ANALISIS FUNGSI GELOMBANG DAN ENERGI PERSAMAAN DIRAC UNTUK POTENSIAL NON SENTRAL MENGGUNAKAN POLINOMIAL ROMANOVSKI TESIS Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan untuk Mencapai Derajat Magister Program Studi Ilmu Fisika Oleh IHTIARI PRASTYANINGRUM S911208001 PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2014
ANALISIS FUNGSI GELOMBANG DAN ENERGI PERSAMAAN DIRAC UNTUK POTENSIAL NON SENTRAL MENGGUNAKAN POLINOMIAL ROMANOVSKI TESIS Oleh Ihtiari Prastyaningrum S911208001 Komisi Nama Tanda Tangan Tanggal Pembimbing Pembimbing I. Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D... 10 Januari 2014 NIP. 19610306 198503 1 002 Pembimbing II. Dra. Suparmi, M.A., Ph.D... 10 Januari 2014 NIP : 19520915 197603 2 001 Telah dinyatakan memenuhi syarat Pada tanggal 10 Januari 2014 Ketua Program Studi Ilmu Fisika Program Pascasarjana UNS Drs.Cari, M.Sc., M.A., Ph.D NIP : 19610306 198503 1 002 ii
ANALISIS FUNGSI GELOMBANG DAN ENERGI PERSAMAAN DIRAC UNTUK POTENSIAL NON SENTRAL MENGGUNAKAN POLINOMIAL ROMANOVSKI TESIS Oleh Ihtiari Prastyaningrum S911208001 Jabatan Ketua Sekretaris Anggota Penguji Tim Penguji Nama Tanda Tanggal Tangan Dr. Agus Supriyanto, S.Si.,M.Si NIP. 19690826 199903 1 001... Januari 2014 Dr. Yofentina Iriani, S.Si.,M.Si NIP. 197112271997022001... Januari 2014 Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D NIP. 19610306 198503 1 002... Januari 2014 Dra. Suparmi, M.A., Ph.D NIP. 19520915 197603 2 001... Januari 2014 Telah dipertahankan di depan penguji Dinyatakan memenuhi syarat Pada tanggal 23 Januari 2014 Direktur Program Pascasarjana UNS Ketua Program Studi Ilmu Fisika Prof. Dr. Ir. Ahmad Yunus, M.S NIP. 19610717 198601 1 commit 001 to user Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D NIP : 19610306 198503 1 002 iii
PERNYATAAN ORISINALITAS DAN PUBLIKASI ISI TESIS Saya menyatakan dengan sebenarnya bahwa: 1. Tesis yang berjudul ANALISIS FUNGSI GELOMBANG DAN ENERGI PERSAMAAN DIRAC UNTUK POTENSIAL NON SENTRAL DENGAN POLINOMIAL ROMANOVSKI ini adalah karya penelitian saya sendiri, tidak terdapat karya ilmiah yang pernah diajukan oleh orang lain untuk memperoleh gelar akademik, serta tidak terdapat karya atau pendapat yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang lain kecuali secara tertulis digunakan sebagai acuan dalam naskah dan disebutkan dalam sumber acuan serta daftar pustaka. Apabila dikemudian hari terbukti pernyataan saya ini tidak benar, maka saya bersedia menerima sanksi sesuai ketentuan peraturan perundang-undangan (Permendiknas No. 17, Tahun 2010). 2. Publikasi sebagian atau keseluruhan dari isi tesis ini pada jurnal atau forum ilmiah lain harus seijin dan menyertakan tim pembimbing sebagai author dan PPs-UNS sebagai institusinya. Apabila dalam waktu sekurang-kurangnya satu semester (enam bulan sejak pengesahan tesis) saya tidak melakukan publikasi dari sebagian atau keseluruhan tesis ini, maka PPs-UNS berhak mempublikasikannya pada jurnal ilmiah yang diterbitkan oleh Prodi Ilmu Fisika PPs-UNS. Apabila saya melakukan pelanggaran dari ketentuan publikasi ini, maka saya bersedia mendapatkan sanksi akademik yang berlaku. Surakarta, 23 Januari 2014 Mahasiswa Ihtiari Prastyaningrum S911208001 iv
MOTTO DAN PERSEMBAHAN Kesabaran, keikhlasan, dan ketenangan memberikan kebahagiaan yang tak ternilai harganya, Langkah pertama adalah awal dari segalanya. Dengan segala kerendahan hati, torehan tinta ini aku persembahkan kepada: 1. Allah SWT yang telah memberikan semua yang terbaik untukku; 2. Ayahku H. Sinto Ahmadi dan ibuku Hj. Titik Sulasmi tercinta, yang senantiasa menyebutku dalam setiap doa dan sujudnya; 3. Suamiku tercinta M. Hadi Purnomo dan malaikat kecilku Arka Prameswara yang telah menemaniku dalam setiap detik waktuku; v
Ihtiari Prastyaningrum. S911208001. 2014. Analisis Fungsi Gelombang dan Energi Persamaan Dirac untuk Potensial Non Sentral Menggunakan Polinomial Romanovski. Tesis: Program Pascasarjana Ilmu Fisika Universitas Sebelas Maret Surakarta. Pembimbing: (1). Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D (2). Dra. Suparmi, M.A., Ph.D ABSTRAK Penelitian ini bertujuan untuk menentukan nilai energi dan fungsi gelombang dari persamaan Dirac untuk potensial non sentral Rosen Morse dengan faktor sentrifugal plus Rosen Morse dan potensial Poschl Teller termodifikasi dengan faktor sentrifugal plus Trigonometric Scarf. Potensial non sentral Rosen Morse dengan faktor sentrifugal plus Rosen Morse dan potensial Poschl Teller termodifikasi dengan faktor sentrifugal plus Trigonometric Scarf merupakan potensial yang variabelnya terpisahkan. Potensial tersebut diselesaikan menggunakan metode polinomial Romanovski. Persamaan energi yang diperoleh tidak dapat diselesaikan secara analitik ataupun nilai pendekatan sehingga dipilih penyelesaian dengan metode numerik. Penyelesaian persamaan Dirac dengan polinomial Romanovski dilakukan dengan cara mereduksi persamaan differensial orde dua menjadi persamaan differensial tipe hipergeometri perantara melalui substitusi variabel yang sesuai dengan parameter Romanovski. Penentuan persamaan tingkat energi dan fungsi gelombang ditentukan dengan mensubstitusi permisalan fungsi gelombang Romanovski kedalam persamaan hipergeometri perantara dan menjabarkannya sehingga diperoleh persamaan differensial Romanovski. Tingkat energi yang diperoleh merupakan fungsi tertutup sedangkan fungsi gelombang baik radial maupun polar dinyatakan dalam bentuk persamaan polinomial Romanovski. Spektrum energi dan fungsi gelombang bagian radial dan polar serta grafik probabilitas divisualisasikan dengan pemrograman komputer yang berbasis Matlab 2011. Visualisasi fungsi gelombang radial yang terbentuk mendiskripsikan nilai probabilitas ditemukannya partikel, sedangkan visualisasi fungsi gelombang polar yang terbentuk mendiskripsikan momentum sudut spin suatu elektron yang berada dalam pengaruh potensial sistem. Kata kunci: Persamaan Dirac, potensial non sentral, polinomial Romanovski. vi
Ihtiari Prastyaningrum. S911208001. 2014. Analitical Solution Energy Eigen Function and Wave Function of Non Central Potential With Romanovski Polynomial. Thesis: Program Pascasarjana Ilmu Fisika Universitas Sebelas Maret Surakarta. Advisor: (1). Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D (2). Dra. Suparmi, M.A., Ph.D ABSTRACT This research is aimed to determine energy levels and wave functions from Dirac equation for non central potential Rosen Morse with centrifugal term plus Rosen Morse and Modified Poschl Teller potential with centrifugal term plus Trigonometric Scarf. Non central potential Rosen Morse with centrifugal term plus Rosen Morse and Modified Poschl Teller potential with centrifugal term plus Trigonometric Scarf are the potensial which separated variable. The potential are solved by Romanovski polynomials method. Eigen function that be found can t be solved by analytical method or approximation value, so that must be solved by numerical method. To solve Dirac equation with Romanovski polynomials we must reduce the two order differential equation to be intermediatery hypergeometry differential equation with substituting of suitable variable with the Romanovski parameters. To find energy eigen and wave function can be found by subtituting Romanovski s wave function like into the intermediatery hypergeometry differential equation and derivating until be obtained the Romanovski s differensial equation. From its Romanovski s hypergeometry equation would determine the energy levels and wave function. Energy levels which obtained make up closed function and the wave functions, consist of radial and angular part, have showed by Romanovski polinomial form. Energy spectrum, wave functions and probability graph have visualized by Matlab 2011. Visualization of radial wave functions which obtained are descripting the probability value to found a particle, whereas, visualization of angular wave functions which obtained are descripting the spin-angular momentum of electron which under system potential effect. Key word: Dirac equation, non central potential, Romanovski polinomial. vii
KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan hidayah-nya sehingga kami dapat menyelesaikan tesis dengan judul, Analisis Fngsi Gelombang dan Energi Persamaan Dirac untuk Potensial Non Sentral Menggunakan Polinomial Romanovski. Penyusunan tesis ini bertujuan untuk memenuhi sebagian persyaratan guna memperoleh gelar Magister pada Program Studi Ilmu Fisika Program Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta. Kami menyadari bahwa tanpa bantuan dari berbagai pihak, tesis ini tidak dapat terselesaikan dengan baik. Oleh karena itu kami mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Bapak Prof. Dr. Ir. Ahmad Yunus, M.S, selaku Direktur Program Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta, 2. Bapak Drs. Cari, M.Sc., M.A., Ph.D, selaku Ketua Program Studi Ilmu Fisika Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta, sekaligus sebagai Pembimbing I yang telah banyak memberikan bimbingan, arahan, dan motivasi kepada kami, 3. Ibu Dra. Suparmi, M.A., Ph.D, selaku pembimbing II yang telah dengan sabar membimbing dan mengajari kami, serta memberikan semangat kepada kami untuk dapat menyelesaikan tesis ini, 4. Bapak/Ibu Dosen Program Studi Ilmu Fisika Pascasarjana Universitas Sebelas Maret Surakarta yang telah memberikan berbagai ilmu tentang fisika, viii
5. Teman-teman Pascasarjana Program Studi Ilmu Fisika angkatan September 2012 yang telah bersama-sama menghabiskan waktu untuk belajar dan berdiskusi, 6. Semua pihak yang telah membantu kami dalam menyelesaikan tesis ini. Penelitian ini didanai oleh Program Hibah Penelitian Tim Pascasarjana (HPTP) Universitas Sebelas Maret tahun 2013 dengan nomer kontrak 165/UN27.11/PG/2013. Surakarta, 2014 Penulis ix
DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... ii HALAMAN PENGESAHAN... iii SURAT PERNYATAAN... iv MOTTO DAN PERSEMBAHAN... v ABSTRAK... vi KATA PENGANTAR... viii DAFTAR ISI... x DAFTAR GAMBAR... xiii DAFTAR TABEL... xv DAFTAR SIMBOL... xvi BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah... 1 B. Rumusan Masalah... 3 C. Tujuan Penelitian... 3 D. Batasan Masalah... 4 E. Manfaat Penelitian... 5 x
BAB II KAJIAN TEORI A. Persamaan Dirac... 6 B. Persamaan Dirac untuk Koordinat Bola... 11 C. Metode Polinomial Romanovski... 15 D. Potensial Rosen Morse... 17 E. Potensial Poschl Teller Termodifikasi... 19 F. Potensial Scarf... 20 BAB III METODE PENELITIAN A. Waktu dan Tempat Penelitian... 23 B. Objek Penelitian... 23 C. Instrumen Penelitian... 23 D. Prosedur Penelitian 1. Bagan Alir Penelitian... 24 2. Langkah Kerja... 25 BAB IV HASIL DAN ANALISA A. Pendahuluan... 27 B. Penyelesaian Persamaan Gelombang Radial Potensial Rosen Morse dengan Faktor Sentrifugal plus Rosen Morse... 27 C. Penyelesaian Persamaan Gelombang Polar Potensial Rosen Morse dengan Faktor Sentrifugal plus Rosen Morse... 49 xi
D. Penyelesaian Persamaan Gelombang Radial untuk Potensial Poschl Teller termodifikasi dengan Faktor Sentrifugal plus Trigonometric Scarf... 65 E. Penyelesaian Persamaan Gelombang Polar untuk Potensial Poschl Teller Termodifikasi dengan faktor sentrifugal plus Trigonometric Scarf... 84 BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN A. Kesimpulan... 106 B. Saran... 107 DAFTAR PUSTAKA... 108 LAMPIRAN... 109 xii
DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1. Polinomial Romanovski untuk dan... 17 Gambar 2.2. Potensial Rosen Morse dan Spektrumnya... 18 Gambar 2.3. Potensial Scarf dalam bentuk trigonometri. Garis horisontal menunjukkan level diskrit... 21 Gambar 2.4. Potensial Scarf dalam fungsi hiperbolik... 21 Gambar 4.1. Grafik tingkat-tingkat energi. Energi dinyatakan dalam ev... 39 Gambar 4.2. Grafik perubahan nilai energi terhadap perubahan nilai n dengan variasi konstanta... 41 Gambar 4.3. Grafik perubahan nilai energi terhadap perubahan nilai n dengan variasi konstanta... 43 Gambar 4.4. Grafik perubahan nilai energi terhadap perubahan nilai n dengan variasi konstanta dan... 45 Gambar 4.5. Grafik fungsi gelombang radial potensial Rosen Morse dengan faktor sentrifugal plus Rosen Morse untuk keadaan energi tingkat dasar... 49 Gambar 4.6. Grafik fungsi gelombang radial potensial Rosen Morse dengan faktor sentrifugal plus Rosen Morse untuk keadaan energi tingkat pertama... 49 Gambar 4.7.Visualisasi fungsi gelombang polar untuk potensial Rosen Morse dengan faktor sentrifugal plus Rosen Morse dengan variasi nilai konstanta... 61 xiii
Gambar 4.8. Visualisasi fungsi gelombang polar untuk potensial Rosen Morse dengan faktor sentrifugal plus Rosen Morse dengan variasi nilai konstanta... 62 Gambar 4.9. Visualisasi fungsi gelombang polar untuk potensial Rosen Morse dengan faktor sentrifugal plus Rosen Morse dengan variasi nilai konstanta dan... 63 Gambar 4.10. Grafik hubungan nilai energi terhadap n dengan variasi konstanta... 79 Gambar 4.11. Grafik hubungan nilai energi terhadap n dengan variasi konstanta... 81 Gambar 4.12. Fungsi gelombang radial tingkat dasar untuk potensial Poschl Teller termodifikasi dengan faktor sentrifugal plus Trigonometric Scarf dengan variasi nilai konstanta t... 85 Gambar 4.13. Fungsi gelombang radial tingkat pertama untuk potensial Poschl Teller termodifikasi dengan faktor sentrifugal plus Trigonometric Scarf dengan variasi nilai konstanta t... 86 Gambar 4.14. Visualisasi persamaan gelombang polar untuk potensial Poschl Teller termodifikasi dengan faktor sentrifugal plus trigonometric Scarf dengan variasi nilai konstanta b dan nilai a=0... 99 Gambar 4.15. Visualisasi persamaan gelombang polar untuk potensial Poschl Teller termodifikasi dengan faktor sentrifugal plus trigonometric Scarf dengan variasi nilai konstanta a dan nilai b=0... 100 xiv
Gambar 4.16. Visualisasi persamaan gelombang polar untuk potensial Poschl Teller termodifikasi dengan faktor sentrifugal plus trigonometric Scarf dengan variasi nilai konstanta a dan b... 101 Gambar 4.17. Visualisasi persamaan gelombang polar untuk potensial Poschl Teller termodifikasi dengan faktor sentrifugal plus trigonometrik Scarf dengan variasi nilan n... 106 xv
DAFTAR TABEL Tabel 4.1. Nilai energi eigen dengan variasi dan n... 38 Tabel 4.2. Nilai energi eigen dengan variasi nilai... 40 Tabel 4.3. Nilai energi eigen dengan variasi nilai... 42 Tabel 4.4. Nilai energi eigen dengan variasi nilai dan... 44 Tabel 4.5. Polinomial Romanovski dan hubungannya dengan fungsi gelombang polar potensial non sentral Rosen Morse dengan faktor sentrifugal plus Rosen Morse... 60 Tabel 4.6. Nilai energi eigen dengan variasi nilai konstanta... 78 Tabel 4.7. Nilai energi eigen dengan variasi nilai konstanta... 80 Tabel 4.8. Polinomial Romanovski dan hubungannya dengan fungsi gelombang polar potensial Poschl Teller termodifikasi plus trigonometric Scarf untuk beberapa variasi nilai bilangan kuantum utama... 97 xvi
DAFTAR SIMBOL = fungsi gelombang = fungsi gelombang upper = fungsi gelombang lower M = massa partikel = matriks pauli = energi (fm -1 ) = potensial vector = potensial skalar E NR = energi non relativistik = kecepatan cahaya di ruang hampa ( m/s) = operator momentum tiga dimensi = kecepatan sudut = bilangan gelombang = parameter kedalaman untuk potensial Rosen Morse bagian radial = parameter kedalaman untuk potensial Rosen Morse bagian polar = parameter kedalaman untuk potensial Poschl Teller = parameter kedalaman untuk potensial trigonometric Scarf = momentum = panjang gelombang = sudut putar R = fungsi gelombang radial xvii
P = fungsi gelombang polar = fungsi gelombang azhimutal = fungsi gelombang Romanovski = energi potensial = bilangan kuantum utama = bilangan kuantum orbital = bilangan kuantum magnetik = rentang potensial = faktor sentrifugal = faktor bobot = fungsi gelombang Romanovski xviii