REGRESI SPLINE BIRESPON UNTUK MEMODELKAN KADAR GULA DARAH PENDERITA DIABETES MELITUS Dhina Oktaviana P, I Nyoman Budiantara Mahasiswa Jurusan Statistika ITS Surabaya, Dosen Jurusan Statistika ITS Surabaya ABSTRAK Dalam persoalan sehari-hari sering dijumpai model regresi yang memiliki respon lebih dari satu dan pola kurva regresi (hubungannya) tidak diketahui. Misalnya pada kasus penderita Diabetes Melitus (DM). DM adalah penyakit kronis yang telah menjadi penyebab kematian terbesar keempat di dunia (Tandra, 009). Jenis DM yang paling banyak ditemukan di Indonesia adalah DM tipe (Subekti, 009), dimana pankreas masih bisa memproduksi insulin, tetapi kualitasnya buruk sehingga tidak dapat berfungsi dengan baik. Buruknya kualitas insulin, salah satunya diakibatkan oleh banyaknya kadar lemak (kolesterol dan trigliserida). Diagnosis DM dapat diketahui melalui pemeriksaan kadar gula darah (puasa dan jam pasca puasa). Berdasarkan hal tersebut, maka pendekatan Spline Birespon dapat digunakan untuk memodelkan kadar gula darah (y) dan kadar lemak (t) penderita DM tipe. Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji bentuk estimasi model Spline dalam regresi nonparametrik birespon dan menerapkannya pada data kadar gula darah penderita DM tipe yang melakukan cek kesehatan di Laboratorium X Surabaya. Dari hasil pembahasan dan analisis dapat ditentukan bentuk estimasi model Spline dalam regresi nonparametrik birespon dan model terbaik yang menjelaskan hubungan antara kadar gula darah dengan kadar lemak penderita DM tipe. Berdasarkan nilai GCV minimum, 0,00000000, model Spline birespon terbaik adalah model spline linier dengan titik knot. Dimana pola perubahan kadar gula darah puasa terjadi pada kadar kolesterol 88 mg/dl dan kadar trigliserida 36 mg/dl, sedangkan pola perubahan kadar gula darah jam pasca puasa terjadi pada kadar kolesterol 5 mg/dl dan kadar trigliserida mg/dl. Kata kunci : Regresi, Spline Birespon, Diabetes Melitus. PENDAHULUAN Analisis regresi merupakan salah satu analisis dalam statistika yang digunakan untuk menyelidiki pola hubungan fungsional antara variabel respon dan variabel prediktor (mencari bentuk estimasi kurva regresi) (Budiantara, 009). Pada umumnya terdapat dua pendekatan dalam mengestimasi kurva regresi, yaitu pendekatan parametrik dan nonparametrik (Budiantara, 005). Dalam pendekatan parametrik terdapat asumsi yang sangat kuat dan kaku yaitu bentuk kurva regresi diketahui. Berbeda dengan pendekatan parametrik, dalam regresi nonparametrik bentuk kurva regresi tidak diketahui. Pendekatan regresi nonparametrik yang cukup populer adalah Spline. Diantara model-model regresi nonparametrik, Spline merupakan model regresi yang mempunyai interpretasi statistik dan visual sangat khusus dan sangat baik. Disamping itu, kelebihan Spline adalah cenderung mencari sendiri estimasi data kemanapun pola data tersebut bergerak. Pada umumnya Spline adalah suatu estimator yang diperoleh dengan meminimumkan Penalized Least Square (PLS). Namun penyelesaian optimasi ini secara matematika relatif sulit (Budiantara, 007(a)). Untuk mengatasi hal ini maka digunakan optimasi Least Square (LS). Dengan pendekatan ini diharapkan diperoleh perhitungan matematik dan interpretasi statistik yang relatif mudah dan sederhana (Budiantara, 007(a)). Penelitian dengan menggunakan Spline telah banyak dilakukan, namun penelitian yang menyangkut estimator model Spline dalam regresi nonparametrik birespon belum banyak dikembangkan. Dalam persoalan sehari-hari sering dijumpai model regresi yang memiliki respon lebih dari satu dan pola kurva regresinya tidak diketahui. Penelitian dengan menggunakan birespon pernah dilakukan oleh Wang, Guo dan Brown (000), Ariyanto (006) dan Semiati (00). Wang, Guo dan Brown (000) dan Ariyanto (006) menggunakan smoothing Spline untuk memodelkan data hormon kortisol dan ACTH. Sedangkan Semiati (00) dengan menggunakan Deret Fourier mengaplikasikannya pada data kadar gula darah penderita Diabetes Melitus (DM). DM adalah penyakit kronis yang paling sering ditemukan pada abad dan telah menjadi penyebab kematian terbesar keempat di dunia. Tanda awal yang dapat diketahui bahwa seseorang menderita DM yaitu dilihat langsung dari efek peningkatan kadar gula darah. Klasifikasi atau jenis diabetes ada bermacam-macam, tetapi di Indonesia yang paling banyak ditemukan adalah DM tipe (Subekti, 009). Pada DM tipe, pankreas masih bisa memproduksi insulin, tetapi kualitasnya buruk sehingga tidak dapat berfungsi dengan baik. Kualitas insulin yang buruk ini salah satunya diakibatkan oleh kadar lemak.
Semakin banyak jaringan lemak, jaringan otot dan tubuh akan semakin resisten terhadap kerja insulin (Tandra, 009). Berdasarkan uraian tersebut, peneliti ingin mengkaji bentuk estimasi model Spline dalam regresi nonparametrik birespon dan menerapkannya pada data kadar gula darah penderita DM tipe.. LANDASAN TEORI Dalam bab ini diuraikan beberapa tinjauan pustaka sebagai pendukung dalam penelitian ini.. Regresi Parametrik Regresi parametrik merupakan pendekatan model regresi yang digunakan apabila bentuk kurva regresi (pola hubungan variabel respon dan variabel prediktor) diketahui. Macam-macam model regresi parametrik antara lain adalah regresi parametrik linear, kuadrat, kubik, polinomial derajat k dan lain-lain (Budiantara, 009). Model yang telah digunakan secara luas adalah model regresi polinomial. Secara umum model regresi polinomial derajat ke-k (Gujarati, 99) diberikan sebagai berikut. y i = β 0 + β x i + β x i + + β k x k i + ε i, dimana y i adalah variabel respon, x i, x i,, x k i adalah variabel prediktor, β, β,, β k merupakan parameter yang tidak diketahui dan ε i adalah error random yang independen berdistribusi N(0,σ ).. Regresi Nonparametrik Spline Regresi nonparametrik merupakan metode pendekatan regresi yang sesuai untuk pola data yang tidak diketahui bentuk kurva regresinya atau tidak terdapat informasi masa lalu yang lengkap tentang bentuk pola data (Eubank,988). Menurut Eubank (999) bentuk model regresi nonparametrik adalah sebagai berikut. y i = f(t i ) + ε i ; i =,,, n, () dengan y j adalah variabel respon sedangkan fungsi f merupakan kurva regresi yang tidak diketahui bentuknya, dan t i variabel prediktor, serta ε i diasumsikan berdistribusi N(0,σ ). Pendekatan regresi nonparametrik memiliki fleksibilitas yang tinggi, karena data diharapkan mencari sendiri bentuk estimasi kurva regresinya tanpa dipengaruhi oleh faktor subyektifitas peneliti (Eubank, 988). Spline merupakan fungsi potongan polinomial yang memiliki sifat tersegmen dan kontinu (spline polynomial truncated). Bentuk umum model Spline disajikan pada persamaan.., () dimana α i, i = 0,,, p dan β j, j =,, K merupakan parameter. Persamaan. merupakan Spline derajat p dengan K titik knot k, k,..., k K. Titik knot merupakan titik perpaduan bersama dimana terdapat perubahan pola perilaku pada interval yang berbeda (Budiantara, 007(b)). Regresi Spline adalah regresi dimana kurva regresinya berupa fungsi Spline. Secara umum model regresi nonparametrik Spline dapat ditulis sebagai berikut. ; i =,,, n (3) dimana p adalah derajat polinomial dan K adalah banyaknya titik knot pada fungsi truncated, serta ε i merupakan error random independen dengan mean nol dan varians σ..3 Pemilihan Titik Knot Optimal dan Model Terbaik Model Spline yang terbaik adalah model dengan titik knot yang optimal, dimana model ini merupakan model yang paling sesuai dengan data. Menurut Wahba (990) dan Wang (998), salah satu metode yang paling banyak dipakai dan disukai karena kelebihan yang dimilikinya adalah Generalized Cross Validation (GCV). Dibandingkan metode lain, misal Cross Validation (CV), metode GCV mempunyai sifat optimal asimtotik (Wahba, 990). Titik knot yang optimal diperoleh dari nilai GCV yang paling minimum. Model terbaik dipilih berdasarkan nilai GCV yang paling minimum. Metode GCV secara umum didefinisikan sebagai berikut. dengan: ; ; adalah titik-titik knot dan N adalah jumlah observasi (4)
.5 Diabetes Melitus Diabetes Melitus (DM) atau yang biasa disebut kencing manis merupakan suatu keadaan yang ditandai oleh kadar gula darah yang melebihi nilai normal karena tubuh tidak lagi memiliki insulin atau insulin tidak dapat bekerja dengan baik (Tandra, 009). DM adalah penyakit kronis yang paling sering ditemukan pada abad dan telah menjadi penyebab kematian terbesar keempat di dunia. Setiap tahun ada 3, juta kematian yang disebabkan langsung oleh diabetes. Itu berarti ada orang per 0 detik atau 6 orang per menit yang meninggal akibat penyakit yang berkaitan dengan diabetes (Tandra, 009). Orang Asia, termasuk Indonesia adalah ras yang mudah terkena diabetes. Pada tahun 995 Indonesia menempati urutan ketujuh sebagai negara dengan penderita diabetes terbanyak di dunia (4,5 juta orang). Sekarang angka ini meningkat sampai 8,4 juta dan diperkirakan pada 05 akan menjadi,4 juta orang, atau urutan kelima terbanyak di dunia (Tandra, 009). Tanda awal yang dapat diketahui bahwa seseorang menderita DM yaitu dilihat langsung dari efek peningkatan kadar gula darah. Diagnosa DM dapat ditegakkan jika hasil pemeriksaan gula darah puasa mencapai level 6 mg/dl atau bahkan lebih, dan pemeriksaan gula darah dua jam setelah puasa (minimal delapan jam) mencapai level 80 mg/dl (Khomsah, 008). Klasifikasi atau jenis diabetes ada bermacammacam, tetapi di Indonesia yang paling banyak ditemukan adalah DM tipe (Subekti, 009). Jenis diabetes yang lain ialah diabetes tipe, diabetes kehamilan dan diabetes tipe lain. Pada DM tipe, pankreas masih bisa memproduksi insulin, tetapi kualitasnya buruk sehingga tidak dapat berfungsi dengan baik sebagai kunci untuk memasukkan gula ke dalam sel. Akibatnya, gula dalam darah meningkat. Buruknya kualitas insulin, salah satunya diakibatkan oleh banyaknya kadar lemak. Pada umumnya lemak dalam tubuh manusia terdiri dari kolesterol total, kolesterol LDL, kolesterol HDL dan trigliserida. 3. METODOLOGI Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder yang diambil dari data kadar gula darah dan kadar lemak penderita DM tipe yang melakukan cek kesehatan di Laboratorium X Surabaya pada bulan April 0. Berdasarkan data tersebut, diketahui bahwa terdapat 9 orang yang melakukan tes kadar gula darah sekaligus lemak yang terdiagnosis menderita DM tipe. Variabel respon (y) yang digunakan adalah kadar gula darah puasa (y ) dan kadar gula darah dua jam pasca puasa (jpp) (y ). Sedangkan variabel prediktor (t) yang digunakan adalah kadar kolesterol total (t ) dan kadar trigliserida (t ). Langkah-langkah yang dilakukan meliputi dua tahapan. Berikut penjelasan langkah-langkah analisis dalam penelitian ini.. Tahap pertama, digunakan untuk menjawab tujuan pertama. Berikut langkah-langkah yang dilakukan pada tahap ini. a. Membangun model regresi nonparametrik birespon b. Mendekati kurva regresi f(t) dan g(t) pada poin (a) dengan fungsi Spline truncated s(t) c. Membuat model regresi nonparametrik birespon dalam bentuk matriks d. Menentukan matrik bobot W (varian kovarian dan ) e. Menentukan estimator untuk parameter dengan menggunakan optimasi WLS. f. Menyajikan estimasi. Tahap kedua, digunakan untuk menjawab tujuan kedua. Pada tahap ini digunakan software Minitab dan Matlab dengan langkah-langkah sebagai berikut. a. Membuat plot antar variabel b. Memodelkan data (t ij, ) dan (t ij, ) menggunakan Spline truncated birespon untuk berbagai nilai p dan K c. Menentukan matrik bobot W d. Menghitung estimator parameter dengan menggunakan optimasi WLS e. Memilih titik knot optimal berdasarkan GCV minimum f. Menentukan model Spline terbaik dengan menghitung nilai GCV minimum g. Membuat estimasi model regresi Spline birespon terbaik 3
4. ANALISIS DATA DAN PEMBAHASAN Dalam bab ini akan disajikan hasil analisis dari tujuan penelitian, yaitu mengenai bentuk estimasi model Spline dalam regresi nonparametrik birespon dan aplikasinya pada data kadar gula darah penderita Diabetes Melitus (DM) tipe. 4. Estimasi Model Spline Dalam Regresi Nonparametrik Birespon Misalkan y adalah variabel respon dan t adalah variabel prediktor, maka hubungan variabel y dan t dalam regresi birespon dapat dinyatakan dalam bentuk umum sebagai berikut. y j = f (t j ) + g (t j )+ ε j y j = f (t j ) + g (t j )+ ε j Bentuk kurva regresi f (t j ), g (t j ), f (t j ) dan g (t j ) diasumsikan tidak diketahui. Error random ε j dan ε j saling berkorelasi. Dimana error random ε j, j =,,, n saling independen dengan mean nol dan variansi σ, dan error random ε j, j =,,, n juga saling independen dengan mean nol dan variansi σ. Berdasarkan persamaan., bentuk umum fungsi Spline truncated s(t) derajat p dengan K titik knot k, k,..., k K dan dua prediktor diberikan sebagai berikut. Secara umum model regresi nonparametrik Spline dengan derajat p dan K titik knot dapat ditulis sebagai berikut. (5) ; i =,,, n (6) Untuk memudahkan, fungsi Spline truncated s(t) yang digunakan diasumsikan berderajat dengan titik knot (kuadratik knot), maka persamaan 5 menjadi sebagai berikut. ; untuk respon ; untuk respon Jika dalam model birespon kurva regresi f(t) didekati dengan fungsi Spline truncated kuadratik knot, maka berdasarkan persamaan 6 modelnya menjadi sebagai berikut. Berikut model regresi nonparametrik Spline birespon jika disajikan dalam bentuk matriks. Dengan menguraikan fungsi s dan memisahkan antara parameter dengan variabel maka persamaan tersebut dalam bentuk matrik dapat ditulis sebagai berikut. (7) 4
dimana: dengan: Sedangkan matrik O adalah matrik nx8 yang semua elemennya bernilai nol (0). Apabila ditentukan matrik W (varian kovarian dan ) adalah sebagai berikut maka untuk memperoleh estimator pada persamaan 7, dilakukan optimasi WLS yaitu dengan menyelesaikan persamaan sebagai berikut. (8) Untuk menyelesaikan optimasi pada persamaan 8, maka dilakukan derivatif parsial. Dengan memisalkan fungsi, maka (9) Prosesnya selanjutnya adalah menurunkan persamaan 9 terhadap dan dihasilkan 5
(0) Setelah diturunkan terhadap, hasil (0) disamakan dengan nol. () Berdasarkan persamaan (), didapatkan estimator sebagai berikut. Sehingga bentuk estimasi model Spline dalam regresi nonparametrik birespon menjadi sebagai berikut. Jika matrik, maka diperoleh. Matrik H( ) merupakan fungsi dari titik knot, sedangkan adalah titik-titik knot. 4. Model Kadar Gula Darah Penderita DM Tipe Untuk menjawab tujuan kedua, yaitu memodelkan kadar gula darah penderita DM tipe maka terlebih dahulu dilakukan analisis deskriptif setelah itu dilakukan pemodelan dengan menggunakan Spline birespon. 4.. Analisis Deskriptif Sebelum memodelkan kadar gula darah penderita DM tipe dengan Spline birespon, maka perlu dilihat deskripsi statistik untuk menggambarkan karakteristik data kadar gula darah dan lemak penderita DM tipe, sedangkan untuk melihat pola hubungan antar variabel dapat dilihat dari scatterplot. Tabel. Statistik Deskriptif Kadar Gula Darah dan Lemak Penderita DM Tipe Variabel Rata-Rata Deviasi Standar Minimum Maksimum Gula Darah Puasa 86,87 76,33 8 479 Gula Darah JPP 96,74 63,33 6 404 Kolesterol 3,37 4,30 5 336 Trigliserida 88,3 34,9 63 806 Berdasarkan Tabel dapat diketahui bahwa penderita DM tipe yang melakukan cek kesehatan di Laboratorium X Surabaya pada bulan April 0 rata-rata memiliki gula darah puasa dan jpp masingmasing adalah sebesar 96,74 mg/dl dan 86,87 mg/dl. Sedangkan kadar kolesterol rata-ratanya adalah sebesar 3,37 mg/dl dan kadar trigliserida rata-ratanya adalah sebesar 88,3 mg/dl. Gula Darah Puasa 400 50 00 50 Gula Darah JPP 500 450 400 50 00 00 00 50 00 50 Kolesterol 00 50 00 50 Kolesterol Gambar. Scatterplot of Gula Darah Puasa vs Kolesterol Gambar. Scatterplot of Gula Darah JPP vs Kolesterol 6
Pola hubungan antara variabel gula darah puasa dan gula darah jpp dengan kolesterol masingmasing disajikan pada Gambar dan Gambar. Berdasarkan kedua gambar tersebut dapat diketahui bahwa tidak terlihat pola hubungan antara variabel yang mengikuti pola tertentu. Gula Darah Puasa 400 50 00 50 Gula Darah JPP 500 450 400 50 00 00 0 00 00 400 500 Trigliserida 600 700 800 900 0 00 00 400 500 Trigliserida 600 700 800 900 Gambar 3. Scatterplot of Gula Darah Puasa vs Gambar 4. Scatterplot of Gula Darah JPP vs Trigliserida Trigliserida Pada Gambar 3 dan Gambar 4 memperlihatkan pola hubungan antara variabel gula darah puasa dan gula darah jpp dengan trigliserida. Pola hubungan antara variabel tersebut tidak mengikuti pola tertentu. Berdasarkan Gambar, Gambar, Gambar 3 dan Gambar 4 pola data akan dimodelkan dengan menggunakan regresi nonparametrik birespon dengan pendekatan Spline truncated. Dari variabel-variabel tersebut dibuat model spline linier sampai spline kuadratik dengan titik knot. Dari estimasi model yang diperoleh, dihitung nilai-nilai GCV-nya. Model Spline terbaik adalah Spline dengan GCV terkecil. Pemilihan titik knot pada model dilakukan dengan menggunakan program komputer, dimana titik knot optimal berkaitan dengan nilai GCV terkecil. 4.. Model Spline Linier Birespon Kadar Gula Darah Penderita DM Tipe Dengan Satu Titik Knot Pemilihan model birespon Spline linier terbaik diperoleh berdasarkan nilai GCV yang minimum. Beberapa titik knot dan nilai GCV model spline linier dari data kadar gula darah penderita DM tipe dengan satu titik knot disajikan pada Tabel 4.. Tabel. Titik Knot dan Nilai GCV untuk Spline Linier Satu Titik Knot Titik Knot Respon Titik Knot Respon Nilai GCV 90 37 70 39 0,000008 90 60 46 34 0,0003746 88 36 5 0,00000000* 80 4 87 0,00006378 99 8 09 0,000000940 k adalah titik knot pada t (kadar kolesterol) untuk respon (kadar gula darah puasa), k adalah titik knot pada t (kadar trigliserida) untuk respon (kadar gula darah puasa), λ adalah titik knot pada t (kadar kolesterol) untuk respon (kadar gula darah jam pasca puasa), sedangkan λ adalah titik knot pada t (kadar trigliserida) untuk respon (kadar gula darah jam pasca puasa). Berdasarkan Tabel dapat diketahui bahwa model birespon Spline linier terbaik dengan satu titik knot adalah model dengan titik knot pada t = 88 dan t = 36 untuk respon dan pada t =5 dan t = untuk respon. Model ini mempunyai nilai GCV paling minimum diantara model birespon Spline linier satu knot yang lain, yaitu 0,00000000. Berikut disajikan bentuk persamaan dari estimasi model terbaik pada regresi Spline linier dengan satu titik knot. 7
4..3 Model Spline Kuadratik Birespon Kadar Gula Darah Penderita DM Tipe Dengan Satu Titik Knot Seperti pada model Spline linier, pemilihan model Spline kuadratik terbaik diperoleh berdasarkan nilai GCV yang paling minimum. Tabel 3 menyajikan beberapa titik knot dan nilai GCV dari Spline kuadratik satu knot data kadar gula darah penderita DM tipe. Tabel 3. Titik Knot dan Nilai GCV untuk Spline Kuadratik Satu Titik Knot Titik Knot Respon Titik Knot Respon Nilai GCV 43 0 88 77 0,000349 04 34 03 48 0,0000004* 47 4 55 97 0,000654 8 765 34 568 0,0045838 87 35 88 7 0,0000965 Berdasarkan Tabel 3 dapat diketahui bahwa model birespon Spline kuadratik satu knot terbaik adalah model dengan nilai GCV sebesar 0,0000004. Model ini memiliki titik knot pada t = 04 dan t = 34 untuk respon dan pada t = 03 dan t = 48 untuk respon. Berikut disajikan bentuk persamaan estimasi model terbaik pada regresi Spline kuadratik dengan satu titik knot. 4..4 Model Spline Kombinasi (Linier dan Kuadratik) Birespon Kadar Gula Darah Penderita DM Tipe Dengan Satu Titik Knot Model Spline kombinasi merupakan model yang terbentuk dari kombinasi model linier (derajat ) dan model kuadratik (derajat ). Terdapat beberapa kombinasi antara model linier dan kuadratik dalam memodelkan kadar gula darah penderita DM tipe. Beberapa titik knot dan nilai GCV model Spline kombinasi data kadar gula darah penderita DM tipe dengan satu titik knot disajikan pada Tabel 4. Tabel 4. Titik Knot dan Nilai GCV untuk Spline Kombinasi Satu Titik Knot Kombinasi Derajat Titik Knot Respon Titik Knot Respon Nilai GCV 8 8 50 87 0,000094856 99 9 5 86 0,00043073 35 0 8 0 0,0000685* 97 37 90 0,00995304 8 4 0,00037 Berdasarkan Tabel 4 dapat diketahui bahwa model birespon Spline kombinasi terbaik dengan satu titik knot adalah model dengan titik knot pada t = 35 dan t = 0 untuk respon dan pada t = 8 dan t = 0 untuk respon. Model ini mempunyai nilai GCV paling minimum diantara model birespon Spline kombinasi satu knot yang lain, yaitu 0,0000685. Berikut disajikan bentuk persamaan dari estimasi model terbaik pada regresi Spline kombinasi dengan satu titik knot. 4..5 Model Spline Linier Birespon Kadar Gula Darah Penderita DM Tipe Dengan Dua Titik Knot Setelah dilakukan pemodelan dengan menggunakan satu titik knot, maka berikut disajikan pemodelan Spline linier dengan menggunakan dua titik knot. Beberapa titik knot dan nilai GCV model 8
Spline data kadar gula darah penderita DM tipe dengan dua titik knot disajikan pada Tabel 5. k adalah titik knot pada t untuk respon, k adalah titik knot pada t untuk respon, k * adalah titik knot pada t untuk respon, k * adalah titik knot pada t untuk respon, λ adalah titik knot pada t untuk respon, λ adalah titik knot pada t untuk respon, λ * adalah titik knot pada t untuk respon, sedangkan λ * adalah titik knot pada t untuk respon. Tabel 5. Titik Knot dan Nilai GCV untuk Spline Linier Dua Titik Knot Titik Knot Respon Titik Knot Respon Nilai GCV 50 9 8 47 8 4 34 568 0,0564968 45 84 3 6 6 30 34 0,04490 5 7 06 6 05 4 34 568 0,000005 45 34 79 47 33 6 73 33 0,0003634 84 7 06 30 83 4 04 89 0,00000049* Model birespon Spline linier terbaik dengan dua titik knot adalah model dengan nilai GCV sebesar 0,00000049. Model ini memiliki titik knot pada 84, 7, 06 dan 30 untuk respon dan 83, 4, 04 dan 89 untuk respon. Berikut disajikan bentuk persamaan dari estimasi model terbaik pada regresi Spline linier dengan dua titik knot. 4..6 Model Spline Kuadratik Birespon Kadar Gula Darah Penderita DM Tipe Dengan Dua Titik Knot Beberapa titik knot dan nilai GCV model Spline data kadar gula darah penderita DM tipe dengan dua titik knot disajikan pada Tabel 6. Tabel 6. Titik Knot dan Nilai GCV untuk Spline Kuadratik Dua Titik Knot Titik Knot Respon Titik Knot Respon Nilai GCV 84 7 88 6 05 34 30 765 0,040753 3 5 70 0 6 87 765 0,003343* 3 47 96 9 07 33 04 6 3,3735379 84 34 04 47 6 99 33 6 0,6879039 84 7 35 6 83 34 04 35,3706335 Berdasarkan Tabel 6 dapat diketahui bahwa model birespon Spline kuadratik terbaik dengan dua titik knot adalah model dengan titik knot terletak pada 3, 5, 70 dan untuk respon dan terletak pada 0, 6, 87 dan 765 untuk respon. Model ini mempunyai nilai GCV paling minimum diantara model birespon Spline kuadratik dua knot yang lain, yaitu 0,003343. Berikut disajikan bentuk persamaan dari estimasi model terbaik pada regresi Spline kuadratik dengan dua titik knot. 9
4..7 Model Spline Kombinasi (Linier dan Kuadratik) Birespon Kadar Gula Darah Penderita DM Tipe Dengan Dua Titik Knot Model birespon Spline kombinasi dua knot terbaik adalah model dengan nilai GCV sebesar 0,000000068. Nilai tersebut merupakan nilai paling minimum diantara nilai GCV yang lain. Hal ini dapat dilihat pada Tabel 7 yang menyajikan beberapa titik knot dan nilai GCV model Spline kombinasi dua knot data kadar gula darah penderita DM tipe. Tabel 7. Titik Knot dan nilai GCV untuk Spline Kombinasi Dua Titik Knot Kombinasi Derajat Titik Knot Respon Titik Knot Respon Nilai GCV 50 84 88 79 50 6 04 0,0000805 3 84 30 765 50 30 80 0,00637709 3 47 30 79 07 30 87 30 0,000000068* 45 47 9 70 07 30 87 0,0003890 7 47 30 765 50 05 04 30 0,00045574 Berdasarkan Tabel 7 dapat diketahui bahwa model birespon Spline kombinasi terbaik dengan dua titik knot adalah model dengan titik knot terletak pada 3, 47, 30 dan 79 untuk respon dan terletak pada 07, 30, 87 dan 30 untuk respon. Berikut disajikan bentuk persamaan dari model terbaik pada regresi Spline kombinasi dengan dua titik knot. 4..8 Model Birespon Kadar Gula Darah Penderita DM Tipe Spline Optimal Setelah mendapatkan model Spline dalam regresi nonparametrik birespon menggunakan bentuk linier, kuadratik dan kombinasi dengan titik knot yang berbeda-beda, maka tahap selanjutnya adalah memilih model Spline birespon terbaik berdasarkan nilai GCV paling minimum. Berikut ditampilkan nilai GCV pada semua model terbaik. Tabel 8. Nilai GCV Pada Masing Masing Model Spline Birespon Linier titik Kuadratik Kombinasi Linier titik Kuadratik Kombinasi Model Spline knot* titik knot titik knot knot titik knot titik knot Nilai GCV 0,00000000 0,0000004 0,0000685 0,00000049 0,003343 0,000000068 Berdasarkan Tabel 8 dapat diketahui bahwa nilai GCV paling minimum adalah sebesar 0,00000000. Sehingga model terbaik yang menjelaskan kadar gula darah penderita DM tipe adalah model Spline linier dengan satu titik knot dengan bentuk model sebagai berikut. Nilai MSE yang dihasilkan dari model optimal tersebut adalah sebesar 5,9x0-9. Untuk memudahkan intepretasi model regresi nonparametrik birespon kadar gula darah penderita DM tipe, maka dibuat model parsial dari model optimal yang telah terbentuk.. Dengan asumsi kadar trigliserida tetap Ketika kadar kolesterol kurang dari 88 mg/dl dan lebih dari 5 mg/dl, maka kadar gula darah puasa penderita DM tipe mengikuti model -3,4870t. Sedangkan jika kadar kolesterol 88 mg/dl atau lebih, tetapi tidak melebihi 336 mg/dl, maka kadar gula darah puasa mengikuti model 444,664-5,8599t. Berikut model parsial untuk respon (kadar gula darah puasa) dengan mengasumsikan kadar trigliserida tetap. 0
yˆ 3,4870t 444,664 5,8599t Intepretasi yang dapat diperoleh berdasarkan model tersebut adalah pada kadar kolesterol kurang dari 88 mg/dl dan lebih dari 5 mg/dl, jika kadar kolesterol meningkat sebesar satu mg/dl, maka kadar gula darah puasa penderita DM tipe akan cenderung berkurang sebesar 3,4870. Pada kadar kolesterol 88 mg/dl atau lebih, tetapi tidak melebihi 336 mg/dl, jika kadar kolesterol meningkat sebesar satu mg/dl, maka kadar gula darah puasa penderita DM tipe akan cenderung berkurang sebesar 5,8599 mg/dl. Untuk respon (kadar gula darah jam pp), ketika kadar kolesterol kurang dari 5 mg/dl dan lebih dari 5 mg/dl, maka kadar gula darah jam pp penderita DM tipe mengikuti model 0,0787t. Sedangkan jika kadar kolesterol 5 mg/dl atau lebih, tetapi tidak melebihi 336 mg/dl, maka kadar gula darah jam pp mengikuti model 456,67375 + 3,585t. Berikut model parsial yang dihasilkan. yˆ 0,0787t 456,67375+ 3,585t Intepretasi yang dapat diperoleh adalah pada kadar kolesterol kurang dari 5 mg/dl dan lebih dari 5 mg/dl, jika kadar kolesterol meningkat sebesar satu mg/dl, maka kadar gula darah jam pp penderita DM tipe akan cenderung berkurang sebesar 0,0787. Pada kadar kolesterol 5 mg/dl atau lebih, tetapi tidak melebihi 336 mg/dl, jika kadar kolesterol meningkat sebesar satu mg/dl, maka kadar gula darah jam pp penderita DM tipe akan cenderung meningkat pula sebesar 3,585 mg/dl.. Dengan asumsi kadar kolesterol tetap Ketika kadar trigliserida kurang dari 36 mg/dl dan lebih dari 63 mg/dl, maka kadar gula darah puasa penderita DM tipe mengikuti model,8357t. Sedangkan jika kadar trigliserida 36 mg/dl atau lebih, tetapi tidak melebihi 806 mg/dl, maka kadar gula darah puasa mengikuti model 3.053,696 6,0475t. Berikut model parsial untuk respon (kadar gula darah puasa) dengan mengasumsikan kadar kolesterol tetap. yˆ,8357t 3.053,696 6,0475t Pada kadar trigliserida kurang dari 36 mg/dl dan lebih dari 63 mg/dl, jika kadar trigliserida meningkat sebesar satu mg/dl, maka kadar gula darah puasa penderita DM tipe akan cenderung meningkat pula sebesar,8357. Pada kadar trigliserida 36 mg/dl atau lebih, jika kadar trigliserida meningkat sebesar satu mg/dl, tetapi tidak melebihi 806 mg/dl, maka kadar gula darah puasa penderita DM tipe akan cenderung berkurang sebesar 6,0475 mg/dl. Untuk respon (kadar gula darah jam pp), ketika kadar trigliserida kurang dari mg/dl dan lebih dari 63 mg/dl, maka kadar gula darah jam pp penderita DM tipe mengikuti model,38989t. Sedangkan jika kadar trigliserida mg/dl atau lebih, tetapi tidak melebihi 806 mg/dl, maka kadar gula darah jam pp mengikuti model -8.939,75 84,0734t. Berikut model parsial yang dihasilkan. yˆ,38989t - 8.939,75 84,0734t Pada kadar trigliserida kurang dari mg/dl dan lebih dari 63 mg/dl, jika kadar trigliserida meningkat sebesar satu mg/dl, maka kadar gula darah jam pp penderita DM tipe akan cenderung meningkat pula sebesar,38989. Pada kadar trigliserida mg/dl atau lebih, tetapi tidak melebihi 806 mg/dl, jika kadar trigliserida meningkat sebesar satu mg/dl, maka kadar gula darah jam pp penderita DM tipe akan cenderung berkurang sebesar 84,0734 mg/dl. 5. KESIMPULAN Berikut kesimpulan dan saran berdasarkan hasil analisis dan pembahasan dalam penelitian ini. 5. Kesimpulan Jika diberikan model regresi nonparametrik Spline birespon sebagai berikut 88 88 5 5 36 36
maka dari hasil pembahasan dan analisis yang telah dilakukan didapatkan kesimpulan sebagai berikut.. Bentuk estimasi model Spline dalam regresi nonparametrik birespon adalah, dengan matrik.. Model Spline birespon terbaik yang menjelaskan kadar gula darah penderita DM tipe adalah model spline linier dengan titik knot Nilai GCV yang dihasilkan adalah sebesar 0,00000000. Berikut estimasi modelnya., Berikut intepretasi model Spline birespon terbaik kadar gula darah penderita DM tipe.. Dengan asumsi kadar trigliserida tetap Baik pada kadar kolesterol kurang dari 88 mg/dl dan lebih dari 5 mg/dl maupun 88 mg/dl atau lebih, tetapi tidak melebihi 336 mg/dl, jika kadar kolesterol meningkat, maka kadar gula darah puasa penderita DM tipe akan cenderung berkurang. Pada kadar kolesterol kurang dari 5 mg/dl dan lebih dari 5 mg/dl, jika kadar kolesterol meningkat, maka kadar gula darah jam pp penderita DM tipe akan cenderung berkurang, namun pada kadar kolesterol 5 mg/dl atau lebih, tetapi tidak melebihi 336 mg/dl, jika kadar kolesterol meningkat, maka kadar gula darah jam pp penderita DM tipe akan cenderung meningkat pula.. Dengan asumsi kadar kolesterol tetap Pada kadar trigliserida kurang dari 36 mg/dl dan lebih dari 63 mg/dl, jika kadar trigliserida meningkat, maka kadar gula darah puasa penderita DM tipe akan cenderung meningkat pula, namun pada kadar trigliserida 36 mg/dl atau lebih, tetapi tidak melebihi 806 mg/dl, jika kadar trigliserida meningkat, maka kadar gula darah puasa penderita DM tipe akan cenderung berkurang. Pada kadar trigliserida kurang dari mg/dl dan lebih dari 63 mg/dl, jika kadar trigliserida meningkat, maka kadar gula darah jam pp penderita DM tipe akan cenderung meningkat pula, namun pada kadar trigliserida mg/dl atau lebih, tetapi tidak melebihi 806 mg/dl, jika kadar trigliserida meningkat, maka kadar gula darah jam pp penderita DM tipe akan cenderung berkurang. 5. Saran Pada penelitian ini diketahui hubungan antara kadar gula darah dan kadar lemak, serta masih banyak permasalahan yang belum dikaji secara mendalam dan detail. Oleh karena itu, berikut beberapa saran yang dapat direkomendasikan pada masyarakat, pemerintah dan penelitian selanjutnya.. Berdasarkan hasil analisis diketahui bahwa DM tipe berhubungan dengan kadar kolesterol dan trigliserida. Disarankan kepada masyarakat untuk menjaga kesehatan agar terhindar dari DM tipe, selain itu, bila sudah terkena diabetes, upaya tersebut bisa mengontrol gula darah dan mencegah timbulnya komplikasi.. Indonesia adalah ras yang mudah terkena diabetes dan saat ini telah menjadi urutan kelima negara dengan penderita DM terbanyak. Oleh karena itu disarankan kepada pemerintah dan instansi terkait untuk melakukan upaya guna mencegah penderita yang lebih banyak. 3. Karena faktor penyebab DM tipe sangat banyak maka untuk penelitian selanjutnya disarankan melakukan pengembangan metode untuk variabel prediktor yang lebih dari dua dan menggunakan Spline dengan derajat tidak hanya satu dan dua. DAFTAR PUSTAKA Adams, L.B. 005. Hyperlipidemia. Diakses di http://www.umn. edu/let/pubs/adol_book.shtm. Tanggal akses: 5 Maret 0. Ariyanto, F. 006. Smoothing Spline Bivariat Dalam Regresi Nonparametrik dan Aplikasinya. Laporan Tesis S Jurusan Statistika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Surabaya.
Budiantara, I. N. 005. Regresi Spline Linear. Makalah Seminar Nasional Matematika, Jurusan Matematika, FMIPA Universitas Diponegoro (UNDIP), Semarang.. 007(a). Model Keluarga Spline Polinomial Truncated Dalam Regresi Semiparametrik. Jurnal Matematika, Ilmu Pengetahuan Alam dan Pengajarannya (MIPA), Vol. 36, No., pp. -6. Malang: Universitas Negeri Malang.. 007(b). Inferensi Statistik Untuk Model Spline. Jurnal Ilmiah Matematika dan Statistika (Matstat), Vol. 7, No., pp. -4. Jakarta: Universitas Bina Nusantara.. 009. Spline Dalam Regresi Nonparametrik Dan Semiparametrik: Sebuah Pemodelan Statistika Masa Kini dan Masa Mendatang. Pidato Pengukuhan Untuk Jabatan Guru Besar Dalam Bidang Ilmu Matematika Statistika dan Probabilitas, Pada Jurusan Statistika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Surabaya: ITS Press. Eubank, R. L. 988. Spline Smoothing and Nonparametric Regression. New York: Marcel Dekker.. 999. Nonparametric Regression and Spline Smoothing Second Edition. New York: Marcel Dekker. Gujarati, D. 99. Essentials of Econometrics. New York: McGRAW-Hill.Inc. Khomsah. 008. Penyakit Diabetes Mellitus (DM). Diakses di http://www.infopenyakit.com/008/03/ penyakit-diabetes-mellitus-dm.html. Tanggal akses: 5 Maret 0. Semiati, R. 00. Regresi Nonparametrik Deret Fourier Birespon. Laporan Tesis S Jurusan Statistika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Surabaya. Subekti, I. 009. Apa Itu Diabetes: Patofisiologi, Gejala dan Tanda. Materi Penyuluhan Pasien Pada Penatalaksanaan Diabetes Melitus Terpadu Edisi Kedua. Jakarta: Balai Penerbit FKUI. Tandra, H. 009. Segala Sesuatu Yang Harus Anda Ketahui Tentang Diabetes. Jakarta: PT Gramedia Pustaka Utama. Wahba, G. 990. Spline Models For Observational Data. Pennsylvania: SIAM. Wang, Y. 998. Spline Smoothing Models With Correlated Errors. Journal of the American Statistical Association. Vol. 93, pp. 34-348. Wang Y., Guo W. dan Brown, M.B. 000. Smoothing Spline For Bivariate Data With Application To Association Between Hormones. Statistica Sinica. Vol. 0, pp. 377-397. 3