PENYELESAIAN MODEL MANGSA PEMANGSA TIGA SPESIES DENGAN METODE HOMOTOPI YULI RAHMAWATI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penyelesaian Model Mangsa Pemangsa Tiga Spesies dengan Metode Homotopi adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Juli 2014 Yuli Rahmawati NIM G54100071
ABSTRAK YULI RAHMAWATI. Penyelesaian Model Mangsa Pemangsa Tiga Spesies dengan Metode Homotopi. Dibimbing oleh JAHARUDDIN SISWANDI. Dalam karya ilmiah ini, digunakan metode homotopi untuk menyelesaikan masalah taklinear dari model mangsa pemangsa tiga spesies dengan aya mangsa, pemangsa, pesaing yang didasarkan pada Paparao et al. (2013). Dalam metode ini, didefinisikan fungsi homotopi dengan penambahan beberapa parameter, salah satunya parameter yang digunakan untuk menentukan selang kekonvergenan. Penyelesaian dari masalah tersebut dituliskan dalam bentuk deret hingga order kelima. Hasil yang diperoleh dengan metode homotopi selanjutnya dibandingkan dengan penyelesaian secara numerik. Nilai merupakan nilai dengan galat yang paling kecil. Kata kunci: mangsa, pemangsa, pesaing, parameter, metode homotopi. ABSTRACT YULI RAHMAWATI. Solution of Three Species Predator Prey Models by Homotopy Method. Supervised by JAHARUDDIN and SISWANDI. In this manuscript, a homotopy method was used to solve nonlinear problem of three species predator prey model with a prey, a predator, and a competitor which is based on Paparao et al. (2013). In this method, a homotopy function is defined by adding of several parameters, one of them is parameter which is used to determine the interval of convergence. Solution of the problem is written in the form of series up to fifth order. The results obtained using the homotopy method were compared with the numerical solution. It is found that of is the value with the smallest error. Keywords: prey, predator, competitor, parameter, and homotopy method.
PENYELESAIAN MODEL MANGSA PEMANGSA TIGA SPESIES DENGAN METODE HOMOTOPI YULI RAHMAWATI Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014
Judul Skripsi : Penyelesaian Model Mangsa Pemangsa Tiga Spesies dengan Metode Homotopi Nama : Yuli Rahmawati NIM : G54100071 Disetujui oleh Dr Jaharuddin, MS Pembimbing I Drs Siswandi, MSi Pembimbing II Diketahui oleh Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen Tanggal Lulus:
PRAKATA Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta ala atas segala karunia-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Topik yang dipilih dalam penulisan karya ilmiah ini adalah penggunaan metode homotopi untuk kasus model mangsa pemangsa tiga spesies, dengan judul Penyelesaian Model Mangsa Pemangsa Tiga Spesies dengan Metode Homotopi. Penyusunan karya ilmiah ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam proses penyusunan karya ilmiah ini antara lain: 1. Effendi Abdul Kohar (Ayah) Linda Buchori (Ibu) selaku orangtua, Elva Gustini (kakak), Imam Riski Abdullah (adik) atas semua do a, dukungan, semangat, pengorbanan, nasihat, perhatian, kasih sayang sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. 2. Dr Jaharuddin, MS selaku dosen pembimbing pertama Drs Siswandi, MSi selaku dosen pembimbing kedua atas semua ilmu, motivasi, bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini. 3. Drs Ali Kusnanto, MSi selaku dosen penguji atas saran kritik untuk perbaikan karya ilmiah ini. 4. Seluruh dosen Departemen Matematika yang telah memberikan ilmu kepada penulis. 5. Seluruh staf Departemen Matematika yang telah membantu dalam menyelesaikan karya ilmiah ini. 6. Keluarga besar paguyuban Bidik Misi atas dukungan bantuan selama penulis kuliah di IPB. 7. Sahabat terbaik Sabrina, Siwi, Sekar, Devi atas motivasi semangat yang selalu diberikan kepada penulis. 8. Teman-teman Math 47: Bilyan, Leny, Mira, Novia, Vina, semuanya. 9. Kakak-kakak Math 46: kak Dita, kak Windi, kak Risa atas ilmu, nasihat, motivasi, bantuan selama penulis kuliah di Departemen Matematika. 10. Serta teman-teman di Asrama Putri Dramaga. Penulis menyadari bahwa karya ilmiah ini memiliki kekurangan sehingga perlu saran kritik. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya. Bogor, Juli 2014 Yuli Rahmawati
DAFTAR ISI DAFTAR TABEL vi DAFTAR GAMBAR vi DAFTAR LAMPIRAN vi PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Karya Ilmiah 2 TINJAUAN PUSTAKA 2 Model Persamaan Mangsa Pemangsa Tiga Spesies 2 Metode Homotopi 3 HASIL DAN PEMBAHASAN 8 Analisis Metode 8 Aplikasi Metode 12 SIMPULAN 17 Simpulan 17 DAFTAR PUSTAKA 18 LAMPIRAN 19 RIWAYAT HIDUP 27
DAFTAR TABEL 1 Galat metode homotopi orde ke sepuluh masalah nilai awal (12) 8 2 Nilai parameter-parameter dari persamaan (1) 13 3 Galat metode homotopi orde ke lima dari persamaan (1) 15 DAFTAR GAMBAR 1 Kurva dari penyelesaian masalah nilai awal (12) dengan metode homotopi orde ke sepuluh 7 2 Kurva dari penyelesaian persamaan (1) dengan metode homotopi orde ke sepuluh 14 3 Penyelesaian persamaan (1) dengan metode numerik 16 DAFTAR LAMPIRAN 1 Penurunan persamaan (10) 19 2 Penurunan persamaan (32) 22 3 Tabel selisih antara penyelesaian metode homotopi metode numerik dari masalah mangsa pemangsa tiga spesies 26
PENDAHULUAN Latar Belakang Semua makhluk hidup bergantung pada makhluk hidup lain. Di samping itu, setiap individu berinteraksi dengan individu lain dalam satu spesies maupun antarspesies atau individu dalam satu populasi maupun antarpopulasi. Aya interaksi menyebabkan hubungan makan dimakan yang terjadi pada spesies tertentu, sehingga timbul persaingan di antara spesies tersebut. Persaingan adalah interaksi antara dua spesies atau lebih yang berusaha untuk mendapatkan sumber daya yang sama seperti mangsa. Dalam hal ini, interaksi antara pemangsa pesaing mengakibatkan persaingan dalam memperebutkan sumber daya sejenis seperti mangsa yang keberadaannya terbatas, sehingga terjadi persaingan interspesifik (antara dua atau lebih spesies) ataupun intraspesifik (antara anggota spesies yang sama). Contoh persaingan antara populasi kambing (pemangsa) populasi sapi (pesaing) di pag rumput (mangsa) populasi harimau (pemangsa) dengan populasi singa (pesaing) memperebutkan rusa (mangsa). Berkebalikan dengan itu, sumber daya seperti oksigen jarang mengalami kelangkaan, sehingga jarang terjadi persaingan memperebutkan oksigen. Di lingkungan yang sama, interaksi antara pemangsa pesaing yang terlibat secara langsung dalam kompetisi, dapat bersaing untuk mendapatkan mangsa. Jika salah satu dari mereka mampu bersaing dalam mendapatkan mangsa, maka spesies tersebut akan bertahan hidup, segkan yang tidak dapat bersaing dalam mendapatkan mangsa, spesies tersebut akan punah (Campbell et al. 2008). Hal ini mengakibatkan interaksi tiga spesies dengan aya populasi pesaing (competitor) dapat memengaruhi populasi mangsa (prey) populasi pemangsa (predator). Dengan demikian interaksi ini dapat diilustrasikan dalam model yang disebut model mangsa pemangsa tiga spesies. Model persamaan untuk menjelaskan interaksi tersebut dibentuk dalam persamaan diferensial taklinear. Sistem persamaan diferensial ini seringkali sulit diselesaikan secara analitik. Pada karya ilmiah ini, akan digunakan metode homotopi untuk menyelesaikan permasalahan mangsa pemangsa tiga spesies yang didasarkan pada (Paparao et al. 2013). Sebelum menyelesaikan masalah mangsa pemangsa tiga spesies, metode homotopi telah banyak digunakan peneliti untuk menyelesaikan masalah taklinear dalam big sains teknologi. Diantaranya, (Jaharuddin 2014) menggunakan metode homotopi untuk menyelesaikan masalah infeksi virus pada populasi spesies tunggal di lingkungan yang kotor, serta (Biazar Dezhpasand 2011) menggunakan metode homotopi untuk menyelesaikan masalah mangsa pemangsa secara analitik. Metode homotopi (Liao 2004) adalah metode analitik yang memiliki kemampuan dalam menyelesaikan masalah persamaan diferensial baik linear maupun taklinear. Dalam metode ini, didefinisikan suatu operator yang didasarkan pada bentuk persamaan diferensial dari masalah mangsa pemangsa tiga spesies. Selain itu, didefinisikan fungsi homotopi dengan penambahan beberapa parameter, salah satunya parameter yang merupakan paremeter bantu untuk menentukan selang kekonvergenan dari penyelesaian masalah tersebut. Penyelesaian masalah
2 mangsa pemangsa tiga spesies dengan menggunakan metode homotopi dimisalkan dalam bentuk deret. Hasil-hasil yang diperoleh dengan metode homotopi akan dibandingkan dengan hampiran penyelesaian secara numerik. Tujuan Karya Ilmiah Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan penelitian ini adalah a. Menggunakan metode homotopi untuk menyelesaikan masalah mangsa pemangsa tiga spesies membandingkan penyelesaian metode tersebut dengan hampiran penyelesaian numerik. b. Menggambarkan grafik hampiran penyelesaian numerik dari model mangsa pemangsa tiga spesies, kemudian memberikan tafsiran terhadap grafik tersebut. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan dibahas teori-teori yang digunakan dalam menyusun karya ilmiah ini. Teori-teori tersebut meliputi kajian model mangsa pemangsa tiga spesies dengan mangsa (prey), pemangsa (predator), pesaing (competitor) serta konsep dasar metode homotopi. Model Persamaan Mangsa Pemangsa Tiga Spesies Model mangsa pemangsa tiga spesies merupakan model mangsa pemangsa dengan aya pesaing yang dikelompokkan menjadi tiga populasi di antaranya, populasi mangsa, populasi pemangsa (, populasi pesaing (. Pada kasus ini, populasi mangsa, pemangsa, pesaing merupakan populasi hewan mamalia yang hidup di lingkungan yang sama. Selain itu, diasumsikan populasi pesaing mengalami penurunan yang disebabkan interaksi dengan mangsa. Berikut model mangsa pemangsa tiga spesies dalam bentuk persamaan diferensial taklinear yang didasarkan pada (Paparao et al. 2013). (1) Pada persamaan (1), banyaknya populasi mangsa ( ) dipengaruhi oleh laju pertumbuhan mangsa secara alami dalam ekor per satuan waktu ( ) yang
dihambat dengan koefisien interaksi antarspesies mangsa (, koefisien interaksi antara mangsa pemangsa ( ), serta koefisien interaksi antara mangsa pesaing (. Di samping itu, banyaknya populasi pemangsa ( ) dipengaruhi oleh laju pertumbuhan pemangsa secara alami dalam ekor per satuan waktu ( ) yang didukung karena aya koefisien keberhasilan pemangsa dalam memangsa ( ), tetapi dihambat oleh koefisien interaksi antarspesies pemangsa ( ) koefisien interaksi antara pemangsa pesaing ( ). Selanjutnya, banyaknya populasi pesaing ( ) dipengaruhi pula oleh laju pertumbuhan pesaing secara alami dalam ekor per satuan waktu ( ) yang dihambat dengan koefisien interaksi antara pesaing mangsa ( ), koefisien interaksi antara pesaing pemangsa ( ), serta koefisien interaksi antarspesies pesaing ( ). 3 Metode Homotopi Berikut ini diberikan ilustrasi konsep dasar metode homotopi didasarkan pada (Liao 2004). Misalkan diberikan persamaan diferensial taklinear (2) dengan operator taklinear fungsi yang akan ditentukan bergantung pada. Misalkan merupakan pendekatan awal dari penyelesaian persamaan (2). Selanjutnya, didefinisikan pula suatu operator linear yang memenuhi bila (3) Dengan menggunakan sebagai sebuah parameter, kemudian sebagai parameter bantu taknol fungsi bantu taknol, maka didefinisikan suatu fungsi homotopi sebagai berikut:. (4) Selanjutnya, fungsi homotopi pada persamaan (4) dibuat menjadi sama dengan nol yaitu:, sehingga perluasan metode homotopi lebih lanjut dapat dituliskan dalam bentuk persamaan deformasi orde nol sebagai berikut:, (5) dengan adalah fungsi penyelesaian yang bergantung pada parameter. Pada saat, persamaan (5) memberikan, kemudian berdasarkan persamaan (3) diperoleh, (6) pada saat, persamaan (5) memberikan, sehingga berdasarkan persamaan (2) diperoleh. (7) Berdasarkan persamaan (6) (7), peningkatan nilai dari 0 sampai 1 menyatakan perubahan secara kontinu dari pendekatan awal ke solusi eksak dari persamaan (2). Selanjutnya, konsep deret Taylor untuk fungsi terhadap parameter yang bernilai dari sampai 1 dapat diuraikan menjadi
4 dengan Kemudian berdasarkan persamaan (7) (8), fungsi konvergen saat sehingga diperoleh penyelesaian metode homotopi sebagai berikut: dengan diperoleh sebagai berikut, jika persamaan (5) diturunkan terhadap hingga kali serta mengevaluasi pada dibagi dengan maka diperoleh persamaan (10) yaitu persamaan order ke-. ( ) (10) dengan ( ) { (11) Penurunan persamaan (10) dapat dilihat pada Lampiran 1. Untuk lebih memahami metode homotopi yang telah dibahas, diberikan contoh sederhana masalah taklinear yang diperoleh dari (Rostamy et al. 2011) sebagai berikut: (12) dengan syarat awal parameter,,, bernilai 0.1. Selanjutnya, akan diselesaikan masalah taklinear (12) dengan menggunakan metode homotopi. Misalkan didefinisikan operator linear sebagai berikut: operator taklinear dengan merupakan suatu parameter, adalah suatu fungsi yang bergantung pada. Didefinisikan suatu fungsi homotopi dengan fungsi bantu sebagai berikut: (13)
( ), (14) ( ), dengan merupakan parameter bantu taknol. Selanjutnya, misalkan fungsi adalah penyelesaian dari persamaan berikut: ( ), (15) ( ).. Berdasarkan persamaan (14), persamaan (15) dapat tuliskan sebagai berikut:, (16). Dari persamaan (16), saat diperoleh persamaan sebagai berikut: sehingga berdasarkan persamaan (3) diperoleh. (17) Ketika, berdasarkan persamaan (16) diperoleh persamaan berikut:, sehingga berdasarkan persamaan (2) diperoleh. (18) Selanjutnya, konsep deret Taylor untuk fungsi terhadap parameter yang bernilai dari sampai 1 dapat diuraikan menjadi (19) dengan 5 saat Pada persamaan (19) fungsi diasumsikan konvergen sehingga diperoleh penyelesaian metode homotopi sebagai berikut:
6 Untuk menentukan persamaan dibutuhkan persamaan (16) yang diturunkan terhadap hingga kali dievaluasi pada kemudian dibagi, sehingga diperoleh ( ) (17) ( ) dengan ( ) (18) ( ) Fungsi diberikan pada persamaan (11). Berdasarkan persamaan (18) (13) diperoleh ( ) (19) ( ) Untuk penyederhanaan dipilih. Selanjutnya, persamaan (19) disubtitusikan ke persamaan (17) kedua ruas diintegralkan terhadap sehingga diperoleh ( ) (20) ( ) Karena penyelesaian pendekatan awal nilai parameter telah diberikan, maka untuk berdasarkan persamaan (20) diperoleh,. Untuk diperoleh, Jika proses dilanjutkan, maka diperoleh penyelesaian,,,
7,,, sehingga hampiran penyelesaian masalah nilai awal (12) dengan menggunakan metode homotopi adalah,. Hampiran penyelesaian dengan metode homotopi dari masalah nilai awal (12) mengandung parameter bantu. Menurut (Jaharuddin 2014) dengan menggunakan kurva, dapat ditentukan selang nilai yang sesuai untuk parameter bantu. Berdasarkan plot dari Gambar 1, dapat ditentukan selang untuk nilai yang sesuai, yakni ketika ruas-ruas garis melintang sejajar di sumbu horizontal. Gambar 1 menggambarkan kurva untuk. Dari Gambar 1, jelas bahwa nilai dapat dipilih pada selang sampai 1 untuk mendapatkan suatu penyelasaian dengan selang kekonvergenan yang lebih luas. Gambar 1 Kurva dari penyelesaian masalah nilai awal (12) dengan metode homotopi orde ke sepuluh Perbandingan penggunaan metode homotopi metode numerik diberikan pada Tabel 1. Dalam hal ini, metode Runge-Kutta digunakan untuk menentukan penyelesaian dengan metode numerik dari. Berikut ini diberikan Tabel 1 yaitu selisih antara hampiran penyelesaian dengan metode homotopi, serta hampiran penyelesaian metode numerik saat,,.
8 Tabel 1 Galat metode homotopi orde ke sepuluh masalah nilai awal (12) 0 0 0 0 0 0 0 0.1 3.87 x 10-6 2.67 x 10-5 3.90 x 10-4 4.35 x 10-6 5.44 x 10-5 2.60 x 10-3 0.2 1.75 x 10-5 7.82 x 10-4 1.10 x 10-2 1.44 x 10-5 3.87 x 10-5 1.21 x 10-2 0.3 6.35 x 10-5 4.40 x 10-3 7.91 x 10-2 5.17 x 10-5 1.34 x 10-3 9.96 x 10-3 0.4 1.71 x 10-4 1.42 x 10-2 2.78 x 10-1 1.57 x 10-4 6.95 x 10-3 5.41 x 10-2 0.5 3.60 x 10-4 3.41 x 10-2 7.05 x 10-1 3.90 x 10-4 2.12 x 10-2 2.64 x 10-1 0.6 6.29 x 10-4 6.81 x 10-2 1.47 x 10 0 8.22 x 10-4 5.03 x 10-2 7.39 x 10-1 0.7 9.32 x 10-4 1.19 x 10-1 2.67 x 10 0 1.53 x 10-3 1.01 x 10-1 1.63 x 10 0 0.8 1.16 x 10-3 1.88 x 10-1 4.41 x 10 0 2.58 x 10-3 1.83 x 10-1 3.11 x 10 0 0.9 1.12 x 10-3 2.74 x 10-1 6.74 x 10 0 4.01 x 10-3 3.03 x 10-1 5.38 x 10 0 1.0 4.89 x 10-4 3.70 x 10-1 9.67 x 10 0 5.83 x 10-3 4.70 x 10-1 8.66 x 10 0 Berdasarkan Tabel 1, rata-rata galat yang dihasilkan oleh saat sebesar 4.5 x 10-4, 9.76 x 10-2 saat, 2.37 x 10 0 ketika. Di samping itu rata-rata galat yang diperoleh ketika,, berturut-turut adalah 1.4 x 10-3, 1.03 x 10-1, 1.80 x 10 0. Hal ini memperlihatkan bahwa parameter bantu lebih bagus dibandingkan dengan, karena hampiran penyelesaian dengan metode homotopi yang dihasilkan mendekati hampiran penyelesaian dengan metode numerik. Dengan menggunakan nilai parameter bantu, penyelesaian dengan metode homotopi pada masalah nilai awal (12) menghampiri penyelesaian numeriknya. Oleh sebab itu, galat yang sangat kecil menunjukkan bahwa metode homotopi dapat menyelesaikan sistem persamaan diferensial dengan nilai awal yang diberikan. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bagian ini akan dibahas penggunaan metode homotopi untuk menyelesaikan model mangsa pemangsa tiga spesies. Hasil penyelesaian tersebut akan dibandingkan dengan penyelesaian secara numerik. Analisis Metode Selanjutnya akan dibahas perluasan dari konsep metode homotopi yang telah diuraikan di bagian tinjauan pustaka untuk menyelesaikan model mangsa pemangsa tiga spesies. Didefinisikan operator linear dari masalah nilai awal (1) sebagai berikut:
, 9 operator taklinear (21) (22),, dengan merupakan suatu parameter serta adalah fungsi yang bergantung pada. Didefinisikan suatu fungsi homotopi,, sebagai berikut: (23) dengan,, merupakan parameter bantu taknol ),, merupakan fungsi bantu taknol. Misalkan fungsi,, masing-masing adalah penyelesaian dari persamaan berikut:, (24),. Berdasarkan persamaan (23), persamaan (24) dapat dituliskan sebagai berikut:, (25),. Berdasarkan persamaan (25), untuk diperoleh
10,,, (26) yang masing-masing merupakan pendekatan awal dari,,. Selanjutnya, ketika diperoleh,,. (27) Berikut ini diberikan deret Taylor untuk fungsi, terhadap parameter yang bernilai dari sampai 1. dengan (28) Berdasarkan persamaan (27),,, diasumsikan konvergen pada sehingga penyelesaiannya sebagai berikut: Hasil ini menunjukkan aya hubungan antara penyelesaian eksak dari masalah nilai awal (1) pendekatan awal,, serta,, untuk yang akan ditentukan. Bentuk,, ditentukan sebagai berikut. Jika persamaan (25) diturunkan terhadap hingga kali, kemudian dievaluasi pada dibagi, maka diperoleh persamaan orde ke- sebagai berikut: ( ) (29)
11 dengan ( ) (30) ( ) ( ) (31) ( ) ( ) Jika persamaan (22) disubstitusikan ke persamaan (31), maka diperoleh bentuk,, sebagai berikut: ( ) ( ) (32) ( ) Penurunan persamaan (32) diberikan pada lampiran 2, segkan fungsi diberikan pada persamaan (11). Misalkan penyelesaian pendekatan awal,, dengan,, merupakan suatu konstanta bernilai positif. Jika persamaan (32) disubstitusikan ke persamaan (30) dengan,, pada persamaan (21), dengan kedua ruas pada persamaan (30) diintegralkan terhadap, serta memilih parameter bantu, fungsi bantu, maka untuk diperoleh
12 [ ( ) ] (33) [ ( ) ] [ ( ) ] dengan untuk setiap 1, 2, 3. Jadi, hampiran penyelesaian masalah nilai awal (1) dengan metode homotopi hingga orde ke lima dinyatakan dalam persamaan sebagai berikut:,,. Aplikasi Metode Pada bagian ini, metode homotopi akan diaplikasikan dengan memasukkan nilai awal untuk populasi mangsa, pemangsa, pesaing serta nilai parameterparameter yang terdapat pada model mangsa pemangsa tiga spesies. Berikut diberikan Tabel 2 yang memuat nilai parameter-parameter tersebut.
Tabel 2 Nilai parameter-parameter dari persamaan (1) Parameter Keterangan Nilai Laju pertumbuhan mangsa secara alami (ekor per satuan 1.00 waktu) Laju pertumbuhan pemangsa secara alami (ekor per satuan 1.00 waktu) Laju pertumbuhan pesaing secara alami (ekor per satuan 0.667 waktu) Koefisien interaksi antarspesies mangsa 0.02 Koefisien interaksi antara mangsa dengan pemangsa 0.01 Koefisien interaksi antara mangsa dengan pesaing 0.01 Koefisien keberhasilan pemangsa dalam memangsa 0.01 Koefisien interaksi antarspesies pemangsa 0.02 Koefisien interaksi antara pemangsa dengan pesaing 0.01 Koefisien interaksi antara pesaing dengan mangsa 0.01 Koefisien interaksi antara pesaing dengan pemangsa 0.02 Koefisien interaksi antarspesies pesaing 0.02 Banyaknya populasi mangsa, pemangsa, pesaing saat yang diperoleh dari (Biazar Dezhpasand 2011) berturut-turut adalah 20, 15, 10 dalam satuan ratus ekor. Data tersebut dapat ditulis dengan notasi sebagai berikut:. Berdasarkan persamaan (33), untuk diperoleh, 13 Untuk, diperoleh,., Untuk, diperoleh,.,,.
14 Jadi, berdasarkan metode homotopi diperoleh hampiran penyelesaian model mangsa pemangsa tiga spesies sampai orde ke lima sebagai berikut:,,. Karena parameter bantu masih terdapat di penyelesaian metode homotopi dari masalah mangsa pemangsa tiga spesies, maka berdasarkan Gambar 2 selang nilai untuk parameter bantu ditentukan dari ruas-ruas garis turunan kedua hampiran penyelesaian metode homotopi orde ke sepuluh untuk,, saat. Ruas-ruas garis tersebut melintang sejajar di sumbu horizontal. Sehingga, nilai untuk parameter bantu dapat dipilih pada selang sampai 1. Gambar 2 Kurva dari penyelesaian persamaan (1) dengan metode homotopi orde ke sepuluh Untuk membandingkan hasil yang diperoleh dengan hampiran penyelesaian numerik, berikut ini diberikan Tabel 3 yaitu selisih antara hampiran penyelesaian metode homotopi untuk populasi mangsa, populasi pemangsa, serta populasi pesaing hampiran penyelesaian metode numerik untuk populasi mangsa, populasi pemangsa, serta populasi pesaing ) saat.
15 Tabel 3 Galat metode homotopi orde ke lima dari persamaan (1) 0 0 0 0 0 0 0 0.1 6.90 x 10-3 5.20 x 10-3 1.28 x 10-2 2.29 x 10-2 6.25 x 10-4 1.29 x 10-2 0.2 1.33 x 10-2 1.28 x 10-2 2.57 x 10-2 3.80 x 10-2 1.64 x 10-3 4.15 x 10-2 0.3 1.94 x 10-2 1.06 x 10-1 3.70 x 10-2 4.15 x 10-2 2.67 x 10-3 6.64 x 10-2 0.4 2.55 x 10-2 3.26 x 10-1 4.54 x 10-2 3.07 x 10-1 3.23 x 10-3 6.32 x 10-2 0.5 3.16 x 10-2 7.26 x 10-1 4.95 x 10-2 8.54 x 10-1 2.74 x 10-3 3.76 x 10-3 0.6 3.78 x 10-2 1.35 x 10 0 4.84 x 10-2 1.77 x 10-0 6.08 x 10-4 1.44 x 10-1 0.7 4.41 x 10-2 2.26 x 10 0 4.23 x 10-2 3.14 x 10 0 3.73 x 10-3 4.15 x 10-1 0.8 5.03 x 10-2 3.48 x 10 0 3.22 x 10-2 5.05 x 10 0 1.07 x 10-2 8.48 x 10-1 0.9 5.57 x 10-2 5.06 x 10 0 2.10 x 10-2 7.56 x 10 0 2.07 x 10-2 1.48 x 10 0 1.0 5.93 x 10-2 7.03 x 10 0 1.36 x 10-2 10.71 x 10 0 3.37 x 10-2 2.35 x 10 0 Berdasarkan Tabel 3, rata-rata galat yang dihasilkan dengan menggunakan metode homotopi untuk populasi mangsa, pemangsa, pesaing masing-masing saat sebesar 3.13 X 10-2, 2.98 X 10-2, 7.32 X 10-3, serta saat sebesar 1.85 X 10 0, 2.68 X 10 0, 4.93 X 10-1. Tabel 3 memperlihatkan bahwa metode homotopi memiliki penyelesaian yang menghampiri penyelesaian numeriknya. Selisih galat yang dihasilkan oleh metode homotopi pada beberapa selang cukup kecil. Galat yang dihasilkan oleh metode homotopi ketika lebih kecil dibandingkan dengan, serta lebih kecil di antara selang nilai lainnya. Hal tersebut dapat dilihat pada lampiran 3. Oleh sebab itu, nilai parameter bantu yang dipilih dalam karya ilmiah ini adalah. Dengan nilai galat yang kecil, hal ini berarti metode homotopi dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah mangsa pemangsa tiga spesies. Berikut ini diberikan Gambar 3 merupakan hampiran penyelesaian dengan metode numerik dari persamaan (1). Gambar 3 menggambarkan grafik penyelesaian untuk,,.
16 Gambar 3 Penyelesaian dari persamaan (1) dengan metode numerik Berdasarkan Gambar 3, diperoleh bahwa semakin besar nilai pada selang 0 sampai 1 dalam satuan waktu, populasi mangsa pemangsa semakin meningkat. Berbanding terbalik dengan populasi pesaing yang terus menurun dari awal waktu. Selain itu, populasi mangsa mengalami penurunan pada selang 1 sampai 5 dalam satuan waktu. Hal demikian disebabkan interaksi antara mangsa dengan pemangsa yang tidak terkontrol pertumbuhan mangsa yang cukup lambat. Gambar 3 memperlihatkan bahwa ketiga populasi memiliki waktu kestabilan yang sama yaitu dimulai ketika. Populasi mangsa stabil untuk waktu yang sangat lama saat banyaknya populasi pemangsa mendekati 2.000 ekor, segkan populasi pemangsa stabil untuk waktu yang sangat lama saat banyaknya populasi tersebut mendekati 6.000 ekor. Disamping itu, berdasarkan Gambar 3 populasi pesaing stabil untuk waktu yang sangat lama saat populasi tersebut mengalami kepunahan. Dengan demikian, banyaknya populasi pemangsa lebih besar dibandingkan dengan populasi mangsa bahkan jika dibandingkan dengan populasi pesaing, banyaknya populasi pemangsa jauh lebih besar. Hal ini menunjukkan bahwa pemangsa berhasil dalam menghadapi suatu persaingan dalam memperebutkan mangsa, sehingga dapat mempertahankan kelangsungan hidupnya mengalami peningkatan jumlah populasi yang sangat pesat. Berkebalikan dengan itu, populasi pesaing tidak mampu bersaing dengan populasi pemangsa dalam memperebutkan mangsa. Hal ini mengakibatkan untuk waktu yang sangat lama populasi pesaing menjadi punah. Dengan demikian, fenomena tersebut membuktikan bahwa dua spesies atau lebih yang memiliki kemampuan untuk memperebutkan mangsa yang sama, tidak dapat berada di lingkungan yang sama pula.
17 SIMPULAN Simpulan Model mangsa pemangsa tiga spesies dengan aya pesaing ( ) bagi mangsa ( ) pemangsa ( ) merupakan model yang membentuk persamaan diferensial taklinear. Dalam penelitian ini, metode homotopi digunakan untuk menyelesaikan masalah mangsa pemangsa tiga spesies. Metode homotopi adalah suatu metode pendekatan analitik untuk menyelesaikan masalah linear maupun taklinear. Berdasarkan nilai parameter bantu nilai awal yang diberikan, metode homotopi memiliki penyelesaian yang menghampiri penyelesaian numeriknya. Pada fungsi homotopi, parameter bantu ditentukan berdasarkan himpitan grafik turunan kedua dari penyelesaian metode homotopi hingga orde ke sepuluh saat, hal ini bertujuan agar fungsi homotopi menuju suatu titik penyelesaian. Oleh sebab itu, penulis memilih untuk menyelesaikan permasalahan dalam karya ilmiah ini. Selisih galat yang dihasilkan antara penyelesaian metode homotopi orde ke lima, penyelesaian metode numerik saat pada beberapa selang waktu cukup kecil. Berbanding terbalik dengan selisih galat yang dihasilkan antara penyelesaian metode homotopi orde ke lima, penyelesaian metode numerik saat yang cukup besar. Berdasarkan penelitian tersebut, penulis memilih nilai parameter bantu untuk mengontrol titik penyelesaian dari masalah mangsa pemangsa tiga spesies. Pada grafik penyelesaian numerik masalah mangsa pemangsa tiga spesies, populasi pemangsa lebih mendominasi dibandingkan dengan populasi mangsa populasi pesaing untuk waktu yang cukup lama. Hal ini disebabkan pemangsa memiliki keunggulan dalam persaingan memperebutkan mangsa. Disamping itu, ketidakmampuan populasi pesaing dalam bersaing memperebutkan mangsa, mengakibatkan populasi tersebut mengalami kepunahan.
18 DAFTAR PUSTAKA Biazar J, Dezhpasand S E. 2011. HAM for Solution of the Prey and Predator Problem. International Journal of Nonlinear Science. 11(1):68-73. Campbell N A, Reece J B, Urry L A, Cain M L, Wasserman S A, Minorsky P V, Jackson R B. 2008. Biologi. Edisi Kedelapan. Jilid 3. Wulandari D T, penerjemah. Hari W, Adhika P, editor. Jakarta: Penerbit Erlangga. Terjemahan dari: Biology. Eighth Edition. Jaharuddin. 2014. A Single Species Population Model in Polluted Environment Solved by Homotopy Analysis Method. Applied Mathematical Sciences. 8(20):951-961. Liao, S.J. 2004. Beyond Perturbation: Introduction to the Homotopy Analysis Method. Boca Raton, New York. Paparao A.V, Lakshmi N.K, Shahnaz B. 2013. Computation of Three Species Ecological Model By Homotopy Analysis Method. International Journal of Advanced Research in Computer Science and Software Engineering. 2(6):333-339. Rostamy D, Zabihi F, Karimi K. 2011. The Application of Homotopy Analysis Method for Solving the Prey and Predator Problem. Applied Mathematical Sciences. 5(13):639-650.
19 Lampiran 1 Penurunan persamaan (10) Tinjau persamaan deformasi order nol sebagai berikut: atau Selanjutnya, persamaan tersebut diturunkan terhadap hingga kali. Turunan pertama { } { } { } { } { } { } { } { } sehingga diperoleh Turunan ke-dua { } { }
20 { } { } { } { } { } [ ] [ ] sehingga diperoleh [ ] Turunan ke-tiga { [ ] } { } { } sehingga diperoleh Dengan langkah yang sama, turunan ke pada saat adalah
Jika kedua ruas dari persamaan di atas dibagi dengan pada saat adalah 21 [ ] [ ] [ ] atau dengan ( ) {
22 Lampiran 2 Penurunan persamaan (32) Lihat persamaan (10) yang telah diperluas berikut: ( ) ( ) dengan ( ) ( ) ( ) ( ) Diberikan operator taklinear sebagai berikut: { Untuk ( )
23 ( ) ( ) Untuk ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ]
24 Untuk ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] sehingga dapat dibentuk penyederhanaan nilai ( ) ( ), ( ) Akibatnya
25 ( ) ( ) ( )
26 Lampiran 3 Tabel selisih antara penyelesaian metode homotopi metode numerik dari masalah mangsa pemangsa tiga spesies Untuk 0 0 0 0 0.1 2.088 x 10-2 3.957 x 10-2 1.975 x 10-3 0.2 3.922 x 10-2 8.256 x 10-2 5.727 x 10-3 0.3 5.430 x 10-2 1.276 x 10-1 1.099 x 10-2 0.4 6.556 x 10-2 1.729 x 10-1 1.739 x 10-2 0.5 7.264 x 10-2 2.164 x 10-1 2.437 x 10-2 0.6 7.538 x 10-2 2.558 x 10-1 3.129 x 10-2 0.7 7.383 x 10-2 2.887 x 10-1 3.745 x 10-2 0.8 6.818 x 10-2 3.126 x 10-1 4.208 x 10-2 0.9 5.881 x 10-2 3.258 x 10-1 4.447 x 10-2 1 4.615 x 10-2 3.266 x 10-1 4.397 x 10-2 Rata-rata: 5.227 x 10-2 1.953 x 10-1 2.361 x 10-2 Untuk 0 0 0 0 0.1 5.779 x 10-4 8.770 x 10-4 8.080 x 10-4 0.2 7.610 x 10-3 6.998 x 10-3 1.294 x 10-3 0.3 2.983 x 10-2 3.905 x 10-2 2.182 x 10-3 0.4 7.586 x 10-2 1.108 x 10-1 1.413 x 10-2 0.5 1.537 x 10-1 2.371 x 10-1 3.977 x 10-2 0.6 2.707 x 10-1 4.301 x 10-1 8.483 x 10-2 0.7 4.327 x 10-1 6.989 x 10-1 1.553 x 10-1 0.8 6.437 x 10-1 1.047 x 10-0 2.574 x 10-1 0.9 9.059 x 10-1 1.474 x 10-0 3.972 x 10-1 1 1.218 x 10 0 1.971 x 10 0 5.803 x 10-1 Rata-rata: 3.399 x 10-1 5.470 x 10-1 1.394 x 10-1
27 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Bekasi pada tanggal 3 Juli 1992 sebagai anak kedua dari tiga bersaudara, anak dari pasangan Effendi Abdul Kohar Linda Buchori. Tahun 2007 penulis lulus dari Sekolah Menengah Pertama di SMP Negeri 4 Bekasi. Pada tahun 2010 penulis lulus dari SMA Negeri 4 Bekasi pada tahun yang sama penulis lulus masuk IPB melalui jalur Ungan Seleksi Masuk IPB (USMI). Selama mengikuti perkuliahan, pada tahun 2012 penulis menjadi sekretaris di Departemen Sosial Lingkungan dalam himpunan profesi Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA). Selain itu, penulis aktif dalam kegiatan kepanitiaan di dalam departemen maupun di luar departemen. Pada tahun 2012 penulis mengikuti masa perkenalan penghuni Asrama Putri Dramaga, pada tahun 2013 penulis aktif dalam kepengurusan di asrama sebagai anggota dari divisi perlengkapan. Selain itu, di acara IPB Goes to Field Pekalongan 2013 penulis menjadi peserta dengan program Budidaya Perikanan Hasil Pengolahan.