RUANG BARISAN KONVERGEN DAN TERBATAS YANG DIBANGUN OLEH GENERALISASI FUNGSI ORLICZ-λ SKRIPSI GUNTUR PRANAJAYA 130803026 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2017
RUANG BARISAN KONVERGEN DAN TERBATAS YANG DIBANGUN OLEH GENERALISASI FUNGSI ORLICZ-λ SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains GUNTUR PRANAJAYA 130803026 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2017
PERSETUJUAN Judul : Ruang Barisan Konvergen dan Terbatas yang Dibangun Oleh Generalisasi Fungsi Orlicz-λ Kategori : Skripsi Nama : Guntur Pranajaya Nomor Induk Mahasiswa : 130803026 Program Studi : Sarjana (S1) Matematika Departemen : Matematika Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Disetujui di Medan, Juni 2017 Komisi Pembimbing : Pembimbing 2 Pembimbing 1 Prof. Dr. Tulus, M.Si Dr. Elvina Herawaty, M.Si NIP. 19620901 198803 1 002 NIP. 19621103 199103 2 001 Disetujui Oleh Departemen Matematika FMIPA USU Ketua, Dr. Suyanto, M.Kom NIP. 19590813 198601 1 002 ii
PERNYATAAN RUANG BARISAN KONVERGEN DAN TERBATAS YANG DIBANGUN OLEH GENERALISASI FUNGSI ORLICZ-λ SKRIPSI Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya. Medan, Juni 2017 GUNTUR PRANAJAYA 130803026 iii
PENGHARGAAN Segala puji bagi Allah Subhaanahu wa Ta ala. Kita memuji, meminta pertolongan, dan memohon ampunan kepada-nya. Tiada ilah yang berhak diibadahi dengan benar kecuali Dia, dan Muhammad Shallallaahu alaihi wa sallam adalah hamba dan utusan-nya. Alhamdulillaah, berkat rahmat dan karunia yang dilimpahkan-nya, maka penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul, Ruang Barisan Konvergen dan Terbatas yang Dibangun Oleh Generalisasi Fungsi Orlicz-λ sebagai salah satu syarat untuk mendapatkan gelar Sarjana Sains (S.Si) pada Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,. Terima kasih penulis sampaikan kepada Ibu Dr. Elvina Herawaty, M.Si selaku dosen pembimbing I dan Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku dosen pembimbing II, atas bimbingan, arahan, dan dukungannya dalam pembuatan skripsi ini. Semoga Allah Subhanahu wa Ta ala membalas kebaikan ibu dan bapak dengan balasan yang terbaik dari sisi-nya. Jazaakumullaahu khairan katsir. Terima kasih kepada Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si dan Ibu Asima Manurung, M.Si selaku dosen penguji yang telah memberi banyak saran dan kritik yang membangun dalam penyempurnaan skripsi ini. Terima kasih kepada Ibu Dra. Normalina Napitupulu, M.Sc selaku dosen penasehat akademik, Bapak Dr. Suyanto, M.Kom dan Bapak Drs. Rosman Siregar, M.Si selaku ketua dan sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU, seluruh dosen matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan ilmunya kepada penulis dari sejak awal perkuliahan, para pegawai FMIPA USU, serta teman-teman seperjuangan angkatan 2013. Selanjutnya, terima kasih yang teramat sangat penulis ucapkan kepada ibunda Karmaiyulis dan ayahanda Subari, karena selalu memberikan doa, dukungan, dan kasih sayang yang tak terhingga sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Semoga Allah Azza wa Jalla membalas kebaikan ibunda dan ayahanda dengan kebaikan yang terbaik dari sisi-nya, baik di dunia dan terutama di akhirat, berupa dimasukkan ke dalam surga-nya tanpa hisab dan tanpa adzab. Kemudian, terima kasih kepada adik-adik tercinta Rio Candra iv
dan Lisa Aptri Lestari yang selalu memotivasi penulis sehingga dapat menyelesaikan skripsi ini. Semoga Allah Subhaanahu wa Ta ala menjadikan kalian termasuk hamba-hamba-nya yang shalih dan shalihah, yang bertaqwa kepada- Nya dengan sebenar-benarnya ketaqwaan. Penulis menyadari bahwa skripsi ini jauh dari kesempurnaan. Untuk itu, penulis meminta maaf apabila ada kesalahan atau kekhilafan dalam skripsi ini. Akhirnya, penulis berharap kepada Allah Subhaanahu wa Ta ala agar menjadikan skripsi ini bermanfaat bagi diri penulis pribadi dan orang lain. Medan, Juni 2017 Penulis v
RUANG BARISAN KONVERGEN DAN TERBATAS YANG DIBANGUN OLEH GENERALISASI FUNGSI ORLICZ-λ ABTSRAK Salah satu isu sentral dalam penelitian bidang analisis matematika adalah ruang barisan. Di dalam tulisan ini, dibentuk ruang barisan konvergen dan terbatas yang dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz, yaitu ruang barisan c 0 (M), c(m), dan l (M). Selanjutnya, dibentuk domain matriks dari matriks tak hingga Λ terhadap ruang barisan tersebut, yaitu [c 0 (M)] Λ, [c(m)] Λ, dan [l (M)] Λ. Ruang barisan ini disebut ruang barisan konvergen dan terbatas yang dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz-λ. Berhasil diperlihatkan bahwa [c 0 (M)] Λ, [c(m)] Λ, dan [l (M)] Λ masing-masing merupakan ruang- BK, dan [c 0 (M)] Λ merupakan ruang-ak. Lebih lanjut, diperoleh beberapa relasi inklusi yang bersesuaian terhadap ruang barisan ini. Pada bagian akhir, diperoleh karakteristik koleksi transformasi matriks (X, Y ) untuk X dan Y merupakan ruang barisan konvergen dan terbatas yang dibangun oleh generalisasi fungsi Orlicz. Dengan kata lain, diperoleh syarat perlu dan cukup dari suatu matriks tak hingga yang berada di koleksi transformasi matriks (c 0 (M), c 0 (M)), (c(m), c(m)), dan (l (M), l (M)). Kata kunci: ruang barisan, domain matriks, generalisasi fungsi Orlicz, sifat topologi, relasi inklusi, transformasi matriks. vi
THE SPACES OF CONVERGENT AND BOUNDED SEQUENCES DEFINED BY GENERALIZATION OF ORLICZ-λ FUNCTION ABTSRACT One of the central issue in research of mathematical analysis is sequence space. In the research, the spaces of convergent and bounded sequences defined by generalization of Orlicz function is established, that is, c 0 (M), c(m), and l (M). Further, matrix domains of infinite matrix Λ on those spaces is established, that is, [c 0 (M)] Λ, [c(m)] Λ, dan [l (M)] Λ. This spaces are called the spaces of convergent and bounded sequences defined by generalization of Orlicz-λ function. This research also shown that [c 0 (M)] Λ, [c(m)] Λ, dan [l (M)] Λ are BK-spaces, respectively, and [c 0 (M)] Λ is AK-spaces. Furthermore, some inclusion relations relevant to these spaces is studied. Finally, the sets of all matrix transformations (X, Y ), for X and Y are the spaces of convergent and bounded sequences defined by generalization of Orlicz function is characterized. In other words, the necessary and sufficient conditions on an infinite matrix belonging to classes (c 0 (M), c 0 (M)), (c(m), c(m)), dan (l (M), l (M)) is obtained. Keywords : sequence spaces, matrix domain, generalization of Orlicz function, topology properties, inclusion relations, matrix transformations. vii
DAFTAR ISI PERSETUJUAN ii PERNYATAAN iii PENGHARGAAN iv ABSTRAK vi ABSTRACT vii DAFTAR ISI viii BAB 1. PENDAHULUAN 1 1.1. Latar Belakang 1 1.2. Perumusan Masalah 4 1.3. Batasan Masalah 5 1.4. Tujuan Penelitian 5 1.5. Manfaat Penelitian 5 BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA 7 2.1. Ruang Barisan 7 2.2. Ruang Banach 10 2.3. Domain Matriks 15 2.4. Ruang Barisan Orlicz 16 BAB 3. METODOLOGI PENELITIAN 18 BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN 20 4.1. Barisan Konvergen dan Terbatas-λ 20 4.2. Topologi Norma pada Ruang Barisan Konvergen dan Terbatas yang Dibangun oleh Generalisasi Fungsi Orlicz-λ 26 4.3. Relasi Inklusi pada Ruang Barisan Konvergen dan Terbatas yang Dibangun oleh Generalisasi Fungsi Orlicz-λ 43 4.4. Transformasi Matriks pada Ruang Barisan Konvergen dan Terbatas yang Dibangun oleh Generalisasi Fungsi Orlicz 67 BAB 5. KESIMPULAN DAN SARAN 76 5.1. Kesimpulan 76 5.2. Saran 77 DAFTAR PUSTAKA 78 viii
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Barisan bilangan real adalah suatu fungsi bernilai real yang didefinisikan pada himpunan N = {0, 1, 2,... }. Dengan kata lain, barisan bilangan real adalah suatu fungsi x : N R dengan aturan k x(k) untuk setiap k N, dalam hal ini dapat ditulis x(k) = x k. Pada tulisan ini, barisan bilangan real ditulis dengan notasi x = (x k ). Karena tulisan ini membahas tentang barisan bilangan real, maka untuk selanjutnya barisan bilangan real disebut barisan saja. Pada barisan x = (x k ), bilangan real x k disebut suku ke-k ( dari ) barisan x = (x k ). Suatu barisan yang ditulis dengan notasi e [n] = untuk n N, didefinisikan sebagai barisan dengan entrinya bernilai 1 hanya pada suku ke-n dan yang lain bernilai 0, yaitu e [n] k = { 1 ; untuk k = n 0 ; untuk k n. Dengan kata lain, e [n] = (0,, 0, 1, 0, ) dengan entri 1 berada pada posisi ke-n. Koleksi semua barisan dinotasikan dengan ω; yaitu ω = {x = (x k ) : x k R, k N}. Sebarang ruang linier bagian dari ω disebut ruang barisan. Ruang-ruang barisan berikut yang ditulis dengan notasi c, c 0, dan l masingmasing disebut ruang barisan konvergen, ruang barisan konvergen ke nol, dan ruang barisan terbatas, yaitu { } c = x = (x k ) ω : ( l R) x k l, { } c 0 = x = (x k ) ω : x k 0, dan { } l = x = (x k ) ω : sup x k < k N. Selanjutnya, ruang barisan dengan deret mutlak-p konvergen untuk 1 p < e [n] k k=0