Volume, Nomor, Ju 7 ISSN 978-77
Barekeg, Ju 7. al.7-3 Vol.. No. PENAKSIRAN FUNGSI DENSITAS TIPE KERNEL DENGAN METODE CROSS-VALIDATION (C-V (Kerel Type Desty Fucto Estmates wt Cross-Valdato Metods MOZART WINSTON TALAKUA Jurusa Matematka FMIPA Uverstas Pattmura Ambo Jl. Ir. M. Putuea, Kampus Upatt, Poka-Ambo ABSTRACT Te coce o te badwdt s te ma problem o kerel desty ucto. I some stuatos t mgt be qute useul to ave a set o retes correspodg to deret badwdt.it s ecessary to agree wc badwdt s a approprate oe. Cross-Valdato (C-V s a well-kow metod to optmze te smootg parameter. I ts researc, we wll aalyss about tree metods o Cross-Valdato: Maxmum Lkelood Cross-Valdato, Least-Square Cross-Valdato (Ubased Cross-Valdato ad Based Cross-Valdato wt badwdt coce optmal. Keywords : optmal badwdt, Maxmum Lkelood Cross-Valdato, Ubased Cross-Valdato, Based Cross-Valdato PENDAHULUAN Pemla parameter pegalus (Badwdt merupaka masala pokok dar estmator destas tpe kerel. Pada beberapa stuas, mugk cukup bergua utuk memaka seperagkat estmas yag megubugka dega badwdt yag berbeda. Estmas-estmas tersebut dapat meojolka aspekaspek yag berbeda dalam struktur data, tetap peyaja da terpretas dar kurva semacam tu cukup subjekt. Adala perlu utuk mecapa kesepakata megea badwdt yag maa yag tepat, karea dua kods yag salg kotradkt dalam pemla yatu sat bas megaruska meml yag kecl utuk memperkecl bas sedagka varas megaruska meml yag besar utuk memperkecl varas. Metode peaksra yag memperbak kelemaa peaksra dega stogram adala metode peaksra kerel yag ddeska dega k adala ugs pembobota pada data pegamata X,.=,,., da parameter badwdt, dmaa badwdt adala suatu parameter pegalus dalam ugs kerel yag berugs utuk megatur tgkat kealusa ugs kerel tersebut. Metode peaksra muda da sederaa dalam peaksraya, tetap sat-sat aaltkya belum dbuktka secara legkap, maka perlu dalam peelta aka dbuktka sat-sat peaksr kerel secara legkap. Peaksr kerel ddeska sebaga x X ( x = k, dmaa X, X,, X adala = sample pegamata da k adala ugs kerel dega sat : ( x d( x k =, serta adala parameter badwdt Ide estmas kerel dkealka ole Murray Roseblatt (956 yag memperbak stogram. Sejau tu ada beberapa tulsa yag megembagka estmas destas tpe kerel dega sat-sat asmtotk sepert Roseblatt pada tau 97. Seeult & Quesabberry (97 megataka bawa estmas kerel adala bas, begtupu dega Parse (96 da Bartlett (963, sedagka Sgo Sraatta da I-Su Cu (99 meeragka sat Itegral Square Error ( da estmas kerel. W.H. Swaepoel (988 meemuka sat-sat Asmtotk Mea Itegral Square Error (A- M dar suatu estmas kerel bla dasumska kotu dmaa-maa. Atau kotu kecual pada sejau bergga ttk-ttk dskotu. Talakua ( megembagka Peaksra Fugs destas tpe Kerel utuk daera (,~. Metode metode tersebut aya doperaska pada yag dketau da utuk yag tdak deketau metode tersebut d atas tdak cukup utuk meyelesaka permasalaaya, segga de da gagasa baru mucul dalam meyelesaka persoala estmas destas tpe kerel dega Metode Cross- Valdato (C-V. Dalam Peelta aka dbaas tga metode Cross-Valdato yatu : Maxmum Lkelood Cross-Valdato, Least-Square Cross-Valdato (Ubased Cross-Valdato da Based Cross- Valdato dega pemla badwt yag optmal. Peelta darapka dapat memberka maaat atara la, dar seg subjekt peelt, keguaa yag dapat dambl adala utuk memperkuat kosep da pemaama peelt tetag kosep aalss Statstka matematka yatu peaksra destas tpe kerel dega metode Cross-Valdato, dar seg pegembaga Peddka Tgg d Idoesa, kususya Jurusa Matematka FMIPA UNPATTI darapka dapat memberka sumbaga pemkra utuk semak memperluas da medalam kosep dar metode Cross- Valdato secara prakts maupu teorts. Akrya Dega adaya peelta, maka atya dapat dadaka peelta leb lajut dega melbatka berbaga metode utuk medapatka asl yag beraeka ragam da semak medalam megea peaksra destas tpe kerel.
8 TALAKUA PENAKSIRAN FUNGSI DENSITAS METODE PENELITIAN Peelta yag dkerjaka bersat stud lteratur segga dalam prosesya dperluka da dlakuka beberapa lagka sebaga berkut: a. Baa atau Mater Peelta Baa da mater yag dguaka dalam peelta berupa karya lma para matematkawa da statstkawa, bak yag dsajka dalam semar maupu yag dmuat dalam jural, bulet, buku cetak (textbook da ormas yag dperole melalu teret. b. Alat Peelta Alat yag dguaka utuk peelta adala seperagkat komputer yag medukug proses peelta. c. Cara Peelta Peelta dlakuka dega cara megumpulka, mempelajar da megaalss karya-karya lma (jural da bulet atau buku-buku (textbook yag berkata dega permasalaa yag dtelt, kemuda duraka da dsajka secara bear (matematcally correct dalam betuk tulsa yag logs da rutut. d. Aalss Hasl Peelta Aalss da peguja asl peelta yagv tela dbuat dalam betuk tulsa yag logs da ruut dega cara megkomukaska da medskuska dega metematkawa da statstkawa la yag memlk lmu yag sama, selajutya dbuat dalam betuk lapora peelta. HASIL DAN PEMBAHASAN Kerel k dega badwdt dotaska sebaga : x k ( x = k dega parameter badwdt. Fugs kerel adala ugs pembobota pada data pegamata ( X, =,,..., dega parameter badwdt Parameter badwdt adala suatu parameter pegalus, yag dalam peaksra kerel berugs utuk megatur tgkat kealusa ugs kerel tersebut, juga dapat dkataka sebaga jagkaua ttk-ttk pegamata X yag aka dpegaru ole data.pembobota dlakuka setela peuba acak yag aka damat durutka terleb daulu dar yag kecl sampa yag terbesar. Fugs kerel memeu beberapa krtera, yatu: A. Fugs kerel smetrk d ttk ol, da tegralya sama dega satu k ( x = k( x A. Fugs kerel ( x d( x = k, maka kerel merupaka ugs kepadata. Dlat dar kedua sat tersebut d atas maka ugs kepadata peluag (kp dapat dtaksr dega kerel. Selajutya peaksr kerel utuk ddeska sebaga rataa la kerelya da dtuls sebaga berkut : x X ( x = k ( x X = k = = (3. dmaa X, =,,..., adala peuba acak yag damat. Maxmum Lkelood Cross-Valdato. Padag estmas-estmas destas kerel ( x dar potess da msalka g duj utuk yag spesk ( x = (x x x Lkelood Raso Test aka ddasarka pada test statstk ( x. Bag suatu badwdt yag bak, statstk ( x searusya dekat ke Dapat juga dkataka bawa pada Vs ( [ ] rata-rata (atas X E ( ( x ( x log searusya. dega begtu suatu badwdt yag bagus, yag memmalka ukura keakurasa, pada eekya megoptmalka ormas Kulback-Lebler: dkl ( x ( xdx, = log (3.. dega meggat bawa d kl, adala jarak, buka metrk, sebab pada umumya d kl, dkl, Ddasarka pada leave-oe-out estmate x x j ( = (, x k (3.. j Kemuda ddeska x x j, ( x = ( k (3..3 = = j Apabla Persamaa (3..3 dlogartmaka da dormalsaska dega aktor - maka ddeska Maxmum Lkelood Cross Valdato (ML-CV sebaga berkut : x x j CV ( Log k log[ ( ] (3.. = j = Dega demka dkataka bak apabla medekat maksmum yag t dar (, yatu : = arg max CV CV (,selajutya dubugka pada ormas Kullback- Leber da dasumska bawa X berdstrbus Idetk.
Barekeg, Vol., 7 PENAKSIRAN FUNGSI DENSITAS 9 Least-Square Cross-Valdato. Padag suatu ukura jarak alteratr atara yatu Itegrated Square Error ( yag ddeska : ( = ( xdx = + da ( x dx ( x dx ( xdx (3.. (3.. Apabla Persamaa (3.. dkurag dega baga kosta, megakbatka pemmala dalam ubugaya dega yag ekuvale dega memmalka : = ( ( xdx ( x dx ( xdx = (3..3 Utuk megestmas pada baga dguaka Leave Oe-Out estmato Ex ( x = ( x =, (3.. Dega demka apabla dguaka estmas berart utuk meetuka suatu Badwdt yag bak yag memmalka ruas kaa dar persamaa (3..3 dega megguaka estmas pada persamaa (3.. maka aka ddeska Least Square Cross Valdato sebaga berkut : CV = ( = ( x dx ( x, (3..5 Berdasarka persamaa (3..5. maka badwdt tertetu pada ugs kerel secara eksak dperole : E( CV ( = E[ ( ] + E x ( x E, ( x = M (3..6 Dar persamaa (3..6 Ila Least Square Cross- Valdato dsebut Ubased Cross-Valdato. Jad utuk pembaasa selajutya persamaa (3..5 dtuls : = ( = ( x dx, ( x (3..7 Suatu badwdt mejad optmal secara asmtotk, jka I ( > Teorema 3. s a. ( (3..8 Jka ( ( ( ( ( + ( (. a s ( Maka optmal secara asmtotk Bukt: Dar persamaa 3.. dperole = arg m ( yag berart < ( (, sedagka persamaa 3..5. dperole berart = arg m ( yag < ( ( segga utuk (, ε > berlaku ( ( ˆ [ ( ˆ ( ˆ ] < ε ( ˆ ( ˆ + dega demka dperole ( ˆ ( ˆ ( ( ( ( ˆ ε + ε dega meglagka usur ( ˆ ( ˆ segga ddapatka ( + ε ( ( ε ( dega demka karea berlaku utuk setap ε ( lm ( bawa optmal secara asmtotk = yag berart Based Cross Valdato Tekk pertama kal dtemuka ole Scott Terrell (987. Gagasa dar tekk pemla badwdt ddasarka pada estmas lagsug dar A-M destas kerel yag dsajka sebaga berkut : A-M = k + µ ( k " (3.3. Segga Based Cross Valdato ddeska sebaga : ( = k + µ ( k " (3.3. dar metode dtemuka bawa utuk megeclka M searusya meml uruta badwdt yag proporsoal teradap 5. Dega lemma berkut:
3 TALAKUA PENAKSIRAN FUNGSI DENSITAS Lemma 3.3 Dberka ( x pada persamaa 3. maka dperole Var ( x = k + o( : k " 5 " 5 5 " A-M " ( x = 5 ( v k" ( ( x µ k ( + (3.3. Dega demka dar (3.3. terlat bawa varas dar " ( x tdak medekat utuk pemla : 5. Selajutya Scott & Terell (987 memperlatka bawa adala optmal secara asmtotk sebaga yag ˆ dsajka melalu teorema berkut: Teorema 3.3 Jka ( ( ( [ ( ( ( + ( asmtotk Bukt: Maka optmal secara ( Dar persamaa 3.. dperole yag berart as. = arg m ( < ( (, sedagka persamaa 3..5. dperole yag berart utuk ( = arg m ( < ( ( segga, ε > berlaku ( ( ˆ [ ( ˆ ( ˆ ] < ε ( ˆ ( ˆ + dega demka dperole ( ˆ ( ˆ ( ( ( ( ˆ ε + ε dega meglagka usur ( ˆ ( ˆ segga ddapatka ( + ε ( ( ε ( dega demka bawa karea berlaku utuk setap ε ( lm ( optmal secara asmtotk = yag berart megestmas Fugs destas Tpe Kerel dapat dkembagka utuk metode Cross-Valdato yag cocok utuk suatu dstrbus tertetu. Sebaga coto dapat d lat pada pegambla sampel yag berbeda pada dstrbus Bomal, sebaga berkut: Ex ( 5 5 5 3 3. 3.7 6 3.6 3.6 6 3.6 3.5 6 Uor m σ opt Tragl e A M Sbrg Uor m Tragl e.8.87.889.5.37.97.3.66.678.5..57.73.53.56.5.6.39.8.69.57.5..33..5.83.5..97..7.59.5..85 Sbr g....9 9.9 8.9 7 Dar tabel d atas terlat bawa jka pegambla, Sbrg maka la A M sepert pada tabel d atas. Dapat dlat perbadgaya dega pegambla opt peaksr kerel maka la A M U < A M tr < A M Sbrg segga dapat dsmpulka bawa pegambla opt peaksr kerel Uorm leb asmtotk dar peaksr kerel tragle da opt sebarag. KESIMPULAN DAN SARAN Kesmpula Berdasarka pejelasa pada baga sebelumya maka dapat dsmpulka bawa:. Pemla badwt yag optmal utuk metode Maxmum Lkelood Cross- Valdato(ML-CV yatu dkataka bak apabla medekat maksmum yag t dar ( = arg max CV ( CV, yatu :. Pemla badwt yag optmal utuk metode Least-Square Cross- Valdato (Ubased Cross- Valdato yatu jka ( ( ( ( ( (. s a ( + ( Maka ĥ optmal secara asmtotk 3. Pemla badwt yag optmal utuk metode Bas Cross-Valdato yatu Jka ( ( ( [ ( ( as. ( ( + ( ĥ optmal secara asmtotk Maka Selajutya dar ketga metode Cross-Valdato tersebut, dapat dlat tgkat Asmtotk segga utuk
Barekeg, Vol., 7 PENAKSIRAN FUNGSI DENSITAS 3. Pegambla opt peaksr kerel Uorm leb asmtotk dar peaksr kerel tragle da opt sebarag, karea la A M U < A M tr < A M Sbrg Sara Darapka dapat dlakuka peelta lajuta utuk peaksra ugs destas tpe kerel dega metode yag la, dega jes kerel yag berbeda UCAPAN TERIMA KASIH Peelt megucapka terma kas kepada Proyek Pegkata Peelta Peddka Tgg,Drektorat Peddka Tgg,Departeme Peddka Nasoal, sesua dega surat Perjaja Pelaksaaa Peelta Dose Muda,Stud kaja wata da Sosal Keagamaa Nomor: 7/P/DPPM/DM,SKW,SOSAG/III/ taggal 5 Maret DAFTAR PUSTAKA Apostol, T.M.(967, Calculus Volume I, Wley Iteratoal Edto. Devroye ad Perod,C.S, (98, Te Cosstecy o Kerel desty Estmates, Joural Te Aalss Statstcs,Vol.,No.., 3-9 Evertt,Bra S. (99, A Hadbook o Statstcal aalyses usg S-Plus, New York.Capma&Hall Gaser.T,Muller.H.G. Mamtcsc Socety, Kerel or Noparametrc Curve Estmato, Joural o Te Royal Statstc Socety, Ser B, 7 36-5 Hardle,W (99, Smootg Tecque Wt Implemetato S., Spger Verlag, New York. Hll, P.D. (985, Kerel Estmato o Dstrbuto Fcto, Comm, Statst.Teory Metods,, 65-6 Jo Rce (98, Badwdt Coce For No Parametrc Regresso, Joural Te Aall. O Statstcs, Volume, N., 5-3 Jerey D. Hart ad Tomas E. Werly, (99, Kerel regresso We Te Boudary rego Large, Wt a Applcato to testg te Adequacy o Polomal Medels, Joural o Te Amerca Statstcal Assosato, Vol.87.No.. 8- Letold,L (976, Te Calculus Wt Aaltc Geometry, New York Harper Iteratoal Edto.