu 4 Jik d bris ke-i yng memenuhi mk ) ukr bris ke-i dengn bris pertm b) ukr kolom ke-i dengn kolom pertm 4) Bentuk submtriks utm 3 4 5 3 33 34 35 L 4 34 44 45 5 35 45 55 3 5 3 5 L4 L 3 3 33 35 5 5 35 55 3 4 5 3 33 34 35 L 4 34 44 45 5 35 45 55 5 3 4 3 4 3 3 33 34 4 4 34 44 4 5 4 5 L3 4 4 44 45 5 5 45 55 5) Gunkn Algoritm memeriks submtriks L L L3 L4 L 5 Jik d submtriks yng tidk kopositif mk h = berhenti
Brekeng: Jurnl Ilmu Mtemtik erpn Desember 05 olume 9 Nomor Hl 89 96 95 6) ) Jik d = 0 = 0 mk h = berhenti b) Jik d 0 7) Jik d 0 A kopositif tegs mk h 3 berhenti mk tentukn nili i berdsrkn posisi du elemen yng bernili negtif ykni i ) Bentuk mtriks ei W e iu iv W b) Jik d dintr mtriks 8) ) Jik e iu iv u W e iv 3 u v 3 3 Jik ketigny mtriks kopositif mk h berhenti Jik mk h 3 berhenti b) Jik d 4 d 4 B kopositif mk 0 h B kopositif tegs A yng tidk kopositif mk 0 ug kopositif tegs mk h berhenti ketigny kopositif tegs h 3 Contoh 5 3 3 Diberikn mtriks simetris A Dengn menggunkn lgoritm kn diperiks 3 3 4 pkh mtriks kopositif tu tidk Kren semu elemen ii 0 mk dibentuk submtriks utm L 3 4 3 3 L 3 3 4 Dengn menggunkn Algoritm Kren A L4 mk diperoleh bhw Bentuk mtriks B A SS 7 0 7 8 3 0 3 3 3 3 3 L L4 3 4 3 3 dpt diperoleh bhw L L L3 L 4 kopositif tegs A ug kopositif tegs Bnykny elemen negtif pd bris pertm mtriks A dlh d dengn elemen-elemen yng bernili negtif dlh 4 3 sehingg i = = 3 k = Selnutny kn dihitung elemen-elemen dri 3 3 sebgi berikut sebgi berikut 0 3
96 omsouw Algoritm untuk Menentukn Kekopositifn Mtriks Simetris Berukurn n = 3 4 5 3 0 3 3 4 3 3 3 Jdi dpt dibentuk mtriks W W sebgi berikut ei e 0 0 W 3 0 0 e e ik 0 e3 0 0 W 0 3 0 3 Dengn menggunkn Algoritm dpt diperoleh bhw mtriks keduny mtriks kopositif tegs Kren mtriks A ketigny mtriks kopositif tegs mk h = 3 Hl ini berrti A dlh mtriks kopositif tegs 0 4 Kesimpuln Bnykny elemen negtif pd vektor s kn mempengruhi penentun kekopositifn sebuh mtriks simetris Selnutny Algoritm 3 kn dilnkn bersm-sm ik mtriks yng diperiks dlh mtriks simetris berukurn n = 5 Dftr Pustk [] L D Bumert Extreme Copositive Qudrtic Forms Pcific J Mth vol 9 pp 97-04 966 [] R W Frebrother Necessry nd Sufficient Conditions for Qudrtic Form to be Positive whenever Set of Liner Constrints is Stisfied Liner Algebr Appl vol 6 pp 39-4 977 [3] J W Gddum Liner Inequlities nd Qudrtic Forms Psific J Mth vol 8 pp 4-44 958 [4] D H Jcobson Extentions of Liner Qudrtic Control Optimiztion nd Mtrix heory New York: Acdemic 977 [5] S Motzkin Copositive Qudrtic Forms Ntionl Bureu of Stndrds Report pp - 95 [6] L E Anderson G Chng Elfying Criteri for Copositive Mtrices using Simplices nd Brycentric Coordintes Liner Algebr Appl vol 0 pp 9-30 995 [7] K P Hdeler On Copositive Mtrices Liner Algebr Appl vol 49 pp 78-89 983