PENYELESAIAN INTEGRAL DIMENSI-n DENGAN MENGGUNAKAN TEOREMA FUBINI SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan S-1 Program Studi Pendidikan Matematika Oleh : WORO UTAMI PRASETIYONINGSIH 0801060005 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOKERTO 2012
ABSTRAK Penelitian ini bertujuan menentukan penyelesaian integral dimensi-n dengan menggunakan Teorema Fubini. Metode penelitian yang digunakan dalam penyusunan skripsi ini adalah studi litelatur. Kesimpulan dari penelitian ini adalah sebagai berikut: jika terdapat fungsi f : A B R merupakan fungsi yang terintegral pada interval A A n B R dan f x, dx dy AB ( maka dx f ( x, dy dy f ( x, dx. Sehingga, jika suatu proses pengintegralan B B A tidak dapat diselesaikan secara langsung maka proses pengintegralan tersebut tetap dapat diselesaikan dengan cara diubah urutan pengintegralannya. Selain itu, dengan perubahan tersebut juga akan memudahkan penyelesaian proses pengintegralan secara analitik. Tetapi, jika AB f ( x, dx dy dapat diartikan integral dari nilai absolut fungsi f ( x,, tidak terbatas maka dapat disimpulkan nilai dari f ( x, dx dy tidak terdefinisi dan dx f ( x, dy dy f ( x, dx. AB A B B A Kata Kunci : Integral Dimensi-n, Teorema Fubini
KATA PENGANTAR Alkhamdulillah segala puji bagi Alloh SWT, Tuhan semesta alam yang Maha Pengasih dan Penyayang, yang senantiasa memberi kemudahan kepada hambanya untuk berusaha. Hanya dengan keridhoan, kekuatan dan keberkahan Nyalah peneliti dapat menyusun dan menyelesaikan skripsi ini. Shalawat dan salam senantiasa tercurahkan kepada Nabi Besar Muhammad SAW beserta keluarga dan sahabatnya. Peneliti berusaha semaksimal mungkin dalam penyelesaian skripsi ini dengan memaparkan dan menyajikan hasil penelitian yang terbaik. Tetapi sebagai manusia biasa yang tidak luput dari kesalahan, peneliti menyadari sepenuhnya bahwa masih banyak kekurangan dalam sistematika penulisan, tata bahasa, maupun teknik dan kelengkapan penyajian. Pada kesempatan ini penulis menyampaikan terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu menyelesaikan penelitian ini. Ucapan terimakasih peneliti ucapkan kepada: 1. Dr. H. Syamsuhadi Irsyad, S.H., M.H., Rektor Universitas Muhammadiyah Purwokerto. 2. Drs. Joko Purwanto, M.Si., Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Purwokerto. 3. Chumaedi Sugihandardji, S.Si., M.Si., Kaprodi Pendidikan Matematika.
4. Eka Setyaningsih, S.Si., M.Si., Pembimbing I yang telah memberikan motivasi dan meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan, petunjuk serta arahan dalam penyusunan skripsi ini. 5. Erni Widiyastuti, S.Si., M.Si., Pembimbing II yang telah memberikan motivasi dan meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan, petunjuk serta arahan dalam penyusunan skripsi ini. 6. Semua pihak yang tidak mungkin penulis sebutkan satu persatu yang secara langsung maupun tidak langsung, telah memberikan bantuan dan semangat dalam penyusunan skripsi ini. Teriring doa dan harapan semoga amal dan kebaikan yang telah diberikan senantiasa mendapat balasan yang berlipat ganda dari Alloh SWT. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat untuk kemajuan semua. Purwokerto, Februari 2012 Peneliti
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... HALAMAN PERSETUJUAN... HALAMAN PENGESAHAN... SURAT PERNYATAAN... PERSEMBAHAN... MOTTO... ABSTRAK... KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... DAFTAR LAMBANG... DAFTAR GAMBAR... i ii iii iv v vi vii viii x iixiii iixvi BAB I PENDAHULUAN A. Latar Balakang Masalah... 1 B. Rumusan Masalah... 3 C. Tujuan... 3 D. Manfaat Penelitian... 3 BAB II KAJIAN TEORI A. Sistem Bilangan Real... 4 B. Himpunan... 5 1. Himpunan Terbatas... 6 2. Himpunan Bilangan Real... 8
C. Fungsi... 8 1. Fungsi Komposisi... 9 2. Fungsi Invers... 10 3. Jenis Fungsi... 12 a. Fungsi Eksponen... 12 b. Fungsi Transeden... 12 4. Fungsi Terbatas... 13 D. Limit... 14 1. Limit Fungsi di R... 14 2. Limit Fungsi di 3. Limit Fungsi di 2 R... 17 n R... 17 E. Kekontinuan... 18 1. Kekontinuan Fungsi di R... 18 2. Kekontinuan Fungsi di 3. Kekontinuan Fungsi di 2 R... 19 n R... 20 F. Turunan... 20 1. Turunan Fungsi di R... 20 a. Sifat-Sifat Turunan... 23 b. Turunan Fungsi Komposisi... 23 c. Turunan Fungsi Trigonometri... 24 d. Turunan Fungsi Invers Trigonometri... 24 e. Turunan Fungsi Logaritma dan Eksponensial... 25 f. Turunan Fungsi pada Suatu Interval... 26
g. Turunan Tingkat Tinggi... 26 2. Turunan Fungsi di n R... 27 G. Integral... 32 1. Integral Tak-Tentu (Anti-Turunan)... 32 2. Integral Tentu... 37 a. Integral pada Fungsi Satu Variabel... 37 b. Integral Lipat-Dua Atas Daerah Persegi Panjang... 43 c. Integral Lipat-Dua Atas Daerah Bukan Persegi Panjang... 46 d. Perhitungan Integral Lipat-Dua Atas Daerah Bukan Persegi Panjang... 46 e. Integral Lipat-Dua pada Koordinat Kutub... 48 f. Teorema Fubini... 50 BAB III METODOLOGI PENELITIAN... 52 BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN A. Integral Dimensi-n... 57 B. Sifat-Sifat Sederhana Integral Dimensi-n... 59 C. Teorema Fubini... 64 D. Penyelesaian Permasalahan Integral Dimensi-n dengan Menggunakan Teorema Fubini... 71 BAB V KESIMPULAN DAN SARAN A. Kesimpulan... 90 B. Saran... 90 DAFTAR PUSTAKA... 92
DAFTAR LAMBANG Untuk setiap Elemen Himpunan bagian sejati R Sistem bilangan Real n R Ruang dimensi-n R -{0} Semua bilangan Real kecuali nol x Harga mutlak x Lebih kecil dari Lebih besar dari Lebih kecil atau sama dengan Lebih besar atau sama dengan Gabungan Inf A Batas bawah terbesar himpunan A Sup A Batas atas terkecil himpunan A D f Daerah asal fungsi f
R f Daerah hasil fungsi f g f Komposisi fungsi Dg f Daerah asal Komposisi fungsi Rg f Daerah hasil Komposisi fungsi Tidak sama dengan f 1 Invers fungsi f Jika... maka... jika dan hanya jika J Volume atau ukuran (measure) interval J P Panjang maksimum selang bagian pada partisi P lim f ( x) xc Limit dari fungsi f(x) dengan x mendekati c f '( x) Turunan pertama fungsi f (x) i f Jumlah Riemann b f ( x) dx Integral atas Riemann a
b f ( x) dx Integral bawah Riemann a b f ( x) dx Integral dari fungsi f (x) pada [a,b] a J f ( x) dx Integral fungsi f(x) pada interval J J... f ( x 2... 1, x2,..., xn) dx1dx dxn Integral fungsi f(x) pada interval n J R AB f ( x, dx dy Integral fungsi f(x) pada interval A B A dx f ( x, dy Integral fungsi f(x) yang diintegralkan pertama pada interval B B kemudian dilanjutkan pada interval A
DAFTAR GAMBAR GAMBAR Halaman 1.1 Diagram Panah Fungsi f(x)... 9 1.2 Komposisi Fungsi... 10 1.3 Invers Fungsi... 11 1.4 Himpunan S... 20 1.5 Jumlah Riemann... 38 1.6 Daerah D x y 1.7 Permukaan z f x, y, : a x b, c x d... 43... 44 1.8 Kurva S Tertutup... 46 1.9 Kurva S Dikelilingi oleh Persegi Panjang D... 46 1.10 Kurva S z f x, y :... 46 1.11 Kurva y Sederhana... 47 1.12 Kurva x Sederhana... 47 1.13 Kurva S sebagai Persegi Panjang D... 47 1.14 Persegi Panjang Kutub... 49 1.15 Kurva z f x, y Fr,... 49 1.16 Partisi D dalam Persegi Panjang Kutub... 49 1.17 Irisan oleh Bidang x = Konstanta... 71 1.18 Irisan oleh Bidang y = Konstanta... 72 1.19 Grafik Fungsi z f ( x, dengan Irisan oleh Bidang x = Konstanta... 72 1.20 Irisan oleh Bidang x = Konstanta... 73
1.21 Grafik Fungsi z f ( x, dengan Irisan oleh Bidang y = Konstanta... 74 1.22 Irisan oleh Bidang y = Konstanta... 74 1.23 Irisan oleh Bidang x = Konstanta... 76 1.24 Irisan oleh Bidang y = Konstanta... 77 1.25 Daerah S... 79 1.26 Grafik Fungsi w f ( x, y, z) dengan Daerah S... 81 1.27 Daerah Bidang S xy... 82 1.28 Daerah Bidang S xz... 83