. Vektor.1 Representasi grafis sebuah vektor erdasarkan nilai dan arah, besaran dibagi menjadi dua bagian aitu besaran skalar dan besaran vektor. esaran skalar adalah besaran ang memiliki nilai dan tidak memiliki arah, seperti panjang, massa, waktu, temperatur, frekuensi, daa, dan usaha. esaran vektor adalah besaran ang memiliki nilai dan arah, seperti perpindahan, kecepatan, percepatan, gaa, momen gaa, momentum, luas, impuls dan berat. Vektor adalah obek geometri ang memiliki besar dan arah. Vektor sangat bermanfaat untuk menjelaskan besaran fisika ang memiliki besar dan arah. Operasi besaran skalar berbeda dengan dengan operasi vektor. Kita akan mempelajari vektor menggunakan pendekatan grafis dan pendekatan analitis. Secara grafis, sebuah vektor disimbolkan oleh sebuah anak panah, seperti Gambar.1. Panjang anak panah menunjukkan besar vektor dan mata panah menunjukkan arah vektor. Titik disebut titik asal vektor atau titik tangkap vektor, dan titik disebut titik arah vektor atau ujung vektor. da perbedaan cara penulisan besaran skalar dan besaran vektor. esaran vektor dituliskan dengan huruf cetak tebal (bold ) aitu, F atau menuliskan anak panah di atas huruf, aitu F. Nilai vektor diberikan oleh F atau F. Vektor Gambar.1 juga dapat dituliskan dalam bentuk. F Kalau sebuah anak panah mendekati pengamat, maka pengamat akan melihat ujung anak panah sebagai tanda titik. Karena itu, simbol vektor mendekati pengamat atau vektor keluar bidang adalah. Kalau sebuah anak panah mejauhi pengamat, maka pengamat akan melihat ujung anak panah sebagai tanda silang. Karena itu, simbol vektor menjauhi pengamat atau vektor masuk bidang adalah.. Representasi analitis sebuah vektor Sebuah vektor dalam sistem koordinat kartesian dinatakan dalam komponen-komponena disebut representasi analitis vektor. Skalar hana memiliki satu komponen, sedangkan vektor memiliki tiga komponen. Vektor digunakan untuk menentukan arah gerak partikel dalam garis (satu dimensi), bidang (dua dimensi) dan ruang (tiga dimensi). Sebuah vektor direpresentasikan secara analitis menggunakan notasi vektor satuan...1 Komponen-komponen sebuah vektor dalam dua dimensi Gambar.1 : Simbol sebuah vektor Sebuah vektor terletak pada bidang seperti pada Gambar... Vektor membentuk sudut terhadap sumbu positif. Vektor dapat diuraikan menjadi komponen komponen pada sumbu. pada sumbu dan
Komponen-komponen vektor diperoleh dengan menggunakan aturan trigonometri. cos cos (.1) sin sin (.) esar vektor diperoleh menggunakan teorema Phtagoras. rah vektor terhadap sumbu positif : tan (.4) Gambar.: Komponen-komponen vektor dalam dua dimensi Contoh.1 : Tentukan komponen vektor kecepatan v1 dan v dalam arah sumbu dan sumbu! esar kecepatan v 1 dan v berturut-turut adalah 0 m/s dan 10 m/s. (.3) v v 1 37 0 30 0 Komponen vektor kecepatan v 1: 0 1 1, v1 v cos30 0 3 m s 10 3 m s 0 1 1, v1 v sin30 0 m s 10 m s Komponen vektor kecepatan v : 0 3, v 5 v sin37 10 m s 6 m s
0 4, v 5 v cos37 10 m s 8m s.. Komponen-konponen sebuah vektor dalam tiga dimensi Sebuah vektor terletak dalam ruang kartesian seperti pada Gambar.3. Vektor membentuk sudut α terhadap sumbu positif, sudut β terhadap positif, dan sudut γ terhadap sumbu z positif. Vektor dapat diuraikan menjadi komponen komponen z pada sumbu z. z pada sumbu, komponen pada sumbu, dan z Gambar.3: Komponen-komponen vektor dalam tiga dimensi Komponen-komponen vektor : cos cos (.5) cos cos (.6) z cos z cos (.7) esar vektor : z (.8) rah vektor terhadap sumbu positif : z tan (.9) rah vektor terhadap sumbu positif : z tan (.10) rah vektor terhadap sumbu positif :
tan z (.11) Sudut α, β dan γ disebut sudut cosinus arah. Hubungan antara α, β dan γ : cos cos cos 1 (.1)..3 Vektor satuan Vektor satuan adalah vektor bernilai satu satuan. Simbol vektor satuan adalah sebuah topi (^). Vektor satuan adalah  (dibaca topi). Vektor satuan adalah perbandingan vektor dengan besarna. Â= (.13) Vektor satuan tidak memiliki satuan. Vektor satuan  menunjukkan arah vektor. Koordinat kartesian memiliki tiga vektor satuan iˆˆdan, j kˆ saling tegak lurus. î atau ˆ : vektor satuan searah sumbu ĵ atau ŷ : vektor satuan searah sumbu ˆk atau ẑ : vektor satuan searah sumbu z z z î ĵ i ˆ i k j kˆ z ˆj Sebuah vektor dapat direpresentasikan menggunakan vektor-vektor satuan sistem koordinat. Vektor dalam dua dimensi : iˆ ˆj atau cosˆ sinˆ (.14) dengan besar vektor : (.15) Vektor dalam tiga dimensi : iˆ ˆj kˆ cos iˆ cos iˆ cos kˆ (.16) z Gambar.4: Vektor satuan dalam koordinat kartesian
dan besar vektor : z (.17) Vektor posisi adalah vektor berasal dari titik asal 0,0,0. Vektor posisi iˆ ˆj kˆ dapat dituliskan dalam bentuk titik,, z z. Vektor nol disimbolkan dengan 0 atau 0. Semua komponen vektor nol sama dengan nol. Jadi, panjang vektor nol sama dengan nol. Contoh. : Sebuah objek dilempar dengan kecepatan 10 m/s membentuk sudut 60 0 terhadap sumbu positif. Tuliskanlah kecepatan awal benda dalam vektor satuan î dan ĵ. v 0 60 0 Komponen vektor kecepatan objek searah sumbu dan searah sumbu : v v 0 0, 0 cos 10cos60 5m s v v 0 0, 0 sin 10sin 60 5 3 m s Vektor kecepatan awal objek dalam vektor satuan î dan ĵ : v v iˆ v ˆj 5iˆ 5 3 ˆj m s 0 0, 0, Contoh.3 : Sebuah partikel memiliki vektor posisi r ( iˆ ˆj kˆ ) m. Tentukanlah vektor satuan dari vektor r. esar vektor r : z r r r r 1 3m Vektor satuan dari vektor r : r 1 ˆ ˆ rˆ i j k ˆ r 3 3 3.3 Penjumlahan vektor Operasi dasar vektor meliputi penjumlahan, pengurangan, kesamaan dan perkalian vektor. Kita terlebih dahulu membahas penjumlahan dua buah vektor. Operasi vektor sangat banak digunakan dalam persamaan fisika. Kita akan menelesaikan opersi vektor dengan cara geometri dan metode analitik (aljabar)..3.1 Penjumlahan vektor cara grafis
Penjumlahan vektor cara grafis berarti tidak menggunakan sistem koordinat. Dua buah vektor dan, ditunjukkan oleh Gambar.7. Gambar.5 : Vektor dan Jumlah vektor dan disebut resultan vektor, simbolna R : R= + (.18) Jumlah besar vektor dan tidak sama dengan besar vektor R. R + (.19) Cara grafis dibagi menjadi dua aturan, aitu metode segitiga dan aturan jajargenjang. a. Metode segitiga (metode poligon) Lihat kembali Gambar.5. Untuk menghitung resultan vektor dan, pertama hubungkan titik tangkap vektor ke titik arah vektor. Resultan vektor diperoleh dengan menggambarkan sebuah vektor menghubungkan titik tangkap vektor ke titik arah vektor, seperti ditunjukkan pada Gambar.6. R Gambar.6 : Metode segitiga Misalkan adalah sudut ang dibentuk oleh vektor dan. Nilai resultan vektor diperoleh menggunakan hukum kosinus. esar resultan vektor : 0 R + cos(180 - ) 180 Gambar.7 : Resultan vektor metode segitiga R + cos (.0) R Catatan :
Jika sejajar ( = 0), maka R = + Jika tegak lurus ( = 90 0 ), maka R Jika berlawanan dengan ( = 180 0 ), maka R Rentang nilai resultan vektor dan adalah R Untuk menghitung resultan lebih dari dua vektor dapat diselesaikan dengan cara menelesaikan dua vektor terlebih dahulu. Kemudian resultan dua vektor dijumlahkan dengan vektor la inna, demikian seterusna sehingga diperoleh resultan vektor total. Gambar vektor resultan dari tiga atau lebih vektor dapat langsung diperoleh dengan mengikuti aturan penjumlahan metode segitiga sering disebut metode poligon. Misalkan terdapat tiga buah vektor seperti pada Gambar.8a, maka vektor resultanna ditunjukkan oleh Gambar.8b. C R C (a) (b) Penjumlahan vektor memiliki beberapa sifat penting. Sifat-sifat penjumlahan vektor : Pertama, penjumlahan vektor memiliki sifat komutatif. (.1) Kedua, penjumlahan vektor memiliki sifat asosiatif. C C (.) Ketiga, pengurangan vektor adalah bentuk khusus dari perjumlahan vektor. C - - Gbr..8 : (a) Vektor,danC. (b) Resultan tiga buah vektor (.3) - Gambar.9 : Pengurangan vektor esar pengurangan vektor dan : - cos (.4) Contoh.4 : Dua buah gaa F1 dan F memiliki besar berturut-turut adalah 80 N dan 60 N bekerja pada sebuah balok. Tentukan nilai resultan gaa ang dialami oleh balok jika sudut antara kedua vektor adalah sama dengan 0 0, 60 0,90 0 dan 180 0.
F 1 F Diketahui bahwa F 1 = 80 N dan F = 60 N. Rumus resultan vektor : 1 1 1 F F F = F F F F cos R Jika = 0 0, maka F F F = F F 140 N R 1 1 Jika = 60 0, maka 0 1 1 1 F F F = F F F F cos60 11,7 N R Jika = 90 0, maka 1 1 F F F = F F 100 N R Jika = 180 0, maka F F F = F F 0 N R 1 1 b. Metode jajargenjang Lihat kembali Gambar.5. Untuk mendapatkan resultan vektor dan dengan metode jajargenjang, pertama hubungkan titik tangkap vektor dan titik tangkap vektor. Resultan vektor ditunjukkan pada Gambar.10. R Gambar.10: Metode jajargenjang Misalkan adalah sudut ang dibentuk oleh vektor dan. Nilai resultan vektor diperoleh menggunakan hukum kosinus. O R 180 Q P Gambar.11: Resultan vektor metode jajargenjang esar resultan vektor : 0 R + cos(180 -) R cos (.5)
Sudut adalah sudut ang dibentuk oleh vektor dan vektor R. Sudut adalah sudut ang dibentuk oleh vektor dan vektor R. Nilai sudut dan ditemukan menggunakan hukum sinus. R sin180 sin sin (.6) Contoh.5 : Sebuah beban beratna w = 00 N digantungkan menggunakan tali seperti ditunjukkan pada gambar. eban dalam keadaan setimbang seperti pada gambar. Tentukanlah tegangan tali T 1 dan T menggunakan aturan sinus. T 1 30 0 T w = 300 N Kita dapat menggambarkan hubungan vektor T 1, T dan w memenuhi hubungan T 30 0 60 0 90 0 w esar tegangan tali T 1 dan T diperoleh dengan menggunakan hukum sinus. 0 T1 sin60 0 0 1 0 w T w 00 3 N sin30 sin60 sin30 0 T sin90 0 0 1 0 w T w 400 N sin30 sin90 sin30.3. Penjumlahan vektor cara analitis Penjumlahan dua vektor cara analitis adalah penjumlahan komponen-komponen kedua vektor pada sumbu ang sama. Penjumlahan dua vektor diberikan oleh ˆ ˆ ˆ i j k (.7) Pengurangan vektor dan diartikan sebagai penjumlahan vektor dan -. ( ) ˆ ˆ ˆ i j k (.8) Dua buah vektor F 1 dan F diberikan dalam grafis. Cara menjumlahkan vektor dengan metode analitis, aitu : Uraikan komponen vektor dalam komponen-komponen skalarna. Jumlahkan semua komponen vektor pada sumbu ang sama. R F1 F F (.9) R F F F (.30) 1 T 1
esar vektor resultan R : R R R Sudut ang dibentuk oleh resultan vektor R terhadap sumbu positif : R tan R (.31) (.3) Cara analitis lebih mudah menelesaikan perhitungan resultan vektor dibandingkan cara grafis untuk kasus lebih dari dua vektor Contoh.6 : Tentukan besar resultan dari tiga buah vektor gaa pada gambar di bawah ini! 10 3 N 10 N 60 0 30 0 5 N Misalkan F 1 = 10 N, F = 10 dan sumbu, kita peroleh 0 0 1 3 1 3 N, dan F 3 = 10 N. Uraikan masing-masing vektor gaa pada sumbu F F F F F cos30 F cos60 5 3 5 3 0 0 0 1 3 1 F F F F F sin 30 F sin 60 5 5 15 5 15 esar resultan vektor gaa : R F F 15 0 15 N Contoh.7 : Diketahui dua buah vektor r ˆ ˆ ˆ 1 3i j k m r ˆ ˆ 3i 4k m Tentukan : a. besar vektor r 1 dan r r r b. 1 r r c. 1 r 3r d. 1 a. esar vektor r 1 adalah r1 3 1 14 m
esar vektor r adalah r1 3 4 5 m r r 3iˆ ˆj kˆ 3iˆ 4kˆ 3 3 iˆ ˆj 4 kˆ 6iˆ ˆj 6kˆ b. 1 r r 3iˆ ˆj kˆ 3iˆ 4kˆ 33 iˆ ˆj 4 kˆ ˆj kˆ c. 1 r 3r 3iˆ ˆj kˆ 3 3iˆ 4kˆ 6iˆ ˆj 4kˆ 9iˆ 1kˆ 15iˆ ˆj 16kˆ d. 1.4 Kesamaan vektor Dua vektor dikatakan sama hana jika nilai dan arah dua vektor tersebut sama. Secara grafis, dua vektor sama hana jika kedua vektor sejajar dengan arah dan panjangna sama, tetapi tidak membutuhkan posisi ang sama, lihat Gambar.1a. Secara analitis, dua vektor sama ketika nilai komponen-komponen kedua vektor sama. Kesamaan vektor dan dituliskan dalam bentuk (.33) atau iˆ ˆj kˆ ˆ ˆ zˆ (.34) z z atau (.35) z z Satuan vektor dan juga harus sama. Sebuah vektor tetap sama jika dipindahkan ke posisi ang lain asalkan tidak mengubah nilai dan arah vektor tersebut. Vektor dikatakan berlawanan dengan vektor, seperti pada Gambar.1b. Dua vektor dikatakan berlawanan jika kedua vektor memiliki nilai ang sama tetapi arahna berlawanan. = 5cm = 5cm (a) (b) Gambar.1 : (a) Kesamaan vektor dan (b) Vektor berlawanan dengan.5 Perkalian vektor.5.1 Perkalian vektor dengan skalar Jika k adalah skalar (konstanta) dan adalah sebuah vektor, maka k k iˆ ˆj kˆ k iˆ k ˆj k kˆ z z (.36)
Perkalian vektor dan skalar k akan menghasilkan vektor ang baru, aitu k. Konstanta k akan mempengaruhi besar dan arah vektor. Jika k konstanta positif, maka vektor ang baru searah dengan vektor. Jika k konstanta negatif, maka arah vektor ang baru berlawanan dengan arah vektor. Misalkan kita ambil nilai konstanta k = -1,, 1/, -, dan -1/, hasil perkalian ditunjukkan oleh Gambar.6. Jika k = -1, maka arah vektor berlawanan dengan vektor. Contoh perkalian vektor dan skalar adalah bentuk hukum kedua Newton, F ma. - - 1 1 Gambar.13: Perkalian vektor dengan skalar k =-1,, 1/, -, dan -1/.5. Perkalian vektor dengan vektor Perkalian vektor dengan vektor merupakan operasi vektor ang sangat banak digunakan dalam mekanika. da dua macam perkalian dua vektor, aitu perkalian titik (perkalian skalar atau dot product) dan perkalian vektor (perkalian silang atau cross product). a. Perkalian titik Perkalian titik dua buah vektor adalah perkalian antara dua besar vektor dikalikan dengan kosinus sudut ang dibentuk oleh kedua vektor. cos (.37) dimana sudut ang dibentuk oleh vektor dan. Cara membaca adalah dot. Hasil perkalian titik adalah skalar, ang dapat bernilai positif 0 90 0 atau negatif 90 0 180 0. Jika = 0 (vektor searah dengan vektor ), maka. Jika = 90 (vektor tegak lurus dengan vektor ), maka 0. Jika = 180 (vektor berlawanan arah dengan vektor ),, maka. Secara grafis, perkalian titik adalah proeksi vektor ke vektor atau proeksi vektor ke vektor. cos cos cos (.38)
cos cos (a) (b) Hasil perkalian titik dua vektor ang saling tegak lurus sama dengan nol. Jika vektor tegak lurus, maka vektor dikatakan ortogonal terhadap vektor. Vektor satuan ortogonal. Perkalian dot antara vektor satuan koordinat kartesian mengikuti aturan : iˆ iˆ ˆj ˆ= j kˆ kˆ= 1 1 cos0 1 0 iˆ ˆj ˆj kˆ= iˆ kˆ= 11 cos90 0 Jika vektor dan diberikan oleh, iˆ ˆj kˆ z iˆ ˆj kˆ z maka perkalian titik vektor dan adalah iˆ ˆj kˆ iˆ ˆj kˆ Jadi, z z iˆ iˆ iˆ ˆj iˆ kˆ ˆj iˆ ˆj ˆj ˆj kˆ z z kˆ iˆ kˆ ˆj kˆ kˆ z z z z iˆˆdan, j kˆ saling (.39) (.40) zz (.41) Kita juga dapat menuliskan bahwa z (.4) atau Kosinus sudut ang dibentuk oleh dua vektor : zz cos Catatan : Gambar.14 : (a) Dua vektor dan membentuk sudut z z (b) Proeksi vektor dan 1 1 (.43) (.44) 1. Hukum komutatif. C C Hukum distributif 3. k k k k dimana k adalah skalar 4. iˆ iˆ ˆj ˆj = kˆ kˆ = 1, iˆ ˆj ˆj kˆ = iˆ kˆ 0 5. zz
6. 0 dimana dan adalah bukan vektor nol, maka dan tegak lurus 7. plikasi perkalian skalar dalam fisika : 1. Usaha plikasi perkalian dot adalah konsep usaha. Usaha ang dilakukan oleh gaa konstan F bekerja pada benda ang mengalami perpindahan d diberikan oleh W F d Fd cos (.45) dimana adalah sudut ang dibentuk vektor gaa dan perpindahan benda. Usaha adalah perkalian besar gaa dan perpindahan dikali kosinus sudut ang dibentuk oleh gaa dan perpindahan. F Gb r..15 : Kerja adalah perkalian titik antara gaa dan perpindahan. Energi kinetik Energi kinetik sebanding dengan kuadrat kelajuan benda. 1 1 Ek mv v mv (.46) Contoh.8 : Jika iˆ ˆj kˆ dan 6iˆ 3ˆj kˆ, hitunglah dan sudut antara vektor dan. Menghitung nilai : iˆ ˆj kˆ 6iˆ 3 ˆj kˆ ()(6) ()( 3) ( 1)() 1 6 4 1 3 6 3 7 Menghitung sudut antara vektor dan : cos 4 4 cos (3)(7) 1 4 cos 79 1 Contoh.9 : 1 0
Tentukanlah nilai a agar vektor a i j k tegak lurus dengan vektor i j 3k. dan tegak lurus hana jika 0. Jadi, ( a)(1) (1)() ( 1)( 3) a 3 0 a = - 5 Contoh.10 : Hitunglah usaha ang dilakukan gaa F i j k perpindahan r 5i j 4k m. N pada benda ang memiliki vektor Usaha = F r i j k i j k 5 4 10 1 8 19 joule. b. Perkalian Silang esar hasil perkalian silang dua vektor adalah perkalian antara dua besar vektor dan kemudian dikalikan dengan sinus sudut ang dibentuk oleh kedua vektor. Perkalian silang dua vektor menghasilkan vektor. C dan C sin (.47) dimana adalah sudut antara vektor dan. dibaca cross. Jika = 0 (vektor searah dengan vektor ), maka 0. Jika = 90 (vektor tegak lurus dengan vektor ), maka. Jika = 180 (vektor berlawanan arah dengan vektor ),maka 0. Jika besar sudut ang dibentuk oleh dua vektor adalah 0 0 0 dan180 (dua vektor sejajar dan berlawanan arah), maka hasil perkalian vektor sama dengan nol. Nilai perkalian silang C maksimum ketika vektor dan tegak lurus. Perkalian silang antara dan menghasilkan vektor C. Vektor C tegak lurus dengan bidang ang dibentuk oleh vektor dan, artina vektor C juga tegak lurus dengan vektor dan. rah vektor hasil perkalian silang ditentukan menggunakan aturan tangan kanan. Keempat jari tangan kanan diputar dari vektor ke vektor. Jempol akan menunjukkan arah vektor C.
C= C= Lihat Gambar.16, perkalian silang memiliki sifat antikomutatif. (.48) turan perkalian silang dalam vektor satuan koordinat kartesian: iˆ iˆ ˆj ˆj = kˆ kˆ= 0 (.49) iˆ ˆj kˆ, ˆj kˆ = iˆ, kˆ iˆ ˆj (.50) ˆj iˆ kˆ, kˆ ˆj = iˆ, iˆ kˆ ˆj (.51) Jika ada dua buah vektor dan, iˆ ˆj kˆ z iˆ ˆj kˆ z maka perkalian silang dan adalah iˆ ˆj kˆ iˆ ˆj kˆ z z iˆ iˆ iˆ ˆj iˆ kˆ ˆj iˆ ˆj ˆj ˆj kˆ z z kˆ iˆ kˆ ˆj kˆ kˆ z z z z Kita menederhanakan persamaan di atas menjadi : i ˆ ˆ j k (.5) ˆ z z z z Hasil perkalian silang juga dapat ditentukan menggunakan metode determinan. iˆ ˆj kˆ z ˆ z ˆ ˆ z i j k (.53) z z z Untuk menentukan sumbu positif, sumbu positif, dan sumbu z positif dalam koordinat kartesian digunakan aturan perkalian silang iˆ ˆj kˆ. Vektor satuanî searah sumbu positif, vektor satuan ĵ searah sumbu positif dan vektor satuan ˆk searah sumbu z positif. Catatan : Gambar.16 : turan tangan kanan pada perkalian silang 1. Tidak memenuhi hukum komutatif
. C C Hukum distributif 3. k k k k dimana k adalah skalar 4. iˆ iˆ ˆj ˆj = kˆ kˆ = 0, iˆ ˆj kˆ, ˆj kˆ = iˆ, iˆ kˆ ˆj 5. i ˆ ˆ j k ˆ 6. Nilai z z z z sama dengan luas jajar genjang dengan sisi dan 7. 0 dan dan adalah bukan vektor nol, maka dan sejajar. 8. 0 9. 0 dan 0 plikasi perkalian vektor dalam fisika: 1. Luas esar perkalian silang vektor sin menunjukkan luas jajargenjang ang dibentuk oleh dan, lihat Gambar.17. Jadi, luas adalah besaran vektor. cos sin. Momen gaa Perkalian komponen gaa (F) tegak lurus dengan lengan gaa dikali dengan panjang lengan gaa (r) dinamakan momen gaa. Jika gaa dan lengan gaa sejajar maka momen gaa sama dengan nol. Jika gaa dan lengan gaa tegak lurus, maka momen gaa sama dengan Fd. Jika gaa dan lengan gaa membentuk sudut, maka maka sama dengan rf sin (.54) Jadi momen merupakan perkalian silang antara lengan gaa dan gaa. rf Gambar.17 : Jajar genjang representasi dari perkalian silang (.55) F r Gbr..18 : Vektor torsi,. 3. Kecepatan tangensial
Sebuah benda bermassa m bergerak melingkar dengan kecepatan sudut terhadap kerangka acuan titik O ang diam. Titik P berjarak r dari titik O. Kecepatan tangensial v benda m di titik P adalah v r (.56) esar kecepatan tangensial : v r r sin (.57) r sin P v r 4. Momentum sudut Sebuah benda bergerak melingkar seperti pada Gambar.19. Momentum sudut benda m didefenisikan sebagai perkalian silang antara vektor posisi dan momentum linear. L r p r mv (.58) Contoh.11 : Jika iˆ 3ˆj kˆ dan iˆ 4ˆj kˆ, hitung dan luas jajargenjang ang dibentuk oleh vektor dan. Metode 1 : iˆ 3 ˆj kˆ iˆ 4 ˆj kˆ Gambar.19 : enda m bergerak melingkar iˆ iˆ 4 ˆj kˆ 3 ˆj iˆ 4 ˆj kˆ kˆ iˆ 4 ˆj kˆ iˆ iˆ 8iˆ ˆj 4iˆ kˆ 3 ˆj iˆ 1 ˆj ˆj 6 ˆj kˆ kˆ iˆ 4kˆ ˆj kˆ kˆ 0 8kˆ 4 ˆj 3kˆ 0 6iˆ ˆj 4iˆ 0 10iˆ 3 ˆj 11kˆ O Metode : iˆ ˆj kˆ 3 1 1 3 3 1 i ˆ ˆ j k ˆ 10i ˆ 3 ˆ j 11k ˆ 4 1 1 4 1 4 Luas ang dibentuk oleh vektor dan sama dengan besar vektor. Luas = 10 3 11 30 satuan
Contoh.1 : Sebuah gaa F ˆ iˆ ˆj k r ˆ i ˆ ˆj 3k m 3 4 N bekerja pada pada benda titik dengan vektor posisi. Tentukan momen gaa ang bekerja pada benda terhadap titik asal. Momen gaa ang bekerja pada benda : iˆ ˆj kˆ 4 3 4 3 r F 3 4 i ˆ ˆ j k ˆ i ˆ ˆ j k ˆ 1 3 3 1 1 3.6 Perkalian tiga buah vektor Perkalian tiga buah vektor dinamakan perkalian triple. Perkalian triple dibagi menjadi dua macam, aitu perkalian triple skalar (triple scalar product) dan perkalian triple vektor (triple vector product)..6.1 Perkalian triple skalar Perkalian triple skalar memiliki bentuk kombinasi C (.59) Perkalian triple skalar akan menghasilkan skalar. Hasil perkalian triple skalar adalah Cz zc zc Cz z C C C C C Perkalian triple skalar dapat dituliskan dalam bentuk z (.60) C (.61) z C C C z Hasil perkalian triple skalar C menunjukkan volume ruang ang dibentuk oleh vektor,dan C, seperti terlihat dalam Gambar.0.
z C Gambar.0 : Perkalian triple skalar Contoh.13 : Hitung volume ang dibentuk oleh vektor r1 iˆ 3ˆj m, r i ˆ ˆj k ˆ ˆ m, dan r 3 iˆ k iˆ ˆj kˆ 1 1 1 1 1 1 r r3 1 1 1 i ˆ ˆ j k ˆ 1i ˆ ˆ j 3k ˆ 0 1 3 1 3 0 3 0 1 r r r iˆ 3ˆj 1i ˆ ˆj 3kˆ 6 0 4m Volume = 3 1 3!.6. Perkalian triple vektor Perkalian triple vektor memiliki bentuk C (.6) Hasil perkalian triple vektor memenuhi aturan C C-C (.63) Pers.(.63), sebuah hubungan ang dikenal sebagai aturan C - C. Perkalian triple vektor menghasilkan vektor. Contoh aplikasi perkalian triple vektor adalah momentum sudut. Sebuah partikel bermassa m bergerak dengan kecepatan sudut relatif terhadap kerangka acuan ang diam O. Momentum sudut partikel m terhadap titik O, seperti ditunjukkan Gambar.19 : L r p r mv mr v (.64) Hubungan antara kecepatan tangensial v dan kecepatan sudut adalah v r. Jadi, L r p r mv mr r (.65) Kita dapat membuat analogi bahwa r, dan C r, dengan menggunakan aturan C-C, kita peroleh L mr r r r (.66) Jika kecepatan sudut tegak lurus dengan vektor posisi r, maka r 0. Kita peroleh,
L mr (.67) esar momentum sudut untuk kasus vektor posisi tegak lurus dengan kecepatan sudut : L mr mvr (.68) Contoh.14 : Diberikan tiga vektor iˆ, 3 ˆj dan C ˆj kˆ, hitunglah C. ˆ C C - C 3 ˆj ˆj k 0 6 ˆj.7 Turunan vektor Sebuah partikel bergerak dari posisi awal (lihat Gambar.1). z rt ke posisi akhir r t t dalam selang waktu t r t t r r Perpindahan partikel selang waktu t : r r t t r t (.70) Perubahan perpindahan partikel terhadap waktu t : r r t t r t t t Turunan vektor rt terhadap waktu: dr lim r r t t r t lim dt t0 t t0 t r t dalam koordinat kartesian diberikan oleh Vektor (.71) (.69) r t ti ˆ t ˆ j ztk ˆ (.7) Turunan pertama vektor rt terhadap waktu : dr d iˆ d ˆj dz kˆ (.73) dt dt dt dt Turunan kedua vektor Gambar.1 : Perubahan vektor posisi partikel rt terhadap waktu adalah
d r d iˆ d ˆj d z kˆ (.74) dt dt dt dt dr dv d r v menunjukkan kecepatan partikel dan a dt dt dt menunjukkan percepatan partikel. Catatan : Jika, dan C adalah turunan vektor bergantung waktu t dan fungsi skalar bergantung waktu t, maka d d d dt dt dt 1. + d d d dt dt dt. d d d dt dt dt 3. d d d 4. dt dt dt 5. Jika iˆ ˆj kˆ, maka d d iˆ d ˆj d kˆ 6. 7. z d d d d d d z Contoh.15 : Sebuah partikel bergerak memiliki vektor posisi r r cost iˆ r sint ˆj, dimana r dan ω adalah konstan. Tunjukkan bahwa (a) kecepatan v tegak lurus terhadap r, (b) percepatan a arahna ke titik pusat lingkaran dan memiliki nilai sebanding dengan jarak partikel dari pusat lingkaran, (c) rv vektor konstan. v a r ωt a. r r cost iˆ r sint ˆj dr v r sint iˆ r cost ˆj dt r v r cost iˆ r sint ˆj r sint iˆ r cost ˆj r cost r sint r sintr cost 0 Karena r v 0, maka r dan v tegak lurus.
d r dv a r t i r t j r t i r t j r dt dt Percepatan berlawanan dengan arah r, artina percepatan arahna menuju pusat lingkaran (titik asal koordinat). Nilaina sebanding dengan jarakna dari pusat lingkaran. r v r cost iˆ r sint ˆj r sint iˆ r cost ˆj b. cos ˆ sin ˆ cos ˆ sin ˆ c. ˆ ˆ r cos t k rsin t k r kˆ, sebuah vektor konstan Fisisna, gerak ini adalah gerak melingkar sebuah partikel dengan kecepatan sudut konstan ω. Percepatan partikel arahna menuju pusat lingkaran dikenal percepatan sentripetal..8 Soal dan pembahas 1. Dua vektor memiliki besar ang sama dengan F membentuk sudut. Jika besar resultan kedua vektor sama dengan F. Hitung nilai!. Sebuah pesawat bergerak dengan kecepatan 5 m/s ke arah Utara. Pada saat ang bersamaan, angin bertiup pada sudut 37 0 dari Utara dengan kecepatan m/s. Tentukan resultan kecepatan dan arah gerak pesawat dari arah Utara! 3. Sebuan balok bermassa 0 kg didorong oleh gaa F = 100 N membentuk sudut 30 0 terhadap sumbu vertikal, seperti ditunjukkan pada gambar. Hitung komponen gaa pada sumbu dan sumbu! F = 100 N 30 0 0 kg 4. Gaa-gaa ang bekerja pada sebuah partikel P : F 3iˆ ˆj 3kˆ N 1 F iˆ ˆj 7kˆ N F iˆ 8kˆ N 3 Tentukan vektor dan besar resultan gaa ang bekerja pada partikel P! 5. Sebuah perahu meneberangi sungai ang lebarna 90 m dan kecepatan arus sungai 4 m/s. ila perahu diarahkan menilang tegak lurus sungai dengan kecepatan 3 m/s. Tentukan resultan kecepatan perahu dan sudut ang dibentuk oleh lintasan perahu terhadap arah tegak lurus sungai! 6. Hitung nilai a agar vektor a i j k tegak lurus dengan vektor ai k! 7. Hukum Cosinus. uktikan hukum cosinus menggunakan perkalian dot! 8. Hukum Sinus. uktikan hukum sinus menggunakan perkalian silang! 9. uktikan bahwa
10. uktikan bahwa cos cos cos sin sin mengunakan perkalian dot!