ESTIMASI PARAMETER MODEL INTEGER-VALUE AUTOREGRESSIVE

ESTIMASI PARAMETER MODEL INTEGER-VALUE AUTOREGRESSIVE UNTUK MENENTUKAN PROBABILITAS TERJADINYA KEBAKARAN YANG DISEBABKAN OLEH GAS ELPIJI DI KOTA SURAKARTA Nurmaltasar Jurusa Sstem Iformas, STMIK Duta Bagsa Emal: urmal_ta@yahoo.com ABSTRAK Peelta bertujua melakuka estmas parameter model INteger-value AutoRregressve (INAR) utuk meetuka probabltas terjadya kebakara yag dsebabka oleh gas elpj d kota Surakarta. Dalam model INAR parameter yag destmas adalah probabltas bertaha dalam suatu proses (α) da parameter kompoe kedataga (λ). Pada peelta parameter destmas megguaka metode Bayes dega pror sekawa. Nla estmas parameter dperoleh megguaka metode Markov Cha Mote Carlo (MCMC) dega pedekata algortma Adaptve Rejecto Samplg (ARS). Berdasarka peelta dperoleh la α=.35497 da λ=.789. Besar probabltas terjadya kebakara yag dsebabka oleh gas elpj d kota Surakarta sebesar.6453. Kata Kuc: model INAR, metode Bayes, ARS. PENDAHULUAN Tabug gas elpj merupaka salah satu peyebab terjadya kebakara yag serg terjad d kota Surakarta sela kebakara yag dsebabka karea hubuga pedek arus lstrk. Keruga akbat kebakara tetu saja tdak sedkt, mula dar jutaa sampa mlyara rupah pada kasus kebakara besar. Terkadag sebabya bsa karea hal sepele atau memag karea tabug gas yag bocor [8]. Salah satu upaya utuk meeka keruga akbat kebakara yag dsebabka meledakya tabug gas elpj adalah megetahu besar probabltas terjadya kebakara yag dsebabka meledakya tabug gas elpj d kota Surakarta. Peelta bertujua utuk meetuka probabltas terjadya kebakara yag dsebabka oleh gas elpj d kota Surakarta. Dega adaya formas besar probabltas terjadya kebakara, pemertah kota bsa lebh megkatka sosalsas tetag pegguaa gas elpj, serta masyarakat bsa lebh hat-hat dalam megguaka gas elpj. Data yag dguaka dalam peelta adalah data bayakya kebakara yag terjad dwlayah Surakarta dalam setap bula. Karea data tersebut merupaka jes cout data, maka dalam peelta pemodela jumlah kebakara yag dsebabka oleh gas elpj aka megguaka model utuk cout data yatu model INAR. Meurut Slva et al. [7] dalam model INAR terdapat parameter yag belum dketahu da perlu destmas yatu probabltas bertaha dalam suatu proses (α) da parameter kedataga (λ). Jka daplkaska pada pemodela jumlah kebakara yag dsebabka oleh gas elpj, parameter yag destmas tersebut adalah pada bula sebelum kejada kebakara terjad, kejada tersebut memlk probabltas tdak terjad kebakara sebesar α, da rata-rata bayakya kejada kebakara sebesar λ. Dalam peelta g meghtug besar

probabltas terjadya kebakara yag dsebabka oleh gas elpj d kota Surakarta yag dperoleh dar estmas parameter tersebut. Metode estmas parameter yag dguaka dalam peelta adalah metode Bayes. Dalam estmas parameter dega megguaka metode Bayes terdapat dua kompoe yatu dstrbus pror da dstrbus posteror. Meurut Glks da Wld [6], la estmas parameter dperoleh dega smulas pegambla sampel parameter dar dstrbus posteror kompleks megguaka metode Markov Cha Mote Carlo (MCMC). Gbbs samplg merupaka algortma yag terdapat dalam metode MCMC yag dguaka utuk pegambla sampel dar dstrbus kompleks berdmes tgg. Dalam aplkas Gbbs samplg pada umumya dstrbus bersyarat dar tap-tap varabel mempuya betuk o-famlar da mempuya betuk aljabar yag rumt. Sehgga dbutuhka komputas yag rumt utuk megevaluas dstrbus bersyarat tersebut. Alteratf dalam aplkas Gbbs samplg tersebut adalah melakuka pegambla sampel dega algortma Adaptve Rejecto Samplg (ARS). TINJAUAN PUSTAKA Model INAR Varabel radom dskrt yag berla blaga bulat postf, da berdstrbus Posso, X t, dkataka model INAR() jka memeuh persamaa X t = α X t + ε t dega α X t merupaka bomal thg operato da ε t adalah barsa varabel depede yag berdstrbus Posso dega parameter λ. Fugs destas dar dstrbus bersyarat X t yag dberka oleh X t, dotaska p X t X t, adalah hasl kovolus dar dstrbus bomal hasl bomal thg operato da dstrbus Posso yag merupaka dstrbus dar ε t. p X t X t = exp λ = λ X t (X t )! X t α α (X t ) (.) Estmas Parameter Metode Bayesa merupaka salah satu metode estmas da feres dalam statstka yag berbass pada atura Bayes yatu dega meggabugka formas dar data observas baru da formas yag telah dperoleh sebelumya. Pada estmas parameter Model INAR dega megguaka metode Bayes terdapat dua kompoe yag harus dketahu yatu dstrbus pror da dstrbus posteror. Dstrbus pror parameter model INAR Meurut Berger dstrbus posteror lebh mudah dpredks dega dstrbus pror sekawa. Meurut Fk, pror sekawa utuk dstrbus bomal adalah dstrbus beta. Sehgga dapat dtetuka asums probabltas α berdstrbus beta dega parameter a da b, da dotaska α ~Beta(a, b). Pror sekawa utuk dstrbus Posso adalah dstrbus gamma. Dalam peelta parameter kompoe kedataga (λ) dasumska berdstrbus gamma dega parameter c da d, da dotaska λ ~GAM(c, d). Dstrbus pror parameter model INAR adalah p α, λ α a α b λ c exp( dλ). (.) dega a, b, c, da d adalah parameter yag tdak dketahu[7]. Dstrbus posteror parameter model INAR Dstrbus posteror parameter model dperoleh dega megalka dstrbus pror dega fugs lkelhood. Fugs lkelhood model INAR adalah sebaga berkut.

L X, α, λ X = t= p X t X t exp ( )λ t= M λ X t t = (X t )! X t Dstrbus posteror parameter model INAR adalah sebaga berkut. p α, λ X L X, α, λ X p α, λ = exp d + λ α a α b λ c M t t= = (λ X t /(X t )!) X t Dstrbus posteror bersyarat peuh dar λ adalah sebaga berkut. p λ α, X exp d + λ λ c M t t= = λ X t (X t )! X t α α (X t ). α α (X t ). (.3) α α (X t ). (.4) (.5) Dstrbus bersyarat peuh dar λ merupaka kombas ler dar fugs destas gamma. Sedagka dstrbus posteror bersyarat peuh dar α adalah sebaga berkut. p α λ, X α a α b M λ X t t = (X t )! X t α α (X t ) t=. (.6) Dstrbus bersyarat peuh dar α tersebut merupaka kombas ler dar fugs destas beta. [6] Estmator Bayes utuk parameter model INAR Iformas pada dstrbus posteror bersyarat peuh dar masg-masg parameter dapat dguaka utuk meetuka estmator utuk parameter. Jka θ = α, λ merupaka hmpua la parameter model INAR yag belum dketahu, maka θ = α, λ adalah estmator utuk θ = α, λ. Msalka I θ merupaka fugs dar parameter θ = α, λ, jka dambl θ = I θ maka θ merupaka estmator dar I θ. Estmator Bayes merupaka estmator yag memmumka fugs resko R θ θ, dega R θ θ merupaka harga harapa dar fugs keruga, L(θ θ). Estmas Bayes dapat dtetuka sebaga berkut. α = E α λ,x I α = I α λ = E λ α,x I λ = I λ f α λ, X dα = α f λ α, X dλ = f α λ, X dα (.7) λ f λ α, X dλ (.8) Perhtuga tegras pada persamaa (.7) da (.8) megguaka kosep tegras Mote Carlo. Kosep tegras Mote Carlo adalah dega membagktka sampel radom dar dstrbus f α λ, X da f λ α, X kemuda meghtug rata-rata dar sampel yag telah dbagktka dar masg-masg fugs tersebut. Perhtuga utuk harga harapa estmator parameter model dapat dtulska sebaga berkut. = α (.9) = α = α f α λ, X dα λ = λ f λ α, X dλ λ (.) Peyampela dar dstrbus probabltas f α λ, X da f λ α, X dapat dlakuka dega proses Markov. Proses Markov dlakuka dega membuat rata Markov dega dstrbus

stasoerya medekat dstrbus probabltas f α λ, X da f λ α, X. Meurut Glks da Wld, la estmas parameter dperoleh dega smulas pegambla sampel parameter dar dstrbus posteror kompleks megguaka metode MCMC, khususya dega algortma Gbbs samplg. Kosep utama dalam MCMC adalah membuat sampel pedekata dar dstrbus posteror parameter, dega membagktka sebuah rata Markov yag memlk dstrbus lmt medekat dstrbus posteror parameter. Dalam aplkas Gbbs samplg apabla dstrbus bersyarat dar tap-tap varabel mempuya betuk o-famlar da mempuya betuk aljabar yag rumt maka pegambla sampel megguaka algortma Adaptve Rejecto Samplg (ARS). Syarat pegguaa algortma ARS yatu fugs destas bersyarat peuh dar masgmasg parameter adalah log-kokav. Meurut Bagol dstrbus posteror bersyarat peuh utuk α da λ adalah log-kokav, jka memeuh: a. p α λ, X /p α λ, X adalah mooto turu pada (, ). b. p λ α, X /p λ α, X adalah mooto turu pada (, ). c. log p λ α, X < da log p α λ, X <. Glks da Wld [6] mejelaska Algortma ARS adalah sebaga berkut. ) Medefska h(θ)=lf θ da h(θ) kokav d setap D da megevaluas h(θ)da h (θ) padaθ θ θ k D. ) Megsalsaska abss dalam T k, dega T k ={θ,θ,,θ k }, kemuda medefska fugs evelope, u k (θ), yag merupaka batas atas dar gars sggug h(θ) da medefska fugs squeezg, l k (θ), yag merupaka batas bawah dar gars sggug h(θ). 3) Megambl sampel θ * dar s k (θ), dega exp u k θ s k θ =, exp u k θ dθ D da megambl sampel w dar dstrbus uform (,). Jka u exp{l k θ u k θ }, maka θ dterma, jka tdak maka megevaluas h θ da h θ. Jka u exp{h θ ukθ }, maka θ dterma, jka tdak maka θ dtolak. Lagkah-lagkah tersebut dulag sampa teras hgga dperoleh rata-rata θ yag koverge. Metode Peelta Sumber data pada peelta adalah data sekuder yatu dperoleh dar Bada Pusat Statstk kota Surakarta. Data tersebut adalah data jumlah kebakara yag dsebabka karea tabug gas elpj tap bula dar September 9 sampa dega Desember. Lagkah-lagkah yag dlakuka dalam aalss adalah: a. Meracag model INAR utuk data jumlah kejada kebakara yag dsebabka oleh gas elpj dega megguaka batua Software Mtab 6. b. Meetuka dstrbus pror parameter model hasl lagkah a. c. Membetuk fugs lkelhood utuk estmas parameter. d. Membetuk dstrbus posteror parameter dega megalka hasl lagkah a da b. e. Membetuk dstrbus posteror parameter α dar hasl lagkah d. f. Membetuk dstrbus posteror parameter λ dar hasl lagkah d. g. Membetuk algortma Gbbs samplg dega megguaka hasl lagkah e da f. h. Membetuk algortma ARS dar hasl lagkah g.. Meetuka la estmas parameter dar hasl lagkah h.

Autocorrelato Partal Autocorrelato j. Meetuka besar probabltas terjadya kebakara berdasarka hasl lagkah. Hasl da Pembahasa Idetfkas model awal data bayakya kebakara yag dsebabka gas elpj adalah model INAR(). Hal tersebut dapat dlhat dar plot ACF dapat dgambarka pada Gambar 4.. da PACF dapat dgambarka pada Gambar 4.. Autocorrelato Fucto for Kebakara Akbat Gas Elpg (wth 5% sgfcace lmts for the autocorrelatos) Partal Autocorrelato Fucto for Kebakara Akbat Gas Elpg (wth 5% sgfcace lmts for the partal autocorrelatos),,,8,8,6,6,4,, -, -,4 -,6 -,8 -,,4,, -, -,4 -,6 -,8 -, 5 5 Lag 5 3 35 5 5 Lag 5 3 35 Gambar 4.. Plot ACF data jumlah kebakara akbat gas elpj. Gambar 4.. Plot ACF data jumlah kebakara akbat gas elpj Dstrbus pror parameter model data bayakya kebakara yag dsebabka gas elpj adalah sekawa, maka dapat dtetuka dega persamaa (.) yatu α a α b λ c exp dλ. (4.) dega a=b=c=d= 4. Dstrbus posteror bersyarat peuh utuk parameter α dapat dtetuka dega persamaa (.6) da (4.) da dperoleh: p α λ, X = α a α b λ 3 α 6 λ λ α 3 + 3λα α + 3α α λ α + λα λ α + α α λ 3 6 α + λ α. (4.) Sedagka dstrbus posteror utuk parameter λ, dapat dtetuka dega megguaka persamaa (.5) da dperoleh:

p λ α, X = Exp d + 39 λ λ c λ 3 x 6 λ λ x 3 + 3λx x + 3x x λ x + λx λ x + x x λ 3 6 x + λ x. (4.3) Perhtuga utuk harga harapa estmator parameter model dperoleh dar persamaa (.9) da (.). Peyampela dar dstrbus probabltas f α λ, X da f λ α, X dlakuka dega proses Markov. Dstrbus posteror bersyarat peuh persamaa (4.) da (4.3) mempuya betuk dstrbus yag tdak umum da mempuya betuk aljabar yag rumt, sehgga Gbbs samplg tdak efektf dguaka. Sehgga peyampela dlakuka dega algortma Adaptve Rejecto Samplg (ARS). Dstrbus posteror bersyarat peuh dar masgmasg parameter aka dtujukka terlebh dahulu apakah log-kokav atau tdak terlebh dahulu dega melhat Gambar 4.3-4.6. Dalam peelta plot Dstrbus posteror dgambar dega batua Software Mathematca 7.. 5..4.6.8...4.6.8. 4 5 5 6 8 Gambar 4.3. Plot fugs p α λ, X /p α λ, X Gambar 4.4. Plot turua kedua dar fugs log p α λ, X 4..4.6.8. 3..4.6.8. 4 5 Gambar 4.5. Plot fugs p λ α, X /p λ α, X Gambar 4.6. Plot turua kedua dar fugs log p λ α, X Dar Gambar 4.3-4.6 fugs l p λ α, X < da l p α λ, X <, sela tu p α λ, X /p α λ, X da p λ α, X /p λ α, X adalah mooto turu, sehgga dapat dsmpulka fugs destas bersyarat peuh dar masg-masg parameter adalah log-kokav.

Persamaa (4.) da (4.3) dguaka utuk membagktka rata Markov α da λ dega algortma ARS. Karea dstrbus bersyarat peuh dar masg-masg parameter berdmes tgg, maka dalam pembagkta rata Markov megguaka batua Software R 386 3... Hasl peyampela α da λ dega algortma ARS dapat dlhat pada Gambar 4.7 da 4.8. Gambar 4.7. Hasl pembagkta λ dega algortma ARS

Gambar 4.7. Hasl pembagkta α dega algortma ARS Nla-la parameter α da λ hasl dar algortma ARS pada Gambar 4.6 da 4.7 tersebut drata-rata da dapat dlhat dalam Tabel 4. berkut. Tabel 4.. Nla-la estmas parameter model INAR() 5 5 α.355358.353.3544695.35959 Var(α).4753.4688.59684.5354 λ.66.597.93368.74 Var(λ).573463.69479.65766.6647 Dar Tabel 4., persamaa (.9) da persamaa (.) dapat dperoleh la α=.35497 da λ=.789, yag artya bahwa pada bula sebelum kejada kebakara terjad, kejada tersebut memlk probabltas tdak terjad kebakara sebesar.35497, da rata-rata bayakya kejada kebakara akbat gas elpj d kota Surakarta adalah satu kal dalam dua bula. Dar parameter tersebut dapat dhtug besar probabltas terjadya kebakara yag dsebabka oleh gas elpj d kota Surakarta adalah ( α) =.6453. KESIMPULAN Berdasar hasl pembahasa dperoleh kesmpula bahwa model jumlah kebakara yag dsebabka oleh gas elpj d kota Surakarta adalah model INAR ().Hasl estmas parameter model INAR () adalah α=.35497 da λ=.789, yag artya bahwa pada bula sebelum kejada kebakara terjad, kejada tersebut memlk probabltas tdak terjad kebakara sebesar.35497, da rata-rata bayakya kejada kebakara akbat gas elpj d kota Surakarta adalah satu kal dalam dua bula. Besar probabltas terjadya kebakara yag dsebabka oleh gas elpj d kota Surakarta adalah ( α) =.6453.

DAFTAR PUSTAKA Ba, L. J. ad M. Egelhardt, (995), Itroducto to Probablty ad Mathematcal Statstcs, ed., Duxbury Press, Ic., Calfora. Bagol, M. ad T. Bergstrom, Log-Cocave Probablty ad Its Aplcatos, Uversty of Mchga. http://cteseerx.ts.psu.edu. (Dakses pada taggal 7-4-, jam.3), 989. Berger, J. O, Statstcal Decso Theory ad Bayesa Aalyss, ed., Sprger- Verlag, Ic., New York, 98. Braas, K, Estmato ad Testg teger-valued AR () models. Umea Ecoomc Studes 335. Umea Uversty, Swede, 994. Fk, D, A Compedum of Cojugate Prors. Departmet of Bology. Motaa State Uversty, Bozema, 997. Glks, W. R. ad Wld, P, Adaptve Rejecto Samplg for Gbbs Samplg, Appl. Statst., 4, 337-348, 99. Slva, I., M.E. Slva, I. Perera ad N. Slva, Replcated INAR() processes. Methodology ad Computg appled Probablty, Vol.7,pp.57-54, 5. Bada Pusat Statstk Kota Surakarta, (), Surakarta Dalam Agka Tahu. Surakarta. Walsh, B, (4), Markov Cha Mote Carlo ad Gbbs Samplg, Lecture Notes for EEB 58. http://web.mt.edu/~wgated/www/troductos/mcmc-gbbs-tro.pdf. (Dakses pada taggal --3, jam 5.9)